PDF (1 MB) - FMI

22 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ∂ϕ 1 /∂n = ∂ϕ 2 /∂n näillä pinnoilla sekä pinnalla S. Tarkastellaan funktiotaΦ = ϕ 1 − ϕ 2 . Tilavuudessa V 0 on tietenkin ∇ 2 Φ = 0. Reunaehdoistapuolestaan seuraa, että kaikilla reunoillajoko Φ = 0 tai n ·∇Φ= ∂Φ∂n =0Sovelletaan sitten divergenssiteoreemaa vektoriin Φ∇Φ:∫∮∇·(Φ∇Φ) dV =(Φ∇Φ) · n dS =0V 0S+S 1 +...+S Nkoska joko Φ tai ∇Φ · n on pinnoilla 0. Toisaaltaeli∇·(Φ∇Φ)=Φ∇ 2 Φ+(∇Φ) 2 =(∇Φ) 2∫(∇Φ) 2 dV =0V 0Koska toisaalta (∇Φ) 2 ≥ 0 koko alueessa V 0 , sen on oltava nolla kaikkialla.Tästä seuraa, että Φ on vakio koko alueessa V 0 ja yksikäsitteisyyslause onsiten todistettu.Huom. Tämä ei ole todistus ratkaisun olemassaololle vaan sille, että josratkaisuja on, ne ovat yksikäsitteisiä! Tarkastelun merkitys on siinä, ettäjos löydämme millä keinolla tahansa annetut reunaehdot täyttävän Laplacenyhtälön ratkaisun, ratkaisu on Dirichlet’n reunaehdolla yksikäsitteinenja von Neumannin reunaehdolla vakiota (eli potentiaalin nollatasoa) vailleyksikäsitteinen.Todistuksessa käytettiin Greenin ensimmäistä kaavaa (GI)∫∮(ϕ∇ 2 ψ + ∇ϕ ·∇ψ) dV = ϕ∇ψ · n dS (2.59)Vsovellettuna tapaukseen Φ = ϕ = ψ. Greenin toinen kaava (GII)∫∮(ψ∇ 2 ϕ − ϕ∇ 2 ψ) dV = (ψ∇ϕ − ϕ∇ψ) · n dS (2.60)Vtunnetaan myös nimellä Greenin teoreema. Nämä ovat divergenssiteoreemansuoria seurauksia (HT).SS2.9 Laplacen yhtälön ratkaiseminenLaplacen yhtälö on yksi fysiikan keskeisimmistäyhtälöistä. Sähköopin lisäksise esiintyy mm. lämmönsiirtymisilmiöissä, virtausmekaniikassa, jne. Kovinmonimutkaisissa tilanteissa yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti, mutta tutustutaantässä muutamiin tapauksiin, joissa ongelman symmetriasta onhyötyä.