PDF (1 MB) - FMI

112 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTon toteuduttava kaikkialla muualla kuin origossa. Pienessä alueessa origonympärillä puolestaan∫ (dV ∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = − 1 q(t) (9.66)ɛ 0△VKoska tilanne on pallosymmetrinen, ϕ = ϕ(r) ja homogeeninen aaltoyhtälövoidaan kirjoittaa pallokoordinaatistossa(1 ∂r 2 ∂rr 2 ∂ϕ∂r)− 1 c 2 ∂ 2 ϕ∂t 2 = 0 (9.67)Tämä palautuu yksiulotteiseksi aaltoyhtälöksi sijoituksellaχ(r, t)ϕ(r, t) = (9.68)r⇒∂ 2 χ∂r 2 − 1 ∂ 2 χc 2 ∂t 2 = 0 (9.69)ja tällä on tutut ±r-suuntiin etenevät ratkaisutχ = f(r − ct)+g(r + ct) (9.70)Näistä f(r −ct) etenee poispäin varauksesta ja g(r +ct) etenee kohti varausta.Koska haluamme ymmärtää varauksen vaikutusta ympäristöönsä, meilleriittää tarkastella ratkaisua f.Olemme siis löytäneet homogeeniselle aaltoyhtälölle pallosymmetrisenratkaisunf(r − ct)ϕ = (9.71)rja nyt pitäisi määrittää funktion f muoto. Staattisessa tapauksessa potentiaalionϕ =q(9.72)4πɛ 0 rja nyt q = q(t). Kirjoitetaan f ajan funktiona f(t − r/c), missä vakio −c onupotettu määrättävään funktioon itseensä. Näin ollen ajanhetkellä t − r/con voimassaq(t − r/c)f(t − r/c) = (9.73)4πɛ 0ja yksittäisellä varauksen epähomogeenisella aaltoyhtälöllä on ratkaisuq(t − r/c)ϕ(r, t) =4πɛ 0 rIntegroimalla kaikkien varausten yli saadaan lopulta ratkaisuϕ(r,t)= 14πɛ 0∫V(9.74)ρ(r ′ ,t ′ )|r − r ′ | dV ′ (9.75)