PDF (1 MB) - FMI

16.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAMIIKKA 191Kutsutaan massapisteen (hiukkasen) liikerataa neliavaruudessa sen maailmanviivaksija merkitään sen koordinaatteja x µ . Differentiaalit dx µ määrittäväthiukkasen differentiaalisen siirtymän pitkin maailmanviivaa. Muodostetaansitten Lorentz-invariantti skalaarisuureds 2 = g µν dx µ dx ν (16.24)joka on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tarkastellaan nyt hiukkastakoordinaatistossa, jossa se on hetkellisesti levossa. Tällöineli tässä koordinaatistossa vain aika kuluu. Nytdx ′ =(dx ′0 , 0, 0, 0) (16.25)ds 2 = g 00 (dx ′0 ) 2 = c 2 (dt ′ ) 2 (16.26)Ajanlaatuinen suure ds/c on invariantti aikaväli hiukkasen hetkellisessä lepokoordinaatistossaeli se on hiukkasen mukana liikkuvan kellon mittaamaaikaväli. Määritellään kiinteästä maailmanpisteestä s A laskettu hiukkasenominaisaika integraalinaτ = 1 c∫ ss Ads =⎧ ⎡⎨dtt A⎩ 1 − 1 ( )⎣ dx1 2 ( )dx2 2 ( ) ⎤⎫dx3 2 ⎬c 2 + + ⎦dt dt dt ⎭∫ tTässä kaavassa esiintyy kolminopeus v koordinaatistossa K( )dx1v =dt , dx2dt , dx3dt1/2(16.27)(16.28)ja ominaisajan differentiaalinen muoto on sama kuin luvussa 16.1 mainittudτ√ = dt (16.29)1 − v 2 /c2 joka kuvaa ajan venymistä liikkeessä olevassa koordinaatistossa.Hiukkasen nelinopeus u määritellään sen nelipaikan derivaattana ominaisajansuhteen (älä sekoita edellä esiintyneeseen tavalliseen nopeuteen u!).Sen komponentit ovatu µ = dxµ(16.30)dτKolminopeuden avulla ilmaistuna tämä onu =(γc,γv). Suoralla laskullanähdään, että nelinopeuden neliö on invarianttiu 2 = g µν u µ u ν = c 2 (16.31)