PDF (1 MB) - FMI

160 LUKU 13. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETITKenttien Helmholtzin yhtälöt ovat(∇ 2 + ω2c 2 )E =0, (∇2 + ω2)B = 0 (13.5)c2 Valitaan koordinaatisto siten, että z-akseli osoittaa aallon etenemissuuntaan.Sylinterigeometrian vuoksi tehdään yritteetE(x, y, z) =E(x, y)e i(kz−ωt) , B(x, y, z) =B(x, y)e i(kz−ωt) (13.6)(z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto e −ikz käsitellään vastaavallatavalla.) On huomattava, että nyt ei enää yleensä ole k = ω/c. Sijoittamallayritteet aaltoyhtälöihin saadaan(∇ 2 t + ω2c 2 − k2 )E =0, (∇ 2 t + ω2c 2 − k2 )B = 0 (13.7)missä∂∇ t = ∇−e z∂z , ∇2 t = ∇ 2 − ∂2∂z 2 (13.8)Jaetaan kentät pitkittäiseen ja poikittaiseen osaan, esimerkiksi sähkökenttäseuraavasti:E = E z + E t (13.9)missäE z = (E · e z )e z(13.10)E t = (e z × E) × e zNyt Maxwellin yhtälöt saadaan muotoon (HT)∇ t · E t = − ∂E z∂z = −ikE z (13.11)∇ t · B t = − ∂B z∂z = −ikB z (13.12)e z · (∇ t × E t )=iωB z (13.13)∇ t E z − ∂E t∂z = ∇ tE z − ikE t = iωe z × B t (13.14)e z · (∇ t × B t )=− iωc 2 E z (13.15)∇ t B z − ∂B t∂z = ∇ tB z − ikB t = −i ω c 2 e z × E t (13.16)Jos B z ja E z tunnetaan, voidaan poikittaiset kentät ratkaista yhtälöistä13.14 ja 13.16. Yhtälöitä 13.11-13.16 ei pidä opetella ulkoa, vaan on ymmärrettäväkäsittelyn perusideat.