PDF (1 MB) - FMI

26 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ2.9.2 Ratkaisu pallokoordinaateissaRatkaistaan Laplacen yhtälö pallokoordinaatistossa rajoittuen atsimutaalisymmetriseentapaukseen, missä siis ∂ϕ/∂φ = 0 eli ϕ = ϕ(r, θ). Tällaisiaovat pistevarauksen tai dipolin kaltaiset tilanteet, mukaanlukien myöhemmineteentuleva magneettisen dipolin kenttä. Laplacen yhtälö onnyt1r 2 ∂∂r(r 2 ∂ϕ∂r)+1r 2 sin θ∂∂θ(sin θ ∂ϕ∂θ)= 0 (2.83)Toistetaan harjoituksen vuoksi edellä ollut muuttujien separointi etsimälläratkaisua yritteelläϕ(r, θ) =Z(r)P (θ) (2.84)⇒1Z(ddrr 2 dZdr)= − 1 (dsin θ dP )P sin θ dθ dθ(2.85)Yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuria kuin jokin vakio k kaikilla r:nja θ:n arvoilla. Näin osittaisdifferentiaaliyhtälö on hajotettu kahdeksi tavalliseksidifferentiaaliyhtälöksi. Kulman θ yhtälöä kirjoitettuna muodossa1sin θddθ(sin θ dPdθ)+ kP = 0 (2.86)kutsutaan Legendren yhtälöksi. Kuten edellä todettiin, fysikaalisesti kelvollisetratkaisut kaikilla θ ∈ [0,π] edellyttävät, että k = n(n + 1), missä n onpositiivinen kokonaisluku ja ratkaisut ovat Legendren polynomeja P n (cos θ).(Huom. RMC merkitsee samaa asiaa P (θ):lla!)P n (cos θ) = 1 d n2 n n! d(cos θ) n [cos2 θ − 1] n (2.87)joten muutama ensimmäinen P n onP 0 = 1P 1 = cos θP 2 = 1 ()3 cos 2 θ − 12P 3 = 1 ()5 cos 3 θ − 3 cos θ2Tarkastellaan sitten radiaalista yhtälöä(dr 2 dZ )= n(n +1)Z (2.88)dr drYrite Z n (r) =C n r s antaa kaksi riippumatonta ratkaisua r n ja r −(n+1) . Radiaalisenyhtälön täydellinen ratkaisu on näiden lineaarikombinaatioZ n (r) =A n r n + B n r −(n+1) (2.89)