PDF (1 MB) - FMI

2.4. GAUSSIN LAKI 13on riippumaton integrointitiestä. Koska itse fysikaalinen suure sähkökenttäriippuu vain potentiaalin derivaatasta, potentiaalin nollakohdan voi valitamieleisekseen. Asettamalla ϕ(ref) = 0 saadaan U(r) =qϕ(r).Potentiaalin käsitteestä on suurta hyötyä erilaisissa sähkökenttään liittyvissäongelmissa. Tämä johtuu osaksi siitä, että sähkökentän integroiminenvarausjakautumista on olennaisesti monimutkaisempi tehtävä kuin yksinkertaisemmanpotentiaalin laskeminen. Potentiaali on toki vielä derivoitava,mutta se on aina helpompaa kuin integrointi. Käytännöllisempi syy potentiaalienkäyttökelpoisuudelle on kuitenkin se, että matematiikan potentiaaliteoriatarjoaa koko joukon hyödyllisiä matemaattisia apuneuvoja.SI-järjestelmässä voiman yksikkö on newton (N) ja varauksen yksikköon coulombi (C), joten sähkökentän yksikkö on N/C. Energian yksikkö onpuolestaan joule (J = Nm) eli sähköstaattisen potentiaalin yksikkö on sitenJ/C. Sähköopissa potentiaalin yksikköä kutsutaan voltiksi (siis V = J/C) jasähkökentän yksikkö ilmaistaan yleensä muodossa V/m.2.4 Gaussin laki2.4.1 Maxwellin ensimmäinen yhtälöTarkastellaan origossa olevan pistevarauksen q kenttääE(r) =q r4πɛ 0 r 3 (2.15)Olkoon V jokin tilavuus varauksen ympärillä ja S sen reuna ∂V . Integroidaansähkökentän normaalikomponentti tämän reunan yli∮E · n dS =q r · nS4πɛ 0∮S r 3 dS (2.16)Nyt (r/r) · n dS on dS:n projektio r:ää vastaan kohtisuoralle tasolle ja tämäpinta-ala jaettuna r 2 :lla on avaruuskulma-alkio dΩ, joka pallokoordinaatistossaon sin θdθdφ. Valitaan sitten V :n sisäpuolelta origokeskinen pallonmuotoinenalue, jonka reuna on S ′ . Nyt infinitesimaalinen pinta-alkio dS ′kattaa yhtä suuren avaruuskulman dΩ kuin elementti dS, joten∮Sr · nr 3 dS =∮S ′ r ′ · nr ′3 dS ′ =∮S ′ dΩ=4π (2.17)mistä seuraa∮E · n dS =q 4π = q (2.18)S4πɛ 0 ɛ 0Jos varaus on tilavuuden V ulkopuolella, se ei vaikuta pintaintegraaliin.Tämän näkee tarkastelemalla varauksen kohdalta kohti tilavuutta V avautuvaaavaruuskulmaelementin dΩ suuruista kartiota. Tämä kartio läpäisee