PDF (1 MB) - FMI

ElektrodynamiikkaHannu Koskinen ja Ari ViljanenKevät 2002

2Tämä luentomoniste on päivitetty versio Hannu Koskisen kevään 2001luennoista. Joidenkin asioiden käsittelyjärjestystä on muutettu, joitain asioitaon lisätty ja joitain poistettu (poistetut osat löytyvät kuitenkin monisteenlopusta). Osa kuvista ja taulukoista on toistaiseksi saatavilla vain kirjastossaolevasta paperiversiosta.Uusimmassa monisteessa olevista virheistä voi ilmoittaa Ari Viljaselle(ari.viljanen@fmi.fi).Kevään 2002 luennot: ma 10-12 E207, to 10-12 E207. (Joistain aiemmistatiedoista poiketen siis myös torstain luento salissa E207.)Harjoitukset (2t/vk): Tiera Laitinen ja Jussi Lintunento 8-10 D106, 12-14 D117, pe 10-12 D106.Välikokeet:ti 19.3. klo 14.00-18.00 D101ma 20.5. klo 10.00-14.00 D101Kurssin arvosana määräytyy siten, että kummankin välikokeen paino on40 % ja laskuharjoitusten 20 %. Täyden laskuharjoitushyvityksen saa ratkaisemallatehtävistä viisi kuudesosaa. Oikein ratkaistusta tehtävästä saa kolmepistettä. Laskuharjoituksissa tehtävän ratkaisun esittäminen taululla palkitaanyhdellä lisäpisteellä (korkeintaan yksi lisäpiste/harjoitus). Ohjeellisetarvosanarajat löytyvät opinto-oppaasta teoreettisen fysiikan kohdalta.

Luku 1JohdantoIt requires a much higher degree of imagination to understand the electromagneticfield than to understand invisible angels.R. P. Feynman1.1 Mikä tämä kurssi onEdessä on kuuden opintoviikon paketti elektrodynamiikkaa, joka voidaansisällyttää joko fysiikan laudatur-oppimäärään tai teoreettisen fysiikan cumlaude-oppimäärään. Muutaman viime vuoden ajan nämä aikanaan erillisetkurssit on luennoitu yhdessä. Kahden lähestymistavoiltaan erilaisen kurssinyhdistäminen ei ole ollut aivan triviaali asia osin erilaisen oppimateriaalin,mutta myös opiskelijoiden erilaisen taustan ja mielenkiinnon kohteiden vuoksi.Kurssin tavoitteena on oppia ymmärtämään elektrodynamiikan perusrakenneja käyttämään sitä erilaisissa vastaantulevissa tilanteissa olivatpanämä tilanteet sitten teoreettisia tai käytännönläheisiä. Elektrodynamiikanrakenteen ymmärtämisen voi edellyttää kuuluvan jokaisen fyysikon yleissivistykseen.Se on opiskelijalle ensimmäinen fysiikan teoria, jossa kentänkäsitteellä ratkaiseva osa. Toisaalta sähkö ja magnetismi ovat aivan keskeisessäosassa niin kaikkialla fysiikassa kuin nykyisessä arkipäivässäkin. Oikeastaantämän parempaa motivaatiota elektrodynamiikkaan perehtymiselle onvaikea keksiä.Kevään 2002 kurssi seuraa pääosin Reitzin, Milfordin ja Christyn oppikirjaaFoundations of Electromagnetic Theory (4 ed., tästä eteenpäin viiteRMC). Luennoilla materiaali käsitellään kuitenkin hieman eri järjestyksessä,sillä tavoitteena on saada koko klassisen elektrodynamiikan rakenne aaltoyhtälönLorentzin mitassa esitettyä ratkaisua myöten valmiiksi ensimmäisen3

4 LUKU 1. JOHDANTOpuolen lukukauden aikana. Kurssin toinen puolikas sisältää asioita, jotkamenevät syvemmälle sekä teoriaan että käytäntöön. Joitain asioita käsitelläänmyös hieman syvällisemmin kuin RMC:ssä on tehty ja siltä osin oppikirjaksisuositellaan uusinta painosta Cronströmin ja Lippaan oppikirjastaJohdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan (Limes 2000, tästäeteenpäin viite CL).Kurssin lähtötasoksi sähköopin osalta oletetaan fysiikan peruskurssienhallinta. Viitemateriaalina ovat Kaarle ja Riitta Kurki-Suonionoppikirjat Vuorovaikutuksista kenttiin – sähkömagnetismin perusteet (viitataanlyhenteellä KSII) ja Aaltoliikkestä dualismiin (viitataan lyhenteelläKSIII) (Limes ry., useita painoksia). Joillakin opiskelijoilla saattaa olla taustallaperuskurssin sijasta fysiikan approbatur, mikä tietenkin hyvin opiskeltunariittää sekin.Yksi elektrodynamiikan opiskelun vaikeuksista on varsin vaativien matemaattistenapuneuvojen tarve. Tällä kurssilla opiskelijan oletetaan hallitsevanfysiikan matemaattisia menetelmiä MAPU I–II:n ja FYMM I:n tasolla.Myös FYMM II olisi hyödyllinen, mutta koska monet teoreettisen fysiikanopiskelijat ottavat elektrodynamiikan kurssin jo toisen vuoden keväällä,tätä ei varsinaisesti edellytetä. FYMM II:n opiskelu viimeistään tämänkurssin rinnalla on kuitenkin erittäin suositeltavaa.Tärkeimpiä matemaattisiaapuneuvoja kerrataan kurssin laskuharjoituksissa. Laskuharjoitustehtävienomakohtainen suorittaminen on olennainen osa kurssin sisältämänmateriaalin oppimista!1.2 Hieman taustaaKlassinen elektrodynamiikka on yksi fysiikan peruskivistä. Se saavutti formaalisestinykyasunsa vuonna 1864, kun James Clerk Maxwell julkaisi ensimmäisenpainoksen kuuluisasta teoksestaan ”Treatise on Electricity andMagnetism”. Vaikka Maxwell olikin yksi fysiikan tutkimuksen jättiläisistä,hänen teoreettinen rakennelmansa perustui tietenkin aiempien fyysikoidentöille, joista mainittakoon tässä 1700-luvulta vaikkapa Cavendish, Coulomb,Franklin, Galvani, Gauss ja Volta sekä aiemmalta 1800-luvulta Ampère, Arago,Biot, Faraday, Henry, Savart ja Ørsted.Yksi tärkeimmistä Maxwellin teorian ennustuksista oli valon nopeudellaetenevän sähkömagneettisen aallon olemassaolo, jonka Heinrich Hertz onnistuitodentamaan rakentamallaan värähtelypiirillä vuonna 1888. Pian tämänjälkeen tultiin yhteen fysiikan historian suurista murroskausista. Osa ongelmistaliittyi suoraan elektrodynamiikkaan, jonka kummallisuuksiin kuuluivatesim. liikkeen indusoiman jännitteen ja sähkömotorisen voiman ekvivalenssisekä valon nopeuden vakioisuus. Juuri tällaisia ongelmia selittämään

1.2. HIEMAN TAUSTAA 5Albert Einstein kehitti suppeamman suhteellisuusteoriansa vuonna 1905.Vaikka suhteellisuusteorian alkeet voikin olla havainnollisempaa opetella mekaniikanvälinein, kyseessä on nimenomaan elektrodynamiikasta noussutteoria ja Maxwellin elektrodynamiikka osoittautui ensimmäiseksi relativistisestikorrektisti formuloiduksi teoriaksi.Samaan aikaan suhteellisuusteorian kanssa alkoi myös kvanttifysiikan kehitys.Se aiheutti paljon enemmän elektrodynamiikkaan liittyviä ongelmia,sillä ensinnäkään ei ollut selvää, että makroskooppisista kokeista johdettuteoria olisi riittävän yleinen myös mikromaailmaan vietynä. Kaiken lisäksikvanttimekaniikan alkuperäiset formuloinnit, kuten Schrödingerin yhtälö,ovat epärelativistisia. Kesti aina 1940-luvun lopulle ennenkuin onnistuttiinluomaan kunnollinen relativistinen kvanttimekaniikka. Tätä teoriaa kutsutaankvanttielektrodynamiikaksi (QED) ja ratkaisevat askeleet sen luomisessaottivat Julian Schwinger, Richard Feynman, Sin-itiro Tomonaga jaFreeman Dyson. Tänä päivänä elektrodynamiikka QED:n klassisena rajanaon osa menestyksekästä standardimallia, jonka uskotaan olevan oikea tapayhdistää sähköinen, heikko ja vahva perusvoima keskenään. Niinpä klassisenelektrodynamiikan ymmärtäminen on perusta paljon pidemmälle menevänteoreettisen fysiikan tekemiselle!Vaikka käsitteellisesti elektrodynamiikka onkin tullut osaksi kvanttimaailmanihmeellisyyttä, se on yhä äärimmäisen tärkeä työväline kaikessa kokeellisessafysiikassa ja insinööritieteissä aina ydinvoimaloista kännyköidenrakenteluun. Lähes kaikissa fysiikan mittauksissa tarvitaan elektrodynamiikansoveltamista jossain vaiheessa. Elektrodynamiikka on keskeistä materiaalifysiikassa,hiukkassuihkujen fysiikassa, röntgenfysiikassa, elektroniikassa,optiikassa, plasmafysiikassa jne. Niinpä klassisen elektrodynamiikan ymmärtäminenon aivan olennainen perusta myös menestyksekkäälle kokeellisenfysiikan tekemiselle!Seuraavat tehtävät voidaan määritellä elektrodynamiikan perusprobleemiksi:1. Varausten ja sähkövirtojen aiheuttaman sähkömagneettisen kentän määrittäminen.2. Sähkömagneettisen kentän varauksiin tai virtajohtimiin aiheuttamien voimienmäärittäminen.3. Varauksellisten hiukkasten radan määrittäminen tunnetussa sähkömagneettisessakentässä.4. Indusoituvan sähkömotorisen voiman ja induktiovirran ennustaminen tunnetussavirtapiirissä, kun indusoiva muutos tunnetaan.5. Tunnetun indusoivan muutoksen vaikutuksesta ympäristöön leviävän sähkömagneettisenaaltoliikkeen ja tämän avulla tapahtuvan energian siirtymisenennustaminen.

6 LUKU 1. JOHDANTO1.3 Elektrodynamiikan perusrakenneUseimmat elektrodynamiikan oppikirjat rakentavat teorian esittelyn palapalalta lähtien sähköstatiikasta ja päätyen elektrodynamiikan peruspilareihinMaxwellin yhtälöihin ikäänkuin olettaen, että opiskelijat eivät olisikoskaan kuulleetkaan asiasta. Tämä ei tietenkään ole aivan totta enäätämänkurssin tapauksessa, vaan käytännössä kaikki ovat jo tutustuneet ainakinpäällisin puolin Maxwellin yhtälöihin ja tietävät yhtä ja toista elektrodynamiikanrakenteesta. Niinpä voimme jo aivan näin kurssin aluksi hiemanpohtia, mistä elektrodynamiikassa on kyse. Kirjoitetaan Maxwellin yhtälötnk. tyhjömuodossaan∇·E = ρ ɛ 0(1.1)∇·B = 0 (1.2)∇×E = − ∂B∂t(1.3)∇×B = µ 0 J + 1 ∂Ec 2 ∂t(1.4)Tässä muodossaan sähkökentän E ja magneettikentän (täsmällisemmin magneettivuontiheyden) B lähteinä ovatsähkövaraukset ρ ja sähkövirrat J.Näin kirjoitettuna yhtälöryhmä ontäysin yleinen eikä ota minkäänlaistakantaa mahdollisen väliaineen sähkömagneettiseen rakenteeseen. Väliaineessayhtälöryhmä kirjoitetaan usein kenttien H = B/µ ja D = ɛE avulla,mutta palaamme tähän myöhemmin.Yllä ɛ 0 on tyhjön sähköinen permittiivisyys ja µ 0 on tyhjön magneettinenpermeabiliteetti. Näiden ja valon nopeuden c välillä on relaatio c =(ɛ 0 µ 0 ) −1/2 . Koska valon nopeus tyhjössä on vakio, sille annetaan nykyääntarkka arvoc = 299 792 458 m/sKoska sekunti määritellään tietyn Ce-133 siirtymäviivan avulla, tulee metristäjohdannaissuure, joka on aika tarkkaan samanmittainen kuin Pariisissasäilytettävä platinatanko. Myös µ 0 määritellään tarkasti ja se on SIyksiköissäµ 0 =4π · 10 −7 Vs/Amjoten tyhjön permittiivisyydelle jää myös tarkka arvo ɛ 0 =(c 2 µ 0 ) −1 , jonkanumeerinen likiarvo onɛ 0 ≈ 8.854 · 10 −12 As/VmSähkö- ja magneettikenttiä ei voi havaita suoraan, vaan ne on määritettävävoimavaikutuksen avulla. Voimaa kutsutaan Lorentzin voimaksi. Se

1.3. ELEKTRODYNAMIIKAN PERUSRAKENNE 7on nopeudella v liikkuvaan varaukseen q vaikuttava voimaF = q(E + v × B) (1.5)Tämä on suureen määrään kokeita perustuva empiirinen laki, jota emmeedes yritä johtaa mistään vielä fundamentaalisemmasta laista. Vaikka sähköjamagneettikenttiä ei voikaan ”nähdä”, ne ovat fysikaalisia olioita: Niillä onenergiaa, liikemäärää ja impulssimomenttia ja ne kykenevät siirtämään näitäsuureita myös tyhjössä.Mitattavat sähkö- ja magneettikentät ovat aina jossain mielessä makroskooppisiasuureita. Mentäessä mikroskooppiseen kuvailuun QED:n tasolle,sähkömagneettinen kenttä esitetään todellisten ja virtuaalisten fotonien avulla.Se, että tähän ei yleensä ole tarvetta arkipäivän sähkötekniikassa tai tavanomaisissalaboratoriokokeissa, käy ilmi seuraavista esimerkeistä:Esim. 1. Yhden metrin päässä 100 W lampusta keskimääräinen sähkökenttäon 〈E〉 rms≈ 50 V/m. Tämä merkitsee 10 15 näkyvän valon fotonin vuotaneliösenttimetrin suuruisen pinnan läpi sekunnissa.Esim. 2. Tyypillisen radiolähettimen taajuus on 100 MHz suuruusluokkaa.Tällaisen fotonin liikemäärä on2.2 · 10 −34 Ns. Yksittäisten fotonien vaikutustaei siis tarvitse huomioida esimerkiksi antennisuunnittelussa.Esim. 3. Varausten diskreettisyyttä eimyöskään tarvitse yleensä huomioida.Jos yhden mikrofaradin kondensaattoriin varataan 150 V jännite, siihentarvitaan 10 15 alkeisvarausta. Toisaalta yhden mikroampeerin virran kuljetukseentarvitaan 6.2 · 10 12 varausta sekunnissa.Yksi elektrodynamiikan peruskivistä onsähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus.Jo hyvin varhaisista havainnoista voitiin tehdä johtopäätös, ettäriippuvuus on ainakin lähes tällainen. Olettamalla riippuvuuden olevan muotoa1/r 2+ε , voidaan mittauksilla etsiä rajoja ε:lle. Cavendish päätyi vuonna1772 tarkkuuteen |ε| ≤0.02. Maxwell toisti kokeen sata vuotta myöhemminja saavutti tarkkuuden |ε| ≤5 · 10 −5 ja nykyään on samantyyppisillä koejärjestelyilläpäästy tulokseen |ε| ≤(2.7 ± 3.1) · 10 −16 .Teoreettisin perustein voi argumentoida, että1/r 2 -etäisyysriippuvuus onekvivalenttia fotonin massattomuuden kanssa. Tarkin Cavendishin menetelmäänperustuva tulos vastaa fotonin massan ylärajaa 1.6·10 −50 kg. Geomagneettisillamittauksilla fotonin massan yläraja on saatu vieläkin pienemmäksi:m γ < 4 · 10 −51 kg. Voimme siis todeta, että niin fotonin massattomuus kuinsähköisen voiman 1/r 2 -etäisyysriippuvuus ovat erittäin hyvin todennettujakokeellisia tosiasioita. Lopuksi on hyvä muistaa, että elektrodynamiikkatehtiin aluksi makroskooppisille systeemeille. Vasta paljon myöhemmin käviselväksi, että elektrodynamiikan peruslait ovat yleisiä luonnonlakeja, jotkapätevät myös kvanttitasolla.

8 LUKU 1. JOHDANTO1.4 Kirjallisuutta• Reitz, J. R., F. J. Milford, and R. W. Christy, Foundation of ElectromagneticTheory, 4th edition, Addison-Wesley, 1993.Kurssin varsinainen oppikirja. Materiaali käsitellään kurssilla hiemaneri järjestyksessä.• Cronström, C., ja P. Lipas, Johdatus sähködynamiikkaan ja suhteellisuusteoriaan,Limes ry., 2000.Uudistettu laitos TFO:n monivuotisesta luentomonisteesta. Kurssintoinen oppikirja.• Jackson, J. D., Classical electrodynamics, 3rd edition, John Wiley &Sons, 1998.Klassisen elektrodynamiikan piplia. Myös aiemmat versiot ovat käyttökelpoisia,joskin niissä onkäytetty cgs-yksiköitä.• Griffiths, D. J., Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, 1999.Suosittu oppikirja amerikkalaisissa yliopistoissa. Persoonallinen esitystapaja paljon opettavaisia esimerkkejä.• Feynman, R. P., R. B. Leighton, and M. Sands, The Feynman lectureson physics, vol. II, Addison-Wesley, 1964.Erittäin suositeltavaa oheislukemistoa sisältäen erinomaisia esimerkkejäja syvällistä ajattelua.

Luku 2Staattinen sähkökenttäTässä luvussa tutustutaan sähkövarausten aiheuttamaan staattiseen sähkökenttään(RMC luvut 2 ja 3; CL luvut 2 ja 3). Materiaali on periaatteessatuttua fysiikan peruskurssilta (KSII, luku 2).2.1 Sähkövaraus ja Coulombin lakiMaailmankaikkeudessa on tietty määrä positiivisia ja negatiivisia sähkövarauksia.Nykytietämyksen mukaan niitä ei voida hävittää eikä luoda. Näinollenminkään suljetun systeemin varausten määrä ei voi muuttua. Käytännössäuseimmat systeemit ovat neutraaleja, eli niissä onyhtä paljon positiivisiaja negatiivisia varauksia. Makroskooppisen kokonaisuuden varauksellatarkoitetaankin yleensä sen nettovarausta, joka on siis poikkeama varausneutraalisuudesta.Myös tämä nettovaraus säilyy, ellei systeemi ole vuorovaikutuksessaympäristönsä kanssa.1700-luvun lopulla oli opittu, että varauksia on vain kahta lajia, joitanykyisin kutsutaan positiivisiksi ja negatiivisiksi. Charles Augustin deCoulomb muotoili kokeisiinsa perustuen seuraavanlaisen lain• Kaksi pistevarausta vaikuttavat toisiinsa voimilla, joiden suunta onniitä yhdistävän suoran suuntainen ja kääntäen verrannollinen varaustenvälisen etäisyyden neliöön.• Voimat ovat verrannollisia varausten tuloon siten, että samanmerkkisetvaraukset hylkivät toisiaan ja erimerkkiset vetävät toisiaan puoleensa.Tätä kutsutaan Coulombin laiksi, joka nykyaikaisen formalismin avullakertoo, että varaus q 2 vaikuttaa varaukseen q 1 sähköstaattisella voimallaF 1 = k q 1q 2r123 r 12 (2.1)9

10 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄmissä r 12 = r 1 − r 2 on varauksesta q 2 varaukseen q 1 osoittava vektori.Sähköstaattinen vuorovaikutus noudattaa voiman ja vastavoiman lakia. Josvaraukset q 1 ja q 2 liikkuvat, tilanne muuttuu, mutta siihen palataan myöhemmin.Lisäksi kannattaa huomata, että Coulombin laki edellyttää vuorovaikutuksenvälittymistä äärettömän nopeasti koko avaruuteen. Tämä on tietystiapproksimaatio, koska mikään tieto ei leviä suuremmalla kuin valon nopeudella.Toisaalta valon nopeuden suuren arvon vuoksi staattisuus on aivan kelvollinenoletus monissa käytännön tilanteissa.Verrannollisuuskerroin k riippuu käytetystä yksikköjärjestelmästä. Sähköopissakäytetään yhä usein cgs-yksiköitä (Gaussin yksiköitä), joissa k =1. Tällöin varauksen yksikkö määritellään siten, että se aiheuttaa 1 cmetäisyydellä 1 dynen voiman (1 dyn = 10 −5 N) toiseen yksikkövaraukseen.Me käytämme ”virallisempia” SI-yksiköitä eli MKSA-järjestelmää, joissak = 14πɛ 0(2.2)missä ɛ 0 ≈ 8.854 · 10 −12 F/m on tyhjön permittiivisyys. Täten kertoimennumeroarvo on k ≈ 8.9874 · 10 9 Nm 2 C −2 (muistisääntö: 9 · 10 9SI-yksikköä). Näissä yksiköissä sähkövirta on perussuure. Palaamme siihentuonnempana, mutta todettakoon tässä, että virran SI-yksikkö on ampeeri(A) ja varauksen yksikkö coulombi (C = As). ɛ 0 :n yksikkö on faradi/metri(F/m = C 2 N −1 m −1 ).Toistettakoon, että Coulombin laki perustuu kokeellisiin havaintoihin javoisi siten olla esimerkiksi r −2 -riippuvuuden osalta vain likimääräinen tulos.Modernin fysiikan teoreettiset perusteet samoin kuin erittäin tarkatmittaukset viittaavat siihen, että r −2 riippuvuus todella on täsmällinenluonnonlaki. Myös painovoima riippuu etäisyydestä kuten r −2 , mutta onolemassa vain yhdenmerkkistä gravitaatiota. Lisäksi painovoima on paljonsähköstaattista voimaa heikompi (HT: vertaa kahden elektronin välistä sähköstaattistaja gravitaatiovuorovaikutusta.).Jos varauksia on useita, varaukseen q i vaikuttaa voimaF i = q i N ∑j≠iq j4πɛ 0r ijr 3 ij(2.3)mikä ilmaisee voimien kokeellisesti oikeaksi todetun superpositioperiaatteen.Tarkastellaan sitten varausta itseään. Kokeellisesti on opittu, että mitattavissaoleva varaus on kvantittunut yhden elektronin varauksen suuruisiinkvantteihin. Makroskooppisessa mielessä tämä alkeisvaraus on erittäin pieni(e ≈ 1.6019 · 10 −19 C). Tiedämme nykyisin, että kvarkeilla on ±1/3 ja ±2/3

2.2. SÄHKÖKENTTÄ 11e:n suuruisia varauksia, mutta ne näyttävät olevan aina sidottuja toisiinsasiten, että kaikkien alkeishiukkasten varaukset ovat ±e:n monikertoja jaelektronin varaus on siten pienin luonnossa vapaana oleva varaus.Yksikkövarauksen pienuudesta johtuen makroskooppinen varausjakautumamuodostuu yleensä suuresta joukosta alkeisvarauksia ja varaustiheydenkäsite on hyödyllinen. Kolmiulotteisen avaruuden varaustiheys määritelläänρ =ja pintavaraustiheys vastaavastiσ =lim△V →0lim△S→0△q△V△q△S(2.4)(2.5)missä V on tarkasteltava tiheys ja S tarkasteltava pinta.Olkoon tilavuudessa V varausjakautuma ρ ja V :tä rajoittavalla pinnallaS pintavarausjakautuma σ. Tällöin pisteessä r olevaan varaukseen q vaikuttaavoimaF q =q4πɛ 0∫V2.2 Sähkökenttär − r ′|r − r ′ | 3 ρ(r′ ) dV ′ + q r − r4πɛ 0∫S′|r − r ′ | 3 σ(r′ ) dS ′ (2.6)Sähköstaattinen vuorovaikutus ajatellaan kaksivaiheiseksi: Staattinen systeemiaiheuttaa kentän E(r), joka vaikuttaa pisteessä r olevaan varaukselliseenhiukkaseen (varaus q) voimallaF(r) =qE(r) (2.7)joka voidaan mitata. Sähköstatiikalle tyypillinen kokeellinen ongelma onse, että kenttään tuodaan tällöin ”ylimääräinen” varattu kappale. Se voivaikuttaa huomattavasti siihen varausjakaumaan, joka aiheuttaa kentän:kappaleet polarisoituvat. Tämän vuoksi useat oppikirjat puhuvat ”pienistätestivarauksista”, jotka eivät vaikuta kentän aiheuttajaan. Sähkökentän voimakkuudenmääritelmä ei kuitenkaan välttämättä edellytä testivarauksenkäsitettä. (HT: Kuinka painovoima eroaa tässä suhteessa sähköstaattisestavoimasta?)Yksittäisten varausten ja varausjakautumien yhteenlaskettu sähkökenttäon tietenkinE(r) =+14πɛ 014πɛ 0∫S∑ N q ii=1r − r i|r − r i | 3 + 14πɛ 0∫Vr − r ′|r − r ′ | 3 ρ(r′ ) dV ′r − r ′|r − r ′ | 3 σ(r′ ) dS ′ (2.8)

12 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄPeriaatteessa sähkökenttä voidaan siis määrittää laskemalla kaikkien varausjakautumienja yksittäisten hiukkasten aiheuttamat kentät. Käytännössätämä on usein täysin ylivoimainen tehtävä. Myöskään mielikuvan luominensähkökentästä ei ole aivan triviaali asia. Michael Faraday otti käyttöönkenttäviivan käsitteen. Vektorikentän kenttäviiva on matemaattinen käyrä,joka on jokaisessa pisteessä kyseisen vektorin suuntainen. Se on oikeinkäytettynä hyödyllinen apuväline, mutta se on turvallisinta ymmärtää vainkeinoksi visualisoida sähkökenttää, joka on varsinainen fysikaalinen suure.2.3 Sähköstaattinen potentiaaliVektorianalyysin alkeistiedoilla osaamme todistaa, ettäeli staattisen sähkökentän roottori häviää:∇× r − r′|r − r ′ | 3 = 0 (2.9)∇×E = 0 (2.10)ja sähkökenttä voidaan esittää sähköstaattisen potentiaalin ϕ avullaE(r) =−∇ϕ(r) (2.11)Pisteessä r 1 sijaitsevan hiukkasen aiheuttama potentiaali on sitenϕ(r) = 14πɛ 0q 1|r − r 1 |(2.12)kun sovitaan, että äärettömyydessä potentiaali häviää. Vastaavasti mielivaltaisellevarausjoukolleϕ(r) =+14πɛ 01N ∑i=14πɛ 0∫Sq i|r − r i | + 14πɛ 0∫Vρ(r ′ )|r − r ′ | dV ′σ(r ′ )|r − r ′ | dS′ (2.13)jotka molemmat voi näyttää toteen laskemalla potentiaalin gradientin.Sähköstaattinen kenttä on esimerkki konservatiivisesta voimakentästä.Se merkitsee sitä, että potentiaalienergia U eli voiman F viivaintegraaliannetusta referenssipisteestä ref tarkastelupisteeseen r∫ rU(r) =− F(r ′ ) · dr ′ (2.14)ref

2.4. GAUSSIN LAKI 13on riippumaton integrointitiestä. Koska itse fysikaalinen suure sähkökenttäriippuu vain potentiaalin derivaatasta, potentiaalin nollakohdan voi valitamieleisekseen. Asettamalla ϕ(ref) = 0 saadaan U(r) =qϕ(r).Potentiaalin käsitteestä on suurta hyötyä erilaisissa sähkökenttään liittyvissäongelmissa. Tämä johtuu osaksi siitä, että sähkökentän integroiminenvarausjakautumista on olennaisesti monimutkaisempi tehtävä kuin yksinkertaisemmanpotentiaalin laskeminen. Potentiaali on toki vielä derivoitava,mutta se on aina helpompaa kuin integrointi. Käytännöllisempi syy potentiaalienkäyttökelpoisuudelle on kuitenkin se, että matematiikan potentiaaliteoriatarjoaa koko joukon hyödyllisiä matemaattisia apuneuvoja.SI-järjestelmässä voiman yksikkö on newton (N) ja varauksen yksikköon coulombi (C), joten sähkökentän yksikkö on N/C. Energian yksikkö onpuolestaan joule (J = Nm) eli sähköstaattisen potentiaalin yksikkö on sitenJ/C. Sähköopissa potentiaalin yksikköä kutsutaan voltiksi (siis V = J/C) jasähkökentän yksikkö ilmaistaan yleensä muodossa V/m.2.4 Gaussin laki2.4.1 Maxwellin ensimmäinen yhtälöTarkastellaan origossa olevan pistevarauksen q kenttääE(r) =q r4πɛ 0 r 3 (2.15)Olkoon V jokin tilavuus varauksen ympärillä ja S sen reuna ∂V . Integroidaansähkökentän normaalikomponentti tämän reunan yli∮E · n dS =q r · nS4πɛ 0∮S r 3 dS (2.16)Nyt (r/r) · n dS on dS:n projektio r:ää vastaan kohtisuoralle tasolle ja tämäpinta-ala jaettuna r 2 :lla on avaruuskulma-alkio dΩ, joka pallokoordinaatistossaon sin θdθdφ. Valitaan sitten V :n sisäpuolelta origokeskinen pallonmuotoinenalue, jonka reuna on S ′ . Nyt infinitesimaalinen pinta-alkio dS ′kattaa yhtä suuren avaruuskulman dΩ kuin elementti dS, joten∮Sr · nr 3 dS =∮S ′ r ′ · nr ′3 dS ′ =∮S ′ dΩ=4π (2.17)mistä seuraa∮E · n dS =q 4π = q (2.18)S4πɛ 0 ɛ 0Jos varaus on tilavuuden V ulkopuolella, se ei vaikuta pintaintegraaliin.Tämän näkee tarkastelemalla varauksen kohdalta kohti tilavuutta V avautuvaaavaruuskulmaelementin dΩ suuruista kartiota. Tämä kartio läpäisee

14 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄtilavuuden V sekä sisään että ulospäin ja näinollen pinta-alkioiden integraalitsummautuvat nollaan. (Piirrä kuva!)Tulos yleistyy N:n varauksen parvelle∮SE · n dS = 1 ɛ 0N ∑i=1q i (2.19)Jos suurta varausjoukkoa tarkastellaan varausjakautumana, voidaan ρdVajatella alkioksi, joka tuottaa pintaintegrandiin osuuden ρdV/ɛ 0 eli integroitunatilavuuden V yli∮E · n dS = 1 ∫ρdV (2.20)ɛ 0Smikä on peruskurssilta tuttu Gaussin laki integraalimuodossa.Vektorianalyysistä tunnemme divergenssiteoreeman eli Gaussin lauseenriittävän siistille vektorikentälle u∮∫u · n dS = ∇·u dV (2.21)Smissä n on tilavuutta V ympäröivän pinnan S ulkonormaalivektori. Sovelletaantätä Gaussin lain vasemmalle puolelle, jolloin∫∇·E dV = 1 ∫ρdV (2.22)ɛ 0VTämän lauseen täytyy olla riippumaton tilavuuden V valinnasta, eliVVV∇·E = ρ ɛ 0(2.23)ja olemme saaneet Gaussin lain differentiaalimuodossa. Kutsumme tätä Maxwellinensimmäiseksi yhtälöksi (laiksi).2.4.2 Gaussin lain soveltamisestaPallosymmetrinen varausjakautumaPallosymmetrisessä tapauksessa varaustiheys on muotoa ρ = ρ(r), jolloinsähkökenttä on radiaalinen ja riippuu ainoastaan etäisyydestä origosta: E =E(r)e r , mikä on helppo päätellä suoraan Coulombin laista. Tarkastellaanintegraalimuotoista Gaussin lakia pallokoordinaateissa. Ensinnäkin∮∫π ∫2πE · dS = E(r)e r · (r 2 sin θdθdφe r )=4πr 2 E(r) (2.24)0 0

2.4. GAUSSIN LAKI 15Toisaalta Gaussin laki antaa∮E · dS = 1 ɛ 0∫r0∫π ∫2π00ρ(r ′ )(r ′2 sin θdr ′ dθdφ) = 4πɛ 0∫ r0ρ(r ′ )r ′2 dr ′ (2.25)joten saamme pallosymmetriselle varausjakautuman sähkökentäksiE(r) = 1 ∫ rɛ 0 r 2 ρ(r ′ )r ′2 dr ′ (2.26)0Sovelletaan tätä sitten tasaisesti varatulle R-säteiselle pallolle, jonka sisällävaraustiheys on ρ 0 ja ulkopuolella nolla. Pallon kokonaisvaraus onYksinkertainen integrointi antaa sähkökentäksiQ = 4π 3 R3 ρ 0 (2.27)r ≤ R E(r) = Qr4πɛ 0 R 3r>R E(r) = Q4πɛ 0 r 2 (2.28)Varausjakautuman ulkopuolella sähkökenttä on siis sama kuin origossa olevanpistevarauksen Q kenttä.ViivavarausEsimerkkinä sylinterisymmetrisestä tapauksesta tarkastellaan pitkää tasaisestivarattua ohutta lankaa, jonka varaustiheys pituusyksikköä kohti onλ. Symmetrian perusteella on selvää, että sähkökenttä on radiaalinen (jokokohti lankaa tai siitä poispäin). Tarkastellaan langan ympärillä olevaa r-säteistä sylinteriä, jonka pituus on l. Integroitaessa sähkökentän normaalikomponenttiasylinterin pinnan yli, sylinterin päät eivät tuota mitään.Vaipan pinta-ala on 2πrl ja sylinterin sisällä oleva varaus λl, joten Gaussinlaki antaa2πrlE r = λl(2.29)ɛ 0⇒E r =λ(2.30)2πɛ 0 reli viivavarauksen kenttä pienenee kuten r −1 . Kentän potentiaali onϕ = −λ ln(r/r 0 ) (2.31)2πɛ 0Tässä tapauksessa ei voida sopia potentiaalia nollaksi äärettömän kaukana.

16 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄEhσE = 0Kuva 2.1: ”Pillerirasia” johdekappaleen reunalla.JohdekappaleKappaletta, jolla voi olla sisäistä varausta, kutsutaan eristeeksi (engl. dielectric).Johteet ovat puolestaan kappaleita, joissa on tarpeeksi liikkuviavarauksia, jotka jatkavat liikettään, kunnes sähkökenttä kappaleen sisälläon nolla. Varaukset joutuvat tällöin kappaleen pinnalle, eli sisällä varaustiheyson nolla ja kappaleen mahdollinen nettovaraus on pintavarausta. Jottatilanne olisi staattinen, pinnalla olevan sähkökentän täytyy olla pinnan normaalinsuuntainen E n = nE n (muuten varaukset liikkuisivat pitkin pintaa).Sovelletaan Gaussin lakia tässä tilanteessa tarkastelemalla ohutta (paksuush) sylinterinmuotoista ”pillerirasiaa”, jonka ulompi pinta yhtyy tarkasteltavankappaleen pintaan ja jonka tilavuus on hdS (dS = n dS, dS pohjanpinta-ala) (kuva 2.1).∮∫E · dS = E n · n dS − E i · n dS + E · dS (2.32)vaippamissä E i on kenttä pillerirasian sisemmällä pinnalla, siis 0. Mentäessä rajalleh → 0, integraali vaipan yli menee myös nollaksi ja saammeE n · n dS = 1 ɛ 0∫VρdV = σdSɛ 0(2.33)Koska tämän täytyy päteä kaikilla pintaelementeillä, on sähkökenttä johdepallonpinnalla suoraan verrannollinen pintavaraukseenE = σ ɛ 0n (2.34)Harjoitustehtäväksi jää osoittaa, että mielivaltaisen johdekappaleen ympäröimässätyhjässä onkalossa ei ole sähköstaattista kenttää.

2.5. SÄHKÖINEN DIPOLI 17rr–r’r–r’–l–qr’lqr’+lKuva 2.2: Sähködipolin muodostaminen kahdesta lähekkäisestä samansuuruisestavastakkaismerkkisestä varauksesta.2.5 Sähköinen dipoliTarkastellaan kahden erimerkkisen varauksen muodostamaa sähköistä dipolia.Olkoon varaus −q pisteessä r ′ ja varaus q pisteessä r ′ + l (kuva 2.2).Tällöin sähkökenttä pisteessä r onE(r) =q { r − r ′ − l4πɛ 0 |r − r ′ − l| 3 − r − }r′|r − r ′ | 3 (2.35)Tämä lauseke on täysin yleinen riippumatta varausten etäisyydestä. Käytännössäsähköisellä dipolilla ymmärretään raja-arvoa l → 0, mikä on samaasia, kuin dipolin katselu kaukaa |r − r ′ |≫|l|. Nyt|r − r ′ − l| −3 = [(r − r ′ ) 2 − 2(r − r ′ ) · l + l 2 ] −3/2=[|r − r ′ | −31 − 2(r − r′ ) · l|r − r ′ | 2 +josta jälkimmäisen sulkulausekkeen voi kehittää binomisarjana[1 − 2(r − r′ ) · l|r − r ′ | 2 += 1 ++]l −3/2|r − r ′ | 2(− 3 ) ( − 2(r − r′ ) · l2 |r − r ′ | 2 +( )( )− 3 2− 5 (22!l 2 )|r − r ′ | 2− 2(r − r′ ) · l|r − r ′ | 2 +l 2|r − r ′ | 2 ] −3/2(2.36)l 2|r − r ′ | 2 ) 2+ ...= 1 + 3(r − r′ ) · l|r − r ′ | 2 + O[l 2 ] (2.37)Sijoittamalla tämä sähkökentän lausekkeeseen ja ottamalla mukaan l:n suhteenensimmäistä kertalukua olevat termit saadaan sähkökentän dipoliapproksimaatioE(r) =q4πɛ 0{ 3(r − r ′ ) · l|r − r ′ | 5 (r − r ′ ) −}l|r − r ′ | 3 + ...(2.38)

18 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄzxKuva 2.3: Dipolikentän kenttäviivat xz-tasossa. Dipoli sijaitsee origossa jaon z-akselin suuntainen.Rajalla l → 0 kenttä häviää, ellei q kasva rajatta. Pistedipoli on idealisaatio,jonka varaus on nolla, mutta jonka dipolimomentti p = ql on äärellinenja määrää sähkökentänE(r) = 1 { 3(r − r ′ }) · p4πɛ 0 |r − r ′ | 5 (r − r ′ p) −|r − r ′ | 3 + ...(2.39)Kun dipoli sijoitetaan vielä origoon, saadaanE(r) = 14πɛ 0{ 3r · pr 5 r − p r 3 }= 14πɛ 0{ 3p cos θr 3 e r − p r 3 }(2.40)missä θ on dipolimomentin ja vektorin r välinen kulma.Samanlaisella laskulla saadaan dipolia vastaava potentiaali lähtien lausekkeestaϕ(r) =q {}14πɛ 0 |r − r ′ − l| − 1|r − r ′ (2.41)|Tulos on sähkökenttää yksinkertaisempiϕ(r) = 1 { p · (r − r ′ })4πɛ 0 |r − r ′ | 3(2.42)Myöhemmin nähdään, että magneettiselle dipolille saadaan samanmuotoisetlausekkeet. Dipolikentän kenttäviivat on hahmoteltu kuvaan 2.3.

2.6. SÄHKÖKENTÄN MULTIPOLIKEHITELMÄ 192.6 Sähkökentän multipolikehitelmäTarkastellaan seuraavaksi mielivaltaista varausjakautumaa ρ(r ′ ) origon ympäristössä.Sen aiheuttama potentiaali etäisessä pisteessä r onϕ(r) = 14πɛ 0∫VKehitetään |r − r ′ | −1 binomisarjaksi (r >r ′ )ρ(r ′ )|r − r ′ | dV ′ (2.43)|r − r ′ | −1 = (r 2 − 2r · r ′ + r ′2 ) −1/2= 1 {1 − 1 []2r · r′−r 2 r 2 + r′2r 2 + 3 }8 [ ]2 + ...(2.44)Sijoitetaan tämä potentiaalin lausekkeeseen, jätetään r ′ :n toista potenssiakorkeammat termit pois ja järjestetään termit r ′ :n kasvavien potenssien mukaan.Tämä antaa potentiaalin multipolikehitelmän kvadrupolimomenttiamyötenϕ(r) ={ ∫1 1ρ(r ′ ) dV ′ + r ∫4πɛ 0 r Vr 3 · r ′ ρ(r ′ ) dV ′V+⎫3∑ 3∑ 1 x 1 x ⎬ j2 ri=1 j=1∫V5 (3x ′ ix ′ j − δ ij r ′2 )ρ(r ′ ) dV ′ ⎭(2.45)missä x i :t ovat paikkavektoreiden karteesisia komponentteja ja δ ij on Kroneckerindelta{0, i ≠ jδ ij =(2.46)1, i = jMultipolikehitelmän ensimmäinen tekijä vastaa origoon sijoitetun varausjakautumankontribuutiota potentiaaliin. Toinen tekijä puolestaan vastaaorigoon sijoitettua dipolimomenttien jakautumaa. Kolmas termi on muotoa3∑3∑i=1 j=11 x i x j2 r 5 Q ij (2.47)missö Q ij on kvadrupolimomenttitensori. Näin ollen potentiaalin multipolikehitelmävoidaan kirjoittaa sarjana⎧ ⎫ϕ(r) = 1 ⎨ Q4πɛ 0 ⎩ r + r · p 3∑ 3∑ 1 x 1 x ⎬jr 3 +2 ri=1 j=15 Q ij + ... (2.48)⎭Kaukana varausjakautumasta potentiaali on likimain ensimmäisen nollastapoikkeavan termin aiheuttama potentiaali. Atomien ytimissä dipolimomenttion nolla, mutta korkeammat multipolit ovat tärkeitä ydinfysiikassa.

