PDF (1 MB) - FMI

3.2. POLARISOITUMAN AIHEUTTAMAN SÄHKÖKENTÄNMÄÄRITTÄMINEN37voidaan potentiaalin integrandi kirjoittaaP(r ′ ) · (r − r ′ ( ))|r − r ′ | 3 = P ·∇ ′ 1|r − r ′ |Käyttämällä kaavaa(3.8)saadaan∇ ′ · (fF) =f∇ ′ · F + F ·∇ ′ f (3.9)P(r) · (r − r ′ ( ))P|r − r ′ | 3 = ∇ ′ 1·|r − r ′ −| |r − r ′ | ∇′ · P (3.10)Tämän avulla ja soveltamalla divergenssiteoreemaa potentiaali voidaan ilmaistaseuraavasti:ϕ(r) ===∮14πɛ 0[∮14πɛ 0∫14πɛ 0P · n dS ′S 0|r − r ′ |σ P dS ′ ∫S 0|r − r ′ | +dq ′ P|r − r ′ |+ 14πɛ 0∫ρ P dV ′V 0|r − r ′ |(−∇ ′ · P) dV ′V 0|r − r ′ |](3.11)missä S 0 on eristeen pinta. Potentiaali voidaan siis laskea lausekkeista, jotkamuistuttavat edellisessä luvussa olleita avaruus- ja pintavaraustiheydenintegraaleja. Tämä onkäytännön ongelmissa usein näppärämpi tapa laskeapotentiaali kuin suora sähköisen polarisoituman integraali. Suureitaσ P ≡ P · n (3.12)ρ P ≡ −∇·P (3.13)kutsutaan polarisaatiovaraustiheyksiksi. Niiden fysikaalinen dimensioon varaus/pinta-ala (σ P ) ja varaus/tilavuus (ρ P ) ja ne aiheuttavat eristeenulkopuolella todellisen potentiaalin ϕ, josta saadaan sähkökenttä E = −∇ϕ.Kyse ei ole kuitenkaan oikeista ”vapaista” varauksista vaan tavasta kuvataeristeen ominaisuuksia varausjakautuman dq P′ avulla. Tämän vuoksipolarisaatiovarauksia kutsutaan usein näennäisiksi varauksiksi, mikä eikuitenkaan tee niille täyttä oikeutta. Eriste on kokonaisuudessaan neutraali,joten kokonaisvaraus∫∮Q P = (−∇ ′ · P) dV ′ + P · n dS ′ = 0 (3.14)V 0 S 0mikä on suora seuraus divergenssiteoreemasta.RMC:ssä edellä oleva tarkastelu on aluksi rajoitettu eristekappaleen ulkopuoliseenalueeseen. Sen jälkeen todetaan, että sama potentiaalin lausekekelpaa myös eristeen sisällä. Tällainen jako ei kuitenkaan ole tarpeen, koskapolarisaatiovaraus on yhtä todellista varausta kuin ”vapaa” varaus.