PDF (1 MB) - FMI

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 111eli sähköstaattisen potentiaalin lisäksi Faradayn laki tuo vektoripotentiaalinaikamuutoksesta johtuvan osuuden sähkökenttään. Näin kenttien kuusi komponenttiaon ilmaistu neljän muuttujan (ϕ, A) avulla. Tähän on tarvittuneljä Maxwellin yhtälöiden kahdeksasta skalaarikomponentista, joten meilläon jäljellä neljä yhtälöä neljän tuntemattoman ratkaisemiseen. JäljelläolevatCoulombin ja Ampèren ja Maxwellin lait saadaan muotoon∇ 2 ϕ + ∂(∇·A) = −ρ/ɛ 0 (9.60)∂t∇ 2 A − 1 ∂ 2 (Ac 2 ∂t 2 −∇ ∇·A + 1 )∂ϕc 2 = −µ 0 J (9.61)∂tSaatu yhtälöryhmä näyttää pahemmalta kuin alkuperäiset Maxwellin yhtälöt,mutta sille löytyy käteviä ratkaisumenetelmiä. Koska kentät E ja Bmuodostuvat potentiaalien derivaatoista, voidaan potentiaaleihin lisätä sellaisiatekijöitä, jotka katoavat derivoitaessa. Tätä ominaisuutta kutsutaanmittainvarianssiksi. Yksi tapa säilyttää alkuperäiset kentät on edellyttää∇·A + 1 ∂ϕc 2 ∂t = 0 (9.62)Tätä ehtoa kutsutaan Lorentzin ehdoksi ja kyseistä mittaa Lorentzinmitaksi. Tällainen muunnos voidaan aina tehdä.Lorentzin mitassa jäljellä olevat yhtälöt redusoituvat epähomogeenisiksiaaltoyhtälöiksi(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = −ρ/ɛ 0 (9.63)joille tunnetaan yleisiä ratkaisumenetelmiä.(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 )A = −µ 0 J (9.64)9.5.3 Viivästyneet potentiaalitEdellä onlöydetty itse asiassa neljä karteesisissa koordinaateissa toisistaanriippumatonta skalaariyhtälöä, joten ratkaisumenetelmän kannalta riittäätarkastella yhtälöä ϕ:lle.Mikäli kyseessa olisi staattinen kenttä, meillä olisi tuttu Poissonin yhtälö,jonka ratkaisuja ovat Laplacen yhtälön yleiset ratkaisut sekä jokin Poissoninyhtälön erikoisratkaisu. Ratkaistaan aaltoyhtälö ensin yhdelle varaukselle,joka on sijoitettu origoon. Tällöin homogeenisen aaltoyhtälön(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = 0 (9.65)