PDF (1 MB) - FMI

108 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTTehdään samanlainen suorakulmainen silmukka kuin luvussa 3 ja integroidaanFaradayn laki silmukan sulkeman pinnan yli∫∫∂B∇×E · n dS = − · n dS (9.40)SS ∂tSovelletaan Stokesin teoreemaa lausekkeen vasemmalle puolelle ja suoritetaanviivaintegraalit:∫lE 1t − lE 2t + h 1 E 1n + h 2 E 2n − h 1 E 1n ′ − h 2 E 2n ′ ∂B= − · n dS (9.41)S ∂tmissä l on silmukan pituus rajapinnan suunnassa, h 1 ja h 2 ovat silmukanetäisyydet rajapinnasta kummankin väliaineen puolella ja E in ja E in ′ ottavathuomioon, että sähkökentän normaalikomponentit saattavat poiketa toisistaansilmukan eri päissä. Kun silmukka litistetään nollapaksuiseksi häviävätsähkökentän normaalikomponenttien termit ja samoin yhtälön oikea puolisillä edellyksellä, että ∂B/∂t pysyy äärellisenä. Lopullisesta yhtälöstä voisupistaa l:n ja jäljelle jää sama reunaehto kuin sähköstatiikassaE 1t = E 2t (9.42)D-vektorin normaalikomponentin reunaehto on monimutkaisempi, koska nytpintavaraustiheys voi muuttua. Sekaannusten välttämiseksi merkitään johtavuuttaσ:lla ja pintavaraustiheyttä σ s :llä. Tarkastellaan yhtälöä ∇·D = ρpillerirasiakikalla, joka antaa samannäköisen tuloksen kuin sähköstatiikassaD 1n − D 2n = σ s (9.43)Toisaalta varaustiheyden muutosta kontrolloi jatkuvuusyhtälö∇·J = − ∂ρ∂t(9.44)Tehdään tällekin pillerirasialasku, joka antaaJ 1n − J 2n = − ∂σ s∂t(9.45)joten lopputulos riippuu pintavaraustiheyden ajallisesta muutoksesta.Rajoitetaan tarkastelu yksinkertaiseen aaltoliikkeeseen eli oletetaan sähkökentänolevan muotoa E(t) =E 0 e −iωt .Tällöin voidaan korvata ∂/∂t →−iω ja yhtälön oikealla puolella on iωσ s . Olettamalla lineaarinen väliaineja käyttämällä rakenneyhtälöitä D = ɛE ja J = σE voidaan D n :n ja J n :nreunaehdot kirjoittaa yhtälöparinaɛ 1 E 1n − ɛ 2 E 2n = σ sσ 1 E 1n − σ 2 E 2n = iωσ s (9.46)