PDF (1 MB) - FMI

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 113missä t ′ = t −|r − r ′ |/c on viivästynyt aika. Potentiaalia ϕ kutsutaanviivästyneeksi skalaaripotentiaaliksi, koska se huomioi ajan, joka kuluukustakin pisteestä tarkastelupisteeseen nopeudella c etenevältä signaalilta.Vektoripotentiaalin aaltoyhtälön kukin komponentti on matemaattisestiaivan samanlainen kuin skalaripotentiaalin aaltoyhtälö(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 A i = −µ 0 J i (9.76)joten jokaiselle komponentille on olemassa sama ratkaisu. Kokoamalla kaikkikomponentit yhteen saadaan viivästynyt vektoripotentiaaliA(r,t)= µ ∫04π VJ(r ′ ,t ′ )|r − r ′ | dV ′ (9.77)Olemme siis saaneet määritetyksi skalaari- ja vektoripotentiaalit annettujenvaraus- ja virtajakautumien funktioina. Sähkö- ja magneettikentät saadaannäistä suoraviivaisesti: E = −∇ϕ − ∂A/∂t ja B = ∇×A. Olemme siisratkaisseet Maxwellin yhtälöt annetuille varaus- ja virtajakautumille. Käytännössäderivaattojen laskeminen on kuitenkin varsin työlästä.Tutustumme kurssin lopulla suppeamman suhteellisuusteorian formalismiin,jossa vektori- ja skalaaripotentiaalien aaltoyhtälöt voidaan kootanelipotentiaalin A α =(ϕ, A i ) aaltoyhtälöksi(∂ 2 A α ≡ ∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 A α = −j α (9.78)missä nelivirran j α komponentit ovat (ρ/ɛ 0 ,µ 0 J i ).Osoittautuu, että Maxwellin yhtälöt ovat Lorentz-invariantteja eli valmiiksikelvollisia suhteellisuusteorian pätevyysalueelle. Historiallisesti juurielektrodynamiikka johti Einsteinin suhteellisuusteorian jäljille.9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktioTarkastellaan aaltoyhtälön ratkaisua käyttämällä luvussa 2.11 esitettyä Greeninfunktion ideaa. Sekä A:n että ϕ:n aaltoyhtälöt ovat muotoa∇ 2 ψ − 1 ∂ 2 ψc 2 = −4πf(r,t) (9.79)∂t2 missä f(r,t) on tunnettu lähdetermi. Tehdään sekä ψ:lle että f:lle Fouriermuunnosajan suhteenψ(r,t)= 12π∫ ∞−∞ψ(r,ω)e −iωt dω ; f(r,t)= 12π∫ ∞−∞f(r,ω)e −iωt dω (9.80)