PDF (1 MB) - FMI

18.2. PISTEVARAUS ERISTEPINNAN LÄHELLÄ 211jossa varaus on maadoitetun johdetason yläpuolella. Silloin ongelma ratkeaapeilikuvavarauksella −q pisteessä (0, 0, −d). Eristeenkin tapauksessa potentiaalialueessa 1 voidaan yrittää esittää varauksen q ja jonkin alueessa 2sijaitsevan kuvavarauksen q ′ avulla. Yksinkertaisin arvaus on sijoittaa kuvavarauspisteeseen z = −d, jolloin potentiaali alueessa 1 on sylinterikoordinaateissalausuttuna Poissonin yhtälön toteuttavaϕ 1 (r, z) = 1 q( √4πɛ 1 r 2 +(z − d) + q ′2 √r 2 +(z + d) ) (18.8)2(Kiertosymmetrian vuoksi kannattaa käyttää sylinterikoordinaatistoa, muttatehtävä ratkeaa sujuvasti myös karteesisessa koordinaatistossa.)Alue 2 on eriste, joten johdetilanteesta poiketen sielläkin on kenttä. Koskaalueessa 2 ei ole varauksia, potentiaali toteuttaa siellä Laplacen yhtälön.Ainakin laskennallisesti kelvollinen ratkaisu alueessa 2 saadaan alueessa 1 sijaitsevankuvavarauksen q ′′ avulla, joka viisaasti sijoitetaan pisteeseen z = d.Tällöin potentiaali alueessa 2 onϕ 2 (r, z) = 14πɛ 2q ′′√r 2 +(z − d) 2 (18.9)Mikäli kuvavarausten suuruudet saadaan sovitettua siten, että reunaehdottoteutuvat, niin ongelma on ratkaistu. Reunaehtojen mukaan sähkövuontiheyden z-komponentti on jatkuva rajapinnalla (ei pintavarausta) samoinkuin sähkökentän r-komponentti. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa,että potentiaali on jatkuva. Näin saadaan yhtälöpariKuvavaraukset ovat sitenq − q ′ = q ′′1(q + q ′ )ɛ 1= 1 q ′′ɛ 2(18.10)q ′ = − ɛ 2 − ɛ 1qɛ 2 + ɛ 1q ′′ =2ɛ 2qɛ 2 + ɛ 1(18.11)Lukijalle jää harjoitustehtäväksi laskea polarisoitumaan liittyvä varaustiheysaineiden rajapinnalla. Jos väliaine 2 onkin johde, niin ratkaisu saadaanmuodollisesti asettamalla ɛ 2 äärettömäksi, jolloin potentiaali alueessa 2 häviääjaq ′ = −q.Viimeistään reunaehtoja sovellettaessa tuli selväksi, että kuvalähteetkannatti sijoittaa nimenomaan pisteisiin z = −d ja z = d. Paikkariippuvuudetsupistuvat silloin reunaehtoyhtälöistä kokonaan.