PDF (1 MB) - FMI

20 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ2.7 Pistevarauksen jakautumaYksittäiset pistevaraukset voidaan käsitellä samalla formalismilla kuin varausjakautumatottamalla käyttöön Diracin deltafunktio δ(r), jolloinρ(r) =qδ(r) (2.49)Deltafunktion ominaisuudet oletetaan tutuiksi (HT), todettakoon tässä kuitenkinseuraavat ominaisuudet∫∫δ(r) = 0, jos r ≠ 0 (2.50)δ(r ′ ) dV ′ = 1 (2.51)F (r ′ )δ(r ′ − r 0 ) dV ′ = F (r 0 ) (2.52)Lasketaan triviaalina esimerkkinä pisteessä r i olevan varauksen sähkökenttätällä formalismillaE(r) = 14πɛ 0∫Vq i δ(r ′ − r i )|r − r ′ | 3 (r − r ′ ) dV ′ = q i r − r i4πɛ 0 |r − r i | 3 (2.53)2.8 Poissonin ja Laplacen yhtälötSähköstatiikka olisi aika suoraviivaista touhua, jos tietäisimme aina etukäteenkaikkien varausten paikat ja varausjakautumien paikkariippuvuudet.Näin ei kuitenkaan ole laita monissa käytännön ongelmissa. Koska ∇·E =ρ/ɛ 0 ja E = −∇ϕ, Gaussin laki differentiaalimuodossa vastaa matematiikanPoissonin yhtälöä∇ 2 ϕ = − ρ ɛ 0(2.54)Poissonin yhtälö voidaan integroida, jos varausjakautuman funktiomuoto jaoikeat reunaehdot tunnetaan. Usein tarkasteltavan tilanteen geometriastaon hyötyä ja silloin Laplacen operaattori ∇ 2 on tarpeen kirjoittaa sopivissakoordinaateissa, esimerkiksi:• karteesisissa koordinaateissa• pallokoordinaateissa∇ 2 ϕ ≡ 1 (∂r 2 ∂rr 2 ∂ϕ∂r∇ 2 ϕ ≡ ∂2 ϕ∂x 2 + ∂2 ϕ∂y 2 + ∂2 ϕ∂z 2 (2.55))+ 1r 2 sin θ(∂∂θsin θ ∂ϕ∂θ)+1 ∂ 2 ϕr 2 sin 2 θ ∂φ 2 (2.56)