PDF (1 MB) - FMI

28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄKun r = a, cos θ-termien on kumottava toisensa, joten saamme määrätyksiA 0 = ϕ 0 ja B 1 = E 0 a 3 . Niinpä reunaehdot täyttävä Laplacen yhtälönratkaisu on(a 3 )E 0ϕ(r, θ) =ϕ 0 + − E 0 r cos θ (2.97)Sähkökentän E = −∇ϕ komponentit saadaan laskemallaE r = − ∂ϕ( )∂r = E 0 1+2 a3r 3 cos θ (2.98)E θ = − 1 ( )∂ϕr ∂θ = −E 0 1 − a3r 3 sin θ (2.99)Pallon pintavaraustiheys onr 2σ = ɛ 0 E r (r = a) =3ɛ 0 E 0 cos θ (2.100)Pinnalle indusoituva varausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomenttion∫∫p = rρ(r) dV = (re r )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θdθdφpallor=a∫ π= 6πa 3 ɛ 0 E 0 k cos 2 θ sin θdθ=4πɛ 0 a 3 E 0 e z (2.101)0Kaukaa katsottuna johdepallon osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetundipolin, jonka dipolimomentti on p =4πɛ 0 a 3 E 0 e z .2.9.3 Ratkaisu sylinterikoordinaateissaUseat fysiikan ongelmat ovat sylinterisymmetrisiä. Tarkastellaan esimerkkinäLaplacen yhtälöä pitkän suoran virtajohteen tapauksessa. Mikäli tarkasteltavasylinteri on riittävän pitkä, voidaan olettaa ∂ϕ/∂z = 0 ja Laplacenyhtälöstä tulee(1 ∂r ∂ϕ )+ 1 ∂ 2 ϕr ∂r ∂r r 2 ∂θ 2 = 0 (2.102)Huom. Sylinterikoordinaatistossa r:llä jaθ:lla on eri merkitys kuin pallokoordinaatistossa!Laplacen yhtälö separoituu yritteellä ϕ = Y (r)S(θ)rY(dr dY )= − 1 d 2 Sdr dr S dθ 2 = k (2.103)missä separointivakiolle k tulee jälleen tiettyjä rajoituksia kulmayhtälöstäd 2 S+ kS = 0 (2.104)dθ2