PDF (1 MB) - FMI

38 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA3.3 Sähkövuon tiheysEdellä oletettiin eristeen polarisoituma P tunnetuksi. Todellisuudessa näinei yleensä ole, vaan polarisoituma syntyy vasteena ulkoiseen sähkökenttään.Tarkastellaan yleistä tilannetta, jossa on eriste ja sen sisällä mahdollisestivapaita varauksia. Sovelletaan Gaussin lakia eristeen sisällä olevalla pinnallaS, joka sulkee sisäänsä niin vapaat varaukset kuin polarisaatiovarauksenkin∮E · n dS = 1 (Q + Q P ) (3.15)ɛ 0Smissä Q = ∑ i=1,...,N q i on vapaiden varausten summa ja∫∮Q P = (−∇ · P) dV = − P · n dS (3.16)VSon polarisaatiovaraus. Tässä on implisiittisesti oletettu, että vapaat varauksetovat pistemäisiä. Jos eristeen sisällä olisi makroskooppisia johdekappaleita,niiden pinnoilta tulisi osuus polarisaatiovaraukseen Q P .Nämä pintatermitkuitenkin kumoutuisivat muutettaessa tilavuusintegraalit pintaintegraaleiksi(ks. RMC).Saadaan siis ∮(ɛ 0 E + P) · n dS = Q (3.17)SSiis vektorin D ≡ ɛ 0 E + P vuo suljetun pinnan läpi on sama kuin pinnansulkemaan tilavuuteen sijoitettu nettovaraus. Tätä vektoria kutsutaansähkövuon tiheydeksi tai sähköiseksi siirtymäksi englanninkielisen termin”electric displacement” mukaan. Sähkövuon tiheydellä on sama SI-yksikkökuin polarisoitumalla.Käyttämälläjälleen divergenssiteoreemaa ja toteamalla, että Q = ∫ V ρdV,saadaan Gaussin laki eristeessä kirjoitetuksi differentiaalimuotoon∇·D = ρ (3.18)missä ρ on nyt ulkoisten varausten tiheys. Kokonaisvaraustiheys on ρ + ρ P .Ulkoisia varauksia kutsutaan usein vapaiksi, mutta tämä saattaa aiheuttaasekaannusta, sillä eristeessä oleva ulkoinen varaus ei ole vapaa samassa mielessäkuin johteen pinnalla oleva varaus. Myös ajasta riippuvissa tilanteissavapaiden ja ulkoisten varausten sekoittaminen toisiinsa voi johtaa virheisiin.Sähköstatiikan peruslait on nyt siis puettu muotoon∇·D = ρ (3.19)∇×E = 0 (3.20)missäD = ɛ 0 E + P (3.21)