PDF (1 MB) - FMI

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 27ja koko Laplacen yhtälön ratkaisu atsimutaalisessa symmetriassa on muotoaϕ(r, θ) =∞∑n=0(A n r n +B )nr (n+1) P n (cos θ) (2.90)Integroimisvakiot A n ja B n on määritettävä reunaehdoista.Esimerkki. Johdepallo vakiosähkökentässäTarkastellaan tasaista sähkökenttää E 0 , johon tuodaan varautumaton johdepallo.Johdepallo pakottaa alunperin suorat kenttäviivat taipumaan siten,että ne leikkaavat pallon pintaa kohtisuoraan. Valitaan koordinaatisto siten,että origo on pallon keskipisteessä jasähkökenttä onz-akselin suuntainen.Tällöin on selvää, että ongelma on atsimutaalisymmetrinen. Johteen pintaon kaikkialla samassa potentiaalissa ϕ 0 .ϕ(a, θ) =ϕ 0 (2.91)missä a on pallon säde. Kaukana pallosta sähkökenttä lähestyy alkuperäistäkenttääE(r, θ) r→∞ = E 0 e z (2.92)mistä voidaan laskea potentiaali∫ϕ(r, θ) r→∞ = − E · dr = −E 0 r cos θ + C = −E 0 z + C (2.93)Valitsemalla origon potentiaaliksi nolla, saadaan C =0.Tarkastellaan sitten yhtälön 2.90 kertoimia. Kirjoitetaan auki potentiaalinmuutama ensimmäinen termiϕ(r, θ) = A 0 + B 0r + A 1r cos θ + B 1+ B 2r 3 [ 12() ]3 cos 2 θ − 1[ 1r 2 cos θ + A 2r 2 2(3 cos 2 θ − 1) ] + ... (2.94)Kun r →∞,ϕ= −E 0 r cos θ ⇒ A n = 0, kaikille n ≥ 2jaA 1 = −E 0 . Koskapallon kokonaisvaraus on nolla, potentiaalissa ei ole (1/r)-riippuvuutta, eliB 0 =0.Jäljellä olevat cos n θ-termit, joissa n ≥ 2, ovat kaikki lineaarisestiriippumattomissa polynomeissa P n , joten ne eivät voi kumota toisiaan pallonpinnalla, missä ei ole θ-riippuvuutta (potentiaali on vakio johteen pinnalla),eli B n = 0 kaikille n ≥ 2. Näin ollen jäljellä onϕ(a, θ) = ϕ 0 (2.95)ϕ(r, θ) = A 0 − E 0 r cos θ + B 1cos θ (2.96)r2