PDF (1 MB) - FMI

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 25Legendren liittofunktiot saadaan Legendren polynomeista puolestaan kaavallaPlm (ξ) =(1− ξ 2 m/2 dm)dξ m P l(ξ) (2.78)Yleisesti Laplacen yhtälöllä on siis pallokoordinaatistossa jokaista l kohti2l + 1 kulmista θ ja φ riippuvaa ratkaisua. Ne voidaan sopivasti normittaenlausua palloharmonisten funktioiden√2l +1Y lm (θ, φ) =(−1) m (l − m)!4π (l + m)! P l m (cos θ)e imφ (2.79)avulla. Normitus on valittu siten, että pallofunktiot Y lm muodostavat ortonormitetuntäydellisen funktiojärjestelmän pallon pinnalla:∫Ylm(θ, ∗ φ)Y np (θ, φ) dΩ =δ ln δ mp (2.80)Palloharmonisten yhteenlaskuteoreema antaa kahden vektorin välisen etäisyydenkäänteisluvun summana1∞|r − r ′ | = ∑ l∑ 4π rmissä vektorin r suuntakulmat ovat θ, φ ja vektorin r ′ suuntakulmat θ ′ ,φ ′sekä r < = min(r, r ′ )jar > = max(r, r ′ ).Mikä hyvänsä riittävän säännöllinen pallon pinnalla määritelty funktiovoidaan kehittää palloharmonisten sarjaksi. Esimerkkinä käy maapallonmagneettikenttä, jonka sarjakehitelmän johtava termi vastaa magneettistadipolia ja korkeammat termit johtuvat kentän lähteen poikkeamisestadipolista, magneettisen maa-aineksen epätasaisesta jakautumasta ja maapallonyläpuolisissa ionosfäärissä ja magnetosfäärissä kulkevista sähkövirroista.Palloharmonisia funktioita tarvitaan myös paljon atomifysiikassa ja kvanttimekaniikassamm. tarkasteltaessa impulssimomenttioperaattoreita. Tekijä(−1) m kaavassa (2.79) on vaihetekijä, joka voidaan periaatteessa jättää poistai ottaa mukaan jo Plm :n määritelmässä (2.78). Sen ottaminen mukaan onhyödyllistä eritoten kvanttimekaniikan laskuissa (katso esim. Arfken).Kootaan lopuksi löydetty Laplacen yhtälön muotoaϕ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ)Φ(φ)roleva ratkaisu, kun 0