PDF (1 MB) - FMI

14 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄtilavuuden V sekä sisään että ulospäin ja näinollen pinta-alkioiden integraalitsummautuvat nollaan. (Piirrä kuva!)Tulos yleistyy N:n varauksen parvelle∮SE · n dS = 1 ɛ 0N ∑i=1q i (2.19)Jos suurta varausjoukkoa tarkastellaan varausjakautumana, voidaan ρdVajatella alkioksi, joka tuottaa pintaintegrandiin osuuden ρdV/ɛ 0 eli integroitunatilavuuden V yli∮E · n dS = 1 ∫ρdV (2.20)ɛ 0Smikä on peruskurssilta tuttu Gaussin laki integraalimuodossa.Vektorianalyysistä tunnemme divergenssiteoreeman eli Gaussin lauseenriittävän siistille vektorikentälle u∮∫u · n dS = ∇·u dV (2.21)Smissä n on tilavuutta V ympäröivän pinnan S ulkonormaalivektori. Sovelletaantätä Gaussin lain vasemmalle puolelle, jolloin∫∇·E dV = 1 ∫ρdV (2.22)ɛ 0VTämän lauseen täytyy olla riippumaton tilavuuden V valinnasta, eliVVV∇·E = ρ ɛ 0(2.23)ja olemme saaneet Gaussin lain differentiaalimuodossa. Kutsumme tätä Maxwellinensimmäiseksi yhtälöksi (laiksi).2.4.2 Gaussin lain soveltamisestaPallosymmetrinen varausjakautumaPallosymmetrisessä tapauksessa varaustiheys on muotoa ρ = ρ(r), jolloinsähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan etäisyydestä origosta: E =E(r)e r , mikä on helppo päätellä suoraan Coulombin laista. Tarkastellaanintegraalimuotoista Gaussin lakia pallokoordinaateissa. Ensinnäkin∮∫π ∫2πE · dS = E(r)e r · (r 2 sin θdθdφe r )=4πr 2 E(r) (2.24)0 0