PDF (1 MB) - FMI

16.4. ELEKTRODYNAMIIKAN KOVARIANTTI FORMULOINTI 195⇔ Λ µ dp ννdτ = qΛ β α u α F ′ βµ = qΛ µ νu α F αν⇒ Λ β α F ′ βµ =Λ µ νF αν⇔ (Λ −1 ) α β F ′ βµ =Λ µ νF αν⇔ Λ γ α(Λ −1 ) α β F ′ βµ =Λ γ αΛ µ νF αν⇔ F ′ γµ =Λ γ αΛ µ νF αν (16.58)Tensoria (F µν ) kutsutaan sähkömagneettiseksi kenttätensoriksi ja senkomponentit ovat⎛(F µν )= ⎜⎝0 E 1 /c E 2 /c E 3 /c−E 1 /c 0 B 3 −B 2−E 2 /c −B 3 0 B 1−E 3 /c B 2 −B 1 0⎞⎟⎠(16.59)Kirjoitetaan sitten Maxwellin yhtälöt kenttätensorin komponenttien avulla.∇·E = ρ/ɛ 0 ≡ µ 0 c 2 ρ tulee muotoon∂ 1 F 01 + ∂ 2 F 02 + ∂ 3 F 03 = µ 0 cρ (16.60)Ampèren ja Maxwellin lain kolme komponenttia ovat puolestaan∂ 0 F 10 + ∂ 2 F 12 + ∂ 3 F 13 = µ 0 j 1∂ 0 F 20 + ∂ 1 F 21 + ∂ 3 F 23 = µ 0 j 2 (16.61)∂ 0 F 30 + ∂ 1 F 31 + ∂ 2 F 32 = µ 0 j 3Ottamalla käyttöön nelivirta J =(j µ )=(cρ, J) voidaan nämä yhtälötkirjoittaa muodossa∂ ν F µν = µ 0 j µ (16.62)Vastaavasti homogeeniset yhtälöt (∇ ·B =0, ∇×E + ∂ t B = 0) saadaanmuotoon (HT)∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 (16.63)Koska Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa tensoriyhtälöinä, ne säilyttävätmuotonsa Lorentzin muunnoksissa. Näin siis Maxwellin 1860-luvulla kehittämäteoria on osoittautunut ensimmäiseksi suppeamman suhteellisuusteoriankanssa sopusoinnussa olevaksi fysiikan kuvailuksi.