PDF (1 MB) - FMI

116 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTtavalla ilman, että kentät itse muuttuvat. Elektrodynamiikan mittamuunnoksetovat muotoaA → A ′ = A + ∇Ψ (9.94)ϕ → ϕ ′ = ϕ − ∂Ψ/∂t (9.95)Funktiota Ψ kutsutaan mittafunktioksi ja se voidaan valita usealla eritavalla eli on olemassa suuri joukko erilaisia mittoja. Yksi näistä on siisedellä käytetty Lorentzin mittaehto∇·A ′ + 1 c 2 ∂ϕ ′∂t = 0 (9.96)Voidaan osoittaa, että Lorentzin mittaehdon toteuttava funktio Ψ on ainaolemassa, mutta se ei ole yksikäsitteinen.Lorentzin mitan etu on, että sitä käytettäessä yhtälöiden Lorentz-kovarianssinäkyy eksplisiittisesti ja tulokset on suoraviivaista siirtää koordinaatistostatoiseen. Käytännön laskut voivat kuitenkin olla hyvin monimutkaisia.Useissa tapauksissa laskennallisesti yksinkertaisempi vaihtoehto on Coulombinmitta, jonka mittaehto onNyt vektoripotentiaali saadaan muunnoksella∇·A ′ = 0 (9.97)∇ 2 Ψ=−∇ · A (9.98)joka määrittää mittafunktion (additiivista vakiota vaille) yksikäsitteisesti,jos A → 0jaϕ → 0, kun r →∞. Coulombin mitassa skalaaripotentiaaliratkaistaan yhtälöstä 9.60ϕ(r,t)= 14πɛ 0∫Vρ(r ′ ,t)|r − r ′ | dV ′ (9.99)Huom. Nyt aika ei ole viivästetty vaan skalaaripotentiaali määräytyy samanaikaisestavarausjakautumasta kaikkialla. Tämä merkitsee, että Coulombinmitta ei ole Lorentz-kovariantti. Koska Coulombin mitta on kuitenkinkelvollinen mitta Maxwellin yhtälöille, tästä ei seuraa ristiriitaa kenttien Eja B osalta. Coulombin mittaa käytettäessä on kuitenkin oltava tarkkanakoordinaatistonmuutosten kanssa.Coulombin mitassa vektoripotentiaalille tulee aaltoyhtälö∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A∂t 2= 1 c 2 ∇∂ϕ ∂t − µ 0J (9.100)