PDF (1 MB) - FMI

32 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄjotka totetuttavat joko Dirichlet’n tai von Neumannin reunaehdot, voidaanratkaista käyttäen Greenin teoreemaa (2.60) ja Greenin funktioita. Tarvitsemmetätä varten vielä kolmannenkin Greenin kaavan (GIII). Se saadaansoveltamalla GII:ta tapaukseenψ(r, r ′ 1)=|r − r ′ (2.118)|missä r on jokin kiinteä piste alueessa V . Muodollisesti voidaan kirjoittaaSijoittamalla nämä GII:een (2.60) saadaan GIIIϕ(r) = − 1 ∫dV ′ 14π |r − r ′ | ∇2 ϕ(r ′ )V∮∇ 2 ψ(r, r ′ )=−4πδ(r − r ′ ) (2.119)− ∂ (∂n+ 1 [dS ′ 1 ∂ϕ(r ′ )4π S |r − r ′ | ∂n(todistus, esim. CL 2.6.1, tai Jacksonin oppikirja)1|r − r ′ |) ]ϕ(r ′ ) (2.120)GIII:a ei voi käyttää suoraan, koska siinä esiintyvät sekä Dirichlet’nettä von Neumannin reunaehdot. Oletetaan, että F (r, r ′ ) on jokin alueessamääritelty harmoninen funktio eli funktio, joka toteuttaa Laplacen yhtälön∇ 2 F (r, r ′ ) = 0, missä derivaatta on otettu pilkuttoman koordinaatin suhteen.Nyt GII antaa tuloksen∫0 = − dV ′ F (r, r ′ )∇ 2 ϕ(r ′ )V∮+S∂n − ∂F(r, r′ )∂nMuodostetaan sitten Greenin funktiodS ′ (F (r, r ′ ) ∂ϕ(r′ ))ϕ(r ′ )(2.121)G(r, r ′ 1)=|r − r ′ | + F (r, r′ ) (2.122)Summaamalla (2.120) ja (2.121) saadaan tulos∫ϕ(r) = − dV ′ G(r, r ′ )∇ 2 ϕ(r ′ )+V∮SdS ′ (G(r, r ′ ) ∂ϕ(r′ )∂n − ∂G(r, r′ )∂n)ϕ(r ′ )(2.123)Valitsemalla sellainen F (r, r ′ ) joka täyttää joko Dirichlet’n reunaehdot F Dtai von Neumannin reunaehdot F N saadaan tästä Poissonin yhtälön ratkaisuannetuilla reunaehdoilla.Greenin funktiolla on selvästikin ominaisuus∇ ′2 G(r, r ′ )=−4πδ(r − r ′ ) (2.124)