PDF (1 MB) - FMI

210 LUKU 18. LISÄAINEISTOATässä on tietoisesti valittu trigonometriset funktiot x- jay-suunnissa jahyperboliset funktiot z-suunnassa. Reunaehtoja soveltamalla nähdään heti,että voidaan valita A 2 = B 2 = C 2 = 0, kun separointivakiot α ja β toteuttavatseuraavat ehdot (reunaehdoista sivuilla x = a ja y = b):α = mπ/aβ = nπ/b (18.4)missä m, n ovat kokonaislukuja, ja ne voidaan rajoittaa lisäksi positiviisiksi.Myös kolmas separointivakio saa silloin vain diskreettejä arvoja:√γ = γ mn = π (m/a) 2 +(n/b) 2 (18.5)Tähän mennessä on siis saatu ratkaisuksiϕ(x, y, z) =∞∑m,n=1A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn z) (18.6)On helppo tarkastaa, ettätämä toteuttaa Laplacen yhtälön ja antaa potentiaaliksinollan vaadituilla reunoilla. Tuntemattomat kertoimet A mn saadaanasettamalla z = c:ϕ(x, y, c) =V (x, y) =∞∑m,n=1A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn c) (18.7)Loppu onkin Fourier-kertoimien määrittämistä. Olettamalla, että funktioV (x, y) on riittävän siisti, kertoimet saadaan laskettua ortogonaalisuusintegraalienavulla. Tämä lienee tuttua FYMM I:ltä.Edellä ei mietitty sitä mahdollisuutta, että jokin tai jotkin separointivakioistaolisivat voineet olla nollia. Huolellinen lukija tutkikoon erikseentämän tilanteen. Lyhyemmin voidaan kuitenkin todeta, ettälöydetty ratkaisuon selvästi kelvollinen ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan ongelma on silläselvä.18.2 Pistevaraus eristepinnan lähellä(Löytyy myös Jacksonin kirjasta.)Tarkastellaan tilannetta, jossa xy-taso jakaa avaruuden kahteen homogeeniseeneristealueeseen: (z > 0,ɛ 1 )ja(z < 0,ɛ 2 ). Asetetaan varaus q pisteeseen(0, 0,d) alueeseen 1. Tehtävänä on laskea potentiaali koko avaruudessa.Oletetaan, ettei aineiden rajapinnalla ole varauksia.Tehtävän voisi ratkaista suoraan Poissonin yhtälöä käyttäen, mutta helpommallapäästään kuvalähdemenetelmän avulla. Otetaan mallia tilanteesta,