20 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ2.7 Pistevarauksen jakautumaYksittäiset pistevaraukset voidaan käsitellä samalla formalismilla kuin varausjakautumatottamalla käyttöön Diracin deltafunktio δ(r), jolloinρ(r) =qδ(r) (2.49)Deltafunktion ominaisuudet oletetaan tutuiksi (HT), todettakoon tässä kuitenkinseuraavat ominaisuudet∫∫δ(r) = 0, jos r ≠ 0 (2.50)δ(r ′ ) dV ′ = 1 (2.51)F (r ′ )δ(r ′ − r 0 ) dV ′ = F (r 0 ) (2.52)Lasketaan triviaalina esimerkkinä pisteessä r i olevan varauksen sähkökenttätällä formalismillaE(r) = 14πɛ 0∫Vq i δ(r ′ − r i )|r − r ′ | 3 (r − r ′ ) dV ′ = q i r − r i4πɛ 0 |r − r i | 3 (2.53)2.8 Poissonin ja Laplacen yhtälötSähköstatiikka olisi aika suoraviivaista touhua, jos tietäisimme aina etukäteenkaikkien varausten paikat ja varausjakautumien paikkariippuvuudet.Näin ei kuitenkaan ole laita monissa käytännön ongelmissa. Koska ∇·E =ρ/ɛ 0 ja E = −∇ϕ, Gaussin laki differentiaalimuodossa vastaa matematiikanPoissonin yhtälöä∇ 2 ϕ = − ρ ɛ 0(2.54)Poissonin yhtälö voidaan integroida, jos varausjakautuman funktiomuoto jaoikeat reunaehdot tunnetaan. Usein tarkasteltavan tilanteen geometriastaon hyötyä ja silloin Laplacen operaattori ∇ 2 on tarpeen kirjoittaa sopivissakoordinaateissa, esimerkiksi:• karteesisissa koordinaateissa• pallokoordinaateissa∇ 2 ϕ ≡ 1 (∂r 2 ∂rr 2 ∂ϕ∂r∇ 2 ϕ ≡ ∂2 ϕ∂x 2 + ∂2 ϕ∂y 2 + ∂2 ϕ∂z 2 (2.55))+ 1r 2 sin θ(∂∂θsin θ ∂ϕ∂θ)+1 ∂ 2 ϕr 2 sin 2 θ ∂φ 2 (2.56)

2.8. POISSONIN JA LAPLACEN YHTÄLÖT 21• sylinterikoordinaateissa∇ 2 ϕ ≡ 1 r(∂∂rr ∂ϕ∂r)+ 1 r 2 ∂ 2 ϕ∂θ 2 + ∂2 ϕ∂z 2 (2.57)Tapauksissa, joissa varaustiheys on nolla, Poissonin yhtälö yksinkertaistuuLaplacen yhtälöksi∇ 2 ϕ = 0 (2.58)Laplacen yhtälön toteuttavaa funktiota kutsutaan harmoniseksi.Tarkastellaan sitten sähköstaattista systeemiä, joka koostuu N johdekappaleesta.Kunkin johteen pinnalla potentiaali on ϕ I , I =1,...,N.Sähköstatiikanpotentiaaliongelmissa tehtävänä on etsiä ϕ = ϕ(r) annetuilla reunaehdoilla.Reunaehtoja on olemassa kahta tyyppiä:1. Tunnetaan potentiaali ϕ alueen reunalla. Tällaisia reunaehtoja kutsutaanDirichlet’n reunaehdoiksi.2. Tunnetaan potentiaalin derivaatan normaalikomponentti ∂ϕ/∂n alueenreunalla. Tällaisia reunaehtoja kutsutaan von Neumannin reunaehdoiksi.Selvitetään ensin, missä määrin mahdollisesti löydettävät ratkaisut ovatyksikäsitteisiä.Ensinnäkin on selvää, että• Jos ϕ 1 (r),...,ϕ n (r) ovat Laplacen yhtälön ratkaisuja, niinϕ(r) = ∑ C i ϕ i (r)missä C i :t ovat mielivaltaisia vakioita, on Laplacen yhtälön ratkaisu.Yksikäsitteisyyslause• Kaksi annetut reunaehdot täyttävää Laplacen yhtälön ratkaisua ovatadditiivista vakiota vaille samat.Tarkastellaan tämän todistamiseksi johteiden pinnat S 1 ,...,S N sisäänsäsulkevaa tilavuutta V 0 , joka on pinnan S sisällä (pinta voi olla äärettömyydessä).Olkoot ϕ 1 ja ϕ 2 kaksi Laplacen yhtälön toteuttavaa ratkaisua, jotkatäyttävät samat reunaehdot johteiden pinnalla S I , siis joko ϕ 1 = ϕ 2 tai

22 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ∂ϕ 1 /∂n = ∂ϕ 2 /∂n näillä pinnoilla sekä pinnalla S. Tarkastellaan funktiotaΦ = ϕ 1 − ϕ 2 . Tilavuudessa V 0 on tietenkin ∇ 2 Φ = 0. Reunaehdoistapuolestaan seuraa, että kaikilla reunoillajoko Φ = 0 tai n ·∇Φ= ∂Φ∂n =0Sovelletaan sitten divergenssiteoreemaa vektoriin Φ∇Φ:∫∮∇·(Φ∇Φ) dV =(Φ∇Φ) · n dS =0V 0S+S 1 +...+S Nkoska joko Φ tai ∇Φ · n on pinnoilla 0. Toisaaltaeli∇·(Φ∇Φ)=Φ∇ 2 Φ+(∇Φ) 2 =(∇Φ) 2∫(∇Φ) 2 dV =0V 0Koska toisaalta (∇Φ) 2 ≥ 0 koko alueessa V 0 , sen on oltava nolla kaikkialla.Tästä seuraa, että Φ on vakio koko alueessa V 0 ja yksikäsitteisyyslause onsiten todistettu.Huom. Tämä ei ole todistus ratkaisun olemassaololle vaan sille, että josratkaisuja on, ne ovat yksikäsitteisiä! Tarkastelun merkitys on siinä, ettäjos löydämme millä keinolla tahansa annetut reunaehdot täyttävän Laplacenyhtälön ratkaisun, ratkaisu on Dirichlet’n reunaehdolla yksikäsitteinenja von Neumannin reunaehdolla vakiota (eli potentiaalin nollatasoa) vailleyksikäsitteinen.Todistuksessa käytettiin Greenin ensimmäistä kaavaa (GI)∫∮(ϕ∇ 2 ψ + ∇ϕ ·∇ψ) dV = ϕ∇ψ · n dS (2.59)Vsovellettuna tapaukseen Φ = ϕ = ψ. Greenin toinen kaava (GII)∫∮(ψ∇ 2 ϕ − ϕ∇ 2 ψ) dV = (ψ∇ϕ − ϕ∇ψ) · n dS (2.60)Vtunnetaan myös nimellä Greenin teoreema. Nämä ovat divergenssiteoreemansuoria seurauksia (HT).SS2.9 Laplacen yhtälön ratkaiseminenLaplacen yhtälö on yksi fysiikan keskeisimmistäyhtälöistä. Sähköopin lisäksise esiintyy mm. lämmönsiirtymisilmiöissä, virtausmekaniikassa, jne. Kovinmonimutkaisissa tilanteissa yhtälöä ei voi ratkaista analyyttisesti, mutta tutustutaantässä muutamiin tapauksiin, joissa ongelman symmetriasta onhyötyä.

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 232.9.1 Muuttujien erotteluTutustutaan tässä lyhyesti menetelmään, jolla Laplacen yhtälö, joka onosittaisdifferentiaaliyhtälö, saadaan muunnetuksi ryhmäksi tavallisia yhdenmuuttujan differentiaaliyhtälöitä. Aiheesta enemmän kurssilla FYMM II jafysiikan matemaattisten menetelmien oppikirjoissa. Kirjoitetaan Laplacenyhtälö ensin karteesisissa koordinaateissa∂ 2 ϕ∂x 2 + ∂2 ϕ∂y 2 + ∂2 ϕ∂z 2 = 0 (2.61)ja etsitään sille ratkaisua yritteelläϕ(x, y, z) =X(x)Y (y)Z(z) (2.62)Sijoitetaan tämä yhtälöön (18.1) ja jaetaan tulolla XY Z, jolloin saadaan1 d 2 XX dx 2 + 1 Yd 2 Ydy 2 + 1 d 2 ZZ dz 2 = 0 (2.63)Nyt jokainen termi riippuu vain yhdestä muuttujasta, jotka ovat keskenäänriippumattomia. Niinpä kunkin termin on oltava erikseen vakioita1 d 2 XX dx 2 = α2 ;1Yd 2 Ydy 2 = β2 ;1 d 2 ZZ dz 2 = γ2 (2.64)missä α 2 + β 2 + γ 2 = 0. Nyt kukin yhtälöistä (2.64) on helppo ratkaistaX(x) = A 1 e αx + A 2 e −αxY (y) = B 1 e βy + B 2 e −βy (2.65)Z(z) = C 1 e γz + C 2 e −γzmissä yleisesti kompleksiarvoiset vakiot A i ,B i ,C i ja α, β, γ määräytyvätongelman reunaehdoista.Laplacen yhtälö voidaan separoida kaikkiaan 11 erilaisessa koordinaatistossa.Koska pistevarauksen kenttä on pallosymmetrinen, pallokoordinaatistoon usein erittäin käyttökelpoinen. Laplacen yhtälö ontällöin1r 2 ∂∂r(r 2 ∂ϕ∂r)+1r 2 sin θ∂∂θEtsitään tälle ratkaisua muodossa(sin θ ∂ϕ∂θ)+1 ∂ 2 ϕr 2 sin 2 θ ∂φ 2 = 0 (2.66)ϕ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ)Φ(φ) (2.67)rSijoitetaan tämä yhtälöön (2.66), kerrotaan suureella r 2 sin 2 θ ja jaetaanRΘΦ:llä:(1r 2 sin 2 d 2 RθR dr 2 + 1 1 dr 2 sin θ Θ dθ(sin θ dΘ ) ) + 1 d 2 Φdθ Φ dφ 2 = 0 (2.68)

24 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄNyt ainoastaan viimeinen termi riippuu φ:stä, joten sen on oltava vakio, jotamerkitään −m 2 :llä:1 d 2 ΦΦ dφ 2 = −m2 (2.69)Tämän ratkaisut ovat tietenkin muotoaΦ(φ) =vakio · e ±imφ (2.70)Yleisesti m on kompleksinen, mutta fysikaalinen ehto rajaa sen mahdollisetarvot: jotta ratkaisu olisi jatkuva, kun φ → 0jaφ → 2π, on oltavaΦ(0) = Φ(2π), joten m =0, ±1, ±2,....Yhtälön (2.68) ensimmäisen terminon oltava puolestaan m 2 , joten( (1R r2 d2 R 1dr 2 + 1 dsin θ dΘ ) )− m2sin θ Θ dθ dθ sin 2 = 0 (2.71)θNyt tämän yhtälön ensimmäinen ja toinen termi riippuvat kumpikin ainoastaanomasta muuttujastaan ja ovat siten yhtä suuria vastakkaismerkkisiävakioita, jota merkitään l(l + 1):llä(1 1 dsin θ Θ dθsin θ dΘdθYhtälön (2.72) yleinen ratkaisu on muotoa1R r2 d2 Rdr 2 = (l +1)l (2.72))− m2sin 2 = −(l +1)l (2.73)θR(r) =Ar l+1 + Br −l (2.74)missä A ja B ovat vakioita. Kirjoittamalla ξ = cos θ saadaan Θ:n yhtälöksiddξ ((1 − ξ2 ) dΘ()dξ )+ l(l +1)−m21 − ξ 2 Θ = 0 (2.75)Jotta tämän ratkaisut olisivat äärellisiä pisteissä ξ ± 1 eli θ =0,π, on oltaval = |m|, |m|+1,.... Tietyllä tavalla normitettuja ratkaisuja ovat Legendrenliittofunktiot Plm (ξ). Niille on voimassa ehto |m| ≤l, jotenm = −l, −l +1,...,l− 1,l (2.76)Erikoistapauksessa m = 0, jolloin Laplacen yhtälön ratkaisu ei riipulainkaan φ:sta, Legendren liittofunktiot redusoituvat Legendren polynomeiksiP l , jotka voidaan laskea kaavastaP l (ξ) = 12 l l!d ldξ l (ξ2 − 1) l (2.77)

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 25Legendren liittofunktiot saadaan Legendren polynomeista puolestaan kaavallaPlm (ξ) =(1− ξ 2 m/2 dm)dξ m P l(ξ) (2.78)Yleisesti Laplacen yhtälöllä on siis pallokoordinaatistossa jokaista l kohti2l + 1 kulmista θ ja φ riippuvaa ratkaisua. Ne voidaan sopivasti normittaenlausua palloharmonisten funktioiden√2l +1Y lm (θ, φ) =(−1) m (l − m)!4π (l + m)! P l m (cos θ)e imφ (2.79)avulla. Normitus on valittu siten, että pallofunktiot Y lm muodostavat ortonormitetuntäydellisen funktiojärjestelmän pallon pinnalla:∫Ylm(θ, ∗ φ)Y np (θ, φ) dΩ =δ ln δ mp (2.80)Palloharmonisten yhteenlaskuteoreema antaa kahden vektorin välisen etäisyydenkäänteisluvun summana1∞|r − r ′ | = ∑ l∑ 4π rmissä vektorin r suuntakulmat ovat θ, φ ja vektorin r ′ suuntakulmat θ ′ ,φ ′sekä r < = min(r, r ′ )jar > = max(r, r ′ ).Mikä hyvänsä riittävän säännöllinen pallon pinnalla määritelty funktiovoidaan kehittää palloharmonisten sarjaksi. Esimerkkinä käy maapallonmagneettikenttä, jonka sarjakehitelmän johtava termi vastaa magneettistadipolia ja korkeammat termit johtuvat kentän lähteen poikkeamisestadipolista, magneettisen maa-aineksen epätasaisesta jakautumasta ja maapallonyläpuolisissa ionosfäärissä ja magnetosfäärissä kulkevista sähkövirroista.Palloharmonisia funktioita tarvitaan myös paljon atomifysiikassa ja kvanttimekaniikassamm. tarkasteltaessa impulssimomenttioperaattoreita. Tekijä(−1) m kaavassa (2.79) on vaihetekijä, joka voidaan periaatteessa jättää poistai ottaa mukaan jo Plm :n määritelmässä (2.78). Sen ottaminen mukaan onhyödyllistä eritoten kvanttimekaniikan laskuissa (katso esim. Arfken).Kootaan lopuksi löydetty Laplacen yhtälön muotoaϕ(r, θ, φ) = R(r) Θ(θ)Φ(φ)roleva ratkaisu, kun 0

26 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ2.9.2 Ratkaisu pallokoordinaateissaRatkaistaan Laplacen yhtälö pallokoordinaatistossa rajoittuen atsimutaalisymmetriseentapaukseen, missä siis ∂ϕ/∂φ = 0 eli ϕ = ϕ(r, θ). Tällaisiaovat pistevarauksen tai dipolin kaltaiset tilanteet, mukaanlukien myöhemmineteentuleva magneettisen dipolin kenttä. Laplacen yhtälö onnyt1r 2 ∂∂r(r 2 ∂ϕ∂r)+1r 2 sin θ∂∂θ(sin θ ∂ϕ∂θ)= 0 (2.83)Toistetaan harjoituksen vuoksi edellä ollut muuttujien separointi etsimälläratkaisua yritteelläϕ(r, θ) =Z(r)P (θ) (2.84)⇒1Z(ddrr 2 dZdr)= − 1 (dsin θ dP )P sin θ dθ dθ(2.85)Yhtälön molemmat puolet ovat yhtä suuria kuin jokin vakio k kaikilla r:nja θ:n arvoilla. Näin osittaisdifferentiaaliyhtälö on hajotettu kahdeksi tavalliseksidifferentiaaliyhtälöksi. Kulman θ yhtälöä kirjoitettuna muodossa1sin θddθ(sin θ dPdθ)+ kP = 0 (2.86)kutsutaan Legendren yhtälöksi. Kuten edellä todettiin, fysikaalisesti kelvollisetratkaisut kaikilla θ ∈ [0,π] edellyttävät, että k = n(n + 1), missä n onpositiivinen kokonaisluku ja ratkaisut ovat Legendren polynomeja P n (cos θ).(Huom. RMC merkitsee samaa asiaa P (θ):lla!)P n (cos θ) = 1 d n2 n n! d(cos θ) n [cos2 θ − 1] n (2.87)joten muutama ensimmäinen P n onP 0 = 1P 1 = cos θP 2 = 1 ()3 cos 2 θ − 12P 3 = 1 ()5 cos 3 θ − 3 cos θ2Tarkastellaan sitten radiaalista yhtälöä(dr 2 dZ )= n(n +1)Z (2.88)dr drYrite Z n (r) =C n r s antaa kaksi riippumatonta ratkaisua r n ja r −(n+1) . Radiaalisenyhtälön täydellinen ratkaisu on näiden lineaarikombinaatioZ n (r) =A n r n + B n r −(n+1) (2.89)

2.9. LAPLACEN YHTÄLÖN RATKAISEMINEN 27ja koko Laplacen yhtälön ratkaisu atsimutaalisessa symmetriassa on muotoaϕ(r, θ) =∞∑n=0(A n r n +B )nr (n+1) P n (cos θ) (2.90)Integroimisvakiot A n ja B n on määritettävä reunaehdoista.Esimerkki. Johdepallo vakiosähkökentässäTarkastellaan tasaista sähkökenttää E 0 , johon tuodaan varautumaton johdepallo.Johdepallo pakottaa alunperin suorat kenttäviivat taipumaan siten,että ne leikkaavat pallon pintaa kohtisuoraan. Valitaan koordinaatisto siten,että origo on pallon keskipisteessä jasähkökenttä onz-akselin suuntainen.Tällöin on selvää, että ongelma on atsimutaalisymmetrinen. Johteen pintaon kaikkialla samassa potentiaalissa ϕ 0 .ϕ(a, θ) =ϕ 0 (2.91)missä a on pallon säde. Kaukana pallosta sähkökenttä lähestyy alkuperäistäkenttääE(r, θ) r→∞ = E 0 e z (2.92)mistä voidaan laskea potentiaali∫ϕ(r, θ) r→∞ = − E · dr = −E 0 r cos θ + C = −E 0 z + C (2.93)Valitsemalla origon potentiaaliksi nolla, saadaan C =0.Tarkastellaan sitten yhtälön 2.90 kertoimia. Kirjoitetaan auki potentiaalinmuutama ensimmäinen termiϕ(r, θ) = A 0 + B 0r + A 1r cos θ + B 1+ B 2r 3 [ 12() ]3 cos 2 θ − 1[ 1r 2 cos θ + A 2r 2 2(3 cos 2 θ − 1) ] + ... (2.94)Kun r →∞,ϕ= −E 0 r cos θ ⇒ A n = 0, kaikille n ≥ 2jaA 1 = −E 0 . Koskapallon kokonaisvaraus on nolla, potentiaalissa ei ole (1/r)-riippuvuutta, eliB 0 =0.Jäljellä olevat cos n θ-termit, joissa n ≥ 2, ovat kaikki lineaarisestiriippumattomissa polynomeissa P n , joten ne eivät voi kumota toisiaan pallonpinnalla, missä ei ole θ-riippuvuutta (potentiaali on vakio johteen pinnalla),eli B n = 0 kaikille n ≥ 2. Näin ollen jäljellä onϕ(a, θ) = ϕ 0 (2.95)ϕ(r, θ) = A 0 − E 0 r cos θ + B 1cos θ (2.96)r2

28 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄKun r = a, cos θ-termien on kumottava toisensa, joten saamme määrätyksiA 0 = ϕ 0 ja B 1 = E 0 a 3 . Niinpä reunaehdot täyttävä Laplacen yhtälönratkaisu on(a 3 )E 0ϕ(r, θ) =ϕ 0 + − E 0 r cos θ (2.97)Sähkökentän E = −∇ϕ komponentit saadaan laskemallaE r = − ∂ϕ( )∂r = E 0 1+2 a3r 3 cos θ (2.98)E θ = − 1 ( )∂ϕr ∂θ = −E 0 1 − a3r 3 sin θ (2.99)Pallon pintavaraustiheys onr 2σ = ɛ 0 E r (r = a) =3ɛ 0 E 0 cos θ (2.100)Pinnalle indusoituva varausjakautuma on θ:n funktio. Sen dipolimomenttion∫∫p = rρ(r) dV = (re r )(3ɛ 0 E 0 cos θ)r 2 sin θdθdφpallor=a∫ π= 6πa 3 ɛ 0 E 0 k cos 2 θ sin θdθ=4πɛ 0 a 3 E 0 e z (2.101)0Kaukaa katsottuna johdepallon osuus kentästä on sama kuin origoon sijoitetundipolin, jonka dipolimomentti on p =4πɛ 0 a 3 E 0 e z .2.9.3 Ratkaisu sylinterikoordinaateissaUseat fysiikan ongelmat ovat sylinterisymmetrisiä. Tarkastellaan esimerkkinäLaplacen yhtälöä pitkän suoran virtajohteen tapauksessa. Mikäli tarkasteltavasylinteri on riittävän pitkä, voidaan olettaa ∂ϕ/∂z = 0 ja Laplacenyhtälöstä tulee(1 ∂r ∂ϕ )+ 1 ∂ 2 ϕr ∂r ∂r r 2 ∂θ 2 = 0 (2.102)Huom. Sylinterikoordinaatistossa r:llä jaθ:lla on eri merkitys kuin pallokoordinaatistossa!Laplacen yhtälö separoituu yritteellä ϕ = Y (r)S(θ)rY(dr dY )= − 1 d 2 Sdr dr S dθ 2 = k (2.103)missä separointivakiolle k tulee jälleen tiettyjä rajoituksia kulmayhtälöstäd 2 S+ kS = 0 (2.104)dθ2

2.10. PEILIVARAUSMENETELMÄ 29Tämän ratkaisut ovat sin √ kθ ja cos √ kθ.Näiden on oltava yksikäsitteisiäja jatkuvia välillä 0≤ θ ≤ 2π eli cos √ k (θ +2π) = cos √ kθ.Tästä seuraa,että k = n 2 , missä n on kokonaisluku, joka voidaan rajoittaa positiiviseksieli ratkaisufunktiot ovat sin nθ ja cos nθ. Lisäksi tapauksessa k = 0, saadaanratkaisu S = A 0 θ + C 0 . Radiaalisesta yhtälöstä tulee nyt(r dYdr)− n 2 Y =r d drr 2 d2 Ydr 2 + r dYdr − n2 Y = 0 (2.105)joka ratkeaa yritteellä Y = a s r sa s s(s − 1)r s + a s sr s − a s n 2 r s = 0 (2.106)Tästä saadaan ehto s:lle s 2 − s + s − n 2 = 0 eli s = ±n. Ratkaisufunktiotovat siis muotoa Y = r n ja Y = r −n . Tapaus n = 0 antaa lisäksi ratkaisunY = ln(r/r 0 ). Kokonaisuudessaan ratkaisu onϕ(r, θ) =∞∑ (An r n + B n r −n) (C n sin nθ + D n cos nθ)n=1+(A 0 ln (r/r 0 )) (C 0 θ + D 0 ) (2.107)Vakiot on jälleen selvitettävä tarkasteltavan tilanteen ominaisuuksista jareunaehdoista.2.10 PeilivarausmenetelmäLaplacen yhtälön yksikäsitteisyys antaa ratkaisijalle vapauden käyttää mieleisiäänkikkoja ratkaisun löytämiseen. Tietyissä geometrisesti yksinkertaisissatapauksissa peilivarausmenetelmä onnäppärä keino välttää itse differentiaaliyhtälönratkaiseminen. Tarkastellaan tilannetta, jossa meillä onjoko annettu tai varausjakautumasta helposti laskettavissa oleva potentiaaliϕ 1 (r) ja johteita, joiden pintavarausjakautuma olkoon σ(r). Tällöin kokonaispotentiaalionϕ(r) =ϕ 1 (r)+ 1 σ(r4πɛ 0∫S′ ) dS|r − r ′ |(2.108)Nyt ratkaisuun johdesysteemin ulkopuolella ei vaikuta lainkaan, kuinka varauson jakautunut johteen pinnan takana, kunhan johteen pinnalla on voimassasamat reunaehdot. Voimme siis ajatella, ettei kyseessä olekaan johdekappalevaan pinta, jonka takana on varausjakautuma, joka antaa samatreunaehdot kuin oikea johdekappaleen pintavaraus. Tarkastellaan seuraavassamuutamaa esimerkkiä.

30 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄEsim. 1. Pistevaraus johdetason lähelläValitaan johdetasoksi (y, z)-taso ja olkoon varaus qx-akselilla pisteessä x =d. Johteen pinta on tasapotentiaalipinta, jonka potentiaali voidaan valitanollaksi. Toisaalta (y, z)-taso saadaan nollapotentiaaliin asettamalla varaus−q pisteseen (−d, 0, 0). Ratkaisujen yksikäsitteisyyden vuoksi tämäjärjestely antaa oikean ratkaisun alueessa x ≥ 0. Puoliavaruuteen x

2.11. POISSONIN YHTÄLÖN RATKAISEMISESTA 31raθbq’dqKuva 2.4: Pistevaraus johdepallon lähellä.ja asettamalla puolestaan θ = π löytyy peilivarauksen suuruusja ongelma on ratkaistu.q ′ = − a d q (2.114)Mikäli palloa ei olisi maadoitettu, sen keskipisteeseen voitaisiin asettaatoinen peilivaraus q ′′ , joka puolestaan sovitettaisiin antamaan pinnalla oikeareunaehto. Pallon kokonaisvaraus olisi tällöinQ = q ′ + q ′′ (2.115)2.11 Poissonin yhtälön ratkaisemisestaEdellisissä jaksoissa tarkasteltiin tilanteita, joissa oli joko pelkästään johdekappaleitatai johdekappaleita ja yksittäisiä varauksia. Yleisessä tilanteessameillä voi olla annettu varausjakautuma ρ sekä johdekappaleita, joiden pintavarausjakautumaon tuntematon. Tällöin on ratkaistava Poissonin yhtälö∇ 2 ϕ = − ρ ɛ 0(2.116)Tämä voidaan tehdä integroimalla varausjakautuman yliϕ 1 (r) =+ 14πɛ 0∫Vρ(r ′ )|r − r ′ | dV ′ (2.117)ja lisäämällä tähän Laplacen yhtälön sellainen ratkaisu ϕ 2 , että yhteenlaskettupotentiaali toteuttaa reunaehdot johdekappaleiden pinnalla.Kaikki ylläolevat esimerkit ovat perustuneet hyvin yksinkertaiseen geometriaan.Yleisemmin voidaan osoittaa, että Laplacen ja Poissonin yhtälöt,

32 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄjotka totetuttavat joko Dirichlet’n tai von Neumannin reunaehdot, voidaanratkaista käyttäen Greenin teoreemaa (2.60) ja Greenin funktioita. Tarvitsemmetätä varten vielä kolmannenkin Greenin kaavan (GIII). Se saadaansoveltamalla GII:ta tapaukseenψ(r, r ′ 1)=|r − r ′ (2.118)|missä r on jokin kiinteä piste alueessa V . Muodollisesti voidaan kirjoittaaSijoittamalla nämä GII:een (2.60) saadaan GIIIϕ(r) = − 1 ∫dV ′ 14π |r − r ′ | ∇2 ϕ(r ′ )V∮∇ 2 ψ(r, r ′ )=−4πδ(r − r ′ ) (2.119)− ∂ (∂n+ 1 [dS ′ 1 ∂ϕ(r ′ )4π S |r − r ′ | ∂n(todistus, esim. CL 2.6.1, tai Jacksonin oppikirja)1|r − r ′ |) ]ϕ(r ′ ) (2.120)GIII:a ei voi käyttää suoraan, koska siinä esiintyvät sekä Dirichlet’nettä von Neumannin reunaehdot. Oletetaan, että F (r, r ′ ) on jokin alueessamääritelty harmoninen funktio eli funktio, joka toteuttaa Laplacen yhtälön∇ 2 F (r, r ′ ) = 0, missä derivaatta on otettu pilkuttoman koordinaatin suhteen.Nyt GII antaa tuloksen∫0 = − dV ′ F (r, r ′ )∇ 2 ϕ(r ′ )V∮+S∂n − ∂F(r, r′ )∂nMuodostetaan sitten Greenin funktiodS ′ (F (r, r ′ ) ∂ϕ(r′ ))ϕ(r ′ )(2.121)G(r, r ′ 1)=|r − r ′ | + F (r, r′ ) (2.122)Summaamalla (2.120) ja (2.121) saadaan tulos∫ϕ(r) = − dV ′ G(r, r ′ )∇ 2 ϕ(r ′ )+V∮SdS ′ (G(r, r ′ ) ∂ϕ(r′ )∂n − ∂G(r, r′ )∂n)ϕ(r ′ )(2.123)Valitsemalla sellainen F (r, r ′ ) joka täyttää joko Dirichlet’n reunaehdot F Dtai von Neumannin reunaehdot F N saadaan tästä Poissonin yhtälön ratkaisuannetuilla reunaehdoilla.Greenin funktiolla on selvästikin ominaisuus∇ ′2 G(r, r ′ )=−4πδ(r − r ′ ) (2.124)

2.11. POISSONIN YHTÄLÖN RATKAISEMISESTA 33Greenin funktioiden käyttö ei rajoitu suinkaan Poissonin yhtälön ratkomiseen,vaan niillä on keskeinen osa ratkottaessa erilaisia integraaliyhtälöitä.Poissonin lauseke potentiaalille varausjakautuman funktiona on sinälläänpoikkeuksellisen yksinkertainen integraaliyhtälö.Esimerkki. Pallon Greenin funktioTarkastellaan esimerkkinä pallon Greenin funktiota Dirichlet’n reunehdolla,että potentiaali pallon pinnalla on tunnettu. Tällöin valitaanG D (r, r ′ 1)=|r − r ′ | + F D(r, r ′ ) (2.125)reunaehdolla []1|r − r ′ | + F D(r, r ′ ) = 0 (2.126)r ′ ∈Smissä S on pallon pinta. Olemme jo aiemmin ratkaisseet identtisen ongelmanyhdelle pistevaraukselle pallon ulkopuolella ehdolla, että potentiaali pallonpinnalla on nolla yhtälössä (2.112). Siellä saatu ratkaisu on vakiota q/4πɛ 0vaille yhtälön (2.126) ratkaisu, jotenG D (r, r ′ 1)=|r − r ′ | − ar ′ |r − (a/r ′ ) 2 r ′ (2.127)|missä a on origossa sijaitsevan pallon säde. Potentiaali saadaan integroimallaϕ(r) = 1 G D (r, r4πɛ 0∫V′ )ρ(r ′ ) dV ′ − 14π∫S∂G D (r, r ′ )∂nϕ(r ′ ) dS ′ (2.128)missä onV viittaa pallon tilavuuteen ja S pallon pintaan. Normaalivektorin suuntautuu ulospäin siitä alueesta, jossa potentiaali halutaan laskea.Tarkasteltaessa aluetta pallon sisällä n = e r ja ulkopuolista aluetta tutkittaessan = −e r . Ulospäin suuntautuva normaaliderivaatta onr ′a ·∇′ G D (r, r ′ ) ∣ = − 1 a 2 − r 2 ∣ ∣∣rr ′ ∈S a |r − r ′ | 3 ′ ∈S= r2 − a 2(a 2 − 2 ar cos γ + r 2 ) −3/2 (2.129)amissä γ on r:n ja r’:n välinen kulma.Sovelletaan Greenin funktiota tapaukseen, jossa pallon sisällä ei ole varaustaeli ratkaistaan Laplacen yhtälö reunaehdolla ϕ(a) =f(r), kun r onpallon pinnalla. Tämä antaa Poissonin kaavana tunnetun tuloksenϕ(r) = a2 − r 2 ∫f(a, θ ′ ,φ ′ )4πa S (a 2 − 2 ar cos γ + r 2 dS′) 3/2= a(a2 − r 2 ∫) f(a, θ ′ ,φ ′ )4π (a 2 − 2 ar cos γ + r 2 ) 3/2 dΩ′ (2.130)S

34 LUKU 2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄjoka ilmaisee siis potentiaalin alueen sisällä olettaen annetun potentiaalinpallon pinnalla. Jos puolestaan halutaan tarkastella potentiaalia pallon ulkopuolella,pintaintegraalissa normaalin suunta määritellään ulospäin ja ainoamuutos on korvata (a 2 − r 2 ) → (r 2 − a 2 ).

Luku 3Sähkökenttä väliaineessaTässä luvussa tutustutaan sähkökenttään väliaineessa (RMC luku 4, CLluku 4; esitiedot KSII luku 2, osa 2.9). Väliaineiden sähköisiin ja magneettisiinominaisuuksiin tutustutaan lisää luvussa 10.Edellisessä luvussa tarkasteltiin sähköstaattista kenttää tilanteissa, joissaoli annettuja varausjakautumia tai vapaita varauksia johdekappaleiden pinnalla.Läheskään kaikki materiaalit eivät kuitenkaan ole johteita. Hyvän johteenvastakohta on ideaalinen eriste, jossa ei ole lainkaan vapaita varauksia.Aine on kuitenkin koostunut positiivisesti varatuista atomiytimistä ja elektroneista.Jos eriste asetetaan sähkökenttään, kenttä aiheuttaa voimavaikutukseneristeen rakenneosasiin. Vaikutuksen suuruus riippuu materiaalinmikroskooppisista ominaisuuksista. Eristeeseen syntyvää makroskooppistavaikutusta kuvataan eristeen positiivisten varausten siirtymänä negatiivisiinvarauksiin nähden. Aineen sanotaan tällöin polarisoituneen. Sisäisen polarisoitumanja ulkoisen kentän yhteisvaikutus on usein hyvin monimutkainenvuorovaikutusketju, sillä polarisoituma muuttaa puolestaan ulkoista kenttääja mikäli eristeen lähellä on johdekappaleita, niiden pinnalle indusoituva varausjakautumamuuttuu, mikä puolestaan muuttaa eristeeseen vaikuttavaaulkoista kenttää.3.1 Sähköinen polarisoitumaEnnen kuin jatketaan, palautetaan mieleen, että sähköstatiikka hallitaanyhtälöillä∇·E = ρ ɛ 0(3.1)∇×E = 0 (3.2)35

36 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAErityisesti on huomattava, että ρ sisältää kaikki varaukset eikä mitään jakoa”vapaisiin” ja ”muihin” varauksiin tarvitse tehdä. Periaatteessa polarisoituvaaine voidaan siis käsitellä varausjakaumien avulla. Käytännössä aineenmikroskooppinen kuvaaminen ei ole helppoa. Tähän palaamme vielä luvussa10.Tarkastellaan polarisoituneen aineen pientä tilavuusalkiota △V , jonkadipolimomentti on∫△p = r dq (3.3)Sähköinen polarisoituma määritellään dipolimomenttina yksikkötilavuudessaP = △p(3.4)△VTämä määritelmä edellyttää, että △V on makroskooppisessa mielessä pieni.Varsinaisesta raja-arvosta △V → 0 ei tarkkaan ottaen ole kysymys, koskatilavuusalkiossa täytyy kuitenkin olla monta molekyyliä, jotta polarisaatioylipäänsä syntyisi. Makroskooppiselta kannalta polarisoitumaa voi kuitenkintarkastella jatkuvana paikan funktiona.Polarisoituman SI-yksikkö onC/m 2 , joten [P] =[ɛ 0 ][E]. Cgs-yksiköissä,missä tyhjön permittiivisyys on 1/4π, polarisoitumalla on sama yksikkö kuinsähkökentällä.△V3.2 Polarisoituman aiheuttaman sähkökentänmäärittäminenTarkastellaan pisteessä r ′ sijaitsevan pienen eristealkion △V ′ dipolimomenttia△p = PdV ′ . Oletetaan, että korkeampien multipolien vaikutus voidaanjättää huomiotta. Vaihtoehtoisesti voidaan ajatella, että havaintopiste r onniin etäällä, että tämän alkion aiheuttama sähköinen potentiaali saadaanlaskemalla pelkän dipolimomentin potentiaali△ϕ(r) = △p · (r − r′ )4πɛ 0 |r − r ′ | 3 = P(r′ ) · (r − r ′ )△V ′4πɛ 0 |r − r ′ | 3 (3.5)Kokonaispotentiaali pisteessä r on tietenkin tämän integraaliϕ(r) = 1 ∫P(r ′ ) · (r − r ′ ) dV ′4πɛ 0 V 0|r − r ′ | 3 (3.6)Mikäli polarisoituma tunnetaan, potentiaali voidaan laskea tästä suoraan.Käytännössä sama asia on hyödyllistä ilmaista hieman eri tavalla. Koska( )∇ ′ 1|r − r ′ = r − r′| |r − r ′ | 3 (3.7)

3.2. POLARISOITUMAN AIHEUTTAMAN SÄHKÖKENTÄNMÄÄRITTÄMINEN37voidaan potentiaalin integrandi kirjoittaaP(r ′ ) · (r − r ′ ( ))|r − r ′ | 3 = P ·∇ ′ 1|r − r ′ |Käyttämällä kaavaa(3.8)saadaan∇ ′ · (fF) =f∇ ′ · F + F ·∇ ′ f (3.9)P(r) · (r − r ′ ( ))P|r − r ′ | 3 = ∇ ′ 1·|r − r ′ −| |r − r ′ | ∇′ · P (3.10)Tämän avulla ja soveltamalla divergenssiteoreemaa potentiaali voidaan ilmaistaseuraavasti:ϕ(r) ===∮14πɛ 0[∮14πɛ 0∫14πɛ 0P · n dS ′S 0|r − r ′ |σ P dS ′ ∫S 0|r − r ′ | +dq ′ P|r − r ′ |+ 14πɛ 0∫ρ P dV ′V 0|r − r ′ |(−∇ ′ · P) dV ′V 0|r − r ′ |](3.11)missä S 0 on eristeen pinta. Potentiaali voidaan siis laskea lausekkeista, jotkamuistuttavat edellisessä luvussa olleita avaruus- ja pintavaraustiheydenintegraaleja. Tämä onkäytännön ongelmissa usein näppärämpi tapa laskeapotentiaali kuin suora sähköisen polarisoituman integraali. Suureitaσ P ≡ P · n (3.12)ρ P ≡ −∇·P (3.13)kutsutaan polarisaatiovaraustiheyksiksi. Niiden fysikaalinen dimensioon varaus/pinta-ala (σ P ) ja varaus/tilavuus (ρ P ) ja ne aiheuttavat eristeenulkopuolella todellisen potentiaalin ϕ, josta saadaan sähkökenttä E = −∇ϕ.Kyse ei ole kuitenkaan oikeista ”vapaista” varauksista vaan tavasta kuvataeristeen ominaisuuksia varausjakautuman dq P′ avulla. Tämän vuoksipolarisaatiovarauksia kutsutaan usein näennäisiksi varauksiksi, mikä eikuitenkaan tee niille täyttä oikeutta. Eriste on kokonaisuudessaan neutraali,joten kokonaisvaraus∫∮Q P = (−∇ ′ · P) dV ′ + P · n dS ′ = 0 (3.14)V 0 S 0mikä on suora seuraus divergenssiteoreemasta.RMC:ssä edellä oleva tarkastelu on aluksi rajoitettu eristekappaleen ulkopuoliseenalueeseen. Sen jälkeen todetaan, että sama potentiaalin lausekekelpaa myös eristeen sisällä. Tällainen jako ei kuitenkaan ole tarpeen, koskapolarisaatiovaraus on yhtä todellista varausta kuin ”vapaa” varaus.

38 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA3.3 Sähkövuon tiheysEdellä oletettiin eristeen polarisoituma P tunnetuksi. Todellisuudessa näinei yleensä ole, vaan polarisoituma syntyy vasteena ulkoiseen sähkökenttään.Tarkastellaan yleistä tilannetta, jossa on eriste ja sen sisällä mahdollisestivapaita varauksia. Sovelletaan Gaussin lakia eristeen sisällä olevalla pinnallaS, joka sulkee sisäänsä niin vapaat varaukset kuin polarisaatiovarauksenkin∮E · n dS = 1 (Q + Q P ) (3.15)ɛ 0Smissä Q = ∑ i=1,...,N q i on vapaiden varausten summa ja∫∮Q P = (−∇ · P) dV = − P · n dS (3.16)VSon polarisaatiovaraus. Tässä on implisiittisesti oletettu, että vapaat varauksetovat pistemäisiä. Jos eristeen sisällä olisi makroskooppisia johdekappaleita,niiden pinnoilta tulisi osuus polarisaatiovaraukseen Q P .Nämä pintatermitkuitenkin kumoutuisivat muutettaessa tilavuusintegraalit pintaintegraaleiksi(ks. RMC).Saadaan siis ∮(ɛ 0 E + P) · n dS = Q (3.17)SSiis vektorin D ≡ ɛ 0 E + P vuo suljetun pinnan läpi on sama kuin pinnansulkemaan tilavuuteen sijoitettu nettovaraus. Tätä vektoria kutsutaansähkövuon tiheydeksi tai sähköiseksi siirtymäksi englanninkielisen termin”electric displacement” mukaan. Sähkövuon tiheydellä on sama SI-yksikkökuin polarisoitumalla.Käyttämälläjälleen divergenssiteoreemaa ja toteamalla, että Q = ∫ V ρdV,saadaan Gaussin laki eristeessä kirjoitetuksi differentiaalimuotoon∇·D = ρ (3.18)missä ρ on nyt ulkoisten varausten tiheys. Kokonaisvaraustiheys on ρ + ρ P .Ulkoisia varauksia kutsutaan usein vapaiksi, mutta tämä saattaa aiheuttaasekaannusta, sillä eristeessä oleva ulkoinen varaus ei ole vapaa samassa mielessäkuin johteen pinnalla oleva varaus. Myös ajasta riippuvissa tilanteissavapaiden ja ulkoisten varausten sekoittaminen toisiinsa voi johtaa virheisiin.Sähköstatiikan peruslait on nyt siis puettu muotoon∇·D = ρ (3.19)∇×E = 0 (3.20)missäD = ɛ 0 E + P (3.21)

3.4. DIELEKTRISYYS JA SUSKEPTIIVISUUS 39Etuna tässä on se, että ”vapaa” varaus on helpommin hallittavissa kuinpolarisaatiovaraus. Kuitenkin sähkökenttä E on suure, joka loppujen lopuksihalutaan määrittää. Siksi on vielä tunnettava rakenneyhtälö P = P(E),koska muuten yhteydestä D = ɛ 0 E+P ei ole iloa. Tätä ongelmaa käsitelläänseuraavaksi.3.4 Dielektrisyys ja suskeptiivisuusSähköinen polarisoituma aiheutuu sähkökentästä. Näiden välinen riippuvuusilmaistaan sähköisen suskeptiivisuuden χ(E) avullaP = χ(E)E (3.22)χ(E) määräytyy väliaineen mikroskooppisesta rakenteesta, johon tutustutaanlähemmin luvussa 10.Yleisesti ottaen χ(E) on tensori, jolloin polarisoituma ei välttämättäole samansuuntainen kuin sähkökenttä eli eriste voi olla epäisotrooppista.Tällaisia väliaineita ovat esimerkiksi kiderakenteet, joissa epäisotropia aiheuttaasähkömagneettisen aallon etenemisessä kahtaistaittavuudeksi kutsuttavanilmiön. Tällöin eri tavoin polarisoituneet aallot taittuvat eri tavoin.Kahtaistaittavuutta tapahtuu myös vapaista varauksista koostuvassa magnetoituneessaplasmassa.Toinen ongelmakenttäovatepälineaariset väliaineet, joissa χ(E)onsähkökentänfunktio, jolloin P riippuu sähkökentästä epälineaarisesti. Tämä ilmiötulee yleensä vastaan vasta hyvin voimakkailla sähkökentillä. Kaikissaaineissa ei myöskään ole suoraa relaatiota P:n ja E:n välillä. Ferrosähköisissäaineissa on polarisoitumaa myös ilman ulkoista sähkökenttää. Tarkastellaantässä kuitenkin vain isotrooppisia eristeitä, joille χ(E) on skalaari ja rajoitutaanvielä lineaarisiin väliaineisiin, joille χ on sähkökentästä riippumatonvakio. Tällaista väliainetta kutsutaan myös yksinkertaiseksi väliaineeksi.Tällöin polarisoituman, sähkökentän ja sähkövuon tiheyden välillä vallitsevatrakenneyhtälötmissä ɛ = ɛ 0 + χ. Laadutonta suurettaP = χE (3.23)D = ɛE (3.24)K = ɛ r = ɛɛ 0=1+ χ ɛ 0(3.25)kutsutaan väliaineen eristevakioksi, dielektrisyysvakioksi tai suhteelliseksipermittiivisyydeksi. Aineen eristeominaisuudet eivät kuitenkaan salli kuinkasuuria sähkökenttiä hyvänsä, sillä riittävän suuri sähkökenttä ajaa elek-

40 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSATaulukko 3.1: Eristeiden ominaisuuksia. Tässä annettu ilman läpilyöntikestävyyskoskee kuivaa ilmaa, muissa oloissa arvo on pienempi. Lasin suhteellinenpermittiivisyys vaihtelee kemiallisesta koostumuksesta riippuen.aine suhteellinen läpilyöntipermittiivisyyskestävyys [MV/m]akryyli 3.3 20eboniitti 2.7 10kuiva ilma 1.0006 4.7lasi 5-10 15kova paperi 5 15eristyspaperi 5 30posliini 5.5 35tislattu vesi 81 30troneja ulos molekyyleistä, jolloin aine alkaa johtaa sähköä. Tätä rajaa kutsutaanaineen dielektriseksi vahvuudeksi. Taulukossa 3.1 on joidenkin tärkeidenaineiden eristevakioita ja dielektrisiä vahvuuksia. Ilma on sähköisestimelkein tyhjö, siis hyvä eriste. Veden eristevakio on puolestaan suuri, mikämerkitsee vahvaa polarisoitumista ja siten kohtuullisen hyvääsähkönjohtokykyäpolarisoitumisvarausten kantamana.3.5 Sähkökenttä rajapinnallaEristeet ovat usein paljon hankalampia käsiteltäviä kuin johteet. Hyvän johteenominaisuus on, että sen sisäinen sähkökenttä on nolla ja kaikki varauskertyy pinnalle. Eristeet sen sijaan polarisoituvat ja erilaiset eristeet polarisoituvateri tavoin. Eristeongelmissa joudutaan usein tarkastelemaan kenttienominaisuuksia eri eristeiden tai eristeiden ja johteiden rajapinnoilla.Tarkastellaan seuraavassa tilannetta kahden yksinkertaisen (lineaarinen,isotrooppinen, homogeeninen = LIH) eristeen rajapinnalla ja oletetaan rajapintamakroskooppisessa mielessä ohueksi. Tämä tarkastelu voidaan ulottaamyös epähomogeenisiin eristeisiin, jos eriste voidaan kuvata eri eristevakiollavarustettuina kerroksina. Toinen eriste voi olla myös tyhjö, jonkapermittiivisyys on ɛ 0 eli K = 1. Merkitään väliaineita indekseillä 1ja2ja olkoon σ pintavaraustiheys rajapinnalla. Tarkastellaan pientä sylinterinmuotoista”pillerirasiaa”, jonka kannet ovat eri väliaineissa (kuva 3.1).Sovelletaan Gaussin lakia∮D · n dS = D 1 · n 1 △S 1 + D 2 · n 2 △S 2 +∮vaippaD · n dS = Q (3.26)

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 4112n D 11S 1α 11σD 212Kuva 3.1: ”Pillerirasia” kahden väliaineen rajapinnalla ja sähkövuon tiheyden”taittumiskulmien” määritelmä.Oletetaan, että pillerirasian korkeus → 0. Tällöin integraali vaipan yli onnolla ja pillerirasian sisällä oleva varaus on pelkkä pintavaraus kertaa pintaalaQ = σ△S, missä △S = △S 1 = △S 2 . Koska n 1 = −n 2 , voidaan kirjoittaareunaehto sähkövuon tiheyden normaalikomponentilletai(D 2 − D 1 ) · n 2 = σ (3.27)D 2n − D 1n = σ (3.28)Tärkeä erikoistapaus on σ = 0: Mikäli kahden eristeen rajapinnalla ei oleulkoista varausta, sähkövuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnanläpi.Huom. Koska eristeet polarisoituvat, ylläoleva tarkastelu on tehtävänimenomaan sähkövuon tiheydelle, ei sähkökentälle.Myös sähköstaattiselle kentälle löytyy reunaehto rajapinnalla. Koska E =−∇ϕ, niin viivaintegraali ∮E · dl = 0 (3.29)pitkin mitä tahansa suljettua silmukkaa. Sovelletaan tätä suorakulmaiseensilmukkaan ABCD eristeiden rajapinnalla. Olkoot rajapinnan suuntaisetsivut AB ja CD kumpikin eri väliaineessa ja pituudeltaan △l. Väliaineestatoiseen kulkevat sivut BC ja DA oletetaan häviävän lyhyiksi. Tällöin∮E · dl =(E 2 − E 1 ) ·△l = 0 (3.30)⇒E 2t = E 1t (3.31)eli sähkökentän tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnan yli. Tämätulos on voimassa riippumatta mahdollisesta pintavarauksesta.

