PDF (1 MB) - FMI

2.11. POISSONIN YHTÄLÖN RATKAISEMISESTA 31raθbq’dqKuva 2.4: Pistevaraus johdepallon lähellä.ja asettamalla puolestaan θ = π löytyy peilivarauksen suuruusja ongelma on ratkaistu.q ′ = − a d q (2.114)Mikäli palloa ei olisi maadoitettu, sen keskipisteeseen voitaisiin asettaatoinen peilivaraus q ′′ , joka puolestaan sovitettaisiin antamaan pinnalla oikeareunaehto. Pallon kokonaisvaraus olisi tällöinQ = q ′ + q ′′ (2.115)2.11 Poissonin yhtälön ratkaisemisestaEdellisissä jaksoissa tarkasteltiin tilanteita, joissa oli joko pelkästään johdekappaleitatai johdekappaleita ja yksittäisiä varauksia. Yleisessä tilanteessameillä voi olla annettu varausjakautuma ρ sekä johdekappaleita, joiden pintavarausjakautumaon tuntematon. Tällöin on ratkaistava Poissonin yhtälö∇ 2 ϕ = − ρ ɛ 0(2.116)Tämä voidaan tehdä integroimalla varausjakautuman yliϕ 1 (r) =+ 14πɛ 0∫Vρ(r ′ )|r − r ′ | dV ′ (2.117)ja lisäämällä tähän Laplacen yhtälön sellainen ratkaisu ϕ 2 , että yhteenlaskettupotentiaali toteuttaa reunaehdot johdekappaleiden pinnalla.Kaikki ylläolevat esimerkit ovat perustuneet hyvin yksinkertaiseen geometriaan.Yleisemmin voidaan osoittaa, että Laplacen ja Poissonin yhtälöt,