PDF (1 MB) - FMI

18.5. LORENTZ-MUUNNOS 21518.5 Lorentz-muunnos(Lähde: K. ja R. Kurki-Suonio, Vuorovaikuttavat Kappaleet)Liikkukoon koordinaatisto K’ koordinaatiston K suhteen vakionopeudellav. Havaitsijat Oja O’ havaitsevat saman tapahtuman ja määrittävät senpaikan ja hetken: (x, y, z, t) ja(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ). Lisäksi oletetaan, että heilläyhteinen fysikaalisiin ilmiöihin perustuva standardi, jonka perusteella hekäyttävät samoja mittayksiköitä.Etsitään havaintojen välinen yhteys käyttäen neljää yleistä ehtoa.Ehto 1. Aika ja avaruus ovat homogeenisia. Kahden infinitesimaalisen lähekkäisentapahtuman siirtymien ja aikavälien välinen muunnos (dr,dt) ↔(dr ′ ,dt ′ ) on silloin sama aina ja kaikkialla eli niiden välillä on lineaarinenyhteys. Tästä seuraa, että myös koordinaattien välinen yhteys on lineaarinen:x ′ = a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 t + e 1y ′ = a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 t + e 2z ′ = a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 t + e 3t ′ = a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 t + e 4missä kertoimet a i ,b i ,c i ,d i ovat vakioita.Yleisyyttä rajoittamatta voidaan sopia, että koordinaatistojen origotyhtyvät kummankin nollahetkellä. Voidaan myös sopia, että koordinaattiakselitovat samansuuntaisia ja että K’ liikkuu K:n x-akselia pitkin positiiviseensuuntaan. Tällöin yhtälöryhmä yksinkertaistuu muotoonx ′ = ax + bty ′ = yz ′ = zt ′ = hx + ktEhto 2. Koordinaatistojen suhteellinen nopeus on kummankin havaitsijanmielestä sama. Tällöin K’:n origossa hetkellä t ′ sattuva tapahtuma havaitaanK:ssa hetkellä t pisteessä x = vt tapahtuvaksi: (vt, t) ↔ (0,t ′ ). Vaaditunsymmetrian mukaan pätee vastaavasti (0,t) ↔ (−vt ′ ,t ′ ). Sijoittamallamuunnoskaavoihin saadaan0 = avt + btt ′ = hvt + kt−vt ′ = btt ′ = kt