42 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSALasketaan sitten vektorin D taittuminen rajapinnalla tapauksessa σ =0.Olkoon α 1 ”rajapinnalle tulevan” vektorin D 1 ja n 1 :n välinen kulma ja α 2”rajapinnalta lähtevän” vektorin D 2 ja n 2 :n välinen kulma. Koska väliaineeton oletettu yksinkertaisiksi, niinD 1t = K 1 ɛ 0 E 1t ; D 2t = K 2 ɛ 0 E 2t (3.32)Tällöintan α 2= D 2t D 1n= K 2ɛ 0 E 2t= K 2= ɛ 2(3.33)tan α 1 D 2n D 1t K 1 ɛ 0 E 1t K 1 ɛ 1Sähkövuon tiheysvektori taittuu siis poispäin normaalin suunnasta mentäessäpienemmästä eristevakiosta suurempaan eristevakioon. Tämä on selvästisukua aaltojen taittumiselle eri väliaineiden rajapinnalla, johon tutustutaanlähemmin luvussa 12.Tarkastellaan sitten potentiaalin reunaehtoa rajapinnalla. Oletetaan jälleenσ = 0, jolloin D 2n = D 1n .Tästä seuraa K 2 ɛ 0 E 2n = K 1 ɛ 0 E 1n . KoskaE n = −∂ϕ/∂n, tulee reunaehdoksi∂ϕ 2K 2∂n = K ∂ϕ 11∂n(3.34)Tämän lisäksi ϕ on jatkuva reunan yli. Tämä nähdään tarkastelemalla kahtapistettä r 1 ja r 2 reunan molemmin puolin. Tällöin∫ r2r 1E · dr = ϕ 1 − ϕ 2 → 0 (3.35)kun r 1 ja r 2 lähestyvät toisiaan eri puolilta rajapintaa sillä fysikaalisellaoletuksella, että sähkökenttä onäärellinen rajapinnalla.Eristepallo sähkökentässäYksinkertaisessa väliaineessa (LIH) D = ɛE, joten ∇·E = ρ/ɛ. Siis ainoamuodollinen ero edellisten lukujen käsittelyyn on korvata ɛ 0 → ɛ. Useissakäytännön ongelmissa eristeessä ei ole ulkoista varausta, joten ∇ 2 ϕ = 0 kokoeristeessä. Tarkastellaan esimerkkinä a-säteistä eristepalloa homogeenisessasähkökentässä E 0 . Ratkaisumenetelmä on samanlainen kuin johdepallontapauksessa. Valitaan alkuperäinen sähkökenttä z-akselin suuntaiseksiE 0 = E 0 e z , joten tämän potentiaali on jälleen ϕ = −E 0 r cos θ ja tämänon oltava ratkaisu kaukana pallosta. Asetetaan pallo origoon ja todetaan,että tilanne on aksiaalisymmetrinen z-akselin suhteen: ∂ϕ/∂φ =0⇒ ϕ =ϕ(r, θ). K on vakio eristeessä jaɛ = ɛ 0 muualla. Systeemissä ei ole vapaitavarauksia, joten ρ = 0 kaikkialla ja Laplacen yhtälö on voimassa niin

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 43eristeessä kuin sen ulkopuolellakin. Kirjoitetaan Laplacen yhtälön ratkaisujälleen vyöhykeharmonisten funktioiden sarjana (2.90)ϕ(r, θ) =∞∑n=0(A n r n + B n r −(n+1)) P n (cos θ) (3.36)Merkitään termejä pallon ulkopuolella (r >a) indeksillä 1 ja sisäpuolella(r

44 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSAainoa cos θ:sta riippumaton termi on B 10 = 0, joka sijoitettuna yhtälöön(3.39) antaa A 20 = 0 ja jäljelle jää yhtälöpari−E 0 a + B 11a 2 = A 21 a (3.41)−E 0 − 2 B 11a 3 = KA 21 (3.42)joiden ratkaisuna saadaanA 21 = − 3E 0K +2 ; B 11 = K − 1K +2 E 0a 3 (3.43)Kaiken kaikkiaan ratkaisu pallon ulkopuolella onja pallon sisällä(ϕ 1 (r, θ) =−1 − K − 1K +2a 3 )r 3 E 0 r cos θ (3.44)ϕ 2 (r, θ) =− 3K +2 E 0r cos θ = − 3K +2 E 0z (3.45)Nyt pallon sisällä on vakiosähkökenttäE 2 = 3K +2 E 0 (3.46)ja juuri tämä on erona johdepalloon, jossa varaukset jakautuvat pinnallesiten, että pallon sisällä ei ole sähkökenttää lainkaan. K ≥ 1, joten kenttäeristeen sisällä on pienempi kuin ulkopuolella. Jos eriste olisi ilmaa, pallonkenttä olisi miltei sama kuin alkuperäinen kenttä. Jos eriste on jonkin verransähköä johtavaa vettä(K =80−90), on pallon sisäkenttä muutama prosenttiulkopuolisesta kentästä.Kenttien D ja E ero näkyy kuvasta 3.2. Sähkövuon tiheydellä eiolelähteitä, vaan kaikki kenttäviivat jatkuvat pallon läpi. Sitävastoin polarisoitumisestajohtuva pintavarauskate aiheuttaa sen, että sähkökentällä onlähteitä ja nieluja pallon pinnalla ja osalla kenttäviivoista pää on pallonpinnalla. Tämän seurauksena kenttäviivat eivät myöskään ole kohtisuorassapallon pintaa vastaan. Tämä osoittaa, että polarisaatiovarauksen kutsuminen”näennäiseksi” on kyseenalaista.

3.5. SÄHKÖKENTTÄ RAJAPINNALLA 45Kuva 3.2: Eristepallo ulkoisessa sähkökentässä. Vasemmalla sähkövuon tiheydenkenttäviivat, oikealla sähkökentän kenttäviivat.

46 LUKU 3. SÄHKÖKENTTÄ VÄLIAINEESSA

Luku 4Sähköstaattinen energiaEsitiedot KSII luku 2, osa 2.10; oppimateriaali RMC luku 6 ja CL luku 5.Voiman, työn ja energian käsitteet ovat keskeisiä kaikessa fysiikassa. Mittaammesähkö- ja magneettikenttiä voimavaikutuksen kautta. Kun voimavaikuttaa varaukselliseen hiukkaseen, se tekee työtä ja hiukkasen energiamuuttuu. Samoin kuin mekaniikassa, myös elektrodynamiikassa energia voidaanjakaa liike- ja potentiaalienergiaan. Sähköstaattinen energia on potentiaalienergiaa.Kun varaus q siirtyy pisteestä A pisteeseen B sähköstaattisessakentässä, kenttä tekee työn∫ B ∫ B∫ BW = F · dl = q E · dl = −q ∇ϕ · dl = −q(ϕ B − ϕ A ) (4.1)AAATyön ja energian SI-yksikkö on joule (J), joka on sama kuin wattisekunti(Ws). Ylläolevan tarkastelun mukaan työ onmyös varaus kertaa sähköinenpotentiaali, jonka yksikkö on CV tai elektronivoltti (eV). Koska elektroninvaraus on 1.6022 · 10 −19 C,on1eV=1.6022 · 10 −19 J.4.1 Varausjoukon potentiaalienergiaVarausjoukon sähköstaattisella energialla ymmärretään systeemin potentiaalienergiaaverrattuna tilanteeseen, jossa kaikki varaukset ovat äärettömänkaukana toisistaan. Energia saadaan laskemalla yhteen tarvittava työ, kunkukin varaus tuodaan kerrallaan paikalleen tarkasteltavana olevaan varausjoukkoon.Koska alunperin tarkasteltavassa systeemissä ei ole varauksia, ensimmäinenq 1 varaus voidaan asettaa pisteeseen r 1 ilman työtä, W 1 =0.Toisen varauksen q 2 tuominen tämän lähelle merkitsee työntekoa voimaaF = q 1 r 1 /4πɛ 0 |r 1 | 3 vastaan, joten varauksen sijoittamiseksi pisteeseen r 2 ontehtävä työtäW 2 = q 1q 24πɛ 0 r 21(4.2)47

48 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAKolmannelle varaukselle( q1W 3 = q 3 + q )2(4.3)4πɛ 0 r 31 4πɛ 0 r 32ja niin edelleen kaikille N kappaleelle varauksia. Koko systeemin sähköstaattinenenergia U saadaan yhteenlaskulla⎛⎞N∑ N∑ j−1 ∑ qU = W j = ⎝ j q k ⎠ (4.4)4πɛ 0 r jkj=1j=1k=1Summaus voidaan järjestää uudelleen muotoonU = 1 (N∑ N)∑′ q j q k2 4πɛ 0 r jkj=1k=1(4.5)missä merkintä ∑′ merkitsee että termit j = k jätetään pois. Tämä voidaanilmaista varaukseen j vaikuttavien kaikkien muiden varausten potentiaalinavulla:ϕ j =N∑k=1′ q k4πɛ 0 r jk(4.6)U = 1 N∑q j ϕ j (4.7)2j=14.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energiaTarkastellaan seuraavassa jatkuvia tilavuus- ja pintavarausjakautumia. Osanvarauksista oletetaan olevan johteiden pinnalla ja lisäksi systeemissä saa ollaeristeitä, mutta ne on oletettava lineaarisiksi. Syy tähän on, että epälineaarisillaeristeillä varaussysteemin kokoaminen riippuu tiestä, jota pitkin varauksettuodaan äärettömyydestä tarkastelualueeseen.Oletetaan, että olemme jo koonneet osan systeemistä. Tällöin uudenvarauselementin δq tuominen nollapotentiaalista systeemiin vaatii työnδW = ϕ ′ (r)δq (4.8)Kokonaistyö ei riipu tavasta, jolla varaukset tuodaan paikoilleen. Voimmeajatella, että kaikkia varauksia siirretään vuorotellen vähän kerrallaan, jamerkitään kullakin hetkellä osuutta koko matkasta α:lla. Mielivaltaisella hetkellävarausjakautumat ovat siis αρ(r)jaασ(r) ja siirrokset ovat δρ = ρ(r)dαja δσ = σ(r)dα. Lopullinen energia saadaan integroimalla∫ 1 ∫∫ 1 ∫U = dα ρ(r)ϕ ′ (α; r) dV + dα σ(r)ϕ ′ (α; r) dS (4.9)0 V0 S

4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 49Kaikki varaukset ovat joka hetki saman suhteellisen etäisyyden päässä lopullisestasijoituspaikastaan, joten ϕ ′ (α; r) =αϕ(r), missä ϕ(r) on lopullinenpotentiaali pisteessä r. Tämän avulla α-integrointi on laskettavissa jaU = 1 ∫ρ(r)ϕ(r) dV + 1 ∫σ(r)ϕ(r) dS (4.10)2 V2 STässä tilavuuden V täytyy olla niin suuri, että se pitää sisällään kaikkiongelman varaukset.Jos koko (tarkasteltava) tila on eristettä, jonka permittiivisyys on ɛ,saadaan potentiaali laskemalla∫ϕ(r) =V1 ρ(r) ′ dV ′ ∫1 σ(r) ′ dS ′4πɛ |r − r ′ +| S 4πɛ |r − r ′ |(4.11)Jos taas systeemissä on useita erilaisia eristeitä, on huomioitava oikeat reunaehdotrajapinnoilla.Johdekappaleet on käytännöllistä käsitellä erikseen, sillä niiden varauson kokonaan pinnoilla S j ja johteen potentiaali on vakio:U = 1 2∫S jσϕ dS = 1 2 Q jϕ j (4.12)Varausjakautuman sähköstaattinen energia on kaiken kaikkiaanU = 1 ∫ρϕ dV + 1 ∫σϕ dS + 1 ∑Q j ϕ j (4.13)2 V 2 S 2missä viimeinen termi on summa yli kaikkien johdekappaleiden ja pintaintegraalion rajoitettu eristeiden pintoihin. Energian lausekkeen voi päätellämyös suoraan yleistämällä luvun 4.1 diskreettien varausjakautumien tuloksetjatkuville jakautumille.Huom. Koska johdekappaleen pinnalla on suuri määrä varauksia, eijohdekappaleita summattaessa kappaleen omaa osuutta (itseisenergiaa) voidajättää huomiotta, kuten tehtiin yksittäisten varausten tapauksessa edellisessäjaksossa. Pistevarausten itseisenergia voidaan jättää huomiotta makroskooppisissatarkasteluissa, mutta aikoinaan formuloitaessa kvanttitason elektrodynamiikkaatästä aiheutui ongelmia.j4.3 Sähköstaattisen kentän energiaEdelläoleva tarkastelu edellyttää potentiaalin tuntemista koko systeemissä.Usein tunnetaan kuitenkin tavalla tai toisella itse sähkökenttä ja halutaanmäärittää sen sähköstaattinen energia.

50 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAVaraustiheydet voidaan ilmaista sähkövuon tiheyden avulla seuraavasti.Eristeissä ρ = ∇·D ja johteiden pinnalla σ = D · n. TällöinU = 1 ∫ϕ ∇·D dV + 1 ∫ϕ D · n dS (4.14)2 V2 STilavuusintegraali lasketaan alueessa, jossa ∇·D ≠ 0 ja pintaintegraali onjohteiden pintojen yli. Muotoillaan tilavuusintegraalin integrandia kirjoittamallaϕ ∇·D = ∇·(ϕ D) − D ·∇ϕ. Tässä oikean puolen jälkimmäinentermi on +D · E ja ensimmäisen termin tilavuusintegraali voidaan muuttaaGaussin lauseen avulla pintaintegraaliksi, jolloin saadaanU = 1 ∫ϕ D · n ′ dS + 1 ∫D · E dV + 1 ∫ϕ D · n dS (4.15)2 S+S ′ 2 V 2 STässä pinta S + S ′ on koko tilavuutta V rajoittava pinta, joka muodostuujohteiden pinnoista S ja tilavuuden V ulkopinnasta S ′ . Molemmissa tapauksissan ′ osoittaa ulospäin tilavuudesta V . Viimeisen integraalin n puolestaanosoittaa johdekappaleista ulospäin eli tilavuuden V sisään. Näinollen integraalitjohdekappaleiden yli kumoavat toisensa.Osoitetaan vielä, että pinnan S ′ yli otettava integraali häviää, kun pintaviedään kauas varausjakautumasta. Kaukana ϕ ∝ 1/r ja D(r) ∝ 1/r 2 .Olkoon nyt S ′′ pinnan S ′ sisäänsä sulkeva R-säteinen pallo. Tällöin on olemassaäärellinen suure M, jolle∫∫1∣S ′ 2 ϕ D · n′ dS∣ ≤ MS ′′ r 3 dS = 4πR2 MR 3 ∝ 1 R → 0 (4.16)kun R →∞. Niinpä energiaksi jääU = 1 ∫D · E dV (4.17)2 VTässä V on koko avaruus sisältäen myös johdekappaleet, joiden sisällä E =0.Lausekkeen integrandi on sähköstaattinen energiatiheysu = 1 2 D · E (4.18)Koska on oletettu lineaarinen väliaine, tämä voidaan kirjoittaau = 1 2 ɛE2 = 1 D 2(4.19)2 ɛHuom. Sovellettaessa tätä formalismia systeemiin, jossa on pistevarauksia,niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti.Toinen tapa johtaa tulos (4.18) on esitetty yksityiskohdittain CL:n jaksossa5.2. Siinä lähdetään liikkeelle varausjakautumasta ρ(r) ja oletetaansiihen pieni häiriö δρ. Häiriöön liittyy työ∫δU = δρ(r)ϕ(r) dV (4.20)V

4.4. SÄHKÖKENTÄN VOIMAVAIKUTUKSET 51ja siirtymäkenttä δD, jolle ∇·(δD) =δρ, joten osittaisintegroimalla lauseketta(4.20) saadaan∫∫δU = (∇·δD)ϕdV = E · δD dV (4.21)Nyt voidaan kirjoittaa muodollisestiVV∫U =VdV∫ D0E · δD (4.22)missä integrointi D:n suhteen riippuu integroimistiestä. Yksinkertaiselle väliaineelleE · δD = 1 δ(E · D) (4.23)2⇒U = 1 ∫E · D dV (4.24)2 VTässä johdossa on oletettu, että tarkasteltava systeemi on mekaanisesti jäykkä,mikä viittaa siihen, että yksinkertaisellekin väliaineella energiatiheydenlauseke (4.18) on vain approksimaatio. Epälineaarisille väliaineille energiaon laskettava suoraan lausekkeesta (4.22). Tämä liittyy hystereesi-ilmiöön,johon tutustutaan lähemmin luvussa 10.4.4 Sähkökentän voimavaikutuksetSähkökenttä määriteltiin alunperin operatiivisesti sen voimavaikutuksenkautta. Toisaalta olemme oppineet määrittämään varaussysteemin sähköstaattisenenergian. Tarkastellaan nyt, kuinka tästä energiasta voidaan johtaasähkökentän voimavaikutus. Oletetaan systeemi eristetyksi ja kaikkisen energia sähköstaattiseksi energiaksi. Voiman F tekemä työ systeeminpienessä siirroksessa dr ondW = F · dr (4.25)Koska systeemi on eristetty, tämä työ on tehtävä sähköstaattisen energianU kustannukselladW = −dU (4.26)Näistä seuraa, että voima on energian gradientin vastalukuF = −∇U (4.27)Jos voima puolestaan kiertää systeemiä kulman dθ verran (vrt. väkipyörä),tehty työ ondW = τ · dθ (4.28)

52 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAmissä τ on vääntömomentti, joka saadaan siis energian negatiivisena gradienttinakiertymäkulman suhteenτ = − ∂U∣ (4.29)∂θ QKoska systeemi on eristetty, gradientit lasketaan olettaen varaus Q vakioksi.Käytännössä mielenkiintoiset sähköstaattiset systeemit eivät useinkaanole eristettyjä, vaan muodostuvat esimerkiksi johdekappaleista, jotka pidetäänkiinteässä potentiaalissa ulkoisen energialähteen avulla. Siirtyköönosa systeemistä jälleen sähköisten voimien vaikutuksesta. NytdW = dW b − dU (4.30)missä dW b on paristosta peräisin oleva työ. Johdekappaleiden energia onU =(1/2) ∑ ϕ j Q j . Koska ulkoinen paristo pitää johdekappaleet samassapotentiaalissa saadaandU = 1 ∑ϕ j dQ j (4.31)2Toisaalta paristosta saatava työ onyhtä suuri kuin työ, joka tarvitaan siirtämäänvarauksen muutos dQ j nollapotentiaalista johdekappaleen potentiaaliindW b = ∑ ϕ j dQ j (4.32)jjotenjdW b =2dU (4.33)eli nyt voima onF =(∇U) ϕ (4.34)missä alaindeksi ϕ viittaa siihen, että ulkoinen energialähde pitää johdekappaleidenpotentiaalit vakioina siirroksen dr ajan.Esim. Levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiin vaikuttavavoimaOlkoon kondensaattorin levyjen sisällä koko kondensaattorin täyttävä eristepalkki(kuva 4.1), jonka permittiivisyys on ɛ. Kondensaattorin levyjenetäisyys on d, niiden pituus L ja leveys w. Ulkoinen virtalähde pitää kondensaattorinjännitteen vakiona △ϕ. Lasketaan, kuinka suuri voima yrittäävetää palkkia kondensaattoriin.Kondensaattorissa on sekä ilmassa että eristeessä sama sähkökenttä E =△ϕ/d (HT: miksi?), joten sen energiasisältö onU = 1 ∫ɛE 2 dV (4.35)2V

4.4. SÄHKÖKENTÄN VOIMAVAIKUTUKSET 53– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –dEF+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +L–xLxKuva 4.1: Eristepalkki levykondensaattorin sisällä.jättämällä kondensaattorin reunaefektit huomiotta. Systeemin energia kuvantilanteessa onU(x) = ɛ ( ) △ϕ 2wxd + ɛ ( )0 △ϕ 2w(L − x)d (4.36)2 d2 dVoimaF x = ∂U∂x = ɛ − ɛ 0w (△ϕ)22 d= K − 12ɛ 0 E 2 wd (4.37)osoittaa kasvavan x:n suuntaan vastustaen ulosvetämistä (HT: miten tämänvoi selittää eristepalkkiin indusoituvien varausten avulla?).Mainitaan lopuksi, että sähkökentän voimavaikutukset voidaan laskeatyylikkäästi Maxwellin jännitystensorin avulla. Siihen perehdytään luvussa9.

54 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIA

Luku 5Staattinen magneettikenttäTässä luvussa tustustutaan tasavirtoihin ja niiden aiheuttamiin magneettikenttiin(RMC luvut 7 ja 8, CL luku 6; esitiedot KSII luvut 5 ja 6).5.1 SähkövirtaNykyaikana sähkövirta lienee tutumpi ilmiö kuin sähkövaraus. Todellisuudessasähkövarauksia ja -virtoja ei oikeastaan voi käsitellä erikseen. Edellisissäluvuissakin sähkövirta on ollut implisiittisesti esillä monta kertaa.Kun varaukset järjestäytyvät johdekappaleen pinnalle, systeemissä kulkeevirtaa ja kuinkapa muuten kuin sähkövirran avulla paristo pystyy pitämäänedellisen luvun viimeisessä esimerkissä kondensaattorin jännitteen vakiona.Samoin termit ”johde” ja ”eriste” viittaavat kappaleiden kykyyn kuljettaasähkövirtaa.Tarkastellaan joukkoa varattuja hiukkasia, joiden varaus on q, lukumäärätiheyson n ja nopeus v. Sähkövirta I määritellään annetun pinnan läpiaikayksikössä kulkevan varauksen määränäI = dQ(5.1)dtOlkoon dS jokin pintaelementti. Sen läpi kulkeva virta onnqvdt · n dSdI = = ρv · n dS = J · dS (5.2)dtmissä J on virrantiheys.Sähkövirran SI-yksikkö on ampeeri A = C/s. Virrantiheys on virta pintaalanläpi, joten sen yksikkö onA/m 2 . SI-yksiköissä sähkövirran yksikköotetaan perussuureeksi ja kaikki muut sähköiset yksiköt voidaan ilmaistaampeerin, metrin, kilogramman ja sekunnin avulla.55

56 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄVirrantiheys on samankaltainen vuosuure kuin sähkövuon tiheys D taipian määriteltävä magneettivuon tiheys B. Fysikaalinen vuo tarkasteltavanpinnan läpi saadaan integroimalla vuon tiheys pinnan yli.5.1.1 JatkuvuusyhtälöVirrantiheys ja sähkövaraus liittyvät läheisesti toisiinsa. Tarkastellaan suljetunpinnan S läpi alueeseen V tulevaa virtaa (n osoittaa ulospäin)∮∫I = − J · n dS = − ∇·J dV (5.3)SVTämän täytyy olla yhtä suuri kuin varausten tilavuuteen V tuoma sähkövirtaI = dQdt = d ∫ρdV (5.4)dt VOletetaan tilavuus kiinteäksi, jolloin aikaderivaatta voidaan viedä integraalinsisään. Koska ρ on sekä ajan että paikan funktio, kokonaisderivaatta muuttuuosittaisderivaataksi∫I =V∂ρdV (5.5)∂tjoten∫ ( )∂ρV ∂t + ∇·J dV = 0 (5.6)Koska tämän täytyy olla voimassa kaikilla tilavuuksilla, saamme virrallejatkuvuusyhtälön∂ρ+ ∇·J = 0 (5.7)∂tMikäli varaustiheys on ajasta riippumaton eli ∇·J =0,sähkövirralla ei olelähteitä tai nieluja ja siten kaikki virtaviivat sulkeutuvat. Tällaista virtaustakutsutaan stationaariseksi.Huom. Jatkuvuusyhtälö on suora seuraus kokonaisvarauksen säilymislaistaeikä edellytä kiinteän tilavuuden tarkastelua (yleisempi johto: CL 6.1).5.1.2 Ohmin lakiOn kokeellinen tosiasia, että vakiolämpötilassa olevissa metalleissa sähkövirtariippuu lineaarisesti sähkökentästäJ = σE (5.8)Tätä yhtälöä kutsutaan Ohmin laiksi ja verrannollisuuskerrointa σ johtavuudeksi.

5.1. SÄHKÖVIRTA 57Huom. Käytämme sähkönjohtavuudelle yleisen tavan mukaan samaasymbolia kuin aiemmin pintavaraukselle. RMC välttää tämän merkitsemälläjohtavuutta g:llä ja KSII puolestaan γ:lla. σ on kuitenkin kirjallisuudessayleisin merkintä ja jos joudumme jossain kirjoittamaan molemmat suureet,eroteltakoon ne siellä vaikkapa kirjoittamalla pintavaraukselle σ S .Jälleenon tärkeää oppia lukemaan yhtälöiden takana olevaa fysiikkaa eikä niinkäänopetella kaavoja ulkoa!Lineaarinen Ohmin laki on voimassa tavallisille aineille, ellei sähkökenttäole kovin suuri. Se ei kuitenkaan ole samanlainen fysiikan peruslaki kuinMaxwellin yhtälöt, vaan samantapainen rakenneyhtälö kuin D = ɛE, jonkayksityiskohtainen muoto ja jopa olemassaolo riippuvat väliaineen ominaisuuksista.On myös olemassa epälineaarisia väliaineita, missä σ on sähkökentänja mahdollisesti myös magneettikentän funktio. Jos sähkäkenttä onriittävän suuri, niin väliaine kuin väliaine alkaa käyttäytyä epälineaarisesti.Johtavuuden käänteislukua η = 1/σ kutsutaan ominaisvastukseksieli resistiivisyydeksi. Myös sen merkintä vaihtelee kirjallisuudessa. Nyt ontärkeää oppia tekemään ero ”ominaisvastuksen” (engl. resistivity) ja ”vastuksen”(resistance) välillä. Johtavuuden SI-yksikköon[σ] = (A/m 2 )/(V/m)= A/(Vm), joten ominaisvastuksen yksiköksi tulee Vm/A. Toisaalta V/A ontuttu vastuksen yksikkö ohmi (Ω), joten ominaisvastuksen yksikkö onΩmja johtavuuden Ω −1 m −1 = S/m, missä on otettu käyttöön yksikkö siemens.Siemensin sijasta ohmin käänteislukuna esiintyy kirjallisuudessa usein mho.Taulukossa 5.1 on annettu joidenkin hyvien johteiden resistiivisyyksiä.Tarkastellaan sähkövirran ja jännitteen välistä relaatiota ohuessa homogeenisessasuorassa virtajohdossa, jonka päiden välillä onjännite △ϕ jajonka johtavuus on σ. Johteessa on sähkökenttä, joka saadaan integraalista∫△ϕ = E · dl (5.9)Sähkökentällä ei voi olla komponenttia kohtisuorassa johtoa vastaan, koskatämä aiheuttaisi jatkuvan sähkövirran joko johtoon tai siitä pois ja johdonpinnan varautumisen. Koska systeemi on homogeeninen ja suora, sähkökenttäon sama koko johdossa, joten△ϕ = El (5.10)missä l on johdon pituus. Ohmin lain mukaan johdossa kulkee virta, jokamielivaltaisen poikkileikkauspinta-alan A läpi on∫I = J · n dS = JA = σA △ϕ (5.11)A lja olemme löytäneet sähkövirran ja jännitteen välisen Ohmin lain. Verrannollisuuskerroinon vastus (resistanssi) R = l/(σA), jonka SI-yksikkö on siisohmi.

58 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄTaulukko 5.1: Aineiden resistiivisyyksiä. Johtavuus on resistiivisyyden käänteisluku.Vertailun vuoksi mainittakoon, että taulukossa 3.1 lueteltujen eristeidenresistiivisyydet ovat tyypillisesti suurempia kuin 10 8 Ωm. Vesi onpoikkeus, sillä sen resistiivisyys on noin 5000 Ωm, joten sitä voidaan pitäämyös johteena.aine resistiivisyys10 −8 Ωmalumiini 2.65grafiitti 1375hopea 1.59konstantaani 50kulta 2.35kupari 1.67nikkeli 6.84rauta 9.71sinkki 5.92volframi 5.68Tämän avulla voimme johtaa koulufysiikasta tuttuja relaatioita, kutentyön, jonka sähkökenttä tekee siirtäessään varauksen Q potentiaalieron Uläpi: W = QU ja sitä vastaavan tehon P = UI = RI 2 = U 2 /R. Tämäntehon sanotaan häviävän materiaalin Joulen lämmityksenä.5.1.3 Stationaariset virtauksetOhmin laki on siis rakenneyhtälö kuten E:n ja D:n välinen relaatio. Analogiamenee pidemmällekin. Stationaarisen virtauksen jatkuvuusyhtälö ∇·J =0on samaa muotoa kuin ∇·D = 0, mikä yksinkertaisen väliaineen tapauksessaon muotoa ∇·E = 0. Niinpä stationaarisen sähkövirran virtaviivatvoidaan ratkaista ratkaisemalla Laplacen yhtälö samoilla menetelmälläkuin edellisissä luvuissa. Ensin on etsittävä sopivat reunaehdot virrantiheydelle.Tarkastellaan esimerkkinä johdetta, jossa on pitkä sylinterinmuotoinenreikä. Sähkövirran on epäilemättä kierrettävä tämä este jotenkin.Merkitään sylinteriä (sisäalue) alaindeksillä i ja johdetta (ulkoalue) alaindeksilläu. Koska ∇·J = 0 reunaehdoksi saadaan J un = J in eliσ u E un = σ i E in (5.12)⇒∂ϕ iσ i∂r = σ ∂ϕ uu∂r(5.13)

5.1. SÄHKÖVIRTA 59sylinterin pinnalla r = a. Toisaalta potentiaali on jatkuva, jotenϕ u (a, θ) =ϕ i (a, θ) (5.14)Kaukana sylinteristä virta on häiriintymätön, jotenϕ = −E 0 r cos θ kun r →∞ (5.15)Tehdään ratkaisuyritteet (vrt. luku 2.9.3)ϕ i = A i1 r cos θ (5.16)cos θϕ u = −E 0 r cos θ + B u1 (5.17)rYritteessä ei ole sin θ-termejä symmetrian ϕ(θ) =−ϕ(π − θ) vuoksi (HT:mistä tällainen symmetria tulee?). Nyt reunaehdot antavatcos θA i1 a cos θ = −E 0 a cos θ + B u1(aσ i A i1 cos θ = σ u −E 0 cos θ − B )u1 cos θa 2(5.18)(5.19)Saadaan kertoimet A i1 ja B u1ja ongelma on ratkaistu.A i1 = −2σ uE 0σ i + σ u(5.20)B u1 = σ i − σ uE 0 a 2σ i + σ u(5.21)Tarkastellaan vielä tilannetta, jossa reikä on niin hyvä eriste, että kaikkivirta kiertää sen. Tällöin σ i → 0. Sijoittamalla tämä potentiaalin lausekkeeseen,laskemalla sähkökenttä jakäyttämällä Ohmin lakia saadaan virranlausekeJ = J 0 − J 0a 2r 2 (cos θ e r + sin θ e θ ) (5.22)Sähkövirran virtaviivat kiertävät esteen siististi. Ongelma on analoginenkokoonpuristumattomassa nestevirtauksessa (∇ ·V = 0) olevan sylinterinmuotoisenvirtausesteen kanssa. Laplacen yhtälön ratkominen on varsin yleispätevämenetelmä fysiikassa (Feynman lectures, osa 2, luku 12-1: ”The sameequations have the same solutions”.).

60 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ5.2 Magneettivuon tiheys - Biot’n ja Savartin lakiMagnetismin olemassaolo on tunnettu kauan, mutta sen yhteys sähköönlöytyi vasta vuonna 1820, kun Ørsted havaitsi, että sähkövirta aiheuttaamagneettikentän. Magneettikentän fysikaalinen määritteleminen tehdään voimavaikutuksenkautta samaan tapaan kuin sähkökentän määrittely.Pian Ørstedin kerrottua havainnoistaan, että sähkövirta aiheuttaa magneettikentän,Ampère julkaisi mittaustuloksensa, joiden mukaan kahden virtasilmukan,joissa kulkee virrat I 1 ja I 2 ,välillä vaikuttaa voima, joka nykymerkinnöilläonF 2 = µ ∮04π I dl 2 × [dl 1 × (r 2 − r 1 )]1I 2∮C1 C2 |r 2 − r 1 | 3 (5.23)Tämä on siis virtasilmukkaan 2 vaikuttava voima (vrt. Coulombin laki). KoskaSI-yksiköissä määritellään µ 0 /4π =10 −7 N/A 2 ,tämän voiman mittausvarsinaisesti määrittelee ampeerin, josta saadaan coulombi ja muutsähköopin SI-yksiköt.Voiman lauseke voidaan kirjoittaa muodossa∮F 2 = I 2 dl 2 × B(r 2 ) (5.24)C2missäB(r 2 )= µ ∮04π I dl 1 × (r 2 − r 1 )1C1 |r 2 − r 1 | 3 (5.25)on silmukan C1 synnyttämä magneettikenttä (oikeammin magneettivuontiheys) pisteessä r 2 , joka on silmukassa C2. Tätä kutsutaan Biot’n jaSavartin laiksi tai myös Ampèren ja Laplacen laiksi (kunnia kuuluneekaikille). Se voidaan yleistää virtasilmukoista väliaineessa olevalle virrantiheydellekorvaamalla Idl → JdV ja korvaamalla lenkki-integraali tilavuusintegraalilla.Integrandi on tietenkin nollasta poikkeava vain siinä alueessamissä J ≠ 0. SiisB(r 2 ) = µ ∫0 J(r 1 ) × (r 2 − r 1 )4π V |r 2 − r 1 | 3 dV 1 (5.26)Näin voimme laskea magneettikentän mielivaltaisesta virtajakautumasta samaantapaan kuin staattisen sähkökentän annetusta varausjakautumasta.Kokeellinen tosiasia on, että kaikki magneettikentät voidaan antaa virtajakautumienavulla. Nyt nähdään suoraviivaisella laskulla (HT), että∇·B = 0 (5.27)joka on Coulombin lain jälkeen toinen laki Maxwellin yhtälöiden joukossaja ilmaisee, että ei ole olemassa erillisiä kentän B lähteitä tai nieluja eli

5.2. MAGNEETTIVUON TIHEYS - BIOT’N JA SAVARTIN LAKI 61ye x x (r 2 –r 1 )zaIr 2 –r 1θdxxKuva 5.1: Suoran virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskeminen.magneettisia napoja (magneettisia monopoleja). Tämä merkitsee myös sitä,että magneettikentän kenttäviivoilla ei ole alku- eikä loppupäätä vaan kaikkikenttäviivat sulkeutuvat.On syytä korostaa, että magneettikentän lähteettömyys on puhtaasti kokeellinenlaki eikä sille ole mitään teoreettista tai matemaattista välttämättömyyttä.Itseasiassa modernit sähköistä, heikkoa ja vahvaa vuorovaikutustayhdistävät yhtenäiskenttäteoriat mahdollistavat magneettisten monopolienolemassaolon. Ne voidaan periaatteessa ottaa mukaan klassiseenkin elektrodynamiikkaankirjoittamalla ∇·B = ρ m , missä ρ m on magneettinen varaustiheys,mutta tähän ei ole mitään syytä, koska emme havaitse monopolienvaikutuksia klassisen elektrodynamiikan puitteissa.Pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama kenttäOlkoon johdin x-akselilla ja lasketaan magneettikenttä pisteessä r 2 y-akselilla.Käytetään seuraavia merkintöjä dl = dxi ; r 1 = xi ; r 2 = aj. Tällöindl × (r 2 − r 1 )=adxk. Biot’n ja Savartin lain suoraviivainen käyttö antaaB(r 2 ) = µ 0I4π= µ 0Ia4π∫C+∞∣−∞dl × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 = µ 0I4πxa 2 (a 2 + x 2 ) 1/2 k =+∞ ∫−∞adx(x 2 + a 2 ) 3/2 kµ 0I2πa k (5.28)Jos virtajohde on äärellisen mittainen, magneettikenttä on oheisessa kuvassamääritellyn kulman θ funktioB(r 2 )= µ 0I4πa k ∣ ∣∣∣∣ L 2−L 1x(a 2 + x 2 ) 1/2 = µ ∣ ∣∣∣∣ θ 20I4πa kθ 1(− cos θ) (5.29)

62 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄHuom. Tässä laskussa käytettiin karteesista koordinaatistoa, missä suunnank määrää tarkastelupisteen paikka. Peruskurssilta tiedämme, että magneettikenttäkiertää suoran virtajohteen ympäri oikean käden kiertosäännönmukaisesti. Käyttämällä sylinterikoordinaatistoa, missä positiivinen z-akselion virran suuntainen ja e θ on atsimutaalikoordinaatin yksikkövektori (siiseri kulma kuin ylläolevassa kuvassa), magneettikenttä onB(r 2 )=µ 0I2πa e θ (5.30)Ympyränmuotoisen virtasilmukan kenttä ympyrän keskipisteenläpi kulkevalla akselillaTämäkin esimerkki lienee tuttu peruskurssilta. Olkoon ympyrän säde a jatarkastellaan kenttää ympyrän tasoa vastaan kohtisuorassa olevalla keskipisteenkautta kulkevalla z-akselilla. Olkoon k-vektorin suunta virtaan nähdenoikean käden säännön mukainen. Biot’n ja Savartin lain suora soveltaminenantaa kentäksiB(r 2 ) = µ 0I4π= µ 0I4π∫C∫2π0dl × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3a 2 dθ(z 2 + a 2 ) 3/2 k = µ 0 Ia 22(z 2 + a 2 k (5.31)) 3/2Jos ympyröitä on useampia, kuten kelassa, on jokaisen ympyrän osuus summattava.Helmholtzin kelaHelmholtzin kela muodostuu kahdesta N-kertaisesta silmukasta, joiden keskipisteetovat samalla z-akselilla. Olkoot kelojen säteet a ja etäisyys 2b.Tällöin kenttä z-akselilla kelojen välissä etäisyydellä z toisesta kelasta onB z (z) = Nµ 0Ia 2 {}12 (z 2 + a 2 ) 3/2 + 1[(2b − z) 2 + a 2 ] 3/2 (5.32)Helmholtzin keloja käytetään tuottamaan suhteellisen homogeeninen magneettikenttärajoitettuun alueeseen. Tarkastellaan magneettikentän derivaattaaz-akselilla. Kun z = b, dB z /dz =0.Myös toinen derivaatta on nolla tässäpisteessä, jos 2b = a. Asettamalla siis kelat niiden säteen etäisyydelle toisistaan,on kenttä pisteen z = a/2 ympäristössä mahdollisimman homogeeninen.Itse asiassa kolmaskin derivaatta häviää ja kentän epähomogeenisuus

5.3.AMPÈREN LAKI 63ilmenee vasta Taylorin sarjan neljännessä termissä∣(z − a/2)4 d 4 B ∣∣∣∣z=a/2 zB z (z) = B z (a/2) +24 dz 4 + ...[≈ B z (a/2) 1 − 144 ( ) z − a/2 4]125 a(5.33)5.3 Ampèren lakiTarkastellaan stationaarista virtaa, siis ∇·J = 0. Lasketaan magneettikentänroottori lähtien Biot’n ja Savartin laista{ ∫ µ0∇ 2 × B(r 2 )=∇ 2 ×4π V}J(r 1 ) × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 dV 1(5.34)Alaindeksi 2 viittaa siihen, että vietäessä roottori integraalin sisään, se otetaanpaikan r 2 suhteen. Kirjoittamalla ristitulot auki saadaan∇ 2 × B(r 2 )= µ ∫ [ ()]0r 2 − r 1r 2 − r 1J(r 1 ) ∇ 2 ·4π V|r 2 − r 1 | 3 − J(r 1 ) ·∇ 2|r 2 − r 1 | 3 dV 1(5.35)Muistetaan kaavar 2 − r 1∇ 2 ·|r 2 − r 1 | 3 = 1−∇2 2|r 2 − r 1 | =4πδ(r 2 − r 1 ) (5.36)jonka avulla integraalin ensimmäinen termi antaa µ 0 J(r 2 ).Jälkimmäisessä termissä voidaan r 2 − r 1 :n antisymmetrisyyden vuoksivaihtaa derivointi tapahtuvaksi r 1 :n suhteen vaihtamalla merkki. Koskajälkimmäinen termi sisältää ∇:n ja r 2 − r 1 välisen dyaditulon, käsitellään ser 2 − r 1 :n komponentti kerrallaan. Manipuloidaan x-komponenttia kaavalla(x 1 − x 2J ·∇ 1|r 2 − r 1 | 3 = ∇ 1 · J x )1 − x 2|r 2 − r 1 | 3 − x 1 − x 2|r 2 − r 1 | 3 ∇ 1 · J (5.37)Nyt oikean puolen jälkimmäinen termi on nolla oletuksen ∇·J = 0 perusteella.Jäljellä oleva tilavuusintegraali voidaan muuttaa pintaintegraaliksi∫ (∇ 1 · J x ) ∮1 − x 2|r 2 − r 1 | 3 dV 1 = J x 1 − x 2 · dS (5.38)|r 2 − r 1 | 3VTämän on oltava voimassa pinnan valinnasta riippumatta, joten pinta voidaansiirtää virtajakautuman ulkopuolelle eli integraalin on oltava nolla.Sama pätee kaikille komponenteille, joten jäljelle on jäänyt Ampèren lakidifferentiaalimuodossa∇×B = µ 0 J (5.39)S

64 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄjoten∮CSB · dl = µ 0∫SCJ · n dS = µ 0 I (5.41)Integraalimuotoon Ampèren laki saadaan käytämällä Stokesin lausetta muodossa∫∮∇×B · n dS = B · dl (5.40)Siis suljettua lenkkiä pitkin integroitu magneettivuon tiheys on µ 0 kertaalenkin läpi kulkeva kokonaisvirta. Tätä tulosta kutsutaan Ampèrenkiertosäännöksi. Sen avulla voi laskea suoraan magneettikentän sellaisissaedellä käsitellyissä symmetrissä tapauksissa kuin suora virtajohdin taiympyränmuotoinen silmukka. Integraaleissa on muistettava, että pinnan Snormaalivektori n määrittelee oikeakätisesti käyräalkion dl.Kenttä toroidaalisen solenoidin sisälläTarkastellaan toruksen ympärille kierrettyä solenoidia (N kierrosta). Toruksensisällä kenttä on symmetriasyistä B = B(ρ)e φ , missä φ on toruksenkeskipistettä kiertävä kulma ja ρ etäisyys toruksen keskipisteestä toruksensisällä olevaan pisteeseen. Sovelletaan Ampèren kiertosääntöä pitkin ρ-säteistä ympyrää toruksen sisällä∮B · dl = B(ρ)2πρ = µ 0 NI (5.42)⇒5.4 Lorentzin voimaCB = µ 0NI2πρ e φ (5.43)Siirrytään nyt tarkastelemaan varauksellisten hiukkasten välisiä magneettisiavuorovaikutuksia. Palautetaan mieleen origossa olevan varauksen q 1pisteessä r olevaan varaukseen q aiheuttama Coulombin voimaF e = 1 qq 1 r4πɛ 0 r 2 (5.44)rTässä molemmat varaukset ovat levossa. Jos varaukset liikkuvat vakionopeuksillav ja v 1 , aiheuttaa varaus q 1 varaukseen q magneettisen voimanF m = µ 0 qq 1(v4π r 2 v × 1 × r )(5.45)rTämän voi päätellä soveltamalla kahden virtasilmukan välistä magneettistavoimaa 5.23 infinitesimaalisille virta-alkioille. Laki on luonnollisestimyös kokeellisesti todennettavissa.

