PDF (1 MB) - FMI

2.5. SÄHKÖINEN DIPOLI 17rr–r’r–r’–l–qr’lqr’+lKuva 2.2: Sähködipolin muodostaminen kahdesta lähekkäisestä samansuuruisestavastakkaismerkkisestä varauksesta.2.5 Sähköinen dipoliTarkastellaan kahden erimerkkisen varauksen muodostamaa sähköistä dipolia.Olkoon varaus −q pisteessä r ′ ja varaus q pisteessä r ′ + l (kuva 2.2).Tällöin sähkökenttä pisteessä r onE(r) =q { r − r ′ − l4πɛ 0 |r − r ′ − l| 3 − r − }r′|r − r ′ | 3 (2.35)Tämä lauseke on täysin yleinen riippumatta varausten etäisyydestä. Käytännössäsähköisellä dipolilla ymmärretään raja-arvoa l → 0, mikä on samaasia, kuin dipolin katselu kaukaa |r − r ′ |≫|l|. Nyt|r − r ′ − l| −3 = [(r − r ′ ) 2 − 2(r − r ′ ) · l + l 2 ] −3/2=[|r − r ′ | −31 − 2(r − r′ ) · l|r − r ′ | 2 +josta jälkimmäisen sulkulausekkeen voi kehittää binomisarjana[1 − 2(r − r′ ) · l|r − r ′ | 2 += 1 ++]l −3/2|r − r ′ | 2(− 3 ) ( − 2(r − r′ ) · l2 |r − r ′ | 2 +( )( )− 3 2− 5 (22!l 2 )|r − r ′ | 2− 2(r − r′ ) · l|r − r ′ | 2 +l 2|r − r ′ | 2 ] −3/2(2.36)l 2|r − r ′ | 2 ) 2+ ...= 1 + 3(r − r′ ) · l|r − r ′ | 2 + O[l 2 ] (2.37)Sijoittamalla tämä sähkökentän lausekkeeseen ja ottamalla mukaan l:n suhteenensimmäistä kertalukua olevat termit saadaan sähkökentän dipoliapproksimaatioE(r) =q4πɛ 0{ 3(r − r ′ ) · l|r − r ′ | 5 (r − r ′ ) −}l|r − r ′ | 3 + ...(2.38)