PDF (1 MB) - FMI

2.4. GAUSSIN LAKI 15Toisaalta Gaussin laki antaa∮E · dS = 1 ɛ 0∫r0∫π ∫2π00ρ(r ′ )(r ′2 sin θdr ′ dθdφ) = 4πɛ 0∫ r0ρ(r ′ )r ′2 dr ′ (2.25)joten saamme pallosymmetriselle varausjakautuman sähkökentäksiE(r) = 1 ∫ rɛ 0 r 2 ρ(r ′ )r ′2 dr ′ (2.26)0Sovelletaan tätä sitten tasaisesti varatulle R-säteiselle pallolle, jonka sisällävaraustiheys on ρ 0 ja ulkopuolella nolla. Pallon kokonaisvaraus onYksinkertainen integrointi antaa sähkökentäksiQ = 4π 3 R3 ρ 0 (2.27)r ≤ R E(r) = Qr4πɛ 0 R 3r>R E(r) = Q4πɛ 0 r 2 (2.28)Varausjakautuman ulkopuolella sähkökenttä on siis sama kuin origossa olevanpistevarauksen Q kenttä.ViivavarausEsimerkkinä sylinterisymmetrisestä tapauksesta tarkastellaan pitkää tasaisestivarattua ohutta lankaa, jonka varaustiheys pituusyksikköä kohti onλ. Symmetrian perusteella on selvää, että sähkökenttä on radiaalinen (jokokohti lankaa tai siitä poispäin). Tarkastellaan langan ympärillä olevaa r-säteistä sylinteriä, jonka pituus on l. Integroitaessa sähkökentän normaalikomponenttiasylinterin pinnan yli, sylinterin päät eivät tuota mitään.Vaipan pinta-ala on 2πrl ja sylinterin sisällä oleva varaus λl, joten Gaussinlaki antaa2πrlE r = λl(2.29)ɛ 0⇒E r =λ(2.30)2πɛ 0 reli viivavarauksen kenttä pienenee kuten r −1 . Kentän potentiaali onϕ = −λ ln(r/r 0 ) (2.31)2πɛ 0Tässä tapauksessa ei voida sopia potentiaalia nollaksi äärettömän kaukana.