PDF (1 MB) - FMI

2.10. PEILIVARAUSMENETELMÄ 29Tämän ratkaisut ovat sin √ kθ ja cos √ kθ.Näiden on oltava yksikäsitteisiäja jatkuvia välillä 0≤ θ ≤ 2π eli cos √ k (θ +2π) = cos √ kθ.Tästä seuraa,että k = n 2 , missä n on kokonaisluku, joka voidaan rajoittaa positiiviseksieli ratkaisufunktiot ovat sin nθ ja cos nθ. Lisäksi tapauksessa k = 0, saadaanratkaisu S = A 0 θ + C 0 . Radiaalisesta yhtälöstä tulee nyt(r dYdr)− n 2 Y =r d drr 2 d2 Ydr 2 + r dYdr − n2 Y = 0 (2.105)joka ratkeaa yritteellä Y = a s r sa s s(s − 1)r s + a s sr s − a s n 2 r s = 0 (2.106)Tästä saadaan ehto s:lle s 2 − s + s − n 2 = 0 eli s = ±n. Ratkaisufunktiotovat siis muotoa Y = r n ja Y = r −n . Tapaus n = 0 antaa lisäksi ratkaisunY = ln(r/r 0 ). Kokonaisuudessaan ratkaisu onϕ(r, θ) =∞∑ (An r n + B n r −n) (C n sin nθ + D n cos nθ)n=1+(A 0 ln (r/r 0 )) (C 0 θ + D 0 ) (2.107)Vakiot on jälleen selvitettävä tarkasteltavan tilanteen ominaisuuksista jareunaehdoista.2.10 PeilivarausmenetelmäLaplacen yhtälön yksikäsitteisyys antaa ratkaisijalle vapauden käyttää mieleisiäänkikkoja ratkaisun löytämiseen. Tietyissä geometrisesti yksinkertaisissatapauksissa peilivarausmenetelmä onnäppärä keino välttää itse differentiaaliyhtälönratkaiseminen. Tarkastellaan tilannetta, jossa meillä onjoko annettu tai varausjakautumasta helposti laskettavissa oleva potentiaaliϕ 1 (r) ja johteita, joiden pintavarausjakautuma olkoon σ(r). Tällöin kokonaispotentiaalionϕ(r) =ϕ 1 (r)+ 1 σ(r4πɛ 0∫S′ ) dS|r − r ′ |(2.108)Nyt ratkaisuun johdesysteemin ulkopuolella ei vaikuta lainkaan, kuinka varauson jakautunut johteen pinnan takana, kunhan johteen pinnalla on voimassasamat reunaehdot. Voimme siis ajatella, ettei kyseessä olekaan johdekappalevaan pinta, jonka takana on varausjakautuma, joka antaa samatreunaehdot kuin oikea johdekappaleen pintavaraus. Tarkastellaan seuraavassamuutamaa esimerkkiä.