PDF (1 MB) - FMI

194LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA16.4 Elektrodynamiikan kovariantti formulointiTarkastellaan seuraavaksi Lorentzin voiman lauseketta muodossaF i = q(E i + ɛ i jk v j B k ) (16.52)missä ɛ ijk on permutaatiotensori ja oletetaan summaus toistettujen indeksienyli (HT: kertaa ɛ ijk :n ominaisuudet). Varaus q oletetaan invariantiksisäilymislain perusteella.Edellä saatiin hiukkasen liikeyhtälö muotoondp µdτ = Kµ (16.53)missä nelivoiman komponentit ovatK 0 = γ c F · v ; Ki = γF i (16.54)Oletetaan nyt, että kyseisen voiman avaruusosa on juuri Lorentzin voima.Kirjoitetaan liikeyhtälö komponenteittain. Aikakomponentista tuleedp 0dτ = K0 = γ c F · v = γ qE · v (16.55)celi kentän tekemä työ. Paikkakomponenteille saadaandp 1( )() Edτ = γq E 1 +(v 2 B 3 − v 3 B 2 1) = qc u0 + u 2 B 3 − u 3 B 2dp 2( )() Edτ = γq E 2 +(v 3 B 1 − v 1 B 3 2) = qc u0 + u 3 B 1 − u 1 B 3dp 3( )() Edτ = γq E 3 +(v 1 B 2 − v 2 B 1 3) = qc u0 + u 1 B 2 − u 2 B 1(16.56)Aika- ja paikkakomponentit voidaan koota yhtälöiksidp µdτ = qu βF βµ (16.57)missä (F 01 ,F 02 ,F 03 )=(1/c)(E 1 ,E 2 ,E 3 ), (F 23 ,F 31 ,F 12 )=(B 1 ,B 2 ,B 3 )jaF µν = −F νµ .Tästä saa suoralla laskulla liikeyhtälön komponentit.Osoitetaan sitten, että (F µν ) on kelvollinen toisen kertaluvun tensori eliettä se muuntuu oikein Lorentzin muunnoksissa. Muunnettu liikeyhtälö ondp ′ µdτ = qu′ βF ′ βµ