PDF (1 MB) - FMI

16.2. TENSORIFORMALISMIA 189Metrisellä perustensorilla on tärkeä laskutekninen rooli. Koska summaustapahtuu aina yläindeksin ja alaindeksin välillä, täytyy esimerkiksi kahdenkontravariantin vektorin pistetuloa laskettaessa toinen muuntaa kovariantiksieli laskea sen indeksi alas, mikä tapahtuu seuraavasti:Edellä oleva pistetulo (16.11) on siisv β = g αβ v α ; v β = g αβ v α (16.13)A · B = g αβ A α B β = A β B β = A α B α (16.14)Samalla tavoin nostetaan ja lasketaan toisen tai korkeamman kertaluvuntensoreiden indeksejäT α β = g αω T ωβ (16.15)Huom. Metrisen perustensorin komponenttien ±-merkit määritellään jokonäin tai päinvastoin. Valinnalla ei ole fysikaalista merkitystä, mutta laskettaessaon pidettävä kiinni tehdystä valinnasta. Lisäksi indeksit on syytäkirjoittaa selvästi peräkkäin, etteivät vaaka- ja pystyrivit mene sekaisin.Invariantti neliömuoto I ennen Lorentzin muunnosta onI = g αβ x α x β (16.16)ja Lorentzin muunnoksen jälkeen (x µ → x ′µ =Λ µ αx α )Vaatimus I = I ′ antaa ehdontaiI ′ = g µν Λ µ αΛ ν βx α x β (16.17)g µν Λ µ αΛ ν β = g αβ (16.18)g µν Λ α µΛ β ν = g αβ (16.19)Vain sellaiset muunnokset, jotka toteuttavat tämän yhtälön, ovat Lorentzinmuunnoksia. Yleisessä lineaarisessa muunnoksessa on 16 vapaata parametriaja ehdossa (16.19) on 10 eri yhtälöä, joten Lorentzin muunnoksessa on kuusivapaata parametria: pusku jokaisen (kolmiavaruuden) koordinaattiakselinsuuntaan ja kierto jokaisen akselin ympäri.Määritetään vielä (Λ −1 ) α γ . Merkitään M α γ = g αβ Λ ν βg νγ ja kerrotaanpuolittain Λ µ α:lla:jotenΛ µ αM α γ = g αβ Λ µ αΛ ν βg νγ = g µν g νγ = δ µ γ(Λ −1 ) α γ = gαβ Λ ν βg νγ =Λ γαHT: laske Λ −1 x-akselin suuntaisen Lorentz-muunnoksen tapauksessa.(16.20)