5.5. VIRTASILMUKAN MAGNEETTIMOMENTTI 65Magneettinen voima voidaan myös lausua muodossa (vrt. virtasilmukat)F m = qv × B (5.46)missä B on magneettivuon tiheysB = µ 0 q 14π r 2 v 1 × r (5.47)rSamoin kuin sähkökentän myös magneettikentän tapauksessa useiden liikkuvienvarausten kentät ovat additiivisia.Yhteenlaskettua sähköistä ja magneettista voimaaF = q(E + v × B) (5.48)kutsutaan Lorentzin voimaksi. Ontärkeää huomata, että magneettinenvoima on aina kohtisuorassa hiukkasen nopeutta vastaan. Siten v · F m =0,mikä merkitsee, että magneettinen voima ei tee työtä varattuun hiukkaseen.Jos siis haluamme kiihdyttää varauksia, tarvitsemme aina viime kädessäsähkökentän, vaikka se luotaisiinkin muuttuvan magneettikentän avulla.Magneettivuon tiheyden SI-yksikkö on tesla (T = Ns/Cm = N/Am) jamagneettivuon yksikkö weber (Wb = Tm 2 ). Koska esimerkiksi maapallonmagneettikenttä maan pinnalla vaihtelee välillä 30000–60000 nT, on teslauseissa sovellutuksissa varsin suuri yksikkö.Vertaamalla sähköisen ja magneettisen voiman määritelmiä huomataan,että tulon ɛ 0 µ 0 dimension täytyy olla sama kuin nopeuden neliön käänteisluvulla.Kirjoittamalla ɛ 0 µ 0 =1/c 2 saadaan c:n lukuarvoksi valonnopeus.Niinpä voimme kirjoittaa magneettisen voiman lausekkeen muodossaF m = 1 (qq 1 v4πɛ 0 r 2 c × v1c × r )(5.49)rNyt voimme verrata magneettista ja sähköistä voimaa toisiinsaF mF e≤ v cv 1c(5.50)Siis tavallisilla nopeuksilla liikkuville varauksille sähköiset voimat ovat paljonvoimakkaampia kuin magneettiset voimat. Magneettiset voimat eivät kuitenkaanole merkityksettömiä, sillä vaikka aine on yleensä sähköisesti neutraalia,se saattaa olla voimakkaasti magnetoitunutta.5.5 Virtasilmukan magneettimomenttiTarkastellaan virtajohdinta, joka muodostaa suljetun silmukan C. Tällöinkoko silmukkaan vaikuttaa voima 5.24∮F = Idl × B (5.51)C

66 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄKokonaisvirta ei riipu paikasta, joten se voidaan siirtää integraalin ulkopuolelle,samoin magneettikenttä, mikäli se on vakio∮F = −I B × dl = 0 (5.52)Siis vakiomagneettikentässä virtasilmukkaan vaikuttava voima on nolla.Tarkastellaan sitten silmukka-alkioon vaikuttavaa vääntömomenttiaCdτ = r × dF = I r × (dl × B) (5.53)joten koko silmukkaan vaikuttava vääntömomentti on∮τ = I r × (dl × B) (5.54)COletetaan jälleen, että magneettikenttä on vakio. Kirjoitetaan ristitulo aukikaavalla r × (dl × B) =(r · B)dl − (r · dl)B. Tällöin∮∮τ = I (r · B)dl − IB r · dl (5.55)CJälkimmäinen integraali muuntuu Stokesin lauseella muotoon ∮ ∫C r · dl =S(∇×r) · dS = 0. Ensimmäinen integraali muuntuu puolestaan yleistetylläStokesin lauseella muotoon∮∫(r · B)dl = dS ×∇(r · B) (5.56)Koska B on vakio, niin (HT)joten∫τ = ISCSC∇(r · B) =B (5.57)(∫dS × B = IS)dS × B = IA × B (5.58)missä pinta-alavektori S voidaan kirjoittaa yleistetyn Stokesin lauseen avulla∫S = n dS = 1 ∮r × dl (5.59)S 2 CTuloa IS kutsutaan silmukan C magneettimomentiksim = IS = 1 ∮2 I r × dl (5.60)Tämän avulla vääntömomentti onCτ = m × B (5.61)Siis vaikka silmukkaan ei kohdistukaan voimaa, joka kiihdyttäisi silmukkaakokonaisuutena, siihen kohdistuu vääntömomentti, joka pyrkii kääntämäänsilmukan pintaa kohtisuoraan magneettikenttää vastaan. Tätä käytetäänhyväksi esimerkiksi avaruusalusten asennonsäätöjärjestelmissä.

5.6. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 675.6 Magneettikentän potentiaaliesitys5.6.1 VektoripotentiaaliKoska magneettikenttä onlähteetön, ∇·B = 0, se voidaan ilmaista vektorikentänroottorinaB = ∇×A (5.62)Vektoripotentiaali A ei ole yksikäsitteinen, sillä olipa f mikä riittävänsiisti skalaarikenttä hyvänsä ∇×(A + ∇f) =∇×A.Vektoripotentiaali voidaan ilmaista virran avulla lähtemälläjälleen Biot’nja Savartin laistaB(r 2 )= µ ∫04π VKoskar 2 − r 1|r 2 − r 1 | 3 = −∇ 12|r 2 − r 1 |voidaan integrandi kirjoittaa muotoonJ(r 1 ) × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 dV 1 (5.63)(5.64)J(r 1 ) × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 = −J(r 1 ) ×∇ 21|r 2 − r 1 |(5.65)Sovelletaan tähän kaavaa ∇×(fG) =f∇×G−G×∇f. Nyt ∇ 2 ×J(r 1 )=0,koska ∇ 2 ei operoi r 1 :een, joten integrandiksi tulee()J(r 1 ) × (r 2 − r 1 )1|r 2 − r 1 | 3 = −J(r 1 ) ×∇ 2|r 2 − r 1 | = ∇ 12 × J(r 1 ) (5.66)|r 2 − r 1 |∇ 2 voidaan siirtää r 1 :n suhteen laskettavan integraalin ulkopuolelle, joteneli{ ∫ µ0B(r 2 )=∇ 2 ×4π VA = µ ∫04π VKirjoittamalla A komponenttimuodossaA i = µ ∫04π V}J(r 1 )|r 2 − r 1 | dV 1(5.67)J(r 1 )|r 2 − r 1 | dV 1 (5.68)J i|r 2 − r 1 | dV 1 (5.69)nähdään, että komponentit A i ovat matemaattisesti samaa muotoa kuinsähköstaattisen potentiaalin lausekeϕ = 14πɛ 0∫Vρ|r 2 − r 1 | dV 1 (5.70)

68 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄjoten jokaiselle komponentille erikseen ja siten koko vektorille on voimassaPoissonin yhtälö∇ 2 A = −µ 0 J (5.71)Koska toisaaltaµ 0 J = ∇×B = ∇×(∇×A) =∇(∇·A) −∇ 2 A (5.72)vektoripotentiaalin on toteutettava ehto∇(∇·A) = 0 (5.73)Usein vektoripotentiaali valitaan siten, että ∇·A = 0, mikä itse asiassaoletettiin edellä implisiittisesti (Luku 9).Sähköstatiikassa skalaaripotentiaali helpottaa laskuja olennaisesti. Vektoripotentiaalion monimutkaisempi suure, mutta silti käyttökelpoinen monessatilanteessa. Vektoripotentiaali on myös hyödyllinen sähkömagneettisiinaaltoihin ja säteilyyn liittyvissä ongelmissa ja keskeinen apuväline elektrodynamiikanteoriassa, relativistisissa tarkasteluissa ja kvanttielektrodynamiikassa.5.6.2 Magneettikenttä kaukana virtasilmukastaMikäli virta on kulkee virtasilmukassa, voidaan palata luvun alussa olleeseenesitykseen J dV → Idr ja vektoripotentiaalin lausekkeeksi tuleeA(r 2 )= µ ∮0I dr 1(5.74)4π |r 2 − r 1 |Tarkastellaan tilannetta kaukana silmukasta ja kehitetään nimittäjä sarjaksi|r 2 − r 1 | −1 =(r2 2 + r1 2 − 2r 1 · r 2 ) −1/2 = 1 [1+ r ]1 · r 2r 2 r22 + ... (5.75)jotenA(r 2 )= µ { ∮0I 1dr 1 + 1 ∮}4π r 2 r23 dr 1 (r 1 · r 2 )+... (5.76)Ensimmäinen integraali on nolla. Jälkimmäinen integrandi on osa lausekkeesta(r 1 × dr 1 ) × r 2 = −r 1 (r 2 · dr 1 )+dr 1 (r 1 · r 2 ) (5.77)Toisaalta lausekkeen r 1 (r 1 · r 2 ) differentiaali r 1 :n pienen muutoksen suhteenond[r 1 (r 2 · r 1 )] = r 1 (r 2 · dr 1 )+dr 1 (r 2 · r 1 ) (5.78)Summaamalla nämä ja jakamalla kahdella saadaandr 1 (r 1 · r 2 )= 1 2 (r 1 × dr 1 ) × r 2 + 1 2 d[r 1(r 2 · r 1 )] (5.79)

5.6. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 69Koska tämän jälkimmäinen termi on kokonaisdifferentiaali, se ei tuota mitäänsuljettuun lenkki-integraaliin, joten jäljelle jääA(r 2 )= µ [ ∮0 I4π 2r 1 × dr 1]× r 2r 3 2(5.80)Hakasuluissa oleva lauseke on tuttu silmukan magneettinen momentti m,jonka avulla lausuttuna vektoripotentiaali onA(r 2 )= µ 0 m × r 24π r23(5.81)Koska laskussa on oletettu r 1 ≪ r 2 , on koordinaatiston origo sijoitettavalähelle silmukkaa.Magneettikenttä saadaan ottamalla vektoripotentiaalin roottori (HT)B(r 2 ) = ∇×A(r 2 )= µ (04π ∇× m × r )2r23= µ [0 3(m · r2 )r 24π r25 − m ]r23 (5.82)Ainoastaan etäällä olevan silmukan magneettinen momentti vaikuttaa magneettikenttään.Tämä on muodoltaan samanlainen kuin sähköisen dipolinaiheuttama sähkökenttä 2.40. Tämän vuoksi magneettista momenttia kutsutaanusein magneettiseksi dipolimomentiksi.5.6.3 Magneettikentän skalaaripotentiaaliAlueissa, joissa J = 0, magneettikenttä onpyörteetön ∇×B = 0, jotennäissä alueissa magneettikenttä voidaan ilmaista magneettisen skalaaripotentiaalinψ avullaB = −µ 0 ∇ψ (5.83)Koska toisaalta aina ∇·B = 0, skalaaripotentiaali toteuttaa Laplacen yhtälön∇ 2 ψ = 0 (5.84)joten sähköstatiikasta tuttuja apuneuvoja voi soveltaa magnetostatiikan ongelmiinkunhan ollaan huolellisia erilaisten reunaehtojen kanssa.Koska etäällä olevan virtasilmukan luoma magneettikenttä on matemaattisestisamaa muotoa kuin sähködipolin kenttä, voidaan magneettinen skalaaripotentiaaliilmaista magneettisen dipolimomentin avulla( ) m · r2B = −µ 0 ∇4πr23 (5.85)

70 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄKuva 5.2: Virtasilmukan muodostaminen pienistä silmukoista. Nettovirtaakulkee vain ison silmukan ulkoreunalla.jotenψ = 1 m · r 24π r23 (5.86)Erona sähköstatiikkaan magneettinen skalaaripotentiaali on paikan yksiarvoinenfunktio ainoastaan yhdesti yhtenäisissä alueissa. Tarkastellaan esimerkkinäaluetta, jossa on virtasilmukka. Nyt dipolitarkastelu ei käy suoraanpäinsä. Virtasilmukan voidaan kuitenkin ajatella koostuvan monestapienestä (differentiaalisesta) silmukasta, jotka muodostavat tiheän silmukansulkeman pinnan peittävän verkon (kuva 5.2).Verkon vierekkäisten elementtien virrat kumoavat toisensa, joten kokonaisvirtaon sama kuin silmukkaa kiertävä virta. Kukin silmukka tuottaaulkopuolelleen skalaaripotentiaalielementindψ = dm · r 24πr 3 2= (In dS) · r 24πr 3 2= − I dΩ (5.87)4πmissä dΩ on differentiaalisen silmukan avaruuskulmaelementti. Integroimallakaikkien pikkusilmukoiden yli saadaanψ = − I4π Ω (5.88)missä Ω on silmukan peittämä avaruuskulma katsottaessa pisteestä, jossa ψlasketaan (tämä selittää ylläolevan miinusmerkin!). Kuljettaessa silmukanläpi ja tultaessa takaisin samaan tarkastelupisteeseen kasvaa avaruuskulmatekijällä 4π, joten potentiaali ei todellakaan ole yksikäsitteinen vaanψ = − I4π (Ω 0 ± n 4π) (5.89)Alueesta saadaan yhdesti yhtenäinen asettamalla tarkastelualueen rajapinnaksijokin silmukan reunakäyrän rajoittama pinta.

5.7. MAGNEETTIVUO 71Helppo esimerkki tilanteesta, jossa skalaaripotentiaali ei ole paikan yksiarvoinenfunktio, on äärettömän pitkä suora virtajohdin. Jos johdin onz-akselilla, niin sylinterikoordinaateissa skalaaripotentiaaliksi kelpaa ψ =−Iφ/(2π), jolle ψ(φ) ≠ ψ(φ +2π).Magneettinen skalaaripotentiaali eroaa sähköisestä siinä, ettäjälkimmäiselläon selvä fysikaalinen tulkinta: se antaa varauksellisen hiukkasen potentiaalienergiansähköstaattisessa kentässä. Magneettikentässätällaista tulkintaaei ole.5.7 MagneettivuoMagneettikentäksi kutsumamme suure B on siis tarkkaan ottaen magneettivuontiheys, jonka SI-yksikkö tesla (T) vastaa yhden weberin (Wb) suuruistamagneettivuota neliömetrin läpi. Magneettivuo Φ pinnan S läpi on∫Φ= B · dS (5.90)Jos pinta on suljettu∮Φ=SS∫B · dS =V∇·B dV = 0 (5.91)eli magneettivuo suljetun pinnan läpi on nolla. Tätä voi havainnollistaaepätäsmällisellä toteamuksella, että jokaisesta avaruuden alueesta lähteeyhtä paljon magneettikentän kenttäviivoja kuin niitä sinne tulee.

72 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄ

Luku 6Magneettikenttä väliaineessaTässä luvussa käsitellään magneettikentän ominaisuuksia väliaineessa (RMCluku 9 osittain; CL luku 7 osittain; esitiedot KSII luku 4).6.1 MagnetoitumaEdellä rajoituttiin magneettikentän määrittämiseen magneettisilta ominaisuuksiltaantyhjönkaltaisessa väliaineessa. Aineen mikroskooppinen rakenneaiheuttaa todellisuudessa kullekin atomille ominaisen magneettisen dipolimomentinm i . Lasketaan yhteen kaikkien atomien dipolimomentit tilavuusalkiossa△V . Aineen magnetoituma määritellään raja-arvona (vrt. polarisoituma)M =lim△V →01△V∑m i (6.1)iMagnetoituma on siis väliaineen magneettisten dipolimomenttien tiheys paikanfunktiona. Koska magneettisen momentin SI-yksikkö onAm 2 , on magnetoitumanyksikkö A/m.Jos dipolimomenttien tiheys on homogeeninen, kutakin dipolimomenttiavastaavat virtasilmukat summautuvat nollaan eivätkä aiheuta nettovirtaa.Jos jakautuma kuitenkin on epätasainen, on tarkastelupisteen eri puolillaeri määrä virtaelementtejä ja tuloksena on kokonaisvirta J M . Virranlaskemiseksi tarkastellaan kahta pientä tilavuusalkiota magneettisessa materiaalissa.Olkoon kummankin tilavuus △x△y△z ja sijaitkoot ne rinnakkainy-akselin suuntaan kuvan 6.1 mukaisesti.Jos ensimmäisen alkion magnetoituma on M(x, y, z), niin toisen magnetoitumaonM(x, y, z)+ ∂M △y + korkeamman kertaluvun derivaattoja∂y73

74 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAz∆y∆yxM xI’ CI’’ CM + ∂M /∂y ·∆yxx∆x∆zyKuva 6.1: Magnetoitumasta aiheutuvan virran laskeminen.Ensimmäisen elementin magneettisen momentin x-komponentti saadaan ilmaistuksisilmukkavirran I ′ C avullaM x △x△y△z = I ′ C△y△z (6.2)ja vastaavasti toiselle elementille(M x + ∂M )x∂y △y △x△y△z = I C△y△z ′′(6.3)Elementtien välistä nousee nettovirta z-akselin suuntaanI C ′ − I C ′′ = − ∂M x△x△y (6.4)∂yToistamalla tarkastelu kahdelle rinnakkaiselle tilavuusalkiolle x-akselilla (tarkkanamerkkien kanssa!), saadaan z-akselin suuntaiseksi virraksiI C = ∂M y△x△y (6.5)∂xNämä ovat ainoat magneettiset momentit, jotka tuottavat virtaa z-akselinsuuntaan. Laskemalla ne yhteen ja jakamalla pinta-alaelementillä saadaanmagnetoitumisvirran tiheyden z-komponentiksi(J M ) z = ∂M y∂x− ∂M x∂y(6.6)eli vektorimuodossaJ M = ∇×M (6.7)

6.2. MAGNETOITUNEEN AINEEN AIHEUTTAMA KENTTÄ 756.2 Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttäLasketaan sitten magneettisen aineen aiheuttama magneettikenttä. Lähdetäänliikkeelle vektoripotentiaalista (vrt. 5.81)A(r) = µ ∫0 M(r ′ ) × (r − r ′ )4π V 0|r − r ′ | 3 dV ′ = µ ∫0M(r ′ ) ×∇ ′ 14π V 0|r − r ′ | dV ′ (6.8)Tekemällä tuttuja vektorikikkoja saadaan tämä muotoonA(r) = µ ∫0 ∇ ′ × M4π V 0|r − r ′ | dV ′ + µ ∮0 M × n4π S 0|r − r ′ | dS′ (6.9)missä S 0 on tilavuuden V 0 pinta. Pinnalla magnetoitumisvirran tiheys onj M = M × n (6.10)Tämä on magnetoitumisvirta yksikköpituutta kohti eli virta on ikään kuinlitistetty kulkemaan yksiulotteisen ”pinnan” läpi. Vektoripotentiaali määräytyysiis magnetoitumisvirrasta tilavuudessa V 0 ja tilavuuden pinnalla S 0A(r) = µ 04π∫J M (r ′ )V 0|r − r ′ | dV ′ + µ 04π∮S 0j M|r − r ′ | dS′ (6.11)Tämä tulos ei arvatenkaan ole mikään yllätys (vrt. sähköstaattinen potentiaali).Tästä ei kuitenkaan ole aivan helppo laskea itse magneettikenttää, koskaJ M = ∇×M. Lähdetään liikkeelle suoraan vektoripotentiaalin määritelmästä.B = ∇×A = µ ∫ [0∇× M(r ′ ) × (r − ]r′ )4π V 0|r − r ′ | 3 dV ′ (6.12)missä gradientti kohdistuu vektoriin r. Nyt integrandi saadaan muokatuksimuotoon (käy itse läpi kaikki välimuodot!)[∇× M(r ′ ) × (r − ][ r′ )(r − r|r − r ′ | 3 = M(r ′ ′ ]))∇·|r − r ′ | 3 −(M(r ′ )·∇) (r − r′ )|r − r ′ | 3 (6.13)Oikean puolen ensimmäinen termi tuo magneettikenttään osuuden∫B I (r) = µ 0M(r ′ )4πδ(r − r ′ ) dV ′ = µ 0 M(r) (6.14)4π V 0Toinen termi vaatii jälleen vähän vektoriakrobatiaa ja antaa tuloksenB II (r) =−µ 0 ∇( 14π∫V 0M(r ′ ) · (r − r′ )|r − r ′ | 3 dV ′ )= −µ 0 ∇ψ(r) (6.15)Tässä ψ(r) on magneettisen materiaalin skalaaripotentiaali. Magneettikenttäon siis tämän potentiaalin ja paikallisten virtojen aiheuttaman magneettikentänsummaB(r) =−µ 0 ∇ψ(r)+µ 0 M(r) (6.16)

76 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAAineen ulkopuolella M on nolla, joten siellä kenttä saadaan skalaaripotentiaalista,joka on siis integraali aineessa olevista dipolimomenttialkioista.Tässä onpäädytty jokseenkin samanlaiseen kuvailuun kuin eristekappaleidenkanssa. Magneettisen skalaaripotentiaalin saa edelleen muotoonψ(r) = 1 ∫M(r ′ ) · (r − r′ )4π V 0|r − r ′ | 3 dV ′= 14π= 14π∮∮∫M · nS 0|r − r ′ | dS′ − 1 ∇ ′ · M4π V 0|r − r ′ | dV ′ (6.17)σ M (r ′ )S 0|r − r ′ | dS′ + 1 ∫ρ M (r ′ )4π V 0|r − r ′ | dV ′Näin määritellyt magneettisten napojen tiheys ρ M ja magneettisennapavoimakkuuden pintatiheys σ M ovat samankaltaisia apusuureita kuinpolarisaatiotiheydet ρ P ja σ P sähköstatiikassa.6.3 Magneettikentän voimakkuusMagneettisen aineen itsensä lisäksi kokonaiskenttään vaikuttaa vapaiden varaustenaiheuttama virta. Esimerkiksi rauta voi olla magnetoitunutta jalisäksi sen johtavuuselektronit kuljettavat ”vapaata” virtaa. NiinpäB(r) = µ ∫04π VJ × (r − r ′ )|r − r ′ | 3 dV ′ − µ 0 ∇ψ(r)+µ 0 M(r) (6.18)Tämä voidaan laskea, mikäli M ja J ovat tiedossa kaikkialla. Usein virtatunnetaankin, mutta M riippuu B:stä. Vaikka rakenneyhtälö M(B) tunnettaisiinkin,meille jää yhä integraaliyhtälö B:n itsensä laskemiseen.Tämän ongelman käsittelemiseksi otetaan käyttöön apukenttä H, jotakutsutaan magneettikentän voimakkuudeksiH = 1 µ 0B − M (6.19)TällöinH(r) = 1 ∫J × (r − r ′ )4π V |r − r ′ | 3 dV ′ − µ 0 ∇ψ(r) (6.20)Tämä voi näyttää turhalta tempulta, koska H riippuu yhä M:stä ρ M :n jaσ M :n kautta, mutta toimihan samanlainen temppu myös sähköstatiikassa.Kentän H hyödyllisyys piilee siinä, että sille saadaan virrantiheydestäriippuva differentiaaliyhtälö. Palautetaan ensiksi mieleen, että ∇·B =0onkokeellinen laki, jonka mukaan magneettivuon tiheys voidaan aina palauttaa

6.4. SUSKEPTIIVISUUS JA PERMEABILITEETTI 77virtajakautumiin, eikä todellisista eristetyistä magneettisista monopoleistaole havaintoja. Nyt Ampèren laissa on tärkeä huomioida kaikki sähkövirrat∇×B = µ 0 (J + J M ) (6.21)missä J kuvaa varausten siirrokseen liittyvää vapaata virtaa. Tämä päteekaikkialla muualla kuin pintavirtaa ylläpitävän kappaleen pinnalla. Ottamallahuomioon relaatio J M = ∇×M, saadaan tästä∇×H = J (6.22)Siis H-kentän pyörteet aiheutuvat vain vapaiden varausten kuljettamastavirrasta. Magneettisten ongelmien ratkomiseen tarvitaan tämän lisäksi tietenkin∇·B = 0, reunaehdot ja kokeellinen rakenneyhtälö B:n ja H:n välille.Integraalimuodossa H:lle pätee∫∫∮I = J · n dS = ∇×H · n dS = H · dl (6.23)SSeli magneettikentän voimakkuuden integraali pitkin suljettua lenkkiä onyhtä suuri kuin varausten kuljettama kokonaisvirta lenkin läpi.C6.4 Suskeptiivisuus ja permeabiliteettiKenttien B ja H välinen suhde riippuu väliaineen ominaisuuksista samaantapaan kuin kenttien D ja E yhteys. Magneettiset aineet ovat yleensä niinmonimutkaisia, että rakenneyhtälö on määritettävä kokeellisesti. Suurellejoukolle aineita (LIH) yhteys on muotoaM = χ m H (6.24)missä kerroin χ m on magneettinen suskeptiivisuus. Epäisotrooppisellemutta lineaariselle väliaineelle χ m on tensori, epälineaarisessa väliaineessase riippuu lisäksi magneettikentästä. Tällä kurssilla rajoitutaan isotrooppisiinmagneettisiin väliaineisiin. SI-yksiköissä magneettinen suskeptiivisuuson dimensioton suure (sähköisen χ:n dimensio on sama kuin ɛ 0 :n).Jos χ m > 0, väliaine vahvistaa ulkoista magneettivuon tiheyttä ja ainettakutsutaan paramagneettiseksi. Jos taas χ m < 0, magneettivuon tiheysheikkenee ja aine on diamagneettista. Sekä paramagneettisilla että diamagneettisillaaineilla magneettinen suskeptiivisuus on pieni: |χ m |≪1.Kenttien M ja H välinen lineaarinen yhteys merkitsee, että myös kenttienB ja H välinen rakenneyhtälö on lineaarinenB = µ 0 (1 + χ m )H ≡ µH (6.25)missä µ on väliaineen permeabiliteetti. Aineiden magneettisia ominaisuuksiatarkastellaan hieman enemmän luvussa 10.

78 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSA12SB 1n 1B 2n 2n 2x nH 1H 2l 0Kuva 6.2: Magneettikenttävektoreiden reunaehtojen määrittäminen.6.5 Magneettikenttävektoreiden reunaehdot rajapinnallaTarkastellaan kuvan 6.2 mukaista kahden väliaineen rajapintaa. Magneettivuontiheyden B reunaehto on analoginen sähkövuon tiheyden D reunaehdonkanssa. Kuvan pillerirasian pinnan yli laskettu B:n integraali on∮S∫B · n dS =V∇·B dV = 0 (6.26)Litistämällä pillerirasian vaippa infinitesimaaliseksi saadaan∮SB · n dS = B 2 · n 2 △S + B 1 · n 1 △S = 0 (6.27)missä △S on rasian kannen pinta-ala. Koska n 1 = −n 2 , niinB 2n − B 1n = 0 (6.28)eli magneettivuon tiheyden normaalikomponentti on jatkuva rajapinnanläpi.Magneettikentän voimakkuudelle saadaan reunaehto Stokesin lauseenavulla tarkastelemalla H:n lenkki-integraalia kuvan suorakaidetta pitkin∮ ∫∫H · dl = (∇×H) · n dS =SSJ · n dS (6.29)missä n on normaalikomponentti integroimislenkin läpi (n = n 2 × l 0 ). Litistettäessäintegroimislaatikko jälleen infinitesimaaliseksi silmukan läpi kulkevavirta voi olla ainoastaan pintavirtaa j, jotenJ · n△S = △l j · (n 2 × l 0 ) (6.30)

6.6. REUNA-ARVO-ONGELMIA MAGNEETTIKENTÄSSÄ 79jonka avulla saadaan∮H · dl =(H 2 − H 1 ) · l 0 △l = △l j · (n 2 × l 0 )=△l (j × n 2 ) · l 0 (6.31)josta seuraa reunaehto(H 2 − H 1 ) t =(j × n 2 ) t (6.32)eli magneettikentän voimakkuuden tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnanyli, ellei pinnalla ole pintavirtaa. Mikäli H-kenttä tunnetaan pinnanmolemmin puolin, saadaan pintavirran tiheys lausekkeestan 2 × (H 2 − H 1 )=j (6.33)Useissa magnetismiin liittyvissä ongelmissa on näppärää tarkastella vuoputkia.Tarkastellaan magneettikentän kenttäviivoja, siis viivoja, jotka ovatjokaisessa pisteessä kentän B tangentin suuntaisia. Vuoputki on ikäänkuinkimppu kenttäviivoja tai täsmällisemmin alue, jonka vaipan läpi ei kuljeyhtään kenttäviivaa. Olkoot S 1 ja S 2 vuoputken päät. Tällöin vuoputkentilavuuden yli laskettu integraali on∫∫∫∇·B dV = B · n dS 2 − B · n ′ dS 1 =Φ(S 2 ) − Φ(S 1 ) = 0 (6.34)VS 2 S 1missä n ja n ′ ovat magneettikentän suuntaan laskettuja putken päiden normaalivektoreita.Magneettivuo pitkin vuoputkea on siis vakio.Huom. Ylläoleva tulos koskee vain B-kenttää eikä välttämättä pädeH-kentälle: ∫∫∫∇·H dV = (−∇ · M) dV = ρ M dV (6.35)VVVuoputkeen voi siis tulla magneettikentän voimakkuutta, mikäli väliaineenmagneettisten napojen tiheys on äärellinen eli aineella on nollasta poikkeavanapavoimakkuus.V6.6 Reuna-arvo-ongelmia magneettikentässäMagneettiset reuna-arvo-ongelmat ovat yleensä monimutkaisempia kuin sähköstatiikanvastaavat ongelmat. Sähkövirtojen olemassaolo, epätasainen magnetoituminentai epälineaarinen rakenneyhtälö edellyttävät Laplacen yhtälöämonimutkaisempien yhtälöiden ratkomista ja hankaloittavat reunaehtoja.Rajoitutaan tässä yksinkertaisiin tilanteisiin.Virrattomuus (∇×H = 0) tekee mahdolliseksi magneettikentän esittämisenskalaaripotentiaalin gradienttina H = −∇ψ. Jos lisäksi aine on magneettisestiainakin likimain lineaarista eli B = µH ja tasaisesti magnetoitunutta(∇·M = 0), niin ∇·H = 0 ja pääsemme ratkaisemaan Laplacen yhtälöä∇ 2 ψ = 0 (6.36)

80 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAMagnetoituva pallo tasaisessa magneettikentässäTämä ongelma on periaatteessa sama kuin luvun 3.5 eristepallo tasaisessaulkoisessa sähkökentässä. Lausumalla ψ vyöhykeharmonisten funktioidenavulla ja käyttämällä reunaehtoja saadaan (HT) magneettikentälle lausekkeetpallon sisällä3B 0B 2 =1+2(µ 0 /µ) e z = vakio (6.37)ja pallon ulkopuolella[ ) (µ/µ0 ) − 1 a 3B 1 = B 0 e z +B 0 (2e r cos θ + e θ sin θ) (6.38)(µ/µ 0 )+2](rmissä e z on ulkoisen magneettikentän suuntainen, koordinaatiston origo onpallon keskipisteessä ja kulma θ on poikkeama z-akselilta.Tässä on syytä huomata, että nimenomaan B-kenttä vastaa rakenteeltaansähköstatiikan D-kenttää.Tasaisesti magnetoituneen pallon kenttä tyhjössäOlkoon pallon säde a ja magnetoituma vakio M = Me z . Tilanne on jälleenaksiaalisymmetrinen, joten magneettinen skalaaripotentiaali pallon ulkopuolella(1) ja sisällä (2) voidaan kirjoittaa (ks. luku 2.9.2)ψ 1 (r, θ) =∞∑C 1n r −(n+1) P n (cos θ) (6.39)n=0ψ 2 (r, θ) =∞∑A 2n r n P n (cos θ) (6.40)n=0Erona aiempiin vastaaviin laskuihin on, että nyt ei ole taustan kenttää, jotenulkokentässä kaikki r:n positiiviset potenssit on jätettävä pois. Sisäkentässäei voi puolestaan olla negatiivisia potensseja, jotta ratkaisu olisi äärellinenpallon keskipisteessä. Reunalla r = aH:n reunaehdosta seuraa yksinkertaisestiH 1θ = H 2θ (6.41)B 1r = B 2r (6.42)1 ∂ψ 1a ∂θ = 1 ∂ψ 2a ∂θB-kentässä on mukana myös magnetoituma(6.43)B(r) =−µ 0 ∇ψ(r)+µ 0 M(r) (6.44)

6.6. REUNA-ARVO-ONGELMIA MAGNEETTIKENTÄSSÄ 81ja tämän jatkuvuus reunalla edellyttää∂ψ 1−µ 0∂r = −µ ∂ψ 20∂r + µ 0M cos θ (6.45)Sijoittamalla näihin ψ:n lausekkeet saadaan yhtälöt∞∑(C 1n a −(n+1) − A 2n a n )P n (cos θ) = vakio (6.46)n=0µ 0 C 10 a −2 ∑ ∞+ µ 0 P n (cos θ)[C 1n (n +1)a −(n+2) + A 2n na n−1 ] (6.47)n=1−µ 0 M cos θ =0P n :t ovat ortogonaalisia funktioita, joten jokaisen n-termin summauksissatäytyy toteutua erikseen. Kun n = 0, saadaan ehdotC 10 a −1 − A 20 = vakio (6.48)µ 0 C 10 a −2 = 0 (6.49)Siis C 10 =0jamyös A 20 voidaan valita nollaksi ilman, että sillä on vaikutustakenttiin B tai H. Termeille n = 1 on voimassaC 11 a −3 − A 21 = 0 (6.50)2C 11 a −3 + A 21 − M = 0 (6.51)jonka ratkaisuna on C 11 = Ma 3 /3; A 21 = M/3.Kun n ≥ 2yhtälöt toteutuvat ainoastaan kertoimilla C 1n = A 2n =0.Ongelma on ratkaistu. Potentiaalit ovatja H-kentät saadaan näiden gradientteinaψ 1 (r, θ) = 1 3 M(a3 /r 2 ) cos θ (6.52)ψ 2 (r, θ) = 1 Mrcos θ (6.53)3H 1 = 1 3 M(a3 /r 3 )[2e r cos θ + e θ sin θ] (6.54)H 2 = − 1 3 Me z (6.55)Ulkoinen B-kenttä onµ 0 H 1 . Koska pallon magnetoituma M = Me z ,jääpallon sisäiseksi B-kentäksiB 2 = 2 3 µ 0Me z = 2 3 µ 0M (6.56)joka on siis vastakkaissuuntainen H-kentälle. Ongelman voisi ratkaista myösluvussa 6.2 esitetyllä tavalla skalaaripotentiaalin avulla, jolloin tehtäväksi

82 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAjää magnetoituman integroiminen. Tasaisesti magnetoitunut pallo on analoginentasaisesti polarisoituneen pallon kanssa.Huom. Vaikka Maxwellin yhtälöt ovat yksinkertaisemmat tyhjökentilleE ja B, jolloin ei tarvita rakenneyhtälöitä, käytännön magneettisissa ongelmissaH-kenttä on usein yksinkertaisempi tarkasteltava.

Luku 7Sähkömagneettinen induktioOppimateriaali RMC luku 11 ja CL 8.1; esitiedot KSII luku 5.Toistaiseksi olemme tarkastelleet vain ajasta riippumattomia kenttiä. Nevoi mainiosti kuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään,mikä puolustaisi Feynmanilta lainattua toteamusta kurssin alussa.Tässä luvussa alamme tarkastella ajasta riippuvia kenttiä ja siirtyä alueelle,jossa mielikuvitus joutuu paljon kovemmalle koetukselle.7.1 Faradayn lakiSähköstaattiselle kentälle pätee ∮ CE · dl = 0. Mikäli kenttä ei ole staattinenja siten integraali ei ole nolla, silmukkaan C sanotaan indusoituvansähkömotorisen voiman (smv)∮E = E · dl (7.1)Cjoka havaintojen mukaan vastaa silmukan läpäisevän magneettivuon muutostaE = − dΦ(7.2)dtTämä onFaradayn induktiolaki. Se ei riipu mitenkään siitä, kuinka magneettivuontiheys itsessään muuttuu. Lain olemassaolo ei myöskään riipufysikaalisen silmukan olemassaolosta, vaan pätee annettua reittiä C pitkinlasketulle integraalille. Faradayn laki on jälleen kokeellinen luonnonlaki, jokaei seuraa mistään muista luonnonlaeista.Sähkömotorisen voiman yksikkö on sama kuin potentiaalieron eli voltti.Sähkömotorinen voima ei kuitenkaan ole minkään kahden pisteen välinenjännite, koska se lasketaan aina suljetun silmukan yli!83

84 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOKoska Faradayn laki ei riipu kentän jakautumasta silmukan sisällä, voidaansilmukka ajatella kiinteäksi ja viedä aikaderivaatta vuointegraalin sisään,jolloin siitä tulee osittaisaikaderivaatta∮E · dl = − d ∫B · n dS (7.3)C dt Sja Stokesin lauseen mukaan∫∫∇×E · n dS = −SS∂B∂t· n dS (7.4)Tämä on voimassa kaikille kiinteille pinnoille, joten Faradayn laki differentiaalimuodossaon∇×E = − ∂B(7.5)∂tjoka on Maxwellin kolmas yhtälö.Edellä oletettiin integrointisilmukka kiinteäksi. Faradayn lain integraalimuodossaE on siis sähkökenttä silmukka-alkion dl kohdalla koordinaatistossatai aineessa, jossa dl on levossa. Jos tarkastellaan liikkuvia silmukoitaja mahdollisesti liikkeen mukana muuttuvia silmukoita, liikkeen kanssatäytyy olla huolellinen. Magneettikentän kokonaismuutos havaitsijan koordinaatistossariippuu sekä eksplisiittisestä aikamuutoksesta (∂/∂t) että muutoksestaliikkeen mukana (V ·∇), missä V(r,t)onväliaineen virtauskenttähavaitsijan koordinaatistossa. Silloin siisddt = ∂ + V ·∇ (7.6)∂tFaradayn laissa oleva miinusmerkki ilmaisee Lenzin lain: “Induktiovirtavastustaa muutosta, joka sen aiheuttaa”. Induktiovirta kuluttaa energiaa.Tämä energia on saatava systeemiltä, joka aiheuttaa induktion. Tämämerkitsee, että induktion aiheuttajan on tehtävä työtä induktiovirran vastavaikutuksenvoittamiseksi. Lenzin laki on usein kätevä tapa määrittää indusoituvanvirran suunta, joka saattaa olla vaikea johtaa aikaderivaatan jaroottorin sisältävästä abstraktin näköisestä Faradayn laista.Faradayn lain avulla voidaan ymmärtää esimerkiksi betatronin toiminta.Olemme todenneet, että vain sähkökenttä voi tehdä työtä varattuunhiukkaseen. Betatronissa muuttuva magneettikenttä indusoi sähkökentän,joka kiihdyttää hiukkasia. Lorentzin voiman lauseke ei tietenkään rajoitustaattisiin sähkö- ja magneettikenttiin.Esimerkki: Liikkuva johdin magneettikentässäTarkastellaan yksinkertaisena, mutta toivottavasti ajatuksia herättävänä esimerkkinämagneettikentässä likkuvaa johdetankoa. Oletetaan, että johdetankoab (pituus L) liikkuu vakionopeudella v pitkin johdinkiskoja ja saapuu

7.1. FARADAYN LAKI 85cVdbv Baxx 0Kuva 7.1: Magneettikenttään saapuva kiskoilla liikkuva johdintanko.alueeseen x>x 0 , jossa on vakiomagneettikenttä B kohtisuorassa silmukantasoa vastaan (kuva 7.1). Asetetaan välille cd suuriresistanssinen jännitemittari(silmukassa abcda ei siis kulje virtaa).Kentässä olevan johdetangon vapaisiin varauksiin vaikuttaa LorentzinvoimaF = q(E + v × B) (7.7)Voiman magneettinen osa ajaa positiivisia ja negatiivisia varauksia tangoneri päihin. Tämä aiheuttaa sähkökentän, joka pyrkii vastustamaan varausseparaatiotaja syntyy tasapainotilanne, jossa sähkökenttä suuntautuupisteestä a kohti pistettä b ja kentän suuruus onTangon päiden a ja b välillä onjänniteV ab = ϕ a − ϕ b =E = vB (7.8)∫baE · dl = EL = BLv (7.9)Tätä sanotaan liikkeen indusoimaksi potentiaalieroksi (joskus epätäsmällisestiliikkeen indusoimaksi sähkömotoriseksi voimaksi).Edellä ei tarvittu induktiolakia ollenkaan, vaan mikrofysikaalinen tarkasteluoli riittävä. Voimme toisaalta laskea magneettivuon silmukan abcda läpi,kun johdetanko kulkee magneettikentässä. Valitsemalla integroimispinnaneli silmukan tason normaalivektori magneettikentän suuntaiseksi saadaanvuon muutosnopeudeksidΦdt = B dAdt = Bldx = Blv (7.10)dt

