PDF (1 MB) - FMI

110 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössäSiirrosvirtatermin ansiosta Maxwellin yhtälöillä on ratkaisunaan sähkömagneettinenaaltoliike. Tarkastellaan tilannetta ensiksi tyhjössä (ρ =0,J = 0). Ottamalla roottori Ampèren ja Maxwellin laista saadaan∇×∇×B = ɛ 0 µ 0∂(∇×E)∂t= −ɛ 0 µ 0∂ 2 B∂t 2 (9.54)josta kirjoittamalla vasemman puolen roottorit auki ja käyttämällä magneettikentänlähteettömyyttä saadaan aaltoyhtälö∇ 2 ∂ 2 BB − ɛ 0 µ 0∂t 2 = 0 (9.55)Ottamalla puolestaan roottori Faradayn laista ja huomioimalla, että myöskäänsähkökentällä ei ole tyhjössä lähteitä, saadaan sähkökentälle samayhtälö∇ 2 ∂ 2 EE − ɛ 0 µ 0∂t 2 = 0 (9.56)Tällainen aalto etenee nopeudella c =1/ √ ɛ 0 µ 0 eli valon nopeudella.9.5.2 PotentiaaliesitysTarkastellaan seuraavaksi Maxwellin yhtälöiden ratkaisemista olettamallakenttien lähteet ρ ja J tunnetuiksi. Esitetään tarkastelu tyhjönkaltaisessaväliaineessa (ɛ 0 ,µ 0 ) kentille E ja B. Tarkastelun siirtäminen lineaariseenväliaineeseen on suoraviivaista.Ongelmaa on tehokkainta lähestyä käyttämällä kenttien skalaari- ja vektoripotentiaalejaφ ja A. Ensinnäkin yhtälö ∇·B = 0 implikoi tutun relaationB = ∇×A. Sijoittamalla tämä Faradayn lakiin saadaan∇×E + ∂ ∇×A = 0 (9.57)∂tFysikaalisen siisteille kentille aika- ja paikkaderivaattojen järjestyksen voivaihtaa, joten(∇× E + ∂A )= 0 (9.58)∂teli voidaan kirjoittaa E + ∂A/∂t = −∇ϕ. Sähkökenttä on siis muotoaE = −∇ϕ − ∂A∂t(9.59)