PDF (1 MB) - FMI

188LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA16.2 TensoriformalismiaEdellä ollut x-akselin suuntainen Lorentzin muunnos voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä⎛⎜⎝x 0 ′x 1 ′x 2 ′x 3 ′⎞ ⎛⎟⎠ = ⎜⎝γ −γβ 0 0−γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝x 0 ⎞x 1x 2 ⎟⎠x 3(16.7)Merkitsemällä kerroinmatriisia Λ:lla tämä voidaan kirjoittaa tensorimuodossax µ′ =Λ µ′ νx ν (16.8)missä onkäytetty Einsteinin summaussääntöä eli toistetun indeksin yli summataan:x µ′ = ∑ Λ µ′ νx ν (16.9)νTässä luvussa käytettävässä tensoriformalismissa indeksien paikka ja järjestysovattärkeitä.Toisen kertaluvun tensoreilla indeksien järjestys kertoo,onko kyseessä tensorin matriisiesityksen vaakarivi vai pystyrivi. Vektoria,jolla on yläindeksi, kutsutaan kontravariantiksi vektoriksi ja alaindeksillävarustettua vektoria puolestaan kovariantiksi vektoriksi. Summaus tapahtuuaina ylä- ja alaindeksin välillä. Tensoriformalismi voidaan muotoillamyös ilman ylä- ja alaindeksejä (esim. RMC luku 22), mutta silloin siitätulee laskuteknisesti jonkin verran hankalampaa.Kahdesta kontravariantista vektorista u µ ja v ν muodostetaan toisen kertaluvuntensori T µν suorana tulona, jonka komponentit muodostavat matriisinu µ v ν . Tensori T µν muuntuu siis seuraavasti:missäT ′µν =Λ µ αΛ ν βT αβ (16.10)Kahden kontravariantin nelivektorin pistetulo määritellään puolestaan⎛g αβ = ⎜⎝A · B = g αβ A α B β (16.11)1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1⎞⎟⎠(16.12)on metrinen perustensori. Se on symmetrinen (g αβ = g βα ) ja sillä onkäänteismatriisi g αβ eli g αβ g βγ = δ α γ, missä δ α γ on yksikkötensori eli Kroneckerindeltan neliulotteinen vastine, jolle δ α γ = 1, kun α = γ ja muulloinδ α γ =0.