PDF (1 MB) - FMI

2.6. SÄHKÖKENTÄN MULTIPOLIKEHITELMÄ 192.6 Sähkökentän multipolikehitelmäTarkastellaan seuraavaksi mielivaltaista varausjakautumaa ρ(r ′ ) origon ympäristössä.Sen aiheuttama potentiaali etäisessä pisteessä r onϕ(r) = 14πɛ 0∫VKehitetään |r − r ′ | −1 binomisarjaksi (r >r ′ )ρ(r ′ )|r − r ′ | dV ′ (2.43)|r − r ′ | −1 = (r 2 − 2r · r ′ + r ′2 ) −1/2= 1 {1 − 1 []2r · r′−r 2 r 2 + r′2r 2 + 3 }8 [ ]2 + ...(2.44)Sijoitetaan tämä potentiaalin lausekkeeseen, jätetään r ′ :n toista potenssiakorkeammat termit pois ja järjestetään termit r ′ :n kasvavien potenssien mukaan.Tämä antaa potentiaalin multipolikehitelmän kvadrupolimomenttiamyötenϕ(r) ={ ∫1 1ρ(r ′ ) dV ′ + r ∫4πɛ 0 r Vr 3 · r ′ ρ(r ′ ) dV ′V+⎫3∑ 3∑ 1 x 1 x ⎬ j2 ri=1 j=1∫V5 (3x ′ ix ′ j − δ ij r ′2 )ρ(r ′ ) dV ′ ⎭(2.45)missä x i :t ovat paikkavektoreiden karteesisia komponentteja ja δ ij on Kroneckerindelta{0, i ≠ jδ ij =(2.46)1, i = jMultipolikehitelmän ensimmäinen tekijä vastaa origoon sijoitetun varausjakautumankontribuutiota potentiaaliin. Toinen tekijä puolestaan vastaaorigoon sijoitettua dipolimomenttien jakautumaa. Kolmas termi on muotoa3∑3∑i=1 j=11 x i x j2 r 5 Q ij (2.47)missö Q ij on kvadrupolimomenttitensori. Näin ollen potentiaalin multipolikehitelmävoidaan kirjoittaa sarjana⎧ ⎫ϕ(r) = 1 ⎨ Q4πɛ 0 ⎩ r + r · p 3∑ 3∑ 1 x 1 x ⎬jr 3 +2 ri=1 j=15 Q ij + ... (2.48)⎭Kaukana varausjakautumasta potentiaali on likimain ensimmäisen nollastapoikkeavan termin aiheuttama potentiaali. Atomien ytimissä dipolimomenttion nolla, mutta korkeammat multipolit ovat tärkeitä ydinfysiikassa.