86 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOjoten Faradayn lain mukaan piiriin indusoituu smv− dΦ = −Blv (7.11)dtMerkki kertoo, ettäsähkömotorinen voima vaikuttaa kuvaan merkittyä positiivistakiertosuuntaa vastaan. Jos virtapiiri oikosuljettaisiin jännitemittarinkohdalta, niin induktiovirta kulkisi myötäpäivään. Induktiovirta pyrkii siispienentämään magneettivuon muutosta silmukan läpi.Ajatellaan sitten, että neliösilmukka (sivu L) saapuu magneettikenttäännopeudella v. Oikosuljetaan piiri, jolloin virta voi kulkea siinä. Silmukan tullessamagneettikenttään vuon muutos on vakio (−BLv), ja piiriin syntyvänmyötäpäivään kulkevan induktiovirran suuruus on BLv/R (R on piirin resistanssi).Kun silmukka on kokonaan magneettikentän sisällä, vuo ei enäämuutu ja virta lakkaa kulkemasta. Kannattaa huomata, että induktioilmiövoitaisiin tässä tapauksessa selittää myös Lorentzin voiman avulla.Silmukan tullessa kenttään sivuun ab kohdistuu nopeudelle vastakkaissuuntainenvoima F suuruudeltaan BLI, joten silmukan kiskomiseen tarvittavateho on Fv = BLIv. Tämä ontäsmälleen yhtä suuri kuin virtasilmukanohmiset tehohäviöt.Oletetaan nyt, että neliösilmukka on kokonaan alueessa x>x 0 eikä liiku.Muutetaan magneettikenttää silmukan kohdalla ajan funktiona: B(t) =Bvt/L. Tällöin magneettivuo silmukan läpi on Φ(t) =BvLt, jolloin vuonmuutos on sama kuin edellä liikkuvan tangon tapauksessa. Ratkaisevanaerona edelliseen tilanteeseen on se, ettei induktioilmiötä voida nyt selittääLorentzin voiman avulla (v × B = 0).Magneettikenttään saapuvan silmukan tilannetta voitaisiin tarkastellamyös silmukan mukana liikkuvan tarkkailijan kannalta. Hänen mielestäänmagneettisia voimia ei ole, joten taas tarvitaan induktiolakia selittämäänsähkömotorisen voiman syntyminen.Se, että liikkeen indusoima potentiaaliero on yhtä suuri kuin muuttuvanmagneettikentän aiheuttama sähkömotorinen voima, ei ole itsestään selvää.Tämän ekvivalenssin selvittäminen oli keskeisessä osassa, kun Einstein kehittisuppeamman suhteellisuusteorian vuonna 1905. Liikkuvissa koordinaatistoissaoikean integroimistien valinta vuon muutoksen laskemiseksi eiole aina helppoa. Koska Maxwellin yhtälöt kuitenkin osoittautuvat Lorentzinvarianteiksi,Faradayn laki differentiaalimuodossa ja Lorentzin voiman lausekepätevät kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.7.2 ItseinduktanssiTarkastellaan eristettyä virtasilmukkaa, jossa magneettivuo on silmukan itsensäaiheuttama. Biot’n ja Savartin lain mukaan magneettikenttä riippuu

7.2. ITSEINDUKTANSSI 87lineaarisesti silmukassa kulkevasta sähkövirrasta I. Kiinteässä muuttumattomassasilmukassa vuon muutos johtuu vain virran muutoksesta, jotendΦdt = dΦ dIdI dtVirran ja vuon muutoksen välistä verrannollisuuskerrointa(7.12)L = dΦ(7.13)dIkutsutaan silmukan itseinduktanssiksi. Jos vuo on suoraan verrannollinenvirtaan, L =Φ/I. Virran muutos indusoi sähkömotorisen voimanE = −L dI(7.14)dtKoska sähkömotorisen voiman SI-yksikkö on voltti, niin induktanssin SIyksikköon Vs/A ≡ H eli henry. Itseinduktio ilmenee esimerkiksi siten, ettävirtapiireissä virta ei koskaan kytkeydy tai katkea täysin hetkellisesti. Itseinduktiokorostuu, jos piirissä onkäämi, koska silloin piirin induktanssi onkäytännössä sama kuin käämin induktanssi.Toroidaalisen kelan itseinduktanssiMuodostetaan kela käämimällä johdinlankaa N kierrosta toruksen ympäri(poikkileikkauksen ala A). Itseinduktanssiin vaikuttaa sekä kela itse että silmukkaanvirtaa syöttävä johteen ulkoinen osa. Oletetaan, että ulkoinen osaon koaksiaalikaapeli, joka ei aiheuta merkittävää ulkoista kenttää. Ampèrenkiertosääntö antaa magneettikentäksi toruksen sisälläB = µ 0NI(7.15)lmissä l on toruksen keskimääräinen pituus (luku 5.3). Magneettivuo jokaisenyksittäisen kierroksen läpi onΦ 1 = µ 0NIAlja kaikkien kierrosten yhteenlaskettu vuo on(7.16)josta saadaan induktanssiΦ= µ 0N 2 IAlL = dΦdI = µ 0N 2 Al(7.17)(7.18)

88 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO7.3 KeskinäisinduktanssiTarkastellaan sitten n kappaletta erillisiä silmukoita. Kirjoitetaan kaikkiensilmukoiden aiheuttama yhteenlaskettu vuo silmukan i läpi muodossan∑Φ i = Φ ij (7.19)j=1Tähän silmukkaan indusoituu smvE i = −n∑j=1dΦ ijdt(7.20)Jos kaikki silmukat ovat kiinteitä, kunkin silmukan osuus Φ ij riippuu vainsiinä kulkevan virran muutoksesta, jotendΦ ijdt= dΦ ijdI jdI jdt(7.21)KertoimiaM ij = dΦ ij,i≠ j (7.22)dI jkutsutaan silmukoiden i ja j välisiksi keskinäisinduktansseiksi.Jos väliaine on magneettisesti lineaarinen, M ij :t ovat vakioita. Sähkömotorisenvoiman lauseke sisältää myös silmukan i itseinduktanssin L i = M ii .Keskinäisinduktanssi voi olla positiivinen tai negatiivinen riippuen virtojenkulkusuunnista silmukoissa. Tarkastellaan kahta kiinteää silmukkaa lineaarisessaväliaineessa (yksinkertaisuuden vuoksi µ = µ 0 ). TällöinM 21 = Φ 21(7.23)I 1Lasketaan magneettikenttä Biot’n ja Savartin lailla ja integroidaan siitämagneettivuoΦ 21 = µ [∮]04π I dl 1 × (r 2 − r 1 )1∫S 2 C 1|r 2 − r 1 | 3 · n dS 2 (7.24)Käyttämällä kaavaa∮saadaanC 1dl 1 × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 = ∇ 2 ×M 21 = µ ∫0∇ 2 ×4π S 2= µ 04π∮C 2∮[∮dl 1 · dl 2C 1|r 2 − r 1 |∮dl 1C 1|r 2 − r 1 |]dl 1· n dS 2C 1|r 2 − r 1 |(7.25)(7.26)

7.3. KESKINÄISINDUKTANSSI 89jota kutsutaan Neumannin kaavaksi.Neumannin kaava ei ole kovin hyödyllinen induktanssien laskemisessa,mutta se osoittaa, että keskinäisinduktanssi on puhtaasti silmukoiden geometriastajohtuva suure ja siten silmukoiden itsensä ominaisuus. Silmukoissakulkeva sähkövirta ei vaikuta lineaarisessa tapauksessa induktanssiin. Lisäksikeskinäisinduktanssi on symmetrinen silmukoiden vaihtamisen suhteen(M 12 = M 21 ), mikä vaikuttaa ensi näkemältä hieman yllättävältä.Keskinäisinduktanssin laskeminen on käytännössä hankalaa, mutta mittaaminenvarsin yksinkertaista: syötetään piiriin 1 tunnettu virta ja mitataansen indusoima smv piirissä 2. Helpointa tämä on toteuttaa sinimuotoisenvaihtovirran avulla.Kelojen kytkennöistäVirtapiireissä on usein keloja, jotka on kytketty joko sarjaan tai rinnakkain.Täysin häviöttömän kelan rakentaminen on vaikeaa ja käytännössä niilläon aina myös sisäinen resistanssi. Tarkastellaan kahta sarjaan kytkettyäkelaa, joiden itseinduktanssit ovat L 1 ja L 2 , resistanssit R 1 ja R 2 ja keskinäisinduktanssiM. Olkoon kytkennän jännite V . Virran muuttuessa kumpaankinkelaan indusoituu smv, jolloinV + E 1 + E 2 = R 1 I + R 2 I (7.27)josta saadaanV =(R 1 + R 2 )I +(L 1 + L 2 +2M) dI(7.28)dteli tilanne vastaa efektiivistä resistanssia (R 1 + R 2 ) yhdessä efektiivisen induktanssin(L 1 + L 2 +2M) kanssa.Kahdelle rinnakkain kytketylle kelalle vastaavia efektiivisiä resistanssejaja induktansseja ei voida esittää yksinkertaisina funktioina suureista L 1 , L 2 ,R 1 ja R 2 , koska vastus-kela-parien läpi kulkee eri sähkövirta. Jos resistanssitovat niin pieniä, että ne voidaan jättää huomiotta, saadaan yhtälöparidI 1V = L 1dt + M dI 2dtdI 2V = L 2dt + M dI 1dt(7.29)Eliminoimalla ensin dI 1 /dt ja sitten dI 2 /dt saadaan kaksi yhtälöäV (L 2 − M) = (L 1 L 2 − M 2 ) dI 1dtV (L 1 − M) = (L 1 L 2 − M 2 ) dI 2dt(7.30)

90 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOIKuva 7.2: Levy, jonka keskellä kulkevassa käämissä kulkee tasavirta I. Reunallaon tasaisin välein varattuja palloja.Laskemalla nämä yhteen saadaan lopulta määritetyksi efektiivinen induktanssiV = L 1L 2 − M 2 dI(7.31)L 1 + L 2 − 2M dtInduktanssit ovat tärkeitä vaihtovirtapiireissä, joita emme varsinaisesti käsitteletällä kurssilla. Vaihtovirrat on kuitenkin hyödyllistä kerrata vaikkapa KSII:nluvusta 6. Myös RMC:n luku 13 on oivallinen johdatus asiaan.7.4 Pähkinä purtavaksiPalataan lopuksi perusongelmien pariin (Feynman, osa 2, luku 17-4). Tarkastellaanlevyä, joka pääsee pyörimään akselinsa ympäri (kuva 7.2). Keskelläon käämi, jossa pieni paristo pitää yllä tasavirtaa. Levyn reunalla on tasainenvarausjakauma, esimerkiksi samanlaisia varattuja palloja. Oletetaan,että levy ei tässä tilanteessa pyöri. Oletetaan sitten, että virta käämissäkatkeaa äkillisesti ilman ulkopuolista vaikutusta. Alkaako levy pyöriä?Magneettikentän heikkeneminen indusoi vähäksi aikaa sähkökentän. Geometrianperusteella kenttäviivat ovat ympyröitä, joiden keskipiste on levynakselilla. Varauspalloihin kohdistuva voima aiheuttaa silloin vääntömomentin,jonka takia levy alkaa pyöriä.Toisaalta laitteiston liikemäärämomentti ennen virran katkaisua on nolla.Siihen ei kohdistu ulkoisia voimia, joten liikemäärämomentin säilymislainperusteella levy ei ala pyöriä.Jos ensimmäinen vastaus on oikea, miten käy liikemäärämomentin säilymislain?Jos taas jälkimmäinen selitys pätee, niin sovellettiinko induktiolakiaväärin?

Luku 8Magneettinen energiaOppimateriaali RMC Luku 12 ja CL 7.3; esitiedot KSII luvut 4 ja 5.Luvussa 4 todettiin, että staattiseen sähkökenttään liittyy tietty energia.Näin on myös magneettikentän laita, sillä Faradayn lain mukaan magneettikentänmuuttaminen aiheuttaa muutosta vastustavan voiman ja sitenmagneettikentän luominen edellyttää työtä.8.1 Kytkettyjen virtapiirien energiaTarkastellaan yksinkertaista virtasilmukkaa, jossa kulkee virta I ja jonkavastus on R. Liitetään virtapiiriin jännitelähde V .TällöinV + E = IR (8.1)missä E on virtasilmukkaan indusoituva smv. Jännite tekee työtä siirtämällävarauksia silmukassa. Differentiaalisen varauksen dq = Idtosalta työ onVdq= VIdt= −EIdt+ I 2 Rdt= IdΦ+I 2 Rdt (8.2)Termi I 2 Rdtantaa resistiivisen tehon hävikin lämmöksi (Joulen lämmitys).Termi IdΦ on indusoitunutta sähkömotorista voimaa vastaan tehty työ, jokatarvitaan magneettikentän muuttamiseen:dW b = IdΦ (8.3)missä alaindeksi b viittaa ulkoisen jännitelähteen (esim. pariston) tekemääntyöhön.Tarkastellaan sitten systeemiä, joka koostuu n kappaleesta virtapiirejä:n∑dW b = I i dΦ i (8.4)i=191

92 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAOletetaan, että kaikki vuonmuutokset ovat peräisin systeemin silmukoista,jolloinn∑ dΦ ijn∑dΦ i = dI j = M ij dI j (8.5)dI jj=1Oletetaan lisäksi, että silmukat ovat jäykkiä ja paikallaan, jolloin energianmuutoksiinei liity mekaanista työtä. Tällöin dW b on yhtäsuuri kuin magneettisenenergian muutos dU. (Virrat oletetaan myös riittävän hitaastimuuttuviksi, jolloin ei tarvitse ottaa huomioon säteilyhäviöitä.)Rajoitetaan tarkastelu yksinkertaiseen väliaineeseen, jossa magneettivuonja virran välinen suhde on lineaarinen. Lasketaan virtapiirisysteeminenergia lähtien tilasta, jossa kaikille virroille I i =0.Väliaineen lineaarisuudestajohtuen lopullinen magneettinen energia ei riipu tavasta, jolla tila onsaavutettu. Näin ollen kaikkien silmukoiden virtaa voidaan kasvattaa nollastalopputilaan samassa tahdissa eli joka hetki I i ′ = αI i, missä α kasvaa0 → 1. Tällöin dΦ i =Φ i dα ja systeemin magneettinen energia on∫ ∫ 1 n∑n∑∫ 1U = dW b = I iΦ ′ i dα = I i Φ i αdα= 1 n∑I i Φ i (8.6)20i=1i=1j=1Tämä voidaan myös ilmaista summana silmukoiden yliU = 1 n∑ n∑M ij I i I j (8.7)2i=1 j=1josta saadaan suoraan yhdelle silmukalle (M 11 = L 1 = L = silmukan itseinduktanssi)U = 1 2 IΦ=1 2 LI2 = 1 Φ 2(8.8)2 LTämän voi rinnastaa kondensaattorin energiaan Q 2 /(2C), joka ilmaisee kondensaattorinsähkökenttään varastoituneen energian. Kahdelle silmukallesaadaanU = 1 2 L 1I1 2 + 1 2 L 2I2 2 + MI 1 I 2 (8.9)missä otettiin huomioon symmetria M 12 = M 21 = M. Harjoitustehtäväksijää osoittaa, että L 1 L 2 ≥ M 2 .0i=18.2 Magneettikentän energiatiheysTarkastellaan ylläolevaa tilannetta magneettikentän näkökulmasta. Oletetaanväliaine edelleen lineaariseksi ja virtapiirit yksinkertaisiksi silmukoiksi.Tällöin magneettivuoksi saadaan Stokesin lauseen avullaΦ i =∫B · n dS =S i∮A · dl iC i(8.10)

8.2. MAGNEETTIKENTÄN ENERGIATIHEYS 93joten magneettinen energia onU = 1 ∑∮I i A · dl i (8.11)2 C iisiirrytään sitten tilanteeseen, missä sähkövirta on tilavuusvirta J ja C ion suljettu lenkki johtavassa väliaineessa. Tilannetta voi ajatella suurenajoukkona lähellä toisiaan olevia silmukoita, jolloin I i dl i → J dV ja∑∮iC ieliU = 1 ∫J · A dV (8.12)2 VSähköstatiikassa energia lausuttiin vastaavasti varaustiheyden ja potentiaalinintegraalina (luku 4.2).Koska ∇×H = J ja ∇·(A × H) =H ·∇×A − A ·∇×H, niindivergenssiteoreemaa käyttämällä saadaanU = 1 2∫→∫VH ·∇×A dV − 1 2V∫SA × H · n dS (8.13)Fysikaalisesti järkevä oletus on, että virtasilmukat eivät ulotu äärettömyyteen,joten pinta S voidaan siirtää kauas niiden ulkopuolelle. Kenttä Hheikkenee vähintään kuten 1/r 2 ja vektoripotentiaali A vähintään kuten1/r, mutta pinta kasvaa vain kuten r 2 . Siispä pintaintegraali häviää kuten1/r tai nopeammin r:n kasvaessa rajatta. Tilavuusintegraali voidaan siis ottaakoko avaruuden yli ja tulokseksi tuleeU = 1 2∫VH · B dV (8.14)Samoin kuin sähköstaattisen energian tapauksessa voidaan määritellä magneettinenenergiatiheysu = 1 2 H · B (8.15)Tulos pätee siis lineaariselle magneettiselle väliaineelle. Mikäli väliaine onlisäksi isotrooppista, saadaanu = 1 2 µH2 = 1 B 22 µ(8.16)Huom. Edellä tarkasteltiin stationaarista tilannetta. Sähkömagneettisenkentän energia yleisessä ajasta riippuvassa tilanteessa käsitellään luvussa 9.

94 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAEsimerkki: Koaksiaalikaapelin energiatiheysTarkastellaan koaksiaalikaapelia, jonka keskellä ona-säteinen johdin (matemaattisestisylinteri), sen ulkopuolella sylinterisymmetrisesti eristekerros välilläa ≤ ρ ≤ b, jonka ulkopuolella on jälleen johtava sylinterisymmetrinenkerros b ≤ ρ ≤ c. Oletetaan, että kaikkialla µ = µ 0 . Kulkekoon sisäjohtimessavirta I ja ulkojohtimessa virta −I. Suoran johtimen aiheuttama magneettikenttäon Amperen kiertosäännön perusteellaB = B θ (ρ) e θ = µ 0I(ρ)2πρ e θ (8.17)Tarkastellaan sisempää johdinta (0 ≤ ρ ≤ a). Tällöin I(ρ)/I =(πρ 2 )/(πa 2 ),jotenB θa = µ 0Iρ2πa 2 (8.18)ja magneettinen energiatiheys onu a = B2= µ 0I 2 ρ 22µ 0 8π 2 a 4 (8.19)Sisemmän johteen yli integroitu energia l:n pituisella matkalla onU a =∫l ∫2π∫a000µ 0 I 2 ρ 28π 2 a 4 ρdρdθdz = µ 0lI 216π(8.20)Johtimien välissä a ≤ ρ ≤ b kenttä määräytyy sisemmän johtimen kokonaisvirrastaja vastaavat tulokset ovatB θb = µ 0I2πρu b = µ 0I 28π 2 ρ 2 (8.21)U b = µ 0lI 24πln b amissä siis kokonaisenergia tarkoittaa johtimien välisessä alueessa olevaa kokonaisenergiaa.Uloimmassa johtimessa b ≤ ρ ≤ c vastaavat lausekkeet ovat( )µ 0 I c2B θc =2π(c 2 − b 2 ) ρ − ρu c =µ 0 I 2 ( )c48π 2 (c 2 − b 2 ) 2 ρ 2 − 2c2 + ρ 2(8.22)µ 0 lI 2 [U c =4π(c 2 − b 2 ) 2 c 4 ln c b − 1 ]4 (c2 − b 2 )(3c 2 − b 2 )ja kokonaisenergia on jälleen kyseisen välin yli integroitu energiatiheys. Lopultakoaksiaalikaapelin ulkopuolella kenttä on nolla, joten energiakin onsiellä nolla.

8.3. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAVAIKUTUS VIRTAPIIREIHIN 958.3 Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihinSiirretään virtapiirijärjestelmän yhtä silmukkaa matka dr. Oletetaan, ettäsilmukoissa kulkevat virrat säilyvät ennallaan. Tällöin siirroksessa tehty työondW = F · dr (8.23)Työ koostuu kahdesta osastadW = dW b − dU (8.24)missä dU on magneettisen energian muutos ja dW b on ulkoisten lähteidentekemä työ, jotta virrat säilyvät ennallaan.Eliminoidaan dW b olettamalla silmukat jälleen jäykiksi ja lineaarinenväliaine. Magneettisen energian muutos ondU = 1 ∑I i dΦ i (8.25)2ToisaaltajotendW b = ∑ iiI i dΦ i (8.26)dW b =2dU (8.27)jadU = F · dr (8.28)eli voima saadaan energian gradienttina olettaen virrat vakioiksiF = ∇U ∣ (8.29)IKäytännössä tilanne on usein sellainen, että virtapiirin liike rajoittuukiertymiseen jonkin akselin ympäri. TällöindW = τ · dθ (8.30)missä τ on magneettinen vääntömomentti ja dθ on kiertymän kulmaelementti.Vääntömomentti akselin i suhteen on siten( ∂Uτ i =(8.31)∂θ i)ITarkasteltu tilanne on siis samantapainen kuin luvussa 4.5 käsitelty järjestely,jossa johdesysteemi pidetään vakiopotentiaalissa ulkoisen jännitelähteenavulla. Joissain tapauksissa virtapiirien läpi kulkeva magneettinen vuo voidaanpuolestaan ajatella vakioksi. Tällaisiin tilanteisiin joudutaan tarkasteltaessa(lähes) äärettömän hyvin johtavia väliaineita kuten suprajohteita tai

96 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAtäysin ionisoitunutta harvaa plasmaa. Tällöin mikään ulkoinen lähde ei teetyötä eli dW b =0jaF · dr = dW = −dU (8.32)Nyt voiman ja vääntömomentin komponentit saadaan derivoimalla U:tapitäen Φ vakiona, mikä vastaa sähköstatiikassa vapaiden johteiden systeemiä.Käytännön sovellutuksena magneettisesta vääntömomentista voi mainitavaikka avaruusaluksen asennonsäätöjärjestelmän. Maapallon magneettikentänvaikutuksen alaisena olevaan satellittiin rakennetaan kelajärjestelmä.Kun satelliittia halutaan kääntää, ajetaan keloihin sellaiset virrat, ettäsatelliitti kääntyy haluttuun kulmaan magneettikenttään nähden. Menetelmänetuna on se, että operaatio voidaan tehdä aurinkoenergian avulla, haittanataas kentän pienuudesta johtuva vääntömomentin heikkous ja sitenoperaation hitaus.Kahden virtasilmukan välinen voimaPalataan sitten aivan magnetostatiikan alkuun, missä kerrottiin Ampèrenempiirisestä lausekkeesta voimalle kahden virtasilmukan välillä (yhtälö 5.23).Lasketaan sama tulos tämän luvun keinoin. Virtapiirin 1 aiheuttama voimavirtapiiriin 2 onF 2 = ∇ 2 U = I 1 I 2 ∇ 2 M= µ ∮ ∮0I 1 I 24 π C 1= − µ 04 πI 1 I 2∮C 1∮C 2(dl 1 · dl 2 )∇ 21|r 2 − r 1 |C 2(dl 1 · dl 2 ) (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 (8.33)missä keskinäisinduktanssi M on ilmaistu von Neumannin kaavan avulla(ks. luku 7). Ensi silmäyksellä näyttää kuin olisimme saaneet eri tuloksenkuin piti. Näin ei kuitenkaan ole, minkä osoittaminen jääköön harjoitustehtäväksi.Rautatanko solenoidin sisälläLuvussa 4 tarkasteltiin levykondensaattorin sisällä olevaan eristepalkkiinkohdistuvaa voimaa. Tarkastellaan nyt solenoidin sisällä olevaa rautatankoa,jonka poikkipinta-ala on A ja permeabiliteetti µ. Olkoon solenoidin pituusl ja olkoon sitä kierretty N kierrosta johteella, jossa kulkee vakiovirta I.Vedetään tankoa ulos solenoidista kunnes siitä onenää puolet sisällä ja lasketaanvoima, joka yrittää vetää tankoa takaisin (kuva 8.1).

8.3. MAGNEETTIKENTÄN VOIMAVAIKUTUS VIRTAPIIREIHIN 97.......................................................................................µ 0F µ a)xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx00.......................................................................................xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx∆xx00∆xb)Kuva 8.1: Solenoidiin työnnettyyn rautasauvaan vaikuttava voima.Ongelma olisi itse asiassa aika vaikea, jos kysyttäisiin alkuperäisen tailopullisen tilanteen todellista magneettista energiaa, koska silloin olisi huomioitavareunojen vaikutukset. Koska voima on energian gradientti, senmäärittämiseksi riittää tarkastella kahden eri tilan eroa. Tarkastellaan oheisenkuvan mukaista lyhyttä siirrosta. Kuvien a) ja b) välinen ero on, ettäpituusalkio △x on siirretty kentän ulkopuolisesta osasta solenoidin sisään,kun taas hankalan reunan kohdalla kaikki näyttää samalta molemmissa kuvissa.Koska H-kenttä onlähes pitkittäinen alueessa △x ja koska H-kentäntangentiaalikomponentti on jatkuva sauvan sylinterinmuotoisen reunan yli,voidaan magneettinen energia laskea lausekkeestaU = 1 ∫µH 2 dV (8.34)2missä H on vakio sauvan sisä- ja ulkopuolella, koska I on vakio. Siirroksenjälkeen energia onU(x 0 + △x) ≈ U(x 0 )+ 1 ∫(µ − µ 0 )H 2 dV2 A△x= U(x 0 )+ 1 2 (µ − µ 0) N 2 I 2l 2 A△x (8.35)Koska voima on energian gradientti, se voidaan arvioida tästäF x = ∂U∂x ≈ 1 2 (µ − µ 0) N 2 I 2 Al 2 = 1 2 χ mµ 0 H 2 A (8.36)Voima osoittaa x:n positiiviseen suuntaan eli vetää sauvaa solenoidiin. Tilanteesta,jossa magneettivuo Φ on vakio, on yksinkertainen esimerkki harjoituksissa.

98 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIA

Luku 9Maxwellin yhtälötOppimateriaali RMC luku 16 ja CL luvut 8–9; esitiedot KSII luku 7 ja KSIIIluku 5.Nyt meillä on koossa elektrodynamiikan peruspilarit sillä tasolla, jolla netunnettiin 1860-luvun alussa. Maxwell huomasi yhtälöissä piilevän teoreettisenongelman: Mitä tapahtuu, jos varaustiheys ja siten sähkökenttä muuttuvatajallisesti? Ampèren laki on voimassa vain staattiselle systeemille jaottamalla siitä divergenssi ∇·(∇ ×H) =∇·J nähdään, että ∇·J =0.Varaustiheyden muuttuessa ajallisesti pitäisi kuitenkin jatkuvuusyhtälön∂ρ/∂t + ∇·J = 0 olla voimassa.9.1 SiirrosvirtaTarkastellaan kuvan 9.1 mukaista ajatuskoetta, jossa varataan kondensaattoriasähkövirralla I. Ampèren lain mukaan sähkövirta on silmukkaa CCkondensaattorilevytS 2 I(t) S 1Kuva 9.1: Ampèren laki varattaessa kondensaattoria99

100 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTpitkin laskettu integraali∮C∫H · dl = J · n dS = IS 1(9.1)missä S 1 on pinta, jonka läpi virta I kulkee. Nyt kuitenkaan mikään ei sano,missä silmukan C rajoittaman yhdesti yhtenäisen pinnan tulisi olla, jotenpinnaksi pitäisi voida valita myös kondensaattorin levyjen välisen alueenkautta piirretty pinta S 2 , joka ei leikkaa virtaa missään ja∮C∫H · dl = J · n dS = 0S 2(9.2)Molemmat integraalit on laskettu matemaattisesti oikein, joten ongelmantäytyy olla puutteellisesti ymmärretyssä fysiikassa. Ratkaisu on siinä, ettävirta I tuo varausta kondensaattorin levylle eikä varaus poistu systeemistäsamaan tahtiin. Virralla on siis divergenssiä pintojen S 1 ja S 2 rajaamassatilavuudessa.Tarkastellaan ongelmaa differentiaalimuodossa lähtien varauksen jatkuvuusyhtälöstä∇·J + ∂ρ∂t = 0 (9.3)Varaustiheys voidaan ilmaista Gaussin lain avulla∇·D = ρ (9.4)joten jatkuvuusyhtälö voidaan kirjoittaa muotoon(∇· J + ∂D )= 0 (9.5)∂tMaxwellin oivallus oli korvata virrantiheys Ampèren laissa ylläolevalla sulkulausekkeellaja tuloksena oli neljäs Maxwellin laeista∇×H = J + ∂D∂t(9.6)jota voi hyvällä syyllä kutsua Ampèren ja Maxwellin laiksi. Termiä ∂D/∂tkutsutaaan kentänmuutosvirraksi, kenttävirraksi tai siirrosvirraksi.Maxwellin idea siirrosvirrasta oli puhtaasti teoreettinen, sillä sen vaikutuson niin pieni, että mikään tuolloinen mittaus ei ollut ristiriidassa Ampèrenlain kanssa. Siirrosvirta alkaa olla verrattavissa johtavuusvirtaan vasta,kun ωɛ/σ > 0.01 eli johteiden tapauksessa taajuuksien on oltava erittäin korkeita.Eristeissä tilanne on toinen ja jo tavallisessa 50 Hz vaihtovirtapiirissäolevan kondensaattorin läpi kulkeva virta on siirrosvirtaa. Kondensaattorinsisäistä virtaa ei tosin useinkaan tarvitse tarkastella virtapiirianalyysissä.

9.2. MAXWELLIN YHTÄLÖT 101Koska siirrosvirta tulee näkyviin vasta suurilla taajuuksilla, se liittyysähkömagneettiseen aaltoliikkeeseen luonnollisella tavalla. Vuonna 1888 HeinrichHertz todensi siirrosvirran olemassaolon tutkiessaan sähkömagneettisiaaaltoja. Tämän jälkeen myös Maxwellin alunperin teoreettinen oivallus saikokeellisen perustan.Varauksen jatkuvuusyhtälö seuraa nyt Ampèren ja Maxwellin laistayhdessä Gaussin lain kanssa, joten sitä ei tarvitse ottaa mukaan erillisenäyhtälönä. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että varauksen säilymislaki seuraisiMaxwellin yhtälöistä, vaan sitä, että annetussa tilavuudessa varauksenajallinen muutos kompensoituu alueeseen tulevalla tai siitä poistuvallasähkövirralla, koska varaus säilyy!9.2 Maxwellin yhtälötNyt meillä on koossa koko Maxwellin yhtälöiden ryhmä∇·D = ρ∇·B = 0∇×E = − ∂B∂t∇×H = J + ∂D∂t(9.7)Tässä lähdetermeinä ovatvapaat varaukset ρ ja vapaat virrat J. Sidotutvaraukset ja virrat on kätketty kenttiin D ja H. Mikäli kyseessä on tyhjöämonimutkaisempi väliaine, tarvitaan lisäksi rakenneyhtälöt D = D(E, B),H = H(E, B) jaJ = J(E, B).Yhtälöryhmä 9.7 ei kuitenkaan ole sen yleisempi tai rajoitetumpi kuinluvussa 1 esitetty ”tyhjömuodossa” kirjoitettu yhtälöryhmä∇·E = ρ ɛ 0∇·B = 0∇×E = − ∂B∂t∂E∇×B = µ 0 J + ɛ 0 µ 0∂t(9.8)missä ρ ja J kuvaavat kaikkia varauksia ja virtoja. Esitysmuoto 9.7 onjoitain merkintöjä vaille sama, jossa Maxwell itse esitti yhtälönsä. Muotoa9.8 voi kuitenkin pitää jossain mielessä perustavampana, koska se eiota mitään kantaa mahdollisen väliaineen sähköisiin tai magneettisiin ominaisuuksiin.

102 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTVaikka usein puhutaan neljästä Maxwellin yhtälöstä, yhtälöryhmässä 9.8on kuitenkin 8 yhtälöä (2 skalaariyhtälöä ja 6 vektoriyhtälöiden komponenttia).Yhtälöryhmä onlineaarinen, joten yhtälöiden ratkaisuille pätee superpositioperiaate.Mikäli lähdetermit ρ ja J tunnetaan, on jäljellä 6 tuntematontaja yhtälöryhmä riittää mainiosti E:n ja B:n määräämiseen. Joskuitenkin etsitään itsekonsistentteja ratkaisuja, tuntemattomia on 10 kpl(E, B, J ja ρ), joten systeemistä tarvitaan lisätietoa. Sellaiseksi kelpaa esimerkiksiOhmin laki (J = σE). Kuten aina differentiaaliyhtälöitä ratkottaessa,myös reunaehdot täytyy määrätä oikein.9.3 Sähkömagneettinen energia ja liikemääräTarkastellaan seuraavaksi SM-kentän energian ja liikemäärän säilymistä.Käsitellään asia hieman perusteellisemmin kuin RMC:ssä.9.3.1 Poyntingin teoreemaOletetaan väliaine yksinkertaiseksi (LIH). Sähköinen ja magneettinen energiatiheysovat tuttuja käsitteitä luvuista 4 ja 8:u e = 1 2 E · D (9.9)u m = 1 2 H · B (9.10)Koska pyrimme tutkimaan näiden ajallista muutosta, etsimme Maxwellinyhtälöistä termejä, jotka sisältävät kenttien aikaderivaattoja. Ottamalla Ampèrenja Maxwellin lain skalaaritulo E:n kanssa ja vähentämällä siitä Faradaynlain skalaaritulo H:n kanssa päästään liikkeelle oikeaan suuntaanH ·∇×E − E ·∇×H = −H · ∂B∂t − E · ∂D∂t − E · J (9.11)Yhtälön vasen puoli voidaan vielä kirjoittaa muotoon ∇·(E × H). LIHväliaineen ɛ, µ ja σ eivät riipu ajasta, jotenE · ∂D∂t = 1 ∂(E · D) (9.12)2 ∂tja vastaavasti magneettikentälle. Näin olemme saaneet yhtälön∇·(E × H) =− 1 ∂(E · D + B · H) − E · J (9.13)2 ∂tYhtälön oikealla puolella on sähkömagneettisen energian ajallinen muutossekä sähkömagneettisen kentän varauksille luovuttamaa energiaa kuvaavatermi. Integroidaan yhtälö annetun tilavuuden yli∫∇·(E × H) dV = − d ∫1V dt V 2∫V(E · D + B · H) dV − E · J dV (9.14)

9.3. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ 103Käyttämällä divergenssiteoreemaa tämä voidaan kirjoittaa muodossa∫− J · E dV = d ∫Vdt V12∮∂V(E · D + B · H) dV + E × H · n da (9.15)missä tilavuuden V reuna on nyt kirjoitettu sekaannusten välttämiseksi ∂Vja pintaelementti da.Jos tilavuudessa V ei ole työtä tekevää sähkömotorista voimaa, yhtälönvasen puoli on aina negatiivinen ja vastaa sähkömagneettisen energian dissipoitumistaJoulen lämmityksenä. Jos alueessa jokin prosessi tekee mekaanistatyötä, voi yhtälön vasen puoli olla myös positiivinen (J·E < 0). Tällöinkyseessä on jonkinlainen generaattori, joka muuttaa mekaanista energiaasähkömagneettiseksi energiaksi. Yhtälön oikella puolella on puolestaan sähkömagneettisenenergian ajallinen muutos ja termi, joka kuvaa vektorinS = E × H (9.16)vuota aluetta rajaavan pinnan läpi. Vektoria S kutsutaan Poyntingin vektoriksija yhtälöä 9.15 Poyntingin teoreemaksi. Poyntingin teoreema ilmaiseesähkömagneettisen kentän energian säilymislain: SM-kentänenergian muutos aikayksikössäonyhtä suuri kuin kentän varauksiin tekemäntyön ja tarkasteltavaa varausjoukkoa rajaavan pinnan läpi virtaavan Poyntinginvuon summa.Differentiaalinen Poyntingin teoreema voidaan kirjoittaa säilymislakimuodossa∂u em+ ∇·S = −J · E (9.17)∂tTulkitsemalla S energiavuoksi nähdään, että SM-kentän lähteinä tai nieluinaon mekaaninen työ. Kokonaisenergia tietenkin säilyy eli∂∂t (u em + u mech )+∇·S = 0 (9.18)Poyntingin vektorin E×H tulkinta ”energian kuljettajana” johtaa erikoiseltavaikuttaviin tilanteisiin yksinkertaisissakin esimerkeissä, joista tasavirtajohdintakäsitellään harjoituksissa. Ei ole itsestään selvää, että Poyntinginvektorin ”oikea” lauseke on 9.16. Poyntingin teoreeman differentiaalimuodostanähdään, että vektoriin S voitaisiin lisätä roottorikenttä. Monimutkaisempiakinmuunnelmia on olemassa, mutta silloin myös energiatiheyksienlausekkeita on muutettava. Oleellista on, että energian säilymislakipätee. Pohjimmiltaan kyse on siitä, ettei sähkömagneettisen kentän energiaavoida paikallistaa.Yllä oletettiin LIH väliaine. Isotropiaa ei varsinaisesti käytetty, muttamyös epäisotrooppisessa väliaineessa vektorin S tulkinta voi olla ongelmallinen.Olennaista on jälleen, että säilymislaissa on ∇·S, joten säilymislaki

104 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTyF eB 1v 1q 2F m1v 2F mqxzB 2F eKuva 9.2: Rikkooko elektrodynamiikka liikemäärän säilymislakia?on yhä voimassa. Suurempia monimutkaisuuksia tulee ajassa tai paikassaepähomogeenisten sekä epälineaaristen väliaineiden kanssa. Ongelmat liittyvätusein SM-aaltoihin. Epähomogeenisuus aiheuttaa dispersiota eli aaltopaketithajoavat matkan varrella ja epälineaarisuus taas jakaa energiaa eritaajuuksille. Eteentulevat ongelmat ovat sekä tärkeitä että mielenkiintoisia,mutta tämän kurssin ulkopuolella.9.3.2 Maxwellin jännitystensoriTarkastellaan kuvan 9.2 kaltaista tilannetta. Kaksi samanmerkkistä varausta(q 1 ja q 2 ) liikkuu negatiivisten x- jay-akselien suuntaan. Oletetaan, ettähiukkaset ovat jonkinlaisilla kiskoilla, mikä pakottaa ne jatkamaan matkaansahuolimatta liikettä poikkeuttavista voimista. Hiukkasten välilläonsähköinenpoistovoima F e . Varauksen q 1 aiheuttama magneettikenttä varauksen q 2kohdalla osoittaa sivun sisään ja magneettinen voima F m oikealle. Vastaavastivarauksen q 2 aiheuttama magneettikenttä varauksen q 1 kohdallaosoittaa sivulta ulospäin ja magneettinen voima ylöspäin. Siispä varauksenq 1 varaukseen q 2 kohdistama sähkömagneettinen kokonaisvoima ei ole vastakkaissuuntainenvarauksen q 2 varaukseen q 1 kohdistamaan voimaan. Onkosiis jouduttu ristiriitaan Newtonin kolmannen lain kanssa ja sitä tietä ristiriitaanliikemäärän säilymislain kanssa!?Vastaus on kielteinen. Ratkaisu on siinä, että SM-kentällä on energianlisäksi liikemäärää. Säilyvä suure on hiukkasten ja kenttien yhteenlaskettuliikemäärä. Tämän tarkastelemiseksi on tutustuttava Maxwellin jännitystensoriin.Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi väliainetta, jolle ɛ = ɛ 0 ja µ =µ 0 . Kaikkien tilavuudessa V olevien hiukkasten liikemäärien summa p mech

9.3. SÄHKÖMAGNEETTINEN ENERGIA JA LIIKEMÄÄRÄ 105noudattaa Newtonin toista lakiaF = dp ∫∫mech= ρ(E + v × B) dV = (ρE + J × B) dV (9.19)dt VVjoten voimatiheys onf = ρE + J × B (9.20)Eliminoidaan ρ ja J Maxwellin yhtälöiden avulla, jolloin( )1 ∂Ef = ɛ 0 (∇·E)E + ∇×B − ɛ 0 × B (9.21)µ 0 ∂tNyt∂E∂t × B = ∂ (E × B)+E × (∇×E) (9.22)∂tmissä viimeisessä termissä onkäytetty Faradayn lakia. Voimatiheys on sitenf = ɛ 0 [(∇·E)E − E × (∇×E)] − 1 ∂[B × (∇×B)] − ɛ 0 (E × B) (9.23)µ 0 ∂tLauseke saadaan symmetrisemmäksi lisäämällä termi (∇·B)B/µ 0 , joka onaina nolla. Kenttien roottorilausekkeet voi kirjoittaa auki kaavallaE × (∇×E) = 1 2 ∇(E2 ) − (E ·∇)E (9.24)ja samoin B:lle. Näin voimatiheys on saatu muotoonf = ɛ 0 [(∇·E)E +(E ·∇)E]+ 1 [(∇·B)B +(B ·∇)B]µ 0− 1 (2 ∇ ɛ 0 E 2 + 1 )B 2 ∂− ɛ 0 (E × B) (9.25)µ 0 ∂tTämä näyttää pahalta, mutta siistiytyy määrittelemällä Maxwellin jännitystensoriT , jonka komponentit ovat(T ij = ɛ 0 E i E j − 1 )2 δ ijE 2 + 1 (B i B j − 1 )µ 0 2 δ ijB 2 (9.26)Tensorin T divergenssi on vektori, jonka komponentit ovat(∇·T) j = ɛ 0[(∇·E)E j +(E ·∇)E j − 1 2 ∇ jE 2 ]+ 1 µ 0[(∇·B)B j +(B ·∇)B j − 1 2 ∇ jB 2 ](9.27)Nämä ovat Poyntingin vektorin aikaderivaattaa vaille voimatiheyden komponentit,joten∂Sf = ∇·T −ɛ 0 µ 0 (9.28)∂t

106 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTIntegroidaan tämä tilavuuden V yli ja kirjoitetaan jännitystensorista riippuvaosa pintaintegraaliksi. Tällöin kokonaisvoima on∮F =∂V∫dT·n da − ɛ 0 µ 0 S dV (9.29)dt VJännitystensorin kirjoittaminen pintaintegraalina kertoo, että staattisessatilanteessa sähkömagneettinen kokonaisvoima määräytyy jännitystensoristapelkästään tarkasteltavan alueen reunalla. Siis T laskettuna alueen reunallajotenkin pitää sisällään voimien kannalta olennaisen tiedon kenttien energiastakoko alueessa.Voimien laskeminen jännitystensorista ei rajoitu elektrodynamiikkaan.Mekaniikasta tuttu energia-impulssitensori on formaalisti samanlainen otus,yleinen suhteellisuusteoria formuloidaan Einsteinin tensorin avulla, jne.Esimerkki. Johdepalloon vaikuttava sähköstaattinen voima.Asetetaan ohut johtava pallonkuori (säde a) homogeeniseen sähkökenttäänE 0 . Osoitetaan, että kentän suuntaan vastakkaisia pallonkuoren puolikkaitarepii eri suuntiin voima F = 9 4 πɛ 0a 2 E 2 0 .Sähkökenttämääritettiin jo luvussa 2.9. Pallon pinnalla sähkökentälläonvain radiaalinen komponentti E r (r = a) =3E 0 cos θ. Harjoitustehtävänä onosoittaa, että staattisessa sähkökentässä olevaan johdekappaleeseen vaikuttavakokonaisvoima onF = 1 ∫σ s EdS (9.30)2 Smissä σ s on varaustiheys johteen pinnalla S.Käsiteltävässä esimerkissä symmetriastaseuraa, että pallon ylempään puoliskoon (0

9.4. SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄ RAJAPINNALLA 107missä alaindeksi mech viittaa mekaaniseen liiketilan muutokseen. Toisaaltaolemme edellä ilmaisseet sähkömagneettisen voiman jännitystensorin avulla,jotendp mechdt∮=∂V∫dT·n da − ɛ 0 µ 0 S dV (9.33)dt VTämän voi tulkita samaan tapaan kuin Poyntingin teoreeman. Oikean puolenensimmäinen termi kertoo liikemäärän virtauksen aikayksikössä pinnan ∂Vläpi ja jälkimmäinen termi puolestaan kenttiin kertyneen liikemäärän muutoksen.Siis sähkömagneettisen kentän liikemäärä on∫p em = ɛ 0 µ 0 S dV (9.34)Yhteenlasketun sähkömagneettisen ja mekaanisen liikemäärän muutos vastaatarkastelualueeseen kenttien mukanaan tuomaa liikemäärää. Jos tilavuuson koko avaruus, vuosuure on nolla ja silloinkin kokonaisliikemäärä säilyy.Olkoon ˆp mech mekaaninen liikemäärätiheys. Määritellään vastaavasti SMkentänliikemäärätiheysˆp em = ɛ 0 µ 0 S (9.35)Tällöin liikemäärän säilyminen voidaan ilmaista differentiaalimuodossa∂∂t (ˆp mech +ˆp em )=∇·T (9.36)Todetaan vielä lopuksi, ettäsähkömagneettisella kentälläonmyös impulssimomenttia.Impulssimomentin tiheys määritelläänVˆlem = r × ˆp em = ɛ 0 [r × (E × B)] (9.37)Myös kokonaisimpulssimomentti on säilyvä suure.9.4 Sähkömagneettinen kenttä rajapinnallaLuvuissa 3 ja 6 käsiteltiin staattisten sähkö- ja magneettikenttien reunaehtojakahden aineen rajapinnalla. Magneettikentän normaalikomponentillesaatiin yhtälöstä ∇·B = 0 pillerirasiakikalla reunaehtoB 1n = B 2n (9.38)Tämä pätee tietenkin myös ajasta riippuvassa kentässä.Tarkastellaan sitten sähkökentän tangentiaalikomponenttia. Sähköstaattisenyhtälön ∇×E = 0 sijasta on käytettävä Faradayn lakia∇×E + ∂B∂t = 0 (9.39)

