PDF (1 MB) - FMI

206 LUKU 17. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄesitietoina ei oleteta mekaniikan kurssia, tämä luku jää yleissivistäväksi(tärkeäksi) tiedoksi.Sijoitetaan sähkö- ja magneettikentät Lorentzin voiman lausekkeeseenskalaari- ja vektoripotentiaalien avulla:F = q(−∇ϕ − ∂ t A + ṙ × (∇×A)) (17.27)Muunnetaan tämä kanoniseen muotoon ilmaisemalla se riippumattomienmuuttujien r ja ṙ = v avulla. Käytetään seuraavassa merkintöjä ∂/∂r i =∂ i = ∇ i ja oletetaan summaus toistetun indeksin yli. Suorilla laskuillanähdään[ṙ × (∇×A)] i =ṙ j ∂ i A j − ṙ j ∂ j A i = ∂ i (ṙ · A) − (ṙ ·∇)AYhtälöiden dA/dt = ∂ t A +(ṙ ·∇)A ja ṙ j ∂ i A j = ∂ i (ṙ · A) avulla voimanlausekkeesta saadaanF = q[−∇ϕ −∇(ṙ · A) − d ]dt A (17.28)Koska ϕ ei riipu nopeudesta, voidaan kirjoittaaddt A i = d ( ) ∂(ṙ · A) = d ( )∂(−ϕ + ṙ · A)dt ∂ṙ i dt ∂ṙ iminkä avulla voiman i:s komponentti saadaan muotoonF i = − ∂ (qϕ − q ṙ · A)+ d ( )∂(−qϕ + q ṙ · A) (17.29)∂r i dt ∂ṙ iLorentzin voima on nyt ilmaistu Lagrangen mekaniikassa yleistetyn potentiaalinU = qϕ − q ṙ · A (17.30)avullam¨r i = − ∂U + d ∂U(17.31)∂r i dt ∂ṙ iLagrangen funktion L = m ṙ 2 /2 − U avulla liikeyhtälö saa muodon∂L∂r i− d dt∂L∂ṙ i= 0 (17.32)Nämä Lagrangen liikeyhtälöt ovat toista kertalukua. Niistä voidaan muodostaaensimmäisen kertaluvun yhtälöitä siirtymällä kanonisiin muuttujiinr i (kanoninen koordinaatti) ja π i = ∂L/∂ṙ i = mṙ i + qA i (kanoninenliikemäärä). Muodostetaan näiden muuttujien Hamiltonin funktioH(π, r,t) = ṙ i π i − L(r, ṙ,t) = ṙ i π i − 1 2 mṙ2 + qϕ − q ṙ · A= 12m (π − qA)2 + qϕ (17.33)