PDF (1 MB) - FMI

2.11. POISSONIN YHTÄLÖN RATKAISEMISESTA 33Greenin funktioiden käyttö ei rajoitu suinkaan Poissonin yhtälön ratkomiseen,vaan niillä on keskeinen osa ratkottaessa erilaisia integraaliyhtälöitä.Poissonin lauseke potentiaalille varausjakautuman funktiona on sinälläänpoikkeuksellisen yksinkertainen integraaliyhtälö.Esimerkki. Pallon Greenin funktioTarkastellaan esimerkkinä pallon Greenin funktiota Dirichlet’n reunehdolla,että potentiaali pallon pinnalla on tunnettu. Tällöin valitaanG D (r, r ′ 1)=|r − r ′ | + F D(r, r ′ ) (2.125)reunaehdolla []1|r − r ′ | + F D(r, r ′ ) = 0 (2.126)r ′ ∈Smissä S on pallon pinta. Olemme jo aiemmin ratkaisseet identtisen ongelmanyhdelle pistevaraukselle pallon ulkopuolella ehdolla, että potentiaali pallonpinnalla on nolla yhtälössä (2.112). Siellä saatu ratkaisu on vakiota q/4πɛ 0vaille yhtälön (2.126) ratkaisu, jotenG D (r, r ′ 1)=|r − r ′ | − ar ′ |r − (a/r ′ ) 2 r ′ (2.127)|missä a on origossa sijaitsevan pallon säde. Potentiaali saadaan integroimallaϕ(r) = 1 G D (r, r4πɛ 0∫V′ )ρ(r ′ ) dV ′ − 14π∫S∂G D (r, r ′ )∂nϕ(r ′ ) dS ′ (2.128)missä onV viittaa pallon tilavuuteen ja S pallon pintaan. Normaalivektorin suuntautuu ulospäin siitä alueesta, jossa potentiaali halutaan laskea.Tarkasteltaessa aluetta pallon sisällä n = e r ja ulkopuolista aluetta tutkittaessan = −e r . Ulospäin suuntautuva normaaliderivaatta onr ′a ·∇′ G D (r, r ′ ) ∣ = − 1 a 2 − r 2 ∣ ∣∣rr ′ ∈S a |r − r ′ | 3 ′ ∈S= r2 − a 2(a 2 − 2 ar cos γ + r 2 ) −3/2 (2.129)amissä γ on r:n ja r’:n välinen kulma.Sovelletaan Greenin funktiota tapaukseen, jossa pallon sisällä ei ole varaustaeli ratkaistaan Laplacen yhtälö reunaehdolla ϕ(a) =f(r), kun r onpallon pinnalla. Tämä antaa Poissonin kaavana tunnetun tuloksenϕ(r) = a2 − r 2 ∫f(a, θ ′ ,φ ′ )4πa S (a 2 − 2 ar cos γ + r 2 dS′) 3/2= a(a2 − r 2 ∫) f(a, θ ′ ,φ ′ )4π (a 2 − 2 ar cos γ + r 2 ) 3/2 dΩ′ (2.130)S