108 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTTehdään samanlainen suorakulmainen silmukka kuin luvussa 3 ja integroidaanFaradayn laki silmukan sulkeman pinnan yli∫∫∂B∇×E · n dS = − · n dS (9.40)SS ∂tSovelletaan Stokesin teoreemaa lausekkeen vasemmalle puolelle ja suoritetaanviivaintegraalit:∫lE 1t − lE 2t + h 1 E 1n + h 2 E 2n − h 1 E 1n ′ − h 2 E 2n ′ ∂B= − · n dS (9.41)S ∂tmissä l on silmukan pituus rajapinnan suunnassa, h 1 ja h 2 ovat silmukanetäisyydet rajapinnasta kummankin väliaineen puolella ja E in ja E in ′ ottavathuomioon, että sähkökentän normaalikomponentit saattavat poiketa toisistaansilmukan eri päissä. Kun silmukka litistetään nollapaksuiseksi häviävätsähkökentän normaalikomponenttien termit ja samoin yhtälön oikea puolisillä edellyksellä, että ∂B/∂t pysyy äärellisenä. Lopullisesta yhtälöstä voisupistaa l:n ja jäljelle jää sama reunaehto kuin sähköstatiikassaE 1t = E 2t (9.42)D-vektorin normaalikomponentin reunaehto on monimutkaisempi, koska nytpintavaraustiheys voi muuttua. Sekaannusten välttämiseksi merkitään johtavuuttaσ:lla ja pintavaraustiheyttä σ s :llä. Tarkastellaan yhtälöä ∇·D = ρpillerirasiakikalla, joka antaa samannäköisen tuloksen kuin sähköstatiikassaD 1n − D 2n = σ s (9.43)Toisaalta varaustiheyden muutosta kontrolloi jatkuvuusyhtälö∇·J = − ∂ρ∂t(9.44)Tehdään tällekin pillerirasialasku, joka antaaJ 1n − J 2n = − ∂σ s∂t(9.45)joten lopputulos riippuu pintavaraustiheyden ajallisesta muutoksesta.Rajoitetaan tarkastelu yksinkertaiseen aaltoliikkeeseen eli oletetaan sähkökentänolevan muotoa E(t) =E 0 e −iωt .Tällöin voidaan korvata ∂/∂t →−iω ja yhtälön oikealla puolella on iωσ s . Olettamalla lineaarinen väliaineja käyttämällä rakenneyhtälöitä D = ɛE ja J = σE voidaan D n :n ja J n :nreunaehdot kirjoittaa yhtälöparinaɛ 1 E 1n − ɛ 2 E 2n = σ sσ 1 E 1n − σ 2 E 2n = iωσ s (9.46)

9.4. SÄHKÖMAGNEETTINEN KENTTÄ RAJAPINNALLA 109Jos pintavaraustiheys häviää, on oltava ɛ 1 /σ 1 = ɛ 2 /σ 2 , mikä voidaan saadaaikaan valitsemalla sopivat väliaineet. Samoin käy myös kahden erittäinhyvän eristeen rajapinnalla, jolloin johtavuudet häviävät. Yleisesti σ s eihäviä, joten se voidaan eliminoida yhtälöparista ja sähkökentän normaalikomponentilleon voimassa reunaehto(ɛ 1 + i σ ) (1E 1n − ɛ 2 + i σ )2E 2n = 0 (9.47)ωωTarkasteltaessa H-vektorin tangentiaalikomponenttia täytyy kentänmuutosvirtahuomioida∇×H − ∂D∂t = J (9.48)Tangentiaalikomponentin reunehto löytyy jälleen suorakulmaisesta silmukasta.Samoin kuin Faradayn laissa oletettiin ∂B/∂t:n pysyvän äärellisenä silmukkaakutistettaessa, nyt pidetään ∂D/∂t äärellisenä jajäljelle jää magnetostatiikastatuttu reunaehtoH 1t − H 2t = j ⊥ (9.49)missä j ⊥ on pintavirran tiheyden komponentti, joka on kohtisuorassa tarkasteltavaaH-komponenttia vastaan. Pintavirrantiheys on nolla, jos väliaineenjohtavuus on äärellinen. Siis ellei väliaineen johtavuus ole ääretön, magneettikentäntangentiaalikomponentti on jatkuva.Tarkastellaan lopuksi tilannetta, jossa väliaineen 2 johtavuus on ääretön.Ampèren ja Maxwellin laki väliaineelle 2 on∇×H 2 − ∂D 2∂t= J 2 (9.50)Olettamalla harmoninen aikariippuvuus e −iωt ja käyttämällä rakenneyhtälöitäsaadaan1E 2 = ∇×H 2 (9.51)σ 2 − iωɛ 2Jos ∇×H 2 on rajoitettu, niin ehto σ 2 →∞edellyttää, että E 2 = 0. Olettaenmyös H 2 :n aikariippuvuus harmoniseksi Faradayn laki ja lineaarinenrakenneyhtälö B = µH antavatH 2 = 1iωµ 2∇×E 2 (9.52)ja siten myös H 2 häviää. Tämä kaikki tarkoittaa sitä, ettäsähkömagneettinenaalto ei etene äärettömän hyvään johteeseen. Reunaehdoksi tulee tällöinH 1t = j ⊥ (9.53)

110 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT9.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet9.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössäSiirrosvirtatermin ansiosta Maxwellin yhtälöillä on ratkaisunaan sähkömagneettinenaaltoliike. Tarkastellaan tilannetta ensiksi tyhjössä (ρ =0,J = 0). Ottamalla roottori Ampèren ja Maxwellin laista saadaan∇×∇×B = ɛ 0 µ 0∂(∇×E)∂t= −ɛ 0 µ 0∂ 2 B∂t 2 (9.54)josta kirjoittamalla vasemman puolen roottorit auki ja käyttämällä magneettikentänlähteettömyyttä saadaan aaltoyhtälö∇ 2 ∂ 2 BB − ɛ 0 µ 0∂t 2 = 0 (9.55)Ottamalla puolestaan roottori Faradayn laista ja huomioimalla, että myöskäänsähkökentällä ei ole tyhjössä lähteitä, saadaan sähkökentälle samayhtälö∇ 2 ∂ 2 EE − ɛ 0 µ 0∂t 2 = 0 (9.56)Tällainen aalto etenee nopeudella c =1/ √ ɛ 0 µ 0 eli valon nopeudella.9.5.2 PotentiaaliesitysTarkastellaan seuraavaksi Maxwellin yhtälöiden ratkaisemista olettamallakenttien lähteet ρ ja J tunnetuiksi. Esitetään tarkastelu tyhjönkaltaisessaväliaineessa (ɛ 0 ,µ 0 ) kentille E ja B. Tarkastelun siirtäminen lineaariseenväliaineeseen on suoraviivaista.Ongelmaa on tehokkainta lähestyä käyttämällä kenttien skalaari- ja vektoripotentiaalejaφ ja A. Ensinnäkin yhtälö ∇·B = 0 implikoi tutun relaationB = ∇×A. Sijoittamalla tämä Faradayn lakiin saadaan∇×E + ∂ ∇×A = 0 (9.57)∂tFysikaalisen siisteille kentille aika- ja paikkaderivaattojen järjestyksen voivaihtaa, joten(∇× E + ∂A )= 0 (9.58)∂teli voidaan kirjoittaa E + ∂A/∂t = −∇ϕ. Sähkökenttä on siis muotoaE = −∇ϕ − ∂A∂t(9.59)

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 111eli sähköstaattisen potentiaalin lisäksi Faradayn laki tuo vektoripotentiaalinaikamuutoksesta johtuvan osuuden sähkökenttään. Näin kenttien kuusi komponenttiaon ilmaistu neljän muuttujan (ϕ, A) avulla. Tähän on tarvittuneljä Maxwellin yhtälöiden kahdeksasta skalaarikomponentista, joten meilläon jäljellä neljä yhtälöä neljän tuntemattoman ratkaisemiseen. JäljelläolevatCoulombin ja Ampèren ja Maxwellin lait saadaan muotoon∇ 2 ϕ + ∂(∇·A) = −ρ/ɛ 0 (9.60)∂t∇ 2 A − 1 ∂ 2 (Ac 2 ∂t 2 −∇ ∇·A + 1 )∂ϕc 2 = −µ 0 J (9.61)∂tSaatu yhtälöryhmä näyttää pahemmalta kuin alkuperäiset Maxwellin yhtälöt,mutta sille löytyy käteviä ratkaisumenetelmiä. Koska kentät E ja Bmuodostuvat potentiaalien derivaatoista, voidaan potentiaaleihin lisätä sellaisiatekijöitä, jotka katoavat derivoitaessa. Tätä ominaisuutta kutsutaanmittainvarianssiksi. Yksi tapa säilyttää alkuperäiset kentät on edellyttää∇·A + 1 ∂ϕc 2 ∂t = 0 (9.62)Tätä ehtoa kutsutaan Lorentzin ehdoksi ja kyseistä mittaa Lorentzinmitaksi. Tällainen muunnos voidaan aina tehdä.Lorentzin mitassa jäljellä olevat yhtälöt redusoituvat epähomogeenisiksiaaltoyhtälöiksi(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = −ρ/ɛ 0 (9.63)joille tunnetaan yleisiä ratkaisumenetelmiä.(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 )A = −µ 0 J (9.64)9.5.3 Viivästyneet potentiaalitEdellä onlöydetty itse asiassa neljä karteesisissa koordinaateissa toisistaanriippumatonta skalaariyhtälöä, joten ratkaisumenetelmän kannalta riittäätarkastella yhtälöä ϕ:lle.Mikäli kyseessa olisi staattinen kenttä, meillä olisi tuttu Poissonin yhtälö,jonka ratkaisuja ovat Laplacen yhtälön yleiset ratkaisut sekä jokin Poissoninyhtälön erikoisratkaisu. Ratkaistaan aaltoyhtälö ensin yhdelle varaukselle,joka on sijoitettu origoon. Tällöin homogeenisen aaltoyhtälön(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = 0 (9.65)

112 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTon toteuduttava kaikkialla muualla kuin origossa. Pienessä alueessa origonympärillä puolestaan∫ (dV ∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = − 1 q(t) (9.66)ɛ 0△VKoska tilanne on pallosymmetrinen, ϕ = ϕ(r) ja homogeeninen aaltoyhtälövoidaan kirjoittaa pallokoordinaatistossa(1 ∂r 2 ∂rr 2 ∂ϕ∂r)− 1 c 2 ∂ 2 ϕ∂t 2 = 0 (9.67)Tämä palautuu yksiulotteiseksi aaltoyhtälöksi sijoituksellaχ(r, t)ϕ(r, t) = (9.68)r⇒∂ 2 χ∂r 2 − 1 ∂ 2 χc 2 ∂t 2 = 0 (9.69)ja tällä on tutut ±r-suuntiin etenevät ratkaisutχ = f(r − ct)+g(r + ct) (9.70)Näistä f(r −ct) etenee poispäin varauksesta ja g(r +ct) etenee kohti varausta.Koska haluamme ymmärtää varauksen vaikutusta ympäristöönsä, meilleriittää tarkastella ratkaisua f.Olemme siis löytäneet homogeeniselle aaltoyhtälölle pallosymmetrisenratkaisunf(r − ct)ϕ = (9.71)rja nyt pitäisi määrittää funktion f muoto. Staattisessa tapauksessa potentiaalionϕ =q(9.72)4πɛ 0 rja nyt q = q(t). Kirjoitetaan f ajan funktiona f(t − r/c), missä vakio −c onupotettu määrättävään funktioon itseensä. Näin ollen ajanhetkellä t − r/con voimassaq(t − r/c)f(t − r/c) = (9.73)4πɛ 0ja yksittäisellä varauksen epähomogeenisella aaltoyhtälöllä on ratkaisuq(t − r/c)ϕ(r, t) =4πɛ 0 rIntegroimalla kaikkien varausten yli saadaan lopulta ratkaisuϕ(r,t)= 14πɛ 0∫V(9.74)ρ(r ′ ,t ′ )|r − r ′ | dV ′ (9.75)

9.5. AALTOYHTÄLÖ JA KENTTIEN LÄHTEET 113missä t ′ = t −|r − r ′ |/c on viivästynyt aika. Potentiaalia ϕ kutsutaanviivästyneeksi skalaaripotentiaaliksi, koska se huomioi ajan, joka kuluukustakin pisteestä tarkastelupisteeseen nopeudella c etenevältä signaalilta.Vektoripotentiaalin aaltoyhtälön kukin komponentti on matemaattisestiaivan samanlainen kuin skalaripotentiaalin aaltoyhtälö(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 A i = −µ 0 J i (9.76)joten jokaiselle komponentille on olemassa sama ratkaisu. Kokoamalla kaikkikomponentit yhteen saadaan viivästynyt vektoripotentiaaliA(r,t)= µ ∫04π VJ(r ′ ,t ′ )|r − r ′ | dV ′ (9.77)Olemme siis saaneet määritetyksi skalaari- ja vektoripotentiaalit annettujenvaraus- ja virtajakautumien funktioina. Sähkö- ja magneettikentät saadaannäistä suoraviivaisesti: E = −∇ϕ − ∂A/∂t ja B = ∇×A. Olemme siisratkaisseet Maxwellin yhtälöt annetuille varaus- ja virtajakautumille. Käytännössäderivaattojen laskeminen on kuitenkin varsin työlästä.Tutustumme kurssin lopulla suppeamman suhteellisuusteorian formalismiin,jossa vektori- ja skalaaripotentiaalien aaltoyhtälöt voidaan kootanelipotentiaalin A α =(ϕ, A i ) aaltoyhtälöksi(∂ 2 A α ≡ ∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 A α = −j α (9.78)missä nelivirran j α komponentit ovat (ρ/ɛ 0 ,µ 0 J i ).Osoittautuu, että Maxwellin yhtälöt ovat Lorentz-invariantteja eli valmiiksikelvollisia suhteellisuusteorian pätevyysalueelle. Historiallisesti juurielektrodynamiikka johti Einsteinin suhteellisuusteorian jäljille.9.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktioTarkastellaan aaltoyhtälön ratkaisua käyttämällä luvussa 2.11 esitettyä Greeninfunktion ideaa. Sekä A:n että ϕ:n aaltoyhtälöt ovat muotoa∇ 2 ψ − 1 ∂ 2 ψc 2 = −4πf(r,t) (9.79)∂t2 missä f(r,t) on tunnettu lähdetermi. Tehdään sekä ψ:lle että f:lle Fouriermuunnosajan suhteenψ(r,t)= 12π∫ ∞−∞ψ(r,ω)e −iωt dω ; f(r,t)= 12π∫ ∞−∞f(r,ω)e −iωt dω (9.80)

114 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTSijoittamalla nämä aaltoyhtälöön ja merkitsemällä k = ω/c saadaan Fourierkomponenteille(∇ 2 + k 2 ) ψ(r,ω)=−4πf(r,ω) (9.81)Tämäonepähomogeeninen Helmholtzin aaltoyhtälö, joka tapauksessak = 0 palautuu Poissonin yhtälöksi. Sen Greenin funktion täytyy toteuttaayhtälö(∇ 2 + k 2 )G k (r; r ′ )=−4πδ(r − r ′ ) (9.82)Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on silloin∫ψ(r,ω)= G k (r, r ′ ,ω)f(r ′ ,ω) dV ′ (9.83)johon voidaan lisätä homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisuja.Koska aaltoyhtälöä joudutaan käytännössä ratkomaan heijastavien reunojen,aaltoputkien jne. yhteydessä, Greenin funktion muoto riippuu ongelmanreunaehdoista (vrt. pallon Greenin funktio luvussa 2.11). Tarkastellaannyt vain reunatonta avaruutta, jolloin G k on pallosymmetrinen ja riippuuainoastaan tarkastelupisteen ja lähdepisteen etäisyydestä R = |r − r ′ |. Kirjoitetaan∇ 2 pallokoordinaateissa∇ 2 G k = 1 (∂R 2 R 2 ∂G )k= 1 ∂ 2∂R ∂R R ∂R 2 (RG k) (9.84)Koska R on ainoa muuttuja, voidaan käyttää kokonaisderivaattaad 21R dR 2 (RG k)+k 2 G k = −4πδ(r − r ′ ) (9.85)Muualla kuin pisteessä R =0tämä yksinkertaistuu yhtälöksijonka ratkaisut ovatd 2dR 2 (RG k)+k 2 (RG k ) = 0 (9.86)RG k = Ae ikR + Be −ikR (9.87)Rajalla R → 0, kR ≪ 1 ja (9.85) palautuu Poissonin yhtälöksi, jonkaratkaisu käyttäytyy kuten 1/R. Tämä antaa sidosehdon A + B = 1 jaGreenin funktio on muotoaG k (R) =AG + k (R)+BG− k(R) (9.88)missä G ± k = e±ikR /R. G + kkuvaa origosta poispäin etenevää palloaaltoa jaG − korigoon tulevaa palloaaltoa aivan kuten edellisessäkin jaksossa esitetyssäratkaisussa.A ja B määräytyvät reunaehdoista ajan suhteen. Jos lähde on hiljaahetkeen t = 0 asti ja alkaa sitten vaikuttaa, ulospäin etenevä ratkaisu AG + k

9.6. MITTAINVARIANSSI 115on fysikaalisesti mielekäs valinta, mutta jos aallon amplitudi on annettusopivilla reunaehdoilla, myös BG − kvoi olla käyttökelpoinen.Tarkastellaan sitten ajasta riippuvaa Greenin funktiota, joka toteuttaayhtälönKoska(∇ 2 r − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 )G ± (r,t; r ′ ,t ′ )=−4πδ(r − r ′ )δ(t − t ′ ) (9.89)δ(t − t ′ )= 12π∫ ∞−∞dω e iwt′ e −iwt (9.90)voidaan lähdetermi yhtälössä 9.82 kirjoittaa muodossa −4πδ(r − r ′ )e iωt′ jaajasta riippuva Greenin funktio onG ± (R, τ) = 12π∫ ∞−∞e ±ikRR e−iωτ dω (9.91)missä τ = t − t ′ . Äärettömän avaruuden Greenin funktio riippuu siis vainlähteen ja havaitsijan välisestä etäisyydestä R ja aikaerosta t − t ′ . Koskak = ω/c, voidaan ω-integraali laskea ja lopputulos onG ± (r,t; r ′ ,t ′ )=1|r − r ′ | δ(t′ − [t ∓|r − r ′ |/c]) (9.92)Nyt G + on viivästynyt Greenin funktio ja G − puolestaan edistynyt Greeninfunktio.Epähomogeenisen aaltoyhtälön ratkaisu on siis∫ ∫ψ ± (r,t)= G ± (r,t; r ′ ,t ′ )f(r ′ ,t ′ ) dV ′ dt ′ (9.93)johon voi lisätä homogeenisen aaltoyhtälön ratkaisuja. Viivästyneelle Greeninfunktiolle ratkaisu on tietenkin sama kuin luvussa 9.5.3 suoremmalla laskullalöytynyt ratkaisu. Tässä esitetty menetelmä on kuitenkin yleisempi jakäyttökelpoisempi tarkasteltaessa monimutkaisempia olosuhteita kuin yksinkertaistalähdettä reunattomassa avaruudessa.9.6 MittainvarianssiAaltoyhtälön ratkaisu helpottui valitsemalla sopiva mitta. Tämän teki mahdolliseksiMaxwellin yhtälöiden tärkeä ominaisuus: mittainvarianssi.Tämätarkoittaa sitä, että kenttien potentiaaleja voidaan muuttaa tietyllä yleisellä

116 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖTtavalla ilman, että kentät itse muuttuvat. Elektrodynamiikan mittamuunnoksetovat muotoaA → A ′ = A + ∇Ψ (9.94)ϕ → ϕ ′ = ϕ − ∂Ψ/∂t (9.95)Funktiota Ψ kutsutaan mittafunktioksi ja se voidaan valita usealla eritavalla eli on olemassa suuri joukko erilaisia mittoja. Yksi näistä on siisedellä käytetty Lorentzin mittaehto∇·A ′ + 1 c 2 ∂ϕ ′∂t = 0 (9.96)Voidaan osoittaa, että Lorentzin mittaehdon toteuttava funktio Ψ on ainaolemassa, mutta se ei ole yksikäsitteinen.Lorentzin mitan etu on, että sitä käytettäessä yhtälöiden Lorentz-kovarianssinäkyy eksplisiittisesti ja tulokset on suoraviivaista siirtää koordinaatistostatoiseen. Käytännön laskut voivat kuitenkin olla hyvin monimutkaisia.Useissa tapauksissa laskennallisesti yksinkertaisempi vaihtoehto on Coulombinmitta, jonka mittaehto onNyt vektoripotentiaali saadaan muunnoksella∇·A ′ = 0 (9.97)∇ 2 Ψ=−∇ · A (9.98)joka määrittää mittafunktion (additiivista vakiota vaille) yksikäsitteisesti,jos A → 0jaϕ → 0, kun r →∞. Coulombin mitassa skalaaripotentiaaliratkaistaan yhtälöstä 9.60ϕ(r,t)= 14πɛ 0∫Vρ(r ′ ,t)|r − r ′ | dV ′ (9.99)Huom. Nyt aika ei ole viivästetty vaan skalaaripotentiaali määräytyy samanaikaisestavarausjakautumasta kaikkialla. Tämä merkitsee, että Coulombinmitta ei ole Lorentz-kovariantti. Koska Coulombin mitta on kuitenkinkelvollinen mitta Maxwellin yhtälöille, tästä ei seuraa ristiriitaa kenttien Eja B osalta. Coulombin mittaa käytettäessä on kuitenkin oltava tarkkanakoordinaatistonmuutosten kanssa.Coulombin mitassa vektoripotentiaalille tulee aaltoyhtälö∇ 2 A − 1 c 2 ∂ 2 A∂t 2= 1 c 2 ∇∂ϕ ∂t − µ 0J (9.100)

9.6. MITTAINVARIANSSI 117Oikean puolen ensimmäinen termi on pyörteetön. Helmholtzin teoreemanmukaan vektorikenttä F voidaan jakaa pyörteettömään ja lähtettömään osaanF = F l + F t ; ∇×F l =0; ∇·F t =0missä l viittaa pitkittäiseen (longitudinaaliseen, pyörteettömään) ja t poikittaiseen(transversaaliseen, lähteettömään) osuuteen. Käyttämällä virranjatkuvuusyhtälöä aaltoyhtälö saadaan muotoon (ks. esim. Jackson)∇ 2 A − 1 ∂ 2 Ac 2 ∂t 2 = −µ 0J t (9.101)Koska vektoripotentiaali määräytyy vain virran poikittaisesta komponentista,Coulombin mittaa kutsutaan usein poikittaismitaksi. Se tunnetaanmyös nimellä säteilymitta, koska sähkömagneettiset säteilykentät saadaanlasketuksi viivästyneestä vektoripotentiaalistaA(r,t)= µ ∫0 Jt (r ′ ,t ′ )4π |r − r ′ | dV ′ (9.102)mikä on olennaisesti helpompaa kuin säteilykenttien laskeminen Lorentzinmitasta.Coulombin mitta separoi annetussa koordinaatistossa sähkökentän staattiseen(s) ja induktiiviseen (i) osaanE s = −∇ϕ ; E i = −∂A/∂t (9.103)Huom. Tämä separaatio ei ole Lorentz-kovariantti: Yhdessä koordinaatistossaesiintyvä sähköstaattinen kenttä voidaan hävittää siirtymällä sopivallanopeudella liikkuvaan koordinaatistoon. Tämä ilmiö onläheisesti tekemisissäFaradayn lain yhteydessä käsitellyn liikkeen indusoiman ja oikean sähkömotorisenvoiman välisen yhteyden kanssa.Klassinen elektrodynamiikka on ensimmäinen esimerkki mittainvarianteistafysiikan perusteorioista. Mittakentän käsitteestä on tullut erittäinkeskeinen osa fysiikan perusteorioissa kuten kvanttielektrodynamiikassa, sähköheikonvuorovaikutuksen teoriassa, kvanttikromodynamiikassa ja näitäyhdistävissä yhtenäiskenttäteorioissa. Esimerkkinä käyköön vuoden 1999Nobelin palkinto, jonka saivat Gerardus t’Hooft ja Martinus Veltman töistäänkvanttikromodynamiikan ei-abelisten mittakenttien parissa.

118 LUKU 9. MAXWELLIN YHTÄLÖT

Luku 10Sähköiset ja magneettisetmateriaalitAiemmat 9 lukua ovat esitelleet klassisen elektrodynamiikan peruskäsitteetja teorian perusrakenteen. Alamme nyt perehtyä elektrodynamiikankäyttöön erilaisissa ongelmissa. Tarkastellaan aluksi aineen sähköisiä ja magneettisiaominaisuuksia mikroskooppisella tasolla. Erityisesti magnetisminosalla on tyydyttävä varsin kvalitatiiviseen kuvailuun, koska tarkka käsittelyvaatisi varsin pitkälle menevää kvanttimekaniikkaa. Tämän luvun aineistoon peräisin useammasta lähteestä (mm. Feynman, Jackson, RMC).Palautetaan ensin mieleen Maxwellin yhtälöt tilanteessa, jossa väliainekuvataan polarisoituman P ja magnetoituman M avulla:∇·(ɛ 0 E + P) =ρ vapaa (10.1)∇·B = 0 (10.2)∇×E = − ∂B∂t(10.3)∇×( 1 µ 0B − M) =j vapaa + ∂ ∂t (ɛ 0E + P) (10.4)Tässä ρ vapaa sisältää muut varaukset kuin polarisaatiovarauksen ja j vapaamuut virrat kuin magnetoitumisvirran. Määrittelemällä sähkövuon tiheysD ja magneettikentän voimakkuus HD = ɛ 0 E + P (10.5)H = 1 µ 0B − M (10.6)voidaan Maxwellin yhtälöt väliaineessa esittää muodossa∇·D = ρ vapaa (10.7)119

120 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALIT∇·B = 0 (10.8)∇×E = − ∂B(10.9)∂t∇×H = j vapaa + ∂D(10.10)∂tSähkökenttä E ja magneettivuon tiheys B ovat suureet, jotka lopulta halutaanmäärittää. Tätä varten on tunnettava rakenneyhtälöt esimerkiksi muodossaD = D(E, B) jaH = H(E, B).10.1 Molekulaarinen polarisoituvuusTarkastellaan yksinkertaista väliainetta, jossa yksittäisen molekyylin dipolimomenttip m on verrannollinen polarisoivaan sähkökenttään E m :p m = αɛ 0 E m (10.11)Suuretta α kutsutaan polarisoituvuudeksi (yksikkö m 3 ). Oletetaan lisäksi,ettei molekyylillä ole pysyvää dipolimomenttia. Tavoitteena on lausua molekyylinpolarisoituvuus makroskooppisesti mitattavien suureiden avulla.Ensimmäinen ongelma liittyy polarisoivaan sähkökenttään: se on kenttä,jonka aiheuttavat kaikki ulkoiset lähteet ja väliaineen polarisoituneet molekyylitlukuunottamatta tarkasteltavaa molekyyliä itseään. Kuinka kenttäE m määritetään? Luonnollinen ajatus on poistaa makroskooppisesti pienimutta mikroskooppisesti suuri palanen ainetta tarkasteltavan molekyylinympäriltä ja laskea kenttä jäljelle jäävässä onkalossa. Kenttä tarkasteltavanmolekyylin kohdalla on silloinE m = E + E p + E near (10.12)Tässä E on keskimääräinen kenttä koko kappaleessa, E p onkalon pinnan polarisaatiovarauksenaiheuttama kenttäjaE near on onkalossa olevien kaikkienmuiden molekyylien aiheuttama kenttä. Aivan tarkasteltavan molekyylinkohdalla on siis otettava huomioon aineen yksityiskohtainen mikroskooppinenrakenne.Kenttä E near on nolla esimerkiksi säännöllisen kuutiohilan hilapisteissä,jos molekyylien dipolimomenttivektorit ovat identtisiä (HT). Samoin voidaanolettaa E near nollaksi nesteissä ja kaasuissa, joissa molekyylit ovat täysinsatunnaisesti jakautuneita. Useista molekyylityypeistä koostuvissa aineissatämä kenttä voi kuitenkin poiketa nollasta. Jatkossa oletetaan, että E near =0.Pulmallista on vielä se, että polarisaatiokenttä E p riippuu onkalon muodosta(kuva 10.1). Jos onkalo on kapean suorakaiteen muotoinen ja sen

10.1. MOLEKULAARINEN POLARISOITUVUUS 121bacEKuva 10.1: Molekulaarisen kentän määrittäminen erilaisissa onkaloissa.pitkä sivu on makroskooppisen kentän E suuntainen (a), niin sähkökenttäononkalossa sama kuin väliaineessa kentän tangentiaalikomponentin jatkuvuudenperusteella. Jos suorakaidetta käännetään 90 astetta (b), niin onkalossaE b = E + P/ɛ 0 sähkövuon tiheyden normaalikomponentin jatkuvuudenvuoksi (pinnoilla on polarisaatiovarausta, mutta ei vapaata varausta).Luonnolliselta tuntuva vaihtoehto on olettaa onkalo palloksi (c). Nytkenttä onkalossa saadaan vähentämällä tasaisesti polarisoituneen pallon kenttäkentästä E. Voidaan käyttää hyväksi analogiaa magnetostatiikkaan, jossatasaisesti magnetoituneen pallon sisällä on vakiokenttä H = −M/3 (ks. luku6.6). Tästä voidaan suoraan päätellä, että polarisoituneen pallon sisällä onkenttä −P/(3ɛ 0 ), ja onkalossa E m = E + P/(3ɛ 0 ). Tämä on jonkinlainenvälimuoto suorakaiteen muotoisten onkaloiden kentistä.Nyt voidaan laskea polarisoituma suoraviivaisesti. Jos molekyylien lukumäärätiheyson n, niin polarisoituma on määritelmän mukaan P = np m ,jotenP = nα(E + P/(3ɛ 0 )) (10.13)Toisaalta P =(ɛ r − 1)ɛ 0 E, joten saadaan Clausiuksen ja Mossottin yhtälöα = 3(ɛ r − 1)n(ɛ r +2)(10.14)jossa suhteellinen permittiivisyys ɛ r ja tiheys n ovat makroskooppisesti mitattaviasuureita. Voidaan esimerkiksi mitata kaasun ɛ r ja n, jolloin saadaanα laskettua. Olettamalla, että polarisoitumismekanismi on samanlainen myösnesteessä voidaan tunnettujen tiheyksien avulla ennustaa nesteen suhteellinenpermittiivisyys. Näin saadaan varsin hyviä tuloksia esimerkiksi aineilleCS 2 ,O 2 ,CCl 4 . Mainittakoon, että vedelle tulisi vastaavalla tavalla ennusteeksinegatiivinen permittiivisyys, joten pysyvästi polarisoituneelle aineelleesitetty malli ei päde.

122 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITUseimmilla eristeillä E m menee nollaan E:n mukana. Joissain tapauksissaon olemassa pysyvää polarisaatiota P 0 , jolloin E:n ollessa nollaE m = 1 3 P 0 (10.15)TällöinP 0 = nαE m = nα 3 P 0 (10.16)joten nollasta poikkeava pysyvä polarisaatio edellyttää, ettänα3 = 1 (10.17)Tämä ehto on varsin tiukka ja useimmille materiaaleille nα/3 < 1, jotenne käyttäytyvät kuten tavalliset eristeet. Jotkin kristallirakenteiset kiinteätaineet kuitenkin toteuttavat ehdon ja niitä kutsutaan ferroelektrisiksi materiaaleiksi.Esimerkiksi BaTiO 3 on ferroelektristä alle 120 ◦ C:n lämpötilassa(aiheesta enemmän Feynman Lectures, osa II, luku 11-7).Pysyvästi polarisoitunut kappale (elektretti) on kestomagneetin sähköinenvastine. Se eroaa kuitenkin magneetista ratkaisevasti, koska elektretinpinnalle kertyy vähitellen väliaineesta vapaita varauksia, jotka neutralisoivatpolarisaatiopintavarauksen.Ferroelektrisyydelle ominainen pysyvä polarisoituvuus aiheuttaa hystereesi-ilmiön.Kun aine on kerran polarisoitu tasolle P , niin polarisaatio eikatoa vietäessä sähkökenttä nollaan, vaan vasta selvästi nollan alapuolella.Kasvatettaessa negatiivista sähkökenttää polarisaatio saavuttaa uudelleenuuden tason −P , josta ei puolestaan päästä eroon kasvattamalla sähkökenttänollaan vaan kenttää on kasvatettava riittävän paljon nollan yläpuolelle.Siten polarisaation ja sähkökentän välinen relaatio ei ole yksikäsitteinen.Vastaavaan ilmiöön tutustutaan myöhemmin ferromagnetismin yhteydessä.10.2 Ionikiteen sähköstaattinen energiaTutkitaan seuraavaksi sähköstatiikan keinoin ionikiteen energiaa. Tarkastellaanesimerkkinä suolaa (NaCl, kuva 10.2). Kokeellisesti tiedetään, ettäsuolan hajottaminen Na + ja Cl − -ioneiksi vaatii energiaa 7.92 eV molekyyliäkohti. Lasketaan, onko tämä sama kuin yhden molekyylin sähköstaattinenpotentiaalienergia kaikkien muiden suolakiteen ionien kentässä.Riittää tarkastella yhtä Na + -ionia. Sen potentiaalienergia onU 1 = 1 2N∑i=1eq i4πɛ 0 r i(10.18)

10.3. SÄHKÖNJOHTAVUUS MIKROSKOOPPISESTI 123+–+ – +–++–– + –Na+ Cl– +a–+– + –+ – +–+Kuva 10.2: Poikkileikkaus NaCl-kiteestä.missä q i on ±e (e = alkeisvaraus) ja r i on kunkin ionin etäisyys origoon sijoitetustaNa + -ionista. Koska halutaan yhden molekyylin potentiaalienergiaU, niin on laskettava summa U =2U 1 :U =∞∑i=1eq i4πɛ 0 r i(10.19)N voidaan turvallisesti olettaa äärettömäksi, koska se on makroskooppisillekiteille Avogadron vakion 6.02 · 10 23 suuruusluokkaa.Röntgendiffraktiokokeiden perusteella tiedetään, että ionit ovat kuutiohilassa,jossa kuution sivun pituus a on noin 2.82·10 −10 m. Koska e 2 /(4πɛ 0 a) ≈5.1eV ), niin suuruusluokan puolesta ollaan oikeilla jäljillä. Energian lausekevoidaan kirjoittaa summanaU =e24πɛ 0 a∞∑m,n,p=−∞(−1) m+n+p√m 2 + n 2 + p 2 (10.20)missä ei pidä ottaa mukaan termiä m = n = p = 0. Numeerisesti saadaanU ≈−1.747e 2 /(4πɛ 0 a) ≈−8.91eV .Tämä on hieman liian suuri arvo, koskaedellä ei otettu huomioon hyvin lähellä toisiaan olevien ionien välillä vallitsevaapoistovoimaa. Sen vaikutus pienentää molekyylin hajottamiseen tarvittavaaenergiaa. Lisäksi pieni korjaus tulisi ottamalla huomioon kidevärähtelyistäjohtuva liike-energia.10.3 Sähkönjohtavuus mikroskooppisestiTarkastellaan johteessa nopeudella v liikkuvaa varausta q klassisen mekaniikanmukaisesti. Mikäli hiukkaseen vaikuttaa sähkökenttä E, se kiihtyy voimanmdv/dt = qE vaikutuksesta. Olkoon kyseessä lineaarinen ohminen

124 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITjohde, jossa sähkökenttä aiheuttaa tasaisen virrantiheyden J. Hiukkaseentäytyy vaikuttaa toinenkin voima, joka kumoaa sähkökentän aiheuttamankiihtyvyyden. Oletetaan, että jarruttava voima on mekaanisen kitkan kaltaineneli verrannollinen hiukkasen nopeuteen, jolloinm dvdtAlkuehdolla v(0) = 0 liikeyhtälöllä on ratkaisu= qE − Gv (10.21)v(t) = q G E (1 − e−Gt/m ) (10.22)Tämän mukaan hiukkasen nopeus lähestyy kulkeutumisnopeutta v d = qE/Geksponentiaalisesti e −t/τ aikavakion τ ollessaτ = m/G (10.23)Sijoittamalla tämä v d :n lausekkeeseen Ohmin laki voidaan kirjoittaajotenJ = nqv d = nq2 τm E (10.24)σ = nq2 τ(10.25)mmissä n on hiukkasten lukumäärätiheys. Jos virrankuljettajia on useampaalaatua, niinσ = ∑ in i q 2 i τ im i(10.26)Kohtuullisen hyvillä johteilla metalleista puolijohteisiin τ voidaan tulkitajohtavuuselektronien keskimääräiseksi törmäysajaksi. Matkaa, jonkajohtavuuselektroni kulkee keskimäärin törmäysten välillä kutsutaan keskimääräiseksivapaaksi matkaksi l mfp ja se onl mfp = v T τ (10.27)missä v T on elektronien terminen nopeus. Nyt termisen nopeuden on oltavapaljon suurempi kuin v d , sillä muutoin τ tulisi riippuvaiseksi sähkökentästäeikä väliaineella olisi enää lineaarista Ohmin lakia. Useimmilla metalleillav T ≈ 10 6 m/s ja v d yleensä alle 10 −2 m/s. Metalleilla l mfp ≈ 10 −8 mhuoneenlämmössä, joten τ ≈ 10 −14 s. Puolijohteilla relaksaatioaika voi ollakertalukua suurempi, mutta joka tapauksessa sähkövirta reagoi käytännössävälittömästi sähkökentän muutokseen. Tämä selittää, miksi ennen Maxwelliakentänmuutosvirtaa ei ollut havaittu missään koetilanteessa.

10.4. MOLEKULAARINEN MAGNEETTIKENTTÄ 12510.4 Molekulaarinen magneettikenttäTarkasteltaessa aineen magnetismia molekyylitasolla kenttien B ja H välinenero olennaisesti katoaa, sillä molekyylien ajatellaan sijaitsevan tyhjössä jamikroskooppinen magneettikenttä B m tarkasteltavan molekyylin kohdallavoidaan korvata mikroskooppisella kentällä H m kirjoittamallaB m = µ 0 H m (10.28)Molekulaarisen magneettikentän muodostavat kaikki ulkoiset sähkövirrat jakaikki molekulaariset dipolit lukuunottamatta molekyyliä, jonka kohdallakenttä lasketaan. Tehdään tarkasteltavan pisteen ympärille onkalo, jonkaulkopuolinen väliaine käsitellään jatkumona samalla tavalla kuin luvussa10.1 molekulaarista polarisoitumista määritettäessä. Molekulaarinen kenttäon siisH m = H + H s + H near (10.29)missä H on makroskooppinen kenttä, H s onkalon reunoilla olevien pintadipolienaiheuttama kenttä jaH near onkalon sisällä olevien dipolien tuottamakenttä. Samanlaisella laskulla, jolla määritettiin E m edellä, saadaan(vrt. luku 6.6, tasaisesti magnetoitunut pallo)Onkalossa olevat dipolit antavat puolestaanH near = 1[∑ 3(mi · r i )r i4πH s = 1 3 M (10.30)ir 5 i− m ]iri3(10.31)missä r i on etäisyys onkalon keskipisteestä i:nteen dipoliin. Suurelle joukolleaineita H near on merkityksettömän pieni, jolloinH m = H + 1 3 M (10.32)10.5 Para- ja diamagnetismistaTässä luvussa käsitellään hieman yksityiskohtaisemmin väliaineen vaikutustamagneettikenttään. Rajoitumme tässä kvalitatiiviseen käsittelyyn. Hyviäkuvauksia voi löytää korkeatasoisista lukion oppikirjoistakin (esim. Kurki-Suonio et al., Kvantti 2, jota tässä onkäytetty yhtenä lähdeteoksena).Aine magnetoituu ulkoisessa magneettikentässä. Väliaine ja kenttääntuodut kappaleet synnyttävät oman magneettikenttänsä. Tilanne on kuitenkinselvästi erilainen kuin sähkökentän tapauksessa, mikä lienee tuttua kaikillehankaussähkön ja kestomagneettien kanssa leikkineille. Kaikkien aineidenpolarisoituminen sähkökentässä havaitaan siitä, että varattu kappale

126 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITTaulukko 10.1: Joitain dia- (χ m < 0) ja paramagneettisia (χ m > 0) aineita.Suskeptiivisuudet on annettu huoneenlämpötilassa. Kaasujen tapauksessaoletetaan lisäksi normaali ilmanpaine.ainealumiinielohopeahappihopeakultakuparimagnesiumtimanttititaanityppivetysuskeptiivisuus2.1 · 10 −5−2.8 · 10 −5193.5 · 10 −8−2.4 · 10 −5−3.5 · 10 −5−0.98 · 10 −51.2 · 10 −5−2.2 · 10 −518 · 10 −5−0.67 · 10 −8−0.22 · 10 −8vetää puoleensa neutraalejakin kappaleita. Sen sijaan magneeteilla on selvästinäkyvä vaikutus vain harvoihin aineisiin. Lähellä olevat kappaleet ja väliaineeteivät siksi yleensä häiritse merkittävästi magneettisia tutkimuksia.Väliaineen vaikutusta magneettikenttään on yksinkertaista tutkia toroidikääminavulla, koska käämin kenttä on kokonaan toroidin sisällä (vrt. eristeidentutkimus kondensaattorin avulla). Kentän muoto ei muutu, jos toroiditäytetään väliaineella, vaan ainoastaan magneettivuon tiheys muuttuu.Väliaineen suhteellinen permeabiliteetti voidaan silloin mitata vertaamallamagneettivuon tiheyttä käämissä väliaineen kanssa ja ilman sitä.Koska suurimmalla osalla aineista suhteellinen permeabiliteetti on lähelläykköstä, käytetään useammin magneettista suskeptiivisuuttaja useille aineille pätee yksinkertainen rakenneyhtälöχ m = µ r − 1 (10.33)B = µ 0 (1 + χ m )H (10.34)Ainetta kutsutaan diamagneettiseksi, jos χ m < 0 ja paramagneettiseksi,jos χ m > 0. Näille aineille on tyypillisesti χ m < 10 −3 , joten yleensä voidaanaineen permeabiliteetti olettaa samaksi kuin tyhjön permeabiliteetti (taulukko10.1). Poikkeuksena ovat ferromagneettiset aineet, jotka eivät noudatayksinkertaista magnetoitumislakia.Aineen magneettisten ominaisuuksien mikroskooppinen selitys perustuuuseisiin eri tekijöihin. Alkeishiukkaset ovat pieniä alkeismagneetteja, joiden

10.5. PARA- JA DIAMAGNETISMISTA 127magneettimomentti liittyy hiukkasteen spiniin. Elektronin magneettimomenttion noin 700 kertaa suurempi kuin protonin ja noin 1000 kertaa suurempikuin neutronin magneettimomentti, joten elektronit määräävät aineenmagneettiset ominaisuudet. (Neutroni ei siis kuitenkaan ole magneettisessamielessä täysin neutraali.)Elektronin kiertoliike atomissa vastaa virtasilmukkaa ja siitä aiheutuvamagneettimomentti on samaa suuruusluokkaa kuin spinistä johtuva. Rataliikkeestäjohtuva magneettimomentti voidaan ymmärtää klassisella mallilla,jossa elektroni kiertää r-säteistä ympyrärataa kulmataajuudella ω =2π/T.Malli vastaa virtasilmukkaa, jonka pinta-ala on A = πr 2 ja jossa kulkeevirta I = q/T = qv/2πr. Magneettimomentti on siis m = IA = qvr/2. Elektroninliikemäärämomentti radan keskipisteen suhteen on L = m 0 vr (massa= m 0 ). Ottaen huomioon, että kyse on vektorisuureista, voidaan suuntasäännötmuistaen kirjoittaa m = −e/(2m 0 )L, joka vastaa myös havaintoja.Samaan tulokseen päädytään, jos tarkastellaan pyörivän hiukkasen magneettimomentinja liikemäärämomentin suhdetta (HT). Elektronin spinistäjohtuva magneettimomentti on kuitenkin kaksinkertainen, joten klassinenkuvaeitässä anna oikeaa ennustetta. Samalla nähdään, ettei spiniä voidaselittää arkipäiväisen mielikuvan mukaan pyörimisestä johtuvaksi, vaankyseessä on puhtaasti kvanttimekaaninen suure.Atomin magneettimomentti muodostuu elektronien spinien ja rataliikkeenmagneettimomenteista, jotka yleensä pyrkivät kumoamaan toisensapareittain. Jos atomilla tai molekyylillä on parillinen määrä elektroneja, senmagneettimomentti yleensä puuttuu. Muuten atomien magneettimomentitovat samaa suuruusluokkaa kuin elektroneilla.Ulkoinen magneettikenttä suuntaa atomien ja metallien vapaiden elektronienmagneettimomentteja siten, että niiden kenttä vahvistaa ulkoistakenttää aineessa. Tämä selittää paramagnetismin. Lämpötilan noustessalämpöliike häiritsee atomien järjestäytymistä, jolloin suskeptiivisuus pienenee.Vastaavasti lämpötilan nousu heikentää pysyvien sähködipolien suuntautumisestaaiheutuvan polarisoitumista.Ulkoinen magneettikenttä vaikuttaa myös elektronien rataliikkeeseen.Tällöin atomiin indusoituu magneettimomentti, joka suuntautuu ulkoistakenttää vastaan, mikä selittää diamagnetismin. Ilmiö tapahtuu kaikissa aineissa,mutta peittyy molekyylien magneettimomenttien alle, jos molekyyleilläon magneettimomenttia (vrt. pysyvä ja indusoituva polarisaatio sähkökentänvaikutuksesta). Diamagneettinen suskeptiivisuus ei riipu merkittävästilämpötilasta, koska atomien lämpölike ei pysty häiritsemään nopeasti ulkoiseenkenttään sopeutuvia elektroneja.

