PDF (1 MB) - FMI

212 LUKU 18. LISÄAINEISTOALopuksi kannattaa muistuttaa, että kuvalähteet ovat vain kuvitteellisiaapuvälineitä, jotka eivät oikeasti sijaitse missään. Kun ratkaisu on löydetty,kuvalähteet voidaan vaikka unohtaa ja todeta suoraan saaduista lausekkeista,että kaikki vaadittavat yhtälöt reunaehtoineen toteutuvat.18.3 Vektoripotentiaalin multipolikehitelmäEsitetään tässä vaihtoehtoinen menetelmä vektoripotentiaalin multipolikehitelmänlaskemiseksi (Jackson). Luennoissa tutkitaan virtasilmukkaa, muttatässä oletetaan yleinen divergenssitön virrantiheys J, joka poikkeaa nollastavain äärellisessä tilavuudessa V .Koska vektoripotentiaalin integraaliesitys on samaa muotoa kuin sähköisenskalaaripotentiaalin, voidaan suoraan kirjoittaa vektoripotentiaalin komponentilleA lA l (r) = µ ∫04π (1 rJ l (r) dV ′ + r ∫r 3 ·Integraalien laskemiseksi käytetään seuraavaa aputulosta:r ′ J l (r) dV ′ + ...) (18.12)∇·(fgJ) =fJ ·∇g + gJ ·∇f (18.13)missä f ja g ovat vapaasti valittavia funktioita. Tässä myös käytettiin oletusta∇·J = 0. Integroimalla tilavuuden V yli saadaan∫(fJ ·∇g + gJ ·∇f) = 0 (18.14)(∇ ·(fgJ):n sisältävä integraali voidaan ulottaa yli koko avaruuden, koskaalueen V ulkopuolella virrantiheys on nolla. Muunnos pintaintegraaliksiantaa silloin nollan.)Integroitaessa multipolikehitelmän ensimmäistä termiä valitaan yksinkertaisestif =1jag = x l , jolloin ∫ J dV = 0 eli monopolitermiä ei magneettikentäntapauksessa ole.Seuraava eli dipolitermi käsitellään valitsemalla f = x l ,g = x n , jolloin∫∫r · r ′ J l dV ′ = x n x ′ n J l dV ′ = − 1 ∫2 x n (x ′ lJ n − x ′ nJ l ) dV ′ (18.15)missä summataan kahdesti esiintyvän indeksin n yli ja käytettiin kaavaa18.14. Integrandi muistuttaa vektoritulon komponenttia, ja pienen tarkastelunjälkeen huomataan, että∫r · r ′ J l dV ′ = − 1 ∫2 ɛ lnpx n (r ′ × J(r ′ )) p dV ′ (18.16)