PDF (1 MB) - FMI

24 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄNyt ainoastaan viimeinen termi riippuu φ:stä, joten sen on oltava vakio, jotamerkitään −m 2 :llä:1 d 2 ΦΦ dφ 2 = −m2 (2.69)Tämän ratkaisut ovat tietenkin muotoaΦ(φ) =vakio · e ±imφ (2.70)Yleisesti m on kompleksinen, mutta fysikaalinen ehto rajaa sen mahdollisetarvot: jotta ratkaisu olisi jatkuva, kun φ → 0jaφ → 2π, on oltavaΦ(0) = Φ(2π), joten m =0, ±1, ±2,....Yhtälön (2.68) ensimmäisen terminon oltava puolestaan m 2 , joten( (1R r2 d2 R 1dr 2 + 1 dsin θ dΘ ) )− m2sin θ Θ dθ dθ sin 2 = 0 (2.71)θNyt tämän yhtälön ensimmäinen ja toinen termi riippuvat kumpikin ainoastaanomasta muuttujastaan ja ovat siten yhtä suuria vastakkaismerkkisiävakioita, jota merkitään l(l + 1):llä(1 1 dsin θ Θ dθsin θ dΘdθYhtälön (2.72) yleinen ratkaisu on muotoa1R r2 d2 Rdr 2 = (l +1)l (2.72))− m2sin 2 = −(l +1)l (2.73)θR(r) =Ar l+1 + Br −l (2.74)missä A ja B ovat vakioita. Kirjoittamalla ξ = cos θ saadaan Θ:n yhtälöksiddξ ((1 − ξ2 ) dΘ()dξ )+ l(l +1)−m21 − ξ 2 Θ = 0 (2.75)Jotta tämän ratkaisut olisivat äärellisiä pisteissä ξ ± 1 eli θ =0,π, on oltaval = |m|, |m|+1,.... Tietyllä tavalla normitettuja ratkaisuja ovat Legendrenliittofunktiot Plm (ξ). Niille on voimassa ehto |m| ≤l, jotenm = −l, −l +1,...,l− 1,l (2.76)Erikoistapauksessa m = 0, jolloin Laplacen yhtälön ratkaisu ei riipulainkaan φ:sta, Legendren liittofunktiot redusoituvat Legendren polynomeiksiP l , jotka voidaan laskea kaavastaP l (ξ) = 12 l l!d ldξ l (ξ2 − 1) l (2.77)