PDF (1 MB) - FMI

11.5. PALLOAALLOT 143Tyhjössä etenevän SM-aallon sähkökentän aaltoyhtälö on∇ 2 E − 1 ∂ 2 Ec 2 ∂t 2 = 0 (11.50)josta monokromaattiselle aallolle tulee vektorimuotoinen Helmholtzin yhtälö( ) ω 2∇ 2 E(r)+ E(r) = 0 (11.51)cNyt sähkökenttä pitäisi esittää pallokoordinaattien avulla. Ongelmaksi tuleetermin ∇ 2 E = −∇×∇×E + ∇∇ · E kirjoittaminen pallokoordinaateissa.Termin −∇ × ∇ × E radiaalikomponentissa ovat mukana myös muut pallokoordinaatistonmuuttujat ja samoin käy atsimutaali- ja napakulman komponenteille.Lopputulos on kolmen osittaisdifferentiaaliyhtälön ryhmä, joissakaikissa on mukana kaikki sähkökentän komponentit. VektorimuotoinenLaplacen yhtälö voidaan separoida kunkin muuttujan erillisiksi differentiaaliyhtälöiksivain karteesisissa koordinaateissa.Tarkastellaan tämän ongelman ratkaisemiseksi skalaarimuotoista Helmholtzinyhtälöä( ) ω 2∇ 2 ψ + ψ = 0 (11.52)cNyt on suoraviivainen harjoitustehtävä osoittaa, ettäE = r ×∇ψ (11.53)on (11.51):n ratkaisu, ja ∇·E = 0. Magneettikenttä on valittava siten, ettäse yhdessä sähkökentän kanssa toteuttaa Maxwellin yhtälöt. KirjoitetaanFaradayn laki muodossa∇×E = iωB (11.54)jolloinB = − i ∇×(r ×∇ψ) (11.55)ωmikä toteuttaa loput Maxwellin yhtälöt tyhjössä (HT). Voisimme aivan yhtähyvin lähteä liikkeelle B-kentän aaltoyhtälöstä jalöytää ratkaisuparinB ′ = 1 r ×∇ψc(11.56)E ′ = ic ∇×(r ×∇ψ)ω(11.57)Ratkaisuparissa (E, B) sähkökenttä on jokaisessa pisteessä tangentiaalinenorigokeskisen pallon pinnan kanssa. Tätä aaltoa kutsutaan joskus transversaaliseksisähköiseksi (TE) moodiksi. Ratkaisuparissa (E ′ , B ′ ) magneettikentälläon puolestaan sama ominaisuus ja aaltoa kutsutaan transversaaliseksimagneettiseksi (TM) moodiksi. (HT: piirrä kuvat!)