PDF (1 MB) - FMI

15.1. VÄRÄHTELEVÄN DIPOLIN KENTTÄ 177Rajataan tarkastelu harmonisesti oskilloivaan dipoliinq(t − r/c) = q 0 cos ω(t − r/c)I(t − r/c) = I 0 sin ω(t − r/c) = −ωq 0 sin ω(t − r/c) (15.10)Kirjoitetaan A pallokoordinaatistossaA r = µ 0 I 0 L4π rA θ = − µ 04πA φ = 0cos θ sin ω(t − r/c)I 0 LrNyt ∇×A:lla on vain φ-komponentti, jotensin θ sin ω(t − r/c) (15.11)B φ = 1 ∂(rA θ )− 1 r ∂r r= µ 04π∂A r∂θI 0 lr sin θ [ ωc cos ω(t − r/c)+1 r sin ω(t − r/c) ](15.12)Sähkökenttä onE = −∂A/∂t −∇ϕ:E r = 2lI [ ]0 cos θ sin ω(t − r/c) cos ω(t − r/c)4πɛ 0 r 2 −cωr 3E θ = − lI [(0 sin θ 14πɛ 0 ωr 3 − ω )rc 2 cos ω(t − r/c) − 1]r 2 c sin ω(t − r/c)E φ = 0 (15.13)Koska B on kaikkialla tangentiaalinen dipoli keskipisteenä piirretylle pallonpinnalle, kyseessä on TM-moodi (HT: totea, että suurilla r:n arvoilla E =cB × e r ).Lasketaan sitten dipolin säteilemä energia integroimalla Poyntingin vektorinnormaalikomponentti R-säteisen pallon pinnan yli.∮S · n da = 1 ∫ πR 2 E θ B φ 2π sin θdθ (15.14)µ 0Kun R → ∞ ainoastaan 1/r:ään verrannolliset termit antavat nollastapoikkeavan kontribuution. Rajoittumalla näihin tulee energiavuoksi∮S · n da = (I 0l) 2 ω 26πɛ 0 c 3 cos2 ω(t − r/c) (15.15)Tämä on siis dipolin hetkellisesti säteilemä teho. Integroimalla periodin ylisaadaan keskimääräinen säteilyteho0〈P 〉 = l2 ω 26πɛ 0 c 3 I 2 02 = 2π 3√ ( ) µ0 l 2I02ɛ 0 λ 2(15.16)