PDF (1 MB) - FMI

134 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTmonokromaattiselle aallolle on(∇ 2 + ω2)E(r) = 0 (11.3)c2 Tämä Helmholtzin yhtälö kuvaa aallon muutosta paikan funktiona. Oletetaan,että kenttä on riippumaton x- jay-koordinaateista. Tällöind 2 E(z)dz 2+ ω2E(z) = 0 (11.4)c2 Tämä on harmonisen värähtelijän yhtälö, jolla on ratkaisunaE(z) =E 0 e ±ikz (11.5)missä E 0 on vakiovektori ja k = ω/c eli aaltoluku. Aaltoyhtälöllä on siisratkaisunaE(r,t)=E 0 e −i(ωt∓kz) (11.6)jonka reaaliosa onE(r,t)=E 0 cos(ωt ∓ kz) =E 0 cos ω(t ∓ z/c) (11.7)Kyseessä on joko +z- tai −z-akselin suuntaan nopeudella c = 1/ √ ɛ 0 µ 0etenevä siniaalto. z-akselin valinta ei tässä ole rajoittava tekijä. Aaltolukuvoidaan esittää vektorina k, jolloin aallon paikkariippuvuus tulee muotoone ik·r .Edelläonkäytetty aaltoliikeopista tuttuja käsitteitä. Kulmataajuudenω yksikkö on radiaania sekunnissa. Vastaava värähtelytaajuus on f =ω/2π, jonka yksikkö on puolestaan hertsi (Hz). Aaltoluvun yksikkö onm −1ja vastaava aallonpituus on λ =2π/k. Aallon vaihenopeus on v p = ω/k,joka tyhjössä on sama kuin valon nopeus.Mikäli väliaineen µ ja ɛ poikkeavat tyhjön suureista, aallon vaihenopeudeksituleev = 1 √ ɛµ(11.8)Tällöin taajuuden ja aaltoluvun välinen relaatio eli dispersioyhtälö onmissä onmääritelty väliaineen taitekerroink = ω v = n c ω (11.9)n =√ ɛµɛ 0 µ 0(11.10)Taitekerroin on tärkeä parametri tarkasteltaessa aaltojen heijastumista jataittumista väliaineiden rajapinnoilla.