PDF (1 MB) - FMI

42 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSALasketaan sitten vektorin D taittuminen rajapinnalla tapauksessa σ =0.Olkoon α 1 ”rajapinnalle tulevan” vektorin D 1 ja n 1 :n välinen kulma ja α 2”rajapinnalta lähtevän” vektorin D 2 ja n 2 :n välinen kulma. Koska väliaineeton oletettu yksinkertaisiksi, niinD 1t = K 1 ɛ 0 E 1t ; D 2t = K 2 ɛ 0 E 2t (3.32)Tällöintan α 2= D 2t D 1n= K 2ɛ 0 E 2t= K 2= ɛ 2(3.33)tan α 1 D 2n D 1t K 1 ɛ 0 E 1t K 1 ɛ 1Sähkövuon tiheysvektori taittuu siis poispäin normaalin suunnasta mentäessäpienemmästä eristevakiosta suurempaan eristevakioon. Tämä on selvästisukua aaltojen taittumiselle eri väliaineiden rajapinnalla, johon tutustutaanlähemmin luvussa 12.Tarkastellaan sitten potentiaalin reunaehtoa rajapinnalla. Oletetaan jälleenσ = 0, jolloin D 2n = D 1n .Tästä seuraa K 2 ɛ 0 E 2n = K 1 ɛ 0 E 1n . KoskaE n = −∂ϕ/∂n, tulee reunaehdoksi∂ϕ 2K 2∂n = K ∂ϕ 11∂n(3.34)Tämän lisäksi ϕ on jatkuva reunan yli. Tämä nähdään tarkastelemalla kahtapistettä r 1 ja r 2 reunan molemmin puolin. Tällöin∫ r2r 1E · dr = ϕ 1 − ϕ 2 → 0 (3.35)kun r 1 ja r 2 lähestyvät toisiaan eri puolilta rajapintaa sillä fysikaalisellaoletuksella, että sähkökenttä onäärellinen rajapinnalla.Eristepallo sähkökentässäYksinkertaisessa väliaineessa (LIH) D = ɛE, joten ∇·E = ρ/ɛ. Siis ainoamuodollinen ero edellisten lukujen käsittelyyn on korvata ɛ 0 → ɛ. Useissakäytännön ongelmissa eristeessä ei ole ulkoista varausta, joten ∇ 2 ϕ = 0 kokoeristeessä. Tarkastellaan esimerkkinä a-säteistä eristepalloa homogeenisessasähkökentässä E 0 . Ratkaisumenetelmä on samanlainen kuin johdepallontapauksessa. Valitaan alkuperäinen sähkökenttä z-akselin suuntaiseksiE 0 = E 0 e z , joten tämän potentiaali on jälleen ϕ = −E 0 r cos θ ja tämänon oltava ratkaisu kaukana pallosta. Asetetaan pallo origoon ja todetaan,että tilanne on aksiaalisymmetrinen z-akselin suhteen: ∂ϕ/∂φ =0⇒ ϕ =ϕ(r, θ). K on vakio eristeessä jaɛ = ɛ 0 muualla. Systeemissä ei ole vapaitavarauksia, joten ρ = 0 kaikkialla ja Laplacen yhtälö on voimassa niin