128 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITbmagneettivuon tiheys Bbaccmagnetoiva kenttä HKuva 10.3: Magneettivuon tiheys ferromagneettisessa aineessa ei ole magnetoivankentän yksikäsitteinen funktio. Kuvaan on piirretty myös magnetoitumiskäyrä(a).10.6 FerromagnetismiJoissain kiinteissä aineissa atomien välinen vuorovaikutus pyrkii suuntaamaanniiden magneettimomentit samansuuntaisiksi, jolloin muodostuu atominkokoon nähden suuria magneettisia alkeisalueita. Niissä kaikkien atomienmagneettimomentit ovat samansuuuntaisia. Ulkoinen kenttä puolestaankasvattaa alkeisalueita ja pyrkii kääntämään kaikkien alueiden magneettimomentitsamansuuntaiseksi. Tämä on ferromagnetismin perusmekanismi.Ferromagneettisia aineita ovat esimerkiksi rauta (Fe), koboltti (Co) janikkeli (Ni) sekä näiden monet yhdisteet. Riittävän korkeassa lämpötilassa(Curie-pisteessä) ferromagneettinen aine muuttuu paramagneettiseksi. RaudanCurie-piste on 770 ◦ C ja nikkelin 358 ◦ C.Myös ferromagneettisille aineille on tapana kirjoittaa rakenneyhtälö µ:navulla, mutta nyt µ = µ(H), joka ei ole välttämättä yksikäsitteinen funktio.Vastaesimerkkinä on hystereesi (kuva 10.3), jossa ja magnetoivan kentän Hja aineen magneettivuon tiheyden B välinen yhteys on erilainen riippuen siitä,ollaanko magnetoivaa kenttää kasvattamassa vaiko pienentämässä. Suskeptiivisuusχ m on siis kentän H funktio ja on yleisesti ottaen iso.Kun kentän H voimakkuutta kasvatetaan, aineen magnetoituminen voimistuu(kuva 10.3). Tätä voi jatkua kuitenkin vain tiettyyn kyllästysarvoonM s asti. Tämän jälkeenkin B-kenttä jatkaa kasvamistaan lineaarisesti terminµ 0 H myötä. Olkoon ferromagneetti nyt magnetoitu tällä tavoin ja annetaanH:n alkaa pienetä. Nyt B-kenttä ei pienene saman käyrän mukaisestivaan tapahtuu kuvassa 10.3 esitetty hystereesi-ilmiö.

10.7. EPÄLINEAARISET ENERGIAHÄVIÖT 129Ferromagnetismin vastakohtana on tilanne, jossa järjestyneen vastakkaissuuntaisistaspineistä muodostuvan rakenteen magneettinen momentti onnolla. Tällaista ainetta kutsutaan antiferromagneetiksi. Vielä yleisempijärjestynyt rakenne on sellainen, jossa on vastakkaisia spinejä, muttakuitenkin nollasta poikkeava kokonaismagneettimomentti. Tällaisia aineitakutsutaan ferriiteiksi. Niitä ovat esimerkiksi tietyt rautaoksidit (MOFe 2 O 3 ,missä M on jokin kaksivalenssinen metalli-ioni). Tunnetuin ferriitti lieneemagnetiitti (Fe 3 O 4 ). Ferriittien teknologinen merkitys on niiden korkeissamagnetoituman kyllästymisarvoissa ja huonossa sähkönjohtavuudessa. Ferriittientyypilliset resistiivisyydet ovat luokkaa 1–10 4 Ωm, kun raudan resistiivisyyson vain 10 −7 Ωm. Ferriittejä käytetään etenkin korkeataajuuslaitteissa,joissa pyörrevirtoihin liittyvä energianhäviö on ongelma.10.7 Epälineaariset energiahäviötTodellinen makroskooppinen ferromagneetti käyttäytyy huomattavasti molekyylitasoarakeisempana. Aine koostuu ferromagneettisista alueista, jotkaovat magnetoituneet eri suuntiin ja joiden välillä on suuruusluokkaa 100atomin paksuisia seiniä. Kun nämä alueet järjestyvät uudelleen ulkoisenmagneettikentän muuttuessa, syntyy kitkaa, joka kuluttaa energiaa. Tarkasteltaessaaiemmin sähkömagneettista energiaa väliaineet oletettiin lineaarisiksi.Ferromagneettinen aine on kuitenkin epälineaarista ja eteen tulee kysymys,mitä tapahtuu, kun hystereesisilmukkaa kierretään ympäri. Tämän selvittämiseksitarkastellaan virtapiiriä, jonka muodostaa ferromagneettisen aineenympärille kierretty kela (N kierrosta), johon ulkoinen energian lähde syöttäävirtaa.Jos magneettivuo kelan läpi muuttuu tekijällä δΦ, niin ulkoinen energianlähdetekee sähkömotorista voimaa vastaan työnδW b = NIδΦ (10.35)Ajatellaan ferromagneetti pätkäksi magneettista silmukkaa eli aluetta, jossamagneettikenttä poikkeaa nollasta. Tällöin kelan kohdalla Amperen kiertosäännönmukaan NI = ∮ H · dl. Merkitsemällä magneettisen silmukanpinta-alaa dl:n kohdalla A:lla saadaan∮∮∫δW b = δΦ H · dl = AδB · H dl = δB · H dV (10.36)Mikäli ferromagneetti käyttäytyy reversiibelisti, saadaan systeemin magneettinenenergia integroimalla magneettivuon tiheys arvosta B = 0 lopulliseenarvoonsa. Lineaariselle aineelle tulos on luvusta 8 tuttuU = 1 ∫H · B dV (10.37)2VV

130 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALITcbmagneettivuon tiheys BdBadmagnetoiva kenttä HKuva 10.4: Yksikkötilavuutta kohti tehty työ ferromagneettisessa syklissä.Lauseke 10.36 on kuitenkin yleisempi ja antaa oikean työn myös hystereesitilanteessa.Magneettikentän muutosta vastaava työ yksikkötilavuudessa ondw b = H · dB (10.38)Tarkastellaan nyt hystereesisykliä, joka alkaa H:n arvosta 0, kasvaa arvoonH max , pienenee arvoon −H max ja palaa sen jälkeen takaisin nollaan (kuva10.4).Työ kuvan 10.4 pisteestä a pisteeseen b(w b ) ab =∫baHdB (10.39)on hystereesikäyrän ab ja B-akselin välinen pinta-ala ja se on positiivinenkoska sekä H että dB ovat positiivisia. Vastaavasti (w b ) bc on B-akselinja käyrän bc välinen pinta-ala, mutta se pitää laskea negatiivisena, koskadB < 0. Samoin lasketaan työ negatiivisilla H ja lopputulos on, että yhdenhystereesisyklin myötä tehty työ on hystereesisilmukan sisään BH-tasossajäävä pinta-ala∮w b = HdB (10.40)Täyden syklin jälkeen ferromagneetin tila on sama kuin alussa, joten senmagneettinen energia on yhtä suuri kuin aluksi. Ulkoinen energianlähde onkuitenkin tehnyt työtä, joka on kulunut magneettisten alueiden uudelleenjärjestäytymiseen. Kyseessä on palautumaton SM-energian häviö lämmöksi.Tämän ilmiön vuoksi esimerkiksi muuntaja lämpenee. Yleensäkin hystereesihäviöton tärkeää huomioida rakennettaessa vaihtovirtalaitteita. Ylläoleva

10.7. EPÄLINEAARISET ENERGIAHÄVIÖT 131lasku tehtiin yhdelle hystereesisyklille, joten mitä korkeammalla taajuudellalaite toimii, sitä nopeammin hystereesi hävittää energiaa.Käytännössä ferromagneettinen sykli on usein mielekkäämpää käsitellämagneettikentän voimakkuuden H ja magnetoituman avulla ilman viittaustamagneettivuon tiheyteen B. Tämä onnistuu seuraavasti (B = µ 0 (H +M)):dw b = H · dB = µ 0 HdH+ µ 0 H · dM (10.41)Nyt termi µ 0 HdH on tyhjössä tehty työ, joka on nolla integroituna kokonaisensyklin yli ja termi µ 0 H · dM on materiaalille ominainen työ. Kokosyklin yli työ on siis∮∮w b = µ 0 HdM = −µ 0 MdH (10.42)missäonkäytetty hyväksi lauseketta d(MH)=HdM+M dH. Kokonaisdifferentiaalind(MH) integraali on nolla riippumatta aineen ominaisuuksista.

132 LUKU 10. SÄHKÖISET JA MAGNEETTISET MATERIAALIT

Luku 11Sähkömagneettiset aallotTämä luku käsittelee monokromaattisten sähkömagneettisten aaltojen etenemistäerilaisissa homogeenisissa väliaineissa (RMC luku 17; CL käsitteleeaaltoliikettä luvussa 10). Epähomogeenisuudet ja niistä aiheutuvat heijastumis-ja taittumisilmiöt käsitellään seuraavassa luvussa. SM-aaltojen spektrion erittäin laaja. Esimerkkejä löytyy hyvin matalista taajuuksista ainagamma-säteisiin, joiden taajuudet ovat suuruusluokkaa 10 20 − 10 22 Hz.11.1 Tasoaallot eristeessäEristeellä tarkoitetaan tässä yhteydessä niin huonosti johtavaa väliainetta,ettei sähkönjohtavuutta σ tarvitse huomioida (ωɛ >> σ). Tutkitaan aaltoyhtälönratkaisua monokromaattiselle aallolle, jolla on nimensä mukaisestivain yksi taajuus. Tämä tarkoittaa olennaisesti samaa kuin tarkastella aallonFourier-komponentteja erikseen. Tällöin on hyödyllistä käyttää kompleksilukuesitystäja kirjoittaa aikariippuvuus muodossa e −iωt , esimerkiksiE(r,t)=E(r)e −iωt (11.1)Etu on se, että aikaderivaatta korvautuu tekijällä −iω.Huom. Käytettäessä kompleksilukuesitystä fysikaalinen suure onkompleksisen suureen reaaliosa (voitaisiin myös käyttää imaginaariosaa).Tämä on erityisen tärkeätä pitää mielessä kerrottaessa kompleksisuureita.Ensin on laskettava loppuun asti kompleksiluvuilla ja otettava lopputuloksestareaaliosa.Huom. Kirjallisuudessa on yleisesti käytössä myös aikariippuvuus e +iωt .Aaltoyhtälö∇ 2 E − 1 c 2 ∂ 2 E∂t 2 = 0 (11.2)133

134 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTmonokromaattiselle aallolle on(∇ 2 + ω2)E(r) = 0 (11.3)c2 Tämä Helmholtzin yhtälö kuvaa aallon muutosta paikan funktiona. Oletetaan,että kenttä on riippumaton x- jay-koordinaateista. Tällöind 2 E(z)dz 2+ ω2E(z) = 0 (11.4)c2 Tämä on harmonisen värähtelijän yhtälö, jolla on ratkaisunaE(z) =E 0 e ±ikz (11.5)missä E 0 on vakiovektori ja k = ω/c eli aaltoluku. Aaltoyhtälöllä on siisratkaisunaE(r,t)=E 0 e −i(ωt∓kz) (11.6)jonka reaaliosa onE(r,t)=E 0 cos(ωt ∓ kz) =E 0 cos ω(t ∓ z/c) (11.7)Kyseessä on joko +z- tai −z-akselin suuntaan nopeudella c = 1/ √ ɛ 0 µ 0etenevä siniaalto. z-akselin valinta ei tässä ole rajoittava tekijä. Aaltolukuvoidaan esittää vektorina k, jolloin aallon paikkariippuvuus tulee muotoone ik·r .Edelläonkäytetty aaltoliikeopista tuttuja käsitteitä. Kulmataajuudenω yksikkö on radiaania sekunnissa. Vastaava värähtelytaajuus on f =ω/2π, jonka yksikkö on puolestaan hertsi (Hz). Aaltoluvun yksikkö onm −1ja vastaava aallonpituus on λ =2π/k. Aallon vaihenopeus on v p = ω/k,joka tyhjössä on sama kuin valon nopeus.Mikäli väliaineen µ ja ɛ poikkeavat tyhjön suureista, aallon vaihenopeudeksituleev = 1 √ ɛµ(11.8)Tällöin taajuuden ja aaltoluvun välinen relaatio eli dispersioyhtälö onmissä onmääritelty väliaineen taitekerroink = ω v = n c ω (11.9)n =√ ɛµɛ 0 µ 0(11.10)Taitekerroin on tärkeä parametri tarkasteltaessa aaltojen heijastumista jataittumista väliaineiden rajapinnoilla.

11.1. TASOAALLOT ERISTEESSÄ 135Muotoa e −i(ωt−k·r) olevia Maxwellin yhtälön ratkaisuja kutsutaan tasoaalloiksi.Mikäli yhtälöillä voidaan annetussa tilanteessa olettaa olevantasoaaltoratkaisuja, voidaan myös paikkaderivaatat korvata seuraavasti∇ → ik∇· → ik ·∇× → ik×Fysikaalisesti tasoaallolle voidaan löytää suunta, jota vastaan kohtisuoralla,mutta muuten mielivaltaisella tasolla aallon vaihe on annetulla hetkelläsama kaikissa tason pisteissä. Eristeessä tämä onyhtäpitävää sen kanssa,että kyseisillä tasoilla sähkö- ja magneettikentät ovat vakioita. Vaihenopeustarkoittaa puolestaan vakiovaiheen (k · r − ωt = vakio) etenemisnopeutta.Johtavissa väliaineissa vakiovaiheen ja vakiokenttien välinen relaatio onmonimutkaisempi.Oletetaan, ettei väliaineessa ole vapaita varauksia eikä virtoja. Tasoaalloillesaadaan Maxwellin yhtälöistä yhtälöryhmäk · D = 0k · B = 0k × E = ωB (11.11)k × H = −ωDHuom. RMC merkitsee tasoaallon kenttävektoreita lisäämällä niiden päällehatun (Ê), mutta tässä ei ole sekaannuksen vaaraa, kunhan muistetaan, ettänyt aika- ja paikkariippuvuudet ovat eksponenttifunktiossa. Silloin kun ontarpeen erotella tasoaallon vektori vektorista E(r,t), kirjoitetaan edellinenmieluummin E(k,ω) tai E k,ω , mikä viittaa siihen, että kenttä onmääriteltytietylle taajuudelle ja aaltoluvulle. On hyvä huomata myös, että E(k,ω)onyleisesti kompleksivektori.Oletetaan väliaine lineaariseksi ja kirjoitetaan ɛ = ɛ r ɛ 0 .Käytännössäkaikilla lineaarisilla väliaineilla µ = µ 0 on hyvä approksimaatio. SilloinMaxwellin yhtälöt tulevat muotoonɛ r k · E = 0k · B = 0k × E = ωB (11.12)k × B = − ω c 2 ɛ r EKoska tarkastelemme monokromaattisia aaltoja, voimme pitää taajuutta ωannettuna. Oletetaan, että ɛ r on tarkasteltavalle aineelle ominainen vakio.Vektorit k, E ja B ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan ja aaltoa kutsutaanpoikittaiseksi (transversaaliseksi) (kuva 11.1).

136 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTEkBKuva 11.1: Sähkömagneettisen tasoaallon sähkökenttä E ja magneettikenttäB ovat toisiaan ja etenemissuunnan ilmaisevaa aaltolukuvektoria k vastaankohtisuorassa ja muodostavat oikeakätisen kolmikon (E, B, k).Sähkö- ja magneettikentän välinen suhde seuraa Faradayn lakia vastaavastayhtälöstä: B =(k/ω)E. k:n itseisarvo saadaan laskemallak × (k × E) =ωk × B = −ɛ rω 2Toisaalta k × (k × E) =(k · E)k − k 2 E. Koska k · E =0,eli dispersioyhtälö saa muodonc 2 E (11.13)−ɛ rω 2c 2 E = −k2 E (11.14)k = √ ɛ rωc(11.15)Dispersioyhtälöä kutsutaan usein dispersiorelaatioksi. Se voidaan kirjoittaataitekertoimen n = √ ɛ r avullak = n ω c(11.16)Oikea aalto ei välttämättä ole monokromaattinen. Jos aalto koostuu joukostadiskreettejä taajuuksia ω i , Maxwellin yhtälöiden lineaarisuuden vuoksikokonaissähkökenttä voidaan esittää summanaE(r,t)= ∑ iE(k i ,ω i ) exp[−i(ω i t − k i · r)] (11.17)Vektoreita E(k i ,ω i ) kutsutaan aallon Fourier-komponenteiksi. Jos k ja ωkäsitellään jatkuvina, funktio E(k,ω)onE(r,t):n Fourier-muunnos (kertaaFYMM I:stä!).

11.2. AALTOJEN POLARISAATIO 13711.2 Aaltojen polarisaatioTarkastellaan seuraavaksi aaltojen polarisaatiota. Peruskurssilta tuttu lineaarinenpolarisaatio on helposti miellettävä ilmiö, mutta ympyräpolarisaatiokannattaa miettiä huolellisesti läpi. Asiaa ei lainkaan helpota, että vasen- jaoikeakätisyys määritellään eri lähteissä eri tavoin.Vektorit E(k,ω) ja B(k,ω) ovat kompleksivektoreita. Kirjoitetaan Eoikeakätisessä reaalisessa kannassa, jonka yksikkövektorit ovat (p, s, u)E(k,ω)=Êpp + Êss + Êuu (11.18)missä hattu viittaa kompleksilukuun. Koska tarkastelemme tasoaaltoa, onluonnollista valita u aallon etenemissuunnaksi, jolloin sähkökenttä on jokahetki ps-tasossaE(k,ω)=Êpp + Êss (11.19)Ilmaistaan vielä kompleksiset komponentit kompleksitason vaihekulman φavullaÊ p = E p e iφp ; Ê s = E s e iφs (11.20)missä E p ja E s ovat reaalilukuja. s-akselin suunta voidaan valita vapaasti(kunhan se on kohtisuorassa u-akseliin), joten φ s voidaan asettaa nollaksi jaottaa käyttöön merkintä φ p = φ. Niinpä (k,ω)-avaruuden sähkökenttä onE(k,ω)=E p e iφ p + E s s (11.21)ja sitä vastaava (r,t)-avaruuden kenttä puolestaanE(r,t)=E p pe −i(ωt−k·r−φ) + E s se −i(ωt−k·r) (11.22)Aallon fysikaalinen sähkökenttä ontämän reaaliosaE(r,t)=E p p cos(ωt − k · r − φ)+E s s cos(ωt − k · r) (11.23)Aallon sähkökentällä on kaksi komponenttia, joiden reaaliset amplituditE p ja E s voivat olla eri suuria ja lisäksi komponentit voivat värähdelläeri vaiheessa vaihe-eron ollessa φ. Tarkastellaan muutamaa erikoistapausta.Valitaan kaikissa tilanteissa tarkastelupisteeksi r = 0. (Piirrä itse kuvakaikista tapauksista!)1. Komponentit samassa vaiheessa φ =0.TällöinE(0,t)=(E p p + E s s) cos ωt (11.24)√√Sähkökenttä värähtelee Ep 2 + Es 2 :sta − Ep 2 + Es 2 :een osoittaen kokoajan suuntaan E p p+E s s.Tämä onlineaarinen polarisaatio. Lineaarinenpolarisaatio on kyseessä myös, jos E p = 0 tai E s = 0, koskasilloin aalto värähtelee toisen koordinaattiakselin suunnassa. Myös 180asteen vaihe-ero antaa lineaarisen polarisaation (E p →−E p ).

138 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT2. Vaihe-ero φ = ±π/2. TällöinE(0,t)=±E p p sin ωt + E s s cos ωt (11.25)Nyt sähkökenttävektori pyörii ps-tasossa piirtäen ellipsin joko myötätaivastapäivään riippuen katselusuunnasta. Tämä onelliptinen polarisaatio.3. Vaihe-ero φ = ±π/2 ja E p = E s .Tällöin ellipsi palautuu ympyräksija kyseessä ympyräpolarisaatioJos vaihe-ero on jotain muuta kuin φ = ±π/2, kyseessä on aina elliptinenpolarisaatio (mahdollisesti surkastunut lineaariseksi).Tarkastellaan sitten sähkökentän pyörimissuuntaa. Rajoitutaan yksinkertaisuudenvuoksi ympyräpolarisaatioon. Jos yllä φ = +π/2, pyörii aallonsähkökenttä myötäpäivään, kun katsotaan kohti saapuvaa aaltoa. Optiikassatätä kutsutaan oikeakätisesti polarisoituneeksi aalloksi. Jospyörimistä tarkastellaan aallon etenemissuuntaan, se kuitenkin näyttää toteuttavanvasemman käden kiertosäännön. Tarkasteltaessa sähkömagneettisten,esim. radioaaltojen ominaisuuksia magnetoituneessa johtavassa väliaineessa(esim. plasmassa) tällaista aaltoa kutsutaankin vasenkätisesti polarisoituneeksi.Tämä valinta on sikäli johdonmukainen, että näin polarisoitunutaalto muodostaa avaruudessa vasenkätisen ruuvin. Aallolla sanotaanolevan negatiivinen helisiteetti ja voidaan puhua negatiivisesti polarisoituneestaaallosta. Vastaavasti φ = −π/2 antaa päinvastaiset nimitykset.Meidän ei tarvitse tällä kurssilla murehtia oikea- tai vasenkätisyyksiensekamelskasta, mutta asia on hyvä tietää vastaisen varalta.Todetaan vielä, että mielivaltainen elliptinen polarisaatio voidaan hajottaaeri vaiheissa värähtelevien oikea- ja vasenkätisesti polarisoituneidenaaltojen summaksi. Esimerkiksi lineaarinen polarisaatio on summa kahdestaeri suuntiin pyörivästä samanamplitudisesta komponentista.11.3 Sähkömagneettisen aallon energiaKompleksisen sähkö- tai magneettikentän reaaliosa on fysikaalinen mitattavakenttä. Koska Maxwellin yhtälöt ovat lineaariset kenttien suhteen jatoteutuvat siten erikseen reaali- ja imaginaariosille, tästä ei tullut edelläongelmia. Kenttien energiat ja Poyntingin vuo ovat kuitenkin vektoreidentuloja, jolloin reaali- ja imaginaariosat sekoittuvat toisiinsa eli Re (A · B) ≠Re A · Re B. Niinpä on syytä ottaa ensin suureiden reaaliosat ja kertoa nevasta sitten keskenään.

11.3. SÄHKÖMAGNEETTISEN AALLON ENERGIA 139Tarkastellaan aaltoa pisteessä r =0.Tällöin E(0,t)=E p p cos(ωt− φ)+E s s cos(ωt) jaE 2 = Ep 2 cos 2 (ωt − φ)+Es 2 cos 2 (ωt) (11.26)B 2 = (n/c) 2 E 2 = ɛµ 0 E 2 (11.27)Koska D = ɛE ja B = µ 0 H,onB · H = D · E, joten tasoaallon energiatiheysonu w = ɛE 2 = 1 ( ) n 2E 2 (11.28)µ 0 cToisaalta E×H = EH u, joten Poyntingin vektori osoittaa aallon etenemissuuntaanja on suuruudeltaanS = 1 nµ 0 c E2 (11.29)Tasoaaltojen energiatiheys ja energiavuo pinta-alayksikköä kohti saavat siishyvin yksinkertaiset lausekkeet ja lisäksiS = c n u w (11.30)Jos vaihenopeutta käsitellään aallon etenemissuuntaisena vektorina v p , voidaankirjoittaaS = u w v p (11.31)Tasoaallon Poyntingin vuo voidaan siis ymmärtää energiatiheyden etenemisenävaihenopeuden mukana.Tasoaallon energiatiheys u w ja energiavuo S ovat verrannollisia suureeseenE 2 . Ympyräpolarisoituneelle aallolle (φ = ±π/2)E 2 = E 2 p sin 2 ωt + E 2 p cos 2 ωt = E 2 p (11.32)joka on vakio. Lineaarisesti polarisoituneelle aallolle (φ =0,π) puolestaanE 2 =(E 2 p + E 2 s ) cos 2 ωt (11.33)joka vaihtelee nollan ja maksiminsa välillä kaksi kertaa aallon taajuudella.Sähkömagneettisen aallon mukanaan viemää energiaa tarkastellaan useinkorkeataajuisten aaltojen tapauksessa. Tällöin E 2 :n aikakeskiarvo on tärkeämpisuure kuin sen ajallinen vaihtelu. Koska cos 2 (ωt − φ):n keskiarvoyhden jakson aikana on 1/2, kaikilla polarisaatioilla〈E 2 〉 = 1 2 (E2 p + E 2 s ) (11.34)Tämän voi kirjoittaa myös kompleksisen E-vektorin avulla〈E 2 〉 = 1 2 Re(E∗ · E) (11.35)

140 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTmissä ∗ viittaa kompleksikonjugaattiin. Tämä lauseke kertoo myös, että kokoongelma voidaan käsitellä alusta loppuun kompleksisena, mutta silloin mitattavatsuureet on käsiteltävä jakson yli otettuina keskiarvoina.Sähkömagneettisella kentällä on energian lisäksi liikemäärää ja impulssimomenttia.SM-aallot kuljettavat myös näitä suureita mukanaan.11.4 Tasoaallot johteessaLineaarisessa homogeenisessa väliaineessa, jossa ei ole vapaita varauksia (µ,ɛ ja σ ovat vakioita ja ∇·D = 0) aaltoyhtälöt saavat muodon (HT)∇ 2 H − ɛµ ∂2 H∂t 2∇ 2 E − ɛµ ∂2 E∂t 2− σµ∂H ∂t− σµ∂E ∂t= 0 (11.36)= 0 (11.37)Nämä yhtälöt ovat seurausta Maxwellin yhtälöistä. Päinvastainen ei kuitenkaanole totta. Yhtälöillä on ratkaisuja, jotka eivät välttämättä toteutaMaxwellin yhtälöitä, joten ratkaisujen fysikaalisuus on tarkastettava erikseenkäytännön ongelmissa.Sähkökentän aaltoyhtälöä (11.37) kutsutaan lennätinyhtälöksi. Se onstandardiesimerkki osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta Fouriermuunnostenavulla. Tehdään tässä sama ratkaisu oikaisemalla sikäli, ettäoletetaan tasoaaltoratkaisu ja lähdetään liikkeelle Maxwellin yhtälöistä, jolloink · E = 0k · H = 0k × E = ωµH (11.38)ik × H = (σ − iωɛ)EKoska k ⊥ E, k ⊥ H ja E ⊥ H, niin aalto on jälleen poikittainen.Valitaan koordinaatisto siten, että k ‖ e z , E ‖ e x ja H ‖ e y .TällöinkE x = ωµH yikH y = −(σ − iωɛ)E x (11.39)Tästä (tai suoraan aaltoyhtälöstä) saadaan dispersioyhtälö k = k(ω):k 2 = ɛµω 2 + iσµω (11.40)

11.4. TASOAALLOT JOHTEESSA 141k on kompleksiluku, joka voidaan kirjoittaa muodossa k = |k|e iα ja dispersioyhtälöstävoidaan ratkaista√|k| = µω √ ɛ 2 ω 2 + σ 2α = 1 2 arctan( σɛω ) (11.41)Lennätinyhtälön ratkaisu harmonisille aalloille on siisE = E 0 e x e i(Re(k)z−ωt) e −Im(k)z= E 0 e x exp[i(|k|z cos α − ωt)] exp[−|k|z sin α] (11.42)Tässä on valittava α:n vaihe siten, että Im(k) > 0 eli sin α>0 (HT: piirräkuva kompleksitasossa). Tällöin aalto vaimenee edetessään väliaineeseen(tekijä e −|k|z sin α ), mikä on fysikaalisesti mielekäs ratkaisu. Vaihenopeudeksitulee nytv p =ωRe(k) =ω|k| cos α(11.43)Etäisyys, jolla aallon amplitudi vaimenee tekijällä e, onväliaineen tunkeutumissyvyys(skin depth):δ = 1Im(k) = 1|k| sin α(11.44)Väliaineen impedanssi (aaltovastus) määritelläänZ = E xH y= µω k√= µω√ɛ 2 ω 2 + σ exp[− i 2 2 arctan( σ )] (11.45)ɛωImpedanssin yksikkö on vastus: [Z] = Ω (kertaa impedanssin, admittanssinja reaktanssin käsitteet KSII:sta tai lue RMC:n luku 13).Esimerkkejä√21) Hyvä johde: σ>>ɛω ⇒ α =45 ◦ ; δ =µσωv p = δω tan α = δω{f =50Hz δ ≈ 1cm vp ≈ 3m/sKuparille:f = 50 MHz δ ≈ 10 µm v p ≈ 3 × 10 3 m/sZ =√ µωσ e−iπ/4 ⇒ 45 ◦ vaihe-ero E:n ja H:n välillä.2) Eriste: σ =0,ɛ>0, µ = µ 0

142 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT⇒ α = 0 eli aalto ei vaimene tunkeutuessaan eristeeseen!√ √ µ0Z =ɛ ≡ Z ɛ00ɛ ,√ µ0missä Z 0 on tyhjön impedanssi: = 376.73 Ω.ɛ 0Yksinkertaisella laskulla voidaan osoittaa, että aallon Fourier-komponenttienyhtälöryhmä (11.38) voidaan palauttaa yhtälöryhmän (11.12) kaltaiseksikirjoittamallaɛ r k · E = 0k · B = 0k × E = ωB (11.46)k × B = − ω c 2 ˆɛ r Emissä on otettu käyttöön kompleksinen dielektrisyysvakio ˆɛ rˆɛ r = ɛ r + iσɛ 0 ω(11.47)Nyt myös taitekerroin kannattaa määritellä kompleksilukunaˆn 2 =ˆɛ r (11.48)Tällöin kompleksinen aaltoluku ˆk toteuttaa yhtälönˆk 2 = ˆn2 ω 2c 2 (11.49)11.5 PalloaallotTasoaalto on erittäin käyttökelpoinen matemaattinen idealisaatio. Todellisuudessasähkömagneettinen aalto kuitenkin synnytetään esimerkiksi äärellisenkokoisella antennilla. Antennin lähellä sähkö- ja magneettikenttienrakenne on hyvinkin monimutkainen ja riippuu käytetyn antennin geometriasta.Kun aalto lähtee etenemään avaruuteen, se laajenee ja tarkasteltaessaaaltorintamaa riittävän pienellä alueella se näyttää tasoaaltorintamalta.Joskus on kuitenkin tarpeen ottaa huomioon aaltorintaman globaali muoto.Tarkastellaan esimerkkinä origosta joka suuntaan eteneviä pallonmuotoisiaaaltorintamia, palloaaltoja. Periaatteessa ongelma ratkaistiin jo luvussa 9,jossa johdettiin viivästyneet potentiaalit ja myös palloaallon Greenin funktio.Emme kuitenkaan laskeneet itse kenttiä, sillä derivaattojen laskeminenviivästyneistä potentiaaleista on aika työläs tehtävä.

11.5. PALLOAALLOT 143Tyhjössä etenevän SM-aallon sähkökentän aaltoyhtälö on∇ 2 E − 1 ∂ 2 Ec 2 ∂t 2 = 0 (11.50)josta monokromaattiselle aallolle tulee vektorimuotoinen Helmholtzin yhtälö( ) ω 2∇ 2 E(r)+ E(r) = 0 (11.51)cNyt sähkökenttä pitäisi esittää pallokoordinaattien avulla. Ongelmaksi tuleetermin ∇ 2 E = −∇×∇×E + ∇∇ · E kirjoittaminen pallokoordinaateissa.Termin −∇ × ∇ × E radiaalikomponentissa ovat mukana myös muut pallokoordinaatistonmuuttujat ja samoin käy atsimutaali- ja napakulman komponenteille.Lopputulos on kolmen osittaisdifferentiaaliyhtälön ryhmä, joissakaikissa on mukana kaikki sähkökentän komponentit. VektorimuotoinenLaplacen yhtälö voidaan separoida kunkin muuttujan erillisiksi differentiaaliyhtälöiksivain karteesisissa koordinaateissa.Tarkastellaan tämän ongelman ratkaisemiseksi skalaarimuotoista Helmholtzinyhtälöä( ) ω 2∇ 2 ψ + ψ = 0 (11.52)cNyt on suoraviivainen harjoitustehtävä osoittaa, ettäE = r ×∇ψ (11.53)on (11.51):n ratkaisu, ja ∇·E = 0. Magneettikenttä on valittava siten, ettäse yhdessä sähkökentän kanssa toteuttaa Maxwellin yhtälöt. KirjoitetaanFaradayn laki muodossa∇×E = iωB (11.54)jolloinB = − i ∇×(r ×∇ψ) (11.55)ωmikä toteuttaa loput Maxwellin yhtälöt tyhjössä (HT). Voisimme aivan yhtähyvin lähteä liikkeelle B-kentän aaltoyhtälöstä jalöytää ratkaisuparinB ′ = 1 r ×∇ψc(11.56)E ′ = ic ∇×(r ×∇ψ)ω(11.57)Ratkaisuparissa (E, B) sähkökenttä on jokaisessa pisteessä tangentiaalinenorigokeskisen pallon pinnan kanssa. Tätä aaltoa kutsutaan joskus transversaaliseksisähköiseksi (TE) moodiksi. Ratkaisuparissa (E ′ , B ′ ) magneettikentälläon puolestaan sama ominaisuus ja aaltoa kutsutaan transversaaliseksimagneettiseksi (TM) moodiksi. (HT: piirrä kuvat!)

144 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOTNyt on vielä löydettävä ψ Helmholtzin skalaariyhtälön ratkaisuna. Tässäkäytetään Laplacen yhtälön ratkaisemisesta tuttua muuttujien separointiapallokoordinaatistossa (luku 2). Ratkaistava yhtälö on pallokoordinaateissa(1 ∂r 2 ∂rr 2 ∂ψ∂r)+1r 2 sin θ(∂∂θsin θ ∂ψ∂θ)+Erona Laplacen yhtälöön on siis termi k 2 ψ.1 ∂ 2 ψr 2 sin 2 θ ∂φ 2 + k2 ψ = 0 (11.58)Tehdään tällä kertaa separointiyrite ψ = R(r)Θ(θ)Φ(φ). Sijoitetaan tämäylläolevaan yhtälöön. Jaetaan tulos vielä ψ:llä ja kerrotaan tekijällä r 2 sin 2 θ,mikä antaa yhtälön1R sin2 θ d dRr2dr dr + 1 Θ sin θ d dΘsin θdθ dθ + 1 d 2 ΦΦ dφ 2 + k2 r 2 sin 2 θ = 0 (11.59)φ-riippuvuuden osalta separointi antaa saman yhtälön kuin Laplacen yhtälöntapauksessad 2 Φ mdφ 2 + m 2 Φ m = 0 (11.60)θ- jar riippuvat yhtälöt ovat puolestaan1sin θddθ sin θ dΘ [lm+ l(l +1)−dθm2sin 2 θ]Θ lm = 0 (11.61)ddr r2 dR ldr − [l(l +1)− k2 r 2 ]R l = 0 (11.62)Nyt yhtälön (11.60) ratkaisut ovat tietenkin muotoa Φ m = e ∓imφ ja yhtälön(11.61) ratkaisut ratkaisut ovat tutut Legendren liittofunktiot (luku 2). Termik 2 ψ muuttaa siis ainoastaan radiaalista yhtälöä (11.62), jonka ratkaisutsaadaan tekemällä ensin muuttujanvaihdos ξ = kr, jolloinddξ ξ2 dR ldξ − [l(l +1)− ξ2 ]R l = 0 (11.63)Tästä saadaan Besselin yhtälö sijoituksella R l = ξ −1/2 Z l :ξ 2 d2 Z ldξ 2+ ξ dZ ldξ − [(l +1/2)2 − ξ 2 ]Z l = 0 (11.64)Tämä on yksi matemaattisen fysiikan tärkeimpiäyhtälöitä, jonka ratkaisuinaovat Besselin ja Neumannin funktiot J l+1/2 (kr) jaN l+1/2 (kr). Pallokoordinaatistossanäistä muodostetaan erityisiä pallobesseleitäj l (kr) =n l (kr) =√π/2kr J l+1/2 (kr)√(11.65)π/2kr N l+1/2 (kr) (11.66)

11.5. PALLOAALLOT 145Pallobesselit ovat alkeisfunktioita, joten niitä ei tarvitse pelätä: esimerkiksij 0 (r) = sin r/r, n 0 (r) =− cos r/r. Jääköön näiden enempi pohdiskelukuitenkin FYMM II:n huoleksi.Nyt meillä on koossa yleinen ratkaisu skalaarimuotoiselle Helmholtzinyhtälölle muodossa√ψ lm = π/2kr Z l (kr) Pl m (cos θ) e ∓imφ (11.67)Sijoittamalla tämä TE- tai TM-moodin kenttien lausekkeisiin saadaan niidenpaikkariippuvuus. Yksinkertaisin fysikaalisesti mielenkiintoinen valinta onψ 10 = 1 [kr eikr 1+ i ]cos θ (11.68)krjosta saadaan TE-moodille[ 1E = r ×∇ψ 10 = −E 0 e ikr kr + i ]k 2 r 2 sin θ e φ (11.69)jaB = −i 1 ∇×E (11.70)ω= i {[ 1ω E 0e ikr kr 2 + i ][ ik 2 r 3 2 cos θ e r −r − 1kr 2 − i ] }k 2 r 3 sin θ e θTulemme myöhemmin näkemään, että tämä on magneettisen dipoliantenninsäteilemä aaltokenttä.

146 LUKU 11. SÄHKÖMAGNEETTISET AALLOT

Luku 12Aaltojen heijastuminen jataittuminenTarkastelemme tässä luvussa sähkömagneettisten aaltojen heijastumis- jataittumisominaisuuksia erilaisten väliaineiden rajapinnalla, ja lopuksi tutustutaanyksinkertaiseen dispersiivisen väliaineen malliin. Rajoitumme monokromaattisiinaaltoihin ja oletamme väliaineet lineaarisiksi ja magnetoitumattomiksi(µ = µ 0 ) koko luvun ajan, ellei toisin mainita. Oppimateriaalinaon RMC:n luku 18, CL käsittelee asiaa luvussa 10.4; esitiedot KSIII luku 5.12.1 Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalleTarkastellaan ensin aallon heijastumista kahden eristeen rajapinnalla, kunaalto saapuu kohtisuoraan pintaa vastaan, siis aaltovektori on pinnan nor-xE 1B 2B 1E 2B 1´ E 1´yzKuva 12.1: Heijastuminen ja läpäisy kohtisuoraan xy-tasolle saapuvalle aallolle.147

148 LUKU 12. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENmaalin suuntainen (kuva 12.1). (E 1 , B 1 ) kuvaa +z-akselin suuntaan etenevääsaapuvaa aaltoa, (E ′ 1 , B′ 1 ) −z-akselin suuntaan etenevää heijastunuttaaaltoa ja (E 2 , B 2 ) rajapinnan läpäissyttä aaltoa. Rajapinta on xy-tasossa.Oletetaan, että aallon sähkökenttä on lineaarisesti polarisoitunut x-akselinsuuntaan, jolloinE 1 = e x E 1x e i(k 1z−ωt)E ′ 1 = −e x E 1xe ′ −i(k 1z+ωt)E 2 = e x E 2x e i(k 2z−ωt)(12.1)missä k 1 = n 1 ω/c, k 2 = n 2 ω/c. Magneettikenttä saadaan Faradayn laistaseuraavasta relaatiosta B =(n/c)u×E, missä u = e z tulevalle ja läpäisseelleaallolle ja u = −e z heijastuneelle aallolle. Magneettikentät ovat y-akselinsuuntaiset:cB 1 = e y n 1 E 1x e i(k 1z−ωt)cB ′ 1 = e y n 1 E 1xe ′ −i(k 1z+ωt)cB 2 = e y n 2 E 2x e i(k 2z−ωt)(12.2)Kaikilla aalloilla on oltava sama kulmataajuus ω, jotta reunaehdot rajapinnallatoteutuisivat kaikilla ajanhetkillä t. Sähkökentän tangentiaalikomponenttion jatkuva, jotenE 1x − E 1x ′ = E 2x (12.3)Sama pätee epämagneettisessa väliaineessa (µ = µ 0 )myös magneettikentälle.Koska magneettikenttä voidaan ilmaista sähkökentän avulla, saadaan jatkuvuusehdoksin 1 (E 1x + E 1x) ′ =n 2 E 2x (12.4)Oletetaan saapuvan aallon amplitudi tunnetuksi ja ratkaistaan heijastuneenja läpäisseen aallon amplitudit:E 1x ′ = n 2 − n 1E 1x ; E 2x = 2n 1E 1x (12.5)n 2 + n 1 n 2 + n 1Määritellään Fresnelin kertoimet kohtisuoraan tulevalle aallolle:r 12 = E′ 1x= n 2 − n 1(12.6)E 1x n 2 + n 1t 12 = E 2x= 2n 1(12.7)E 1x n 2 + n 1missä r viittaa heijastumiseen (reflection) ja t läpäisyyn (transmission).Käytännön ongelmissa mitataan yleensä kunkin osa-aallon mukana kulkevaakeskimääräistä energiavuota pinta-alayksikköä kohti eli intensiteettiä.Se saadaan Poyntingin vektorista luvun 11.3 mukaisesti〈S〉 =n2µ 0 c (E2 p + E 2 s ) (12.8)

12.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 149Tässä käsitellyssä tapauksessa valitaan E p = E x ja E s =0.Määritellään nytheijastussuhde (reflektanssi) R n ja läpäisysuhde (transmittanssi) T n (nviittaa normaalin suuntaiseen saapumiseen) seuraavastiR n = 〈S′ 1 〉〈S 1 〉 = r2 12 =( n 2 − n 1) 2 (12.9)n 2 + n 1T n = 〈S 2〉〈S 1 〉 = n 2t 2 12 = 4n 2n 1n 1 (n 2 + n 1 ) 2 (12.10)Mille hyvänsä eristeparille R n + T n = 1, mikä ilmaisee energian säilymisen.Elliptiselle polarisaatiolle on tarkasteltava erikseen x-jay-komponentteja.x-komponenteille pätee yllä oleva tarkastelu sellaisenaan ja y-komponenteilletulee samat Fresnelin kertoimet. Myös y-komponentit pysyvät samassa vaiheessakeskenään, vaikka ne ovatkin eri vaiheessa kuin x-komponentit. Myösheijastus- ja läpäisysuhteet pysyvät ennallaan sillä intensiteetti 〈S〉 on eripolarisaatiokomponenttien intensiteettien summa.Esimerkkejä1. Ilman (n 1 = 1) ja lasin (n 2 =1.5) rajapinnalla R n =0.04 ja T n =0.96.2. Puhtaan veden taitekerroin näkyvän valon aallonpituudella on n 2 =1.33, joten R n =0.02. Kun ω on alle 10 11 s −1 , veden suhteellinen permittiivisyyson kuitenkin suuri K 2 = 81, joten n 2 =9jaR n =0.64.Vesi siis heijastaa huomattavasti tehokkaammin radioaaltoja kuin valoa.Paremmin sähköä johtavalle merivedelle heijastussuhde on paljonsuurempi.12.2 Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassaTarkastellaan sitten mielivaltaista saapumiskulmaa. Kuva 12.2 esittää tilannetta,jossa rajapinta on xy-tasossa ja saapuvan aallon aaltovektori xztasossa(saapumistasossa). Aaltojen polarisaation tarkastelemiseksi valitaanjokaiselle osa-aallolle jälleen {p, s, u}-kanta, jolloin kuvan tilanteessakullakin aallolla on vain sähkökentän p-komponentti.E 1 = p 1 Ê 1p e i(k 1·r−ωt)E ′ 1 = p ′ 1Ê′ 1pe i(k′ 1·r+ωt) (12.11)E 2 = p 2 Ê 2p e i(k 2·r−ωt)Koska kunkin osa-aallon magneettikenttä on kohtisuorassa sekä k- että p-vektoreihin nähden, magneettikentällä onvains-komponentti ja se on tässägeometriassa kaikilla osa-aalloilla y-akselin suuntainen.

150 LUKU 12. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENxk’ 1k 2E’1E 2θ’ 1θ 1n = e zθ 2zKuva 12.2: Heijastuminen ja taittuminen p-polarisaatiolle.Vaikka kuva 12.2 näyttää erikoistapaukselta, kyseessä on toinen kahdestaperustilanteesta. Olkoon n = e z rajapinnan yksikkönormaali. Jotta aaltokenttäolisi jatkuva rajapinnalla, täytyy aaltojen taajuuden lisäksi myösvaiheiden olla samat missä hyvänsä rajapinnan pisteessä r 0 , jotenTästä on helppo (HT) näyttää, ettäk 1 · r 0 = k ′ 1 · r 0 = k 2 · r 0 (12.12)n × k 1 = n × k ′ 1 = n × k 2 (12.13)Siis kaikki k-vektorit ja n ovat kohtisuorassa vektoria (n×k 1 )/|n×k 1 | = e ykohtaan, joten kaikkien osa-aaltojen aaltovektorit ovat samassa tasossa.Muistisääntönä p-komponentti viittaa saapumistasossa olevaan komponenttiin(parallel). Käytämme tällaisesta polarisaatiosta nimitystä p-polarisaatio.Radioaaltojen yhteydessä tätä kutsutaan myös vertikaaliseksipolarisaatioksi, sillä tarkasteltaessa radioaallon heijastumista ionosfääristänäin polarisoituneen aallon sähkökentällä on pystykomponentti.Toinen peruspolarisaatio on s-polarisaatio tai horisontaalinen polarisaatio,jossa sähkökentällä on vain s-komponentti. s viittaa saksankielensanaan senkrecht (kohtisuora). Tällöin puolestaan osa-aaltojen magneettikentilläon erisuuntaiset p-komponentit. Koska kaikki muut polarisaatiotilatvoidaan ilmaista eri vaiheissa värähtelevien s- jap-polarisoituneiden aaltojensummana, riittää tarkastella näitä kahta perustapaustaEhdosta (12.12) seuraa kaksi muutakin tärkeää tulosta. Ensinnäkink 1 · n = k 1 cos θ 1k ′ 1 · n = −k 1 ′ cos θ 1 ′ (12.14)k 2 · n = k 2 cos θ 2

12.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 151joten|k 1 × n| = k 1 sin θ 1|k ′ 1 × n| = k 1 ′ sin θ 1 ′ (12.15)|k 2 × n| = k 2 sin θ 2Niinpä on oltavak 1 sin θ 1 = k ′ 1 sin θ ′ 1 = k 2 sin θ 2 (12.16)Koska saapuva ja heijastunut aalto etenevät samalla taajuudella samassaväliaineessa, k 1 = k 1 ′ ja saamme heijastuslainsin θ 1 = sin θ ′ 1 eli θ 1 = θ ′ 1 (12.17)Aaltolukuja eri väliaineissa puolestaan sitoo dispersioyhtälö k = nω/c, jotenolemme saaneet Snellin lainn 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (12.18)HUOM! Näissä relaatioissa ei ole käytetty Maxwellin yhtälöistä seuraaviareunaehtoja, vaan ne riippuvat aaltoliikkeen yleisistä geometrisista ominaisuuksistaja Snellin lain osalta väliaineen taitekertoimesta.Fresnelin kertoimien määrittämiseksi tarkastellaan kenttien tangentiaalikomponenttienjatkuvuusehtoja. Normaalikomponenttien jatkuvuusehdottoteutuvat automaattisesti. Vektorikenttä voidaan hajottaa normaali- ja tangentiaalikomponentteihinkirjoittamalla E =(n · E)n − n × (n × E). Tangentiaalikomponentinjatkuvuus tarkoittaa, ettäMagneettikentälle puolestaan (kun µ = µ 0 )n × (E 1 + E ′ 1)=n × E 2 (12.19)n × (B 1 + B ′ 1)=n × B 2 (12.20)Jos aaltovektorin suuntainen yksikkövektori on u, niin B =(n/c)u × E,joten magneettikentän jatkuvuus edellyttään 1 n × (u 1 × E 1 + u ′ 1 × E ′ 1)=n 2 n × (u 2 × E 2 ) (12.21)Kirjoittamalla vektorikolmitulot auki ja tarkastelemalla s-komponenttia saadaanosa-aallolle E 1 yhtälön × (u 1 × E 1s )=− cos θ 1 E 1s (12.22)ja vastaavasti muille osa-aalloille. Näin (12.21) saadaan muotoonn 1 (cos θ 1 E 1s − cos θ ′ 1E ′ 1s) =n 2 cos θ 2 E 2s (12.23)

152 LUKU 12. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENKoska θ 1 = θ 1 ′ ,tämä sievenee muotoonn 1 cos θ 1 (E 1s − E ′ 1s) =n 2 cos θ 2 E 2s (12.24)Sähkökentän tangentiaalikomponentin jatkuvuudesta saadaan suoraan s-komponenteille ehtoE 1s + E ′ 1s = E 2s (12.25)Näistä yhtälöistä saadaan Fresnelin kertoimet s-polarisaatiollemissäE ′ 1s = r 12s E 1s , E 2s = t 12s E 1s (12.26)r 12s = n 1 cos θ 1 − n 2 cos θ 2n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2(12.27)t 12s =2n 1 cos θ 1n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2(12.28)p-polarisaatio näyttää geometrialtaan hankalammalta, koska sähkökenttä eiole rajapinnan tasossa. Mutta nyt voidaankin tarkastella magneettikenttää,joka on rajapinnan tasossa. Näin saadaan yhtälöpari1cos θ 1 (B 1s − B ′n1s)1= 1 cos θ 2 B 2sn 2(12.29)B 1s + B ′ 1s = B 2s (12.30)ja Fresnelin kertoimet saadaan ehdostamissäB ′ 1s = r 12p B 1s , B 2s = n 2n 1t 12p B 1s (12.31)r 12p = n 2 cos θ 1 − n 1 cos θ 2(12.32)n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 22n 1 cos θ 1t 12p =(12.33)n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2Koska Snellin laki 12.18 sitoo taitekertoimet saapumis- ja taittumiskulmiin√cos θ 2 = 1 − (n 1 /n 2 ) 2 sin 2 θ 1 (12.34)voidaan taittumiskulma eliminoida Fresnelin kertoimista.Intensiteettien väliset relaatiot saadaan keskimääräisten Poyntingin voidenavulla, mutta nyt täytyy käsitellä s- jap-polarisaatiot erikseen.R s = n ·〈S′ 1s 〉n ·〈S 1s 〉R p = n ·〈S′ 1p 〉n ·〈S 1p 〉T s = n ·〈S 2s〉n ·〈S 1s 〉T p = n ·〈S 2p〉n ·〈S 1s 〉(12.35)(12.36)

12.2. SAAPUVA AALTO MIELIVALTAISESSA KULMASSA 153jotka Fresnelin kertoimien avulla saavat muodonja lisäksi R s + T s =1,R p + T p =1.R s = r12s 2 T s = n 2 cos θ 2t 2 12sn 1 cos θ 1(12.37)R p = r12p 2 T p = n 2 cos θ 2t 2 12pn 1 cos θ 1(12.38)Käyttämällä hyväksi Snellin lakia Fresnelin kertoimet voi muuntaa puhtaastitrigonometrisiksi (HT)r 12s = sin(θ 2 − θ 1 )sin(θ 2 + θ 1 )t 12s = 2 cos θ 1 sin θ 2sin(θ 2 + θ 1 )r 12p = tan(θ 1 − θ 2 )tan(θ 1 + θ 2 )2 cos θ 1 sin θ 2t 12p =sin(θ 1 + θ 2 ) cos(θ 1 − θ 2 )(12.39)(12.40)(12.41)(12.42)Tarkastellaan näiden avulla paria esimerkkiäBrewsterin kulmaMillä kulmilla aalto ei lainkaan heijastu rajapinnalta? Molemmille polarisaatioilletämä tapahtuu tietenkin kun θ 1 = θ 2 , mutta tämä ei ole kovin mielenkiintoinentapaus, koska silloin molemmilla väliaineilla on oltava samataitekerroin. p-polarisaation kyseessä ollen myös tapaus θ 1 + θ 2 = π/2 tekeeheijastuskertoimesta nollan. Taittuneen ja heijastuneen säteen välinen kulmaon silloin suora. Merkitään sisääntulokulmaa θ B ja kirjoitetaan θ 2 =π/2 − θ B , jolloin Snellin laista saadaan ratkaistuksitan θ B = n 2n 1(12.43)Kulmaa kutsutaan Brewsterin kulmaksi. Koska tämä ehto on voimassavain p-polarisaatiolle (vertikaaliselle polarisaatiolle), tämän avulla voidaantuottaa polarisoitunutta valoa. Esimerkiksi ilman (n = 1) ja lasin (n =1.5)rajapinnalla θ B =56 ◦ ja tässä kulmassa rajapinnalle tulevasta polarisoitumattomasta(tai mielivaltaisesti polarisoituneesta) valosta heijastuu vains-polarisoitunut komponentti.

154 LUKU 12. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENKokonaisheijastusAalto heijastuu kokonaan, jos θ 2saadaan jälleen Snellin laista= π/2. Sitä vastaava sisääntulokulmasin θ c = n 2(12.44)n 1Tätä kutsutaan kriittiseksi kulmaksi. Tämä kulma on reaalinen vain, josn 2 1 (12.45)jolla ei ole reaalisia ratkaisuja. Tarkastelemalla kompleksisia Fresnelin kertoimiavoidaan näyttää, että R s = R p = 1 kaikille θ 1 ≥ θ c . Fysikaalisestitämä merkitsee, että kriittistä kulmaa suuremmilla saapumiskulmilla kaikkiaallon energia heijastuu. Tästä onhyötyä käytännön optiikassa, kutenprismakiikareissa ja valokaapeleissa.12.3 Druden ja Lorentzin oskillaattorimalliDispersiivisessä väliaineessa dispersioyhtälö on yksinkertaista lineaaristarelaatiota ω =(c/n)k monimutkaisempi. Aineen eristeominaisuudet voivatriippua taajuudesta ja aaltoluvusta: ɛ = ɛ(ω, k). Tarkastellaan väliainetta,jossa ei ole vahvoja sisäisiä voimia, ja jätetään aineen magneettiset ominaisuudethuomiotta (µ = µ 0 ). Tarkastellaan yhtä elektronia, joka on sidottuatomiin harmonisella voimallaF h = −mω 2 0r (12.46)missä r on poikkeama tasapainoasemasta. Oletetaan lisäksi jokin elektroninliikettä vastustava voima (esim. kitka)F d = −mγ dr(12.47)dtmissä alaindeksi d (damping) viittaa siihen, että voima vaimentaa harmoniseenvoimaan liittyvää värähtelyä. Ulkoisessa sähkökentässä E(r,t) liikeyhtälöksituleem(d 2 rdt 2 + γ dr)dt + ω2 0r = −eE(r,t) (12.48)Oletetaan harmoninen aikariippuvuus (∝ exp(−iωt)), jolloin liikeyhtälönratkaisu on−eEr =m(ω0 2 − (12.49)ω2 − iωγ)

12.3. DRUDEN JA LORENTZIN OSKILLAATTORIMALLI 155Elektronin poikkeama tasapainoasemasta aiheuttaa dipolimomentin pp = −er =e 2 Em(ω 2 0 − ω2 − iωγ)(12.50)Oletetaan, että yksikkötilavuudessa on n molekyyliä ja jokaista molekyyliäkohti on Z elektronia. Oletetaan, että f j kappaleella jokaisen molekyylinelektroneista on ominaistaajuus ω 0j ja vaimennustekijä γ j . Tekijöitä f j kutsutaanoskillaattorivoimakkuuksiksi ja ne normitetaan elektronien lukumäärään∑ j f j = Z. Nyt sähköinen polarisoituma (dipolimomenttien tiheys)onP = ne2 Em∑jf jω 2 0j − ω2 − iωγ j(12.51)Sähkövuon tiheydestä yksinkertaisessa aineessa D = ɛE = ɛ 0 E + P saadaan⎛⎞ɛ(ω) =ɛ 0 (1 + χ(ω)) = ɛ 0⎝1+ ne2 ∑ f jmɛ 0 ω0j 2 − ⎠ (12.52)ω2 − iωγ jSiis permittiivisyys on taajuudesta riippuva kompleksiluku.Oletetaan sitten, että aineessa on jonkin verran vapaita elektroneja (f 0kappaletta molekyyliä kohti), mutta että muuten väliaine on samanlainenkuin edellä. Vapaille elektroneille ω 00 = 0, jolloinɛ(ω) =ɛ 0⎛⎝1+ ne2mɛ 0∑j≠0⎞f jω0j 2 − ⎠ − ne2ω2 − iωγ j mωjf 0ω + iγ 0(12.53)Merkitään oikean puolen ensimmäistä termiä ɛ b ja käytetään Ohmin lakia(J = σE). Tällöin Maxwellin neljännestä laista saadaan∇×H =(σ − iωɛ b )E ≡−iωɛE (12.54)jotenɛ = ɛ b + iσ ω(12.55)Vertaamalla tätä lausekkeeseen (12.53) saadaanσ =f 0 ne 2m(γ 0 − iω)(12.56)Johtavuus σ on nyt taajuuden kompleksiarvoinen funktio. Jos γ 0 ≫|ω| jaf 0 =1,tästä tulee luvusta 10 tuttu staattisen johtavuuden lausekeσ = ne2mγ 0(12.57)

156 LUKU 12. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINENmissä γ 0 on törmäysajan τ käänteisluku.Esimerkki: Kuparilla on huoneen lämpötilassa ominaisuudetσ =5.6 · 10 7 (Ωm) −1 ,n=8· 10 28 m −3 ,f 0 =1⇒ γ 0 =4· 10 13 s −1Oletus staattisesta johtavuudesta on siis hyvä approksimaatio taajuuksilla|ω| ≪4·10 13 s −1 , mikä on varsin korkea taajuus verrattuna esimerkiksityypilliseen radioasemaan ω =96.2 MHz · 2π ≈ 6 × 10 8 s −1Taajuuksia ω 0j kutsutaan resonanssitaajuuksiksi. Monissa käytännönongelmissa γ j ≪ ω 0j , joten ɛ(ω) on melkein reaalinen paitsi resonanssitaajuuksienlähellä eli⎛⎞ɛ(ω) ≈ ɛ 0⎝1+ Ne2 ∑ f jmɛ 0 ω0j 2 − ⎠ (12.58)ω2Dispersiota kutsutaan normaaliksi, jos d(Re ɛ(ω))/dω > 0jaanomaaliseksi,jos d(Re ɛ(ω))/dω < 0. Normaalin dispersion alueella permittiivisyys kasvaataajuuden myötä. Anomaalista dispersiota ilmenee ainoastaan lähelläresonanssikohtaa, missä Imɛ poikkeaa nollasta (HT: piirrä kuva).Tarkastellaan energiabudjettia resonanssikohdan lähellä. Sähkövirta onnyt polarisaatiovirtaa J P = ∂P/∂t ja sähkökentän tekemä työonj≠0Yhden jakson aikana tehty keskimääräinen työ onW = E · J P = E · ∂P/∂t (12.59)〈W 〉 = 1 2 Re(E·(−iωP)∗ )= 1 2 Re(iω(ɛ∗ −ɛ 0 )E·E ∗ )= ω 2 |E|2 Im ɛ(ω) (12.60)Jos Im ɛ>0, energia siirtyy sähkökentältä elektroneille eli aalto vaimenee.Tätä kutsutaan resonanssiabsorptioksi.Tässä mallissa Im ɛ>0, kun ω>0. On olemassa tärkeitä fysikaalisiaprosesseja, joissa aalto saa energiaa hiukkasilta, mutta tämä malli ei sovellunäihin tapauksiin. Tässä yhteydessä on opettavaista todeta merkinvalinnanvaikutus. Jos aikariippuvuudeksi valittaisiin exp(+iωt), muuttuisi Im ɛ:nmerkki. Tilanteen fysiikka on tietenkin riippumatonta merkkisopimuksista.Väliaineen taitekerroin ja aallon aaltoluku ovatn(ω) =k(ω) =√ ɛµ≈ɛ 0 µ 0√ɛ(ω) ωɛ 0 c√ɛ(ω)ɛ 0(12.61)(12.62)

12.3. DRUDEN JA LORENTZIN OSKILLAATTORIMALLI 157Tästä saadaan vaihenopeusv p = ω k =cn(ω)(12.63)Tämä ei kuitenkaan ole energian etenemisnopeus dispersiivisessäväliaineessa.Sen antaa ryhmänopeus, joka määritellään v g = dω/dk ja on siten (ks.Jackson)v g = dωdk = 1dk/dw = cn(ω)+ω dn(12.64)dkSamaan aikaan lähtevät eritaajuiset aallot saavuttavat vastaanottajan eriaikaan, mikäli ne etenevät dispersiivisessä väliaineessa.

158 LUKU 12. AALTOJEN HEIJASTUMINEN JA TAITTUMINEN

Luku 13Aaltoputket jaresonanssikaviteetitKerrataan ensin ajasta riippuvan sähkömagneettisen kentän käyttäytyminenideaalijohteessa ja sen pinnalla. Äärettömän hyvän johteen sisällä ei olesähkökenttää, koska vapaasti liikkuvat varaukset luovat pinnalle varauskatteenσ S , jolloin kokonaissähkökenttä johteen sisällä on nolla. Samoin ajastariippuva magneettikenttä häviää ideaalijohteen sisällä. Varaukset liikkuvatpinnalla luoden sellaisen pintavirran K, että kokonaiskenttä on nolla johteessa.Muut reunaehdot ovat B:n normaalikomponentin ja E:n tangentiaalikomponentinjatkuvuus. Koska B ja E ovat nollia ideaalijohteessa,niin aivan johteen ulkopuolella sähkökenttä on kohtisuorassa ja magneettikenttäyhdensuuntainen pintaan nähden. Todellisuudessa ideaalijohteitaei ole, mutta tällainen malli antaa kuitenkin hyvän peruskäsityksen aaltoputkista.Käytännön esimerkki aaltoputkesta on optinen kuitu ja resonanssikaviteetistamikroaaltouuni.13.1 SylinteriputkiTarkastellaan onttoa poikkileikkaukseltaan mielivaltaista metallisylinteriä,jonka seinämät oletetaan ideaalijohteiksi. Sylinterin sisällä aine oletetaanjohtamattomaksi (permittiivisyys ɛ 0 , permeabiliteetti µ 0 ). Kenttien aikariippuvuusolkoon harmoninen (e −iωt ). Maxwellin yhtälöt sylinterin sisälläovat∇·E = 0 (13.1)∇·B = 0 (13.2)∇×E − iωB = 0 (13.3)∇×B + iωɛ 0 µ 0 E = 0 (13.4)159

160 LUKU 13. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETITKenttien Helmholtzin yhtälöt ovat(∇ 2 + ω2c 2 )E =0, (∇2 + ω2)B = 0 (13.5)c2 Valitaan koordinaatisto siten, että z-akseli osoittaa aallon etenemissuuntaan.Sylinterigeometrian vuoksi tehdään yritteetE(x, y, z) =E(x, y)e i(kz−ωt) , B(x, y, z) =B(x, y)e i(kz−ωt) (13.6)(z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto e −ikz käsitellään vastaavallatavalla.) On huomattava, että nyt ei enää yleensä ole k = ω/c. Sijoittamallayritteet aaltoyhtälöihin saadaan(∇ 2 t + ω2c 2 − k2 )E =0, (∇ 2 t + ω2c 2 − k2 )B = 0 (13.7)missä∂∇ t = ∇−e z∂z , ∇2 t = ∇ 2 − ∂2∂z 2 (13.8)Jaetaan kentät pitkittäiseen ja poikittaiseen osaan, esimerkiksi sähkökenttäseuraavasti:E = E z + E t (13.9)missäE z = (E · e z )e z(13.10)E t = (e z × E) × e zNyt Maxwellin yhtälöt saadaan muotoon (HT)∇ t · E t = − ∂E z∂z = −ikE z (13.11)∇ t · B t = − ∂B z∂z = −ikB z (13.12)e z · (∇ t × E t )=iωB z (13.13)∇ t E z − ∂E t∂z = ∇ tE z − ikE t = iωe z × B t (13.14)e z · (∇ t × B t )=− iωc 2 E z (13.15)∇ t B z − ∂B t∂z = ∇ tB z − ikB t = −i ω c 2 e z × E t (13.16)Jos B z ja E z tunnetaan, voidaan poikittaiset kentät ratkaista yhtälöistä13.14 ja 13.16. Yhtälöitä 13.11-13.16 ei pidä opetella ulkoa, vaan on ymmärrettäväkäsittelyn perusideat.

13.1. SYLINTERIPUTKI 161TEM-mooditTEM-moodit (transverse electromagnetic modes) ovat sähkömagneettisiaaaltoja, joiden kentät ovat kohtisuorassa etenemissuuntaan nähden (siis B z =0, E z = 0). Tällöin yhtälöistä 13.11-13.16 seuraa ∇ t · E t =0, ∇ t · B t =0, ∇ t × E t =0, ∇ t × B t = 0 ja kenttien laskeminen palautuu muodollisestikaksiulotteiseksi statiikan ongelmaksi:Havaitaan seuraavat seikat:∇ 2 E t =0, ∇ 2 B t = 0 (13.17)1) Aaltoluku k onk = ω c = ω√ µɛ (13.18)2) Magneetti- ja sähkökentällä on 13.16:n mukaan samanlainen yhteys kuintyhjön tasoaalloissa:B t = 1 c e z × E t (13.19)3) TEM-moodi ei voi edetä, jos sylinteri on ontto (sähkökenttä sisällä ontäsmälleen nolla). Jos sylinteripintoja on useampia, TEM-moodit voivatedetä (esimerkiksi koaksiaalikaapelissa).4) TEM-moodilla ei ole katkaisutaajuutta (cut-off frequency) eli taajuutta,jolla aaltoluku häviäisi.TM- ja TE-mooditTarkastellaan onttoa sylinteriä, jossa ei siis ole TEM-moodeja. Oletetaannyt, että kentillä on etenemissuuntaiset (z-)komponentit. Kentät voidaanjakaa kahteen toisistaan riippumattomaan moodiin:1) TM-moodit (transverse magnetic modes):B z = 0 kaikkiallaE z = 0 sylinterin pinnalla2) TE-moodit (transverse electric modes):E z = 0 kaikkialla∂B z /∂n = n ·∇ t B z = 0 sylinterin pinnalla.Huom. Kirjallisuus on moodien nimityksessä varsin sekava.Tarkastellaan ensin TM-moodeja ja oletetaan z-jat-riippuvuus e i(kz−ωt) .Lausutaan B t ja E t E z :n avulla (vrt. 13.11, 13.14, 13.16):B t =ωkc 2 e z × E t (13.20)

162 LUKU 13. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETITjamissä on merkittyE z ratkaistaan yhtälöstä 13.7:E t = ikγ 2 ∇ tE z (13.21)γ 2 = ω2c 2 − k2 (13.22)(∇ 2 t + γ 2 )E z = 0 (13.23)Samalla tavalla käsitellään TE-moodeja, ja saadaan (HT)E t = ω k B t × e z (13.24)B t = ikγ 2 ∇ tB z (13.25)missä B z toteuttaa yhtälön 13.7:(∇ 2 t + γ 2 )B z = 0 (13.26)Suureen γ 2 :n on oltava positiivinen, jotta E z ja B z ovat värähteleviä jareunaehdot voivat toteutua. Yhtälöiden ratkaisuja vastaa joukko ominaisarvojaγ p , joita puolestaan vastaavat aaltoluvut k p . Katkaisutaajuus saadaanmääritelmän mukaan asettamalla k 2 nollaksi, jolloinω p = cγ p =γ p√ µɛ(13.27)Aaltoluku on tällöin√ω 2 − ωp2k p =(13.28)cJos taajuus on alle katkaisutaajuuden, aaltomoodi on eksponentiaalisestivaimeneva, eikä siis etene.13.2 Suorakulmainen aaltoputkiErikoistapauksena tutkitaan suorakulmaisessa aaltoputkessa eteneviä TEmoodeja(kuva 13.1).Ratkaistaan ensin B z :n Helmholtzin yhtälö( ∂2∂x 2 + ∂2∂y 2 + γ2 )B z = 0 (13.29)reunaehdoin ∂B z /∂n = 0, kun x =0,x = a, y =0,y = b.

13.2. SUORAKULMAINEN AALTOPUTKI 163yideaalijohdebxaKuva 13.1: Aaltoputki, jonka poikkileikkaus on suorakaide.Tehdään separointiyrite B z (x, y) =X(x)Y (y), jolloin saadaanX ′′ + p 2 X =0,Y ′′ + q 2 Y = 0 (13.30)missä p 2 on separointivakio ja q 2 = γ 2 − p 2 . Ratkaisu onB z (x, y) =B 0 (e ipx + Ce −ipx )(e iqy + De −iqy ) (13.31)missä B 0 , C ja D ovat vakioita. Reunaehdot toteutuvat, josC = D =1sin pa =0⇒ p = mπ/a, m =0, 1, 2, ... (13.32)sin qb =0⇒ q = nπ/b, n =0, 1, 2, ...Yhtälön ominaisarvot ovat siisγmn 2 = p 2 + q 2 = π 2 (m 2 /a 2 + n 2 /b 2 ) (13.33)joita vastaavat ratkaisut ovatB z,mn (x, y) =B mn cos mπxanπycosb(13.34)Katkaisutaajuudet ovat√ω mn = cγ mn = πc m 2 /a 2 + n 2 /b 2 (13.35)Jos a>b, niin matalin katkaisutaajuus on ω 10 = πc/a.Tämän TE 10 -moodinB z -komponentti onB z = B 0 cos πxa ei(kz−ωt) (13.36)ja muut komponentit saadaan yhtälöistä 13.24 ja 13.25:B t = − ikaπ B 0 sin πxa ei(kz−ωt) e x (13.37)

164 LUKU 13. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETITk =E t = iωaπ B 0 sin πx√ω 2 /c 2 − π 2 /a 2 =a ei(kz−ωt) e y (13.38)√ω 2 − ω102c(13.39)Vastaavalla tavalla käsitellään z-akselin negatiiviseen suuntaan etenevä aalto(e −ikz ).13.3 ResonanssikaviteetitTarkastellaan äärellisen pituisia sylinterimäisiä aaltoputkia (kaviteetteja, onkaloita),joiden päissä on täydellisesti johtavat seinät. Sisällä oleva aineon johtamatonta sähkömagneettisin parametrein µ 0 , ɛ 0 . Resonanssikaviteettion onkalo, jonka pituus on jonkin aaltoputken moodin aallonpituudenmonikerta. Kenttien z-riippuvuus on muotoa A sin kz + B cos kz (seisovataallot eli e +ikz ja e −ikz - aaltojen summa). Jos päädyt ovat tasoilla z =0jaz = d, niin reunaehdot voivat sekä TM- että TE-moodeille toteutua vain,jos k = πp/d, p =0, 1, 2, ... Silloinγ 2 = ω2c 2 − π2 p 2d 2 (13.40)eli jokaisella p ominaisarvoa γ q vastaa ominaistaajuus ω qp , joka onωqp 2 = c 2 (γq 2 + π2 p 2d 2 ) (13.41)Ominaisarvot määräytyvät tarkasteltavan systeemin geometriasta. Havaitaanseuraava ero aaltoputkien ja resonanssikaviteettien välillä: Aaltoputkissataajuus ω voi saada minkä tahansa katkaisutaajuutta suuremman arvon.Kaviteetissa taajuus saa vain diskreettejä arvoja.TM- ja TE-moodit voidaan käsitellä käyttämällä suoraan aaltoputkillesaatuja tuloksia laskemalla sopivasti yhteen e +ikz -jae −ikz -aaltoja. EsimerkiksiTM-moodilla sähkökentän tangentiaalikomponentin häviäminen pinnoillaz =0jaz = d vaatii, ettäE z = ψ(x, y) cos πpz(13.42)dkoska silloinE t = − πp πpzγ 2 sind d ∇ tψ(x, y) (13.43)Funktio ψ toteuttaa Helmholtzin yhtälön(∇ 2 + γ 2 )ψ(x, y) = 0 (13.44)

13.3. RESONANSSIKAVITEETIT 165Magneettikenttä saadaan lausekkeestaB t =iω πpzγ 2 cosc2 d e z ×∇ t ψ(x, y) (13.45)Hyödyllinen HT on osoittaa, että annetut lausekkeet toteuttavat kaikkiMaxwellin yhtälöt. Reunaehdoista seuraa puolestaan lisäehtoja funktiolleψ.Esimerkkinä tarkastellaan ympyräsylinteriä(säde R). TM-moodissa E z :non hävittävä sylinterin pystyreunoilla eli sylinterikoordinaateissa ψ(R, φ) =0. Separointimenetelmällä saadaan fysikaalisesti kelvolliseksi ratkaisuksiψ(r, φ) =ψ mn (r, φ) =AJ m (γ mn r)e ±imφ ,m=0, 1, 2, ... (13.46)missä J m on Besselin funktio ja γ mn = x mn /R ja x mn on yhtälön J m (x) =0n:s juuri. Ominaistaajuudet ovat nytωmnp 2 = c 2 ( x2 mnR 2 + π2 p 2d 2 ) (13.47)Alin TM-moodi on TM 010 , jossa ω 010 ≈ 2.405c/R. Tämä on riippumatonsylinterin korkeudesta. Vastaavalla tavalla käsitellään TE-moodit (yksityiskohdatsivuutetaan). Niiden ominaistaajuuksissa on aina myös d-riippuvuus,joten taajuuksien säätäminen on helpompaa kuin TM-moodilla.MikroaaltouuneistaMikroaallot ovat sähkömagneettista säteilyä, jonka aallonpituus on 1 mm-0.3m (taajuus 10 9 − 3 · 10 11 Hz). Mikroaaltouunin käyttö ruuanvalmistuksessaperustuu siihen, että mikroaallot saavat ruoka-aineiden polaariset molekyylitpyörähtelemään. Kitkan takia osa pyörähdysenergiasta muuttuu lämmöksi.Mikroaaltouuneissa käytetään tyypillisesti aallonpituutta 12.2 cm (taajuus2450 MHz), jolloin saavutetaan hyvä absorptio erityisesti vesimolekyylille.Oleellista on, että ruoka-aineiden pitää sisältää polaarisia molekyylejä. Polaarittomataineet läpäisevät mikroaaltoja, ja metallit taas heijastavat niitä.Tyypillinen tunkeutumissyvyys ruoka-aineissa on muutaman senttimetrinluokkaa. Kypsennys tapahtuu siis suoraan ruuan sisällä, ellei annos ole kovinpaksu, jolloin sisäosissa kuumennus tapahtuu johtumalla. Mikroaaltouunintärkein osa on luonnollisesti uunitila, jossa ruoka kuumennetaan ja jokasiis on resonanssikaviteetti. Mikroaaltokenttä synnytetään magnetronissa,josta kenttä johdetaan aaltoputkea pitkin uuniin. Magnetroni koostuu useastaresonanssiontelosta (sähköisestävärähtelypiiristä). Erillinen uunitila ontarpeen, koska näihin onteloihin ei saada mahtumaan ruokaa.

166 LUKU 13. AALTOPUTKET JA RESONANSSIKAVITEETIT

Luku 14Liikkuvan varauksen kenttäTässä luvussa tutustutaan liikkuvan varauksen aiheuttamaan kenttään. Asiaaon käsitelty RMC:n luvussa 21 ja CL:n luvussa 13. Jokaisen sähködynaamikonon laskettava ainakin kerran elämässään Liénardin ja Wiechertin potentiaalitja kentät.14.1 Liénardin ja Wiechertin potentiaalitTarkastellaan siis yksittäistä varauksellista hiukkasta, jonka rata on r =r q (t). Varaus- ja virrantiheys ovat tällöinρ(r,t) = qδ(r − r q (t)) (14.1)J(r,t) = qṙ q δ(r − r q (t)) (14.2)Käyttökelpoisten potentiaalien laskeminen ei ole aivan helppo tehtävä. RMCesittelee jaksossa 21–1 yhden tavan (tosin hypäten varsinaisen laskun yli).Toinen menetelmä onkäyttää hyväksi Greenin funktiota, mikä sekin onteknisesti kohtuullisen vaativaa. Kyseessä on siis mitä mainioin harjoitustehtävä.Esitetään tässä menetelmän idea.Tehtävänä on ratkaista epähomogeeniset aaltoyhtälöt(∇ 2 − 1 ∂ 2 )c 2 ∂t 2 ϕ = −ρ/ɛ 0 (14.3)(∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2∂t 2 )A = −µ 0 J (14.4)Kuten luvussa 9 todettiin, näiden ratkaisut ovat Greenin funktion avullalausuttuina∫ ∫ψ ± (r,t)= G ± (r,t; r ′ ,t ′ )f(r ′ ,t ′ ) dV ′ dt ′ (14.5)167

168 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄmissä ψ ± (r,t) ovat viivästyneet (+) ja edistyneet (–) skalaaripotentiaalit taivektoripotentiaalin karteesiset komponentit ja f(r ′ ,t ′ ):t vastaavat lähdetermejä(ρ, J). Nyt riittää käyttää viivästyneen potentiaalin Greenin funktiotaG(r,t; r ′ ,t ′ )= 1 δ(t ′ − (t −|r − r ′ |/c))4π |r − r ′ |(14.6)Tekijä 4π on otettu Greenin funktion määritelmään, kun se luvussa 9 oliG:n aaltoyhtälössä.Ensin integroidaan paikkaintegraalit Greenin funktion avulla. Sen jälkeenaikaintegraalia laskettaessa käytetään hyväksi δ-funktiolle voimassa olevaaidentiteettiä ∫f(x)δ(g(x))dx = ∑ f(x i )|gi′ (14.7)(x i )|missä g(x i ) = 0. Lopputuloksena saadaan Liénardin ja Wiechertin potentiaalit:ϕ(r,t)=q []1= q [ ]1(14.8)4πɛ 0 (1 − n · β)Rret4πɛ 0 R − R · β retA(r,t)=q []β= q [ ]β(14.9)4πɛ 0 c (1 − n · β)Rret4πɛ 0 c R − R · β retmissä R = r − r q , n = R/R ja β = v/c. Alaindeksi ret viittaa lausekkeenlaskemiseen viivästyneellä ajalla t ′ , joka on ratkaistava ehdostat ′ + |r − r q (t ′ )|/c = t (14.10)Havaitsija siis mittaa kentän pisteessä r hetkellä t.Kaikkein eleganteinta, joskaan ei sen helpompaa, on tehdä ylläoleva laskurelativistisessa formalismissa, missä ϕ ja A ovat nelipotentiaalin A α komponentitja∫A α (x) = G(x − x ′ )J α (x ′ ) d 4 x ′ (14.11)(katso Jackson tai CL luku 13.3).14.2 Kenttien laskeminenKun potentiaalit tunnetaan, kentät saadaan derivoimalla, joka yleensä onhelppoa, mutta vaatii nyt kärsivällisyyttä. Hankaluuden aiheuttaa viivästyneenajan implisiittisesti määritteleväyhtälö 14.10. Aluksi kannattaa tehdäitselleen selväksi koordinaatisto (kuva 14.1). Sähkökenttä saadaan lausekkeestaE = −∇ϕ − ∂A∂t =q [ ]∇(R − β · R)4πɛ 0 (R − β · R) 2 −q [ ∂4πɛ 0 c ∂tβR − β · R](14.12)

14.2. KENTTIEN LASKEMINEN 169r (t’)qR(t’) = r–r (t’)qr (t’)qrKuva 14.1: Varauksellisen hiukkasen liiketila hetkellä t ′ määrää kentänmyöhempänä hetkenä t. Kenttä etenee pisteestä r q (t ′ ) havaintopisteeseenr ajassa R(t ′ )/c, jolloin hiukkanen on ehtinyt radallaan pisteeseen r q (t).Hakasulku viittaa lausekkeen laskemiseen viivästetyllä ajalla (jätetään sulutpois välivaiheissa).Aloitetaan R(t ′ ):n derivoinnista: koska t ′ riippuu paikkavektorista r, niin∇R(t ′ )=−c∇t ′ . Derivoidaan viivästyneen ajan lauseketta 14.10 puolittain,jolloin esimerkiksi gradientin x-komponentti on∂t ′∂x = −x − x q − cβ · (r − r q )(∂t ′ /∂x)c|r − r q |(14.13)Tässä onkäytetty derivoinnin ketjusääntöä ∂/∂x =(∂t ′ /∂x)(∂/∂t ′ ). Nytvoidaan ratkaista∂t ′∂x = x − x q(14.14)c(R − β · R)joten∇t ′ R= −(14.15)c(R − β · R)jaR∇R =R − β · RTarvitaan myös ∇(β · R). Lasketaan taas x-komponentti:Täten(14.16)(∇(β · R)) x = β x + ∂t′∂x ( ˙β · R − β · ṙ q ) (14.17)∇(β·R) =β+( ˙β·R−β·ṙ q )∇t ′ = (R − β · R)β +(β2 − ˙β · R/c)RR − β · R(14.18)

170 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄKokoamalla tulokset saadaan skalaaripotentiaalin gradientiksi∇ϕ = −q[R − (R − β · R)β − (β 2 − ˙β]· R/c)R4πɛ 0 (R − β · R) 3(14.19)Vektoripotentiaalia varten täytyy laskea ∂R/∂t = c(1 − ∂t ′ /∂t. Nytjosta ratkaistaanVastaavalla tavalla saadaan∂t ′∂t =1+β · R ∂t ′R ∂t∂t ′∂t =RR − β · R(14.20)(14.21)∂R∂t = ∂t′ ∂R∂t ∂t ′ = − cRβR − β · R(14.22)Vektoripotentiaalin lausekkeessa esiintyvä aikaderivaatta on siis[ ∂∂t]βR − β · R=Sähkökentäksi saadaan lopultaE(r,t)=[R(R − β · R) ˙β +(R ˙β · R + cβ · R − cRβ 2 ])β(R − β · R) 3q[(1 − β 2 )(R − Rβ)+R × ((R − Rβ) × ˙β)/c]4πɛ 0 (R − β · R) 3ret(14.23)(14.24)Samanlaisten veivausten (luonnollisesti HT) jälkeen saadaan magneettikenttäB(r,t)= 1 c[ RR]ret× E(r,t) (14.25)Välittömästi todetaan, että staattisen varauksen (β =0)sähkökenttä onCoulombin kenttä. Silloin sähkökenttä on yhdensuuntainen vektorin R kanssa,joten staattinen varaus ei odotetusti aiheuta magneettikenttää. Vakionopeudellaliikkuvan varauksen kenttä on selvästi tekemisissä Lorentzin muunnoksenkanssa. Säteilykentäksi kutsutaan kiihtyvyyteen ˙β verrannollista termiä,joka pienenee kaukana varauksesta kuten 1/R eli kertalukua hitaamminkuin Coulombin kenttä. Tarkastellaan näitä tilanteita seuraavassa yksityiskohtaisemmin.

14.2. KENTTIEN LASKEMINEN 171y(x,y,z)zrq(t’) = rq(t-R/c)= (vt’,0,0)R = r–r (t’) qxKuva 14.2: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen kentänlaskeminen14.2.1 Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttäLiénardin ja Wiechertin potentiaalien myötä olemme tulleet hyvin lähellesuhteellisuusteoriasta tuttuja Lorentzin muunnoksia. Tarkastellaan tätä vartenkuvan 14.2 mukaisesti x-akselia pitkin vakionopeudella v liikkuvan varauksenkenttää. Kenttä pisteessä (x, y, z) lasketaan hetkellä t, jolloin varauson ehtinyt pisteeseen (vt, 0, 0) (varaus on ohittanut origon hetkellä t = 0).Koska R = √ (x − vt ′ ) 2 + y 2 + z 2 = c(t − t ′ ), niin viivästynyt aika t ′saadaan lausekkeesta√(1 − β 2 )t ′ = t − βx/c − (1/c) (x − vt) 2 +(1− β 2 )(y 2 + z 2 ) (14.26)jolloin[R − R · β] ret=√(x − vt) 2 +(1− β 2 )(y 2 + z 2 ) (14.27)Skalaaripotentiaali voidaan nyt esittää muodossaϕ(x, y, z, t) =q4πɛ 0γ√γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 (14.28)missä γ =1/ √ 1 − β 2 . Vektoripotentiaalilla on vain x-komponenttiA x (x, y, z, t) =βϕ(x, y, z, t)/c (14.29)Näin on päädytty Maxwellin yhtälöistä lähtien hyvin lähelle Lorentzmuunnosta.Varauksen lepokoordinaatistossa potentiaalilla on tuttu lausekeϕ(x, y, z, t) =q4πɛ 01√x 2 + y 2 + z 2 (14.30)

172 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄLiikkuvan varauksen potentiaali saadaan (melkein) koordinaattimuunnoksella,jossa y ja z pysyvät ennallaan ja x:stä tulee γ(x − vt). Vielä jää mietittäväksi,mistä tekijä γ ilmestyy kertomaan potentiaalia. Lisäksi täytyisiselvittää, mistä vektoripotentiaali saadaan, kun se on nolla lepokoordinaatistossa.Tähän palataan suhteellisuusteoriassa, jossa A:n ja ϕ:n osoitetaanyhdessä muodostavan nelivektorin.Kentät saadaan derivoimalla (tällä kertaa helposti):E x (x, y, z, t) =E y (x, y, z, t) =E z (x, y, z, t) =q4πɛ 0q4πɛ 0q4πɛ 0γ(x − vt)(γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (14.31)γy(γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (14.32)γz(γ 2 (x − vt) 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (14.33)B(x, y, z, t) = v × E(x, y, z, t) (14.34)c2 Nämä lausekkeet pätevät kaikilla nopeuksilla. Kaukana varauksesta kenttäheikkenee kääntäen verrannollisesti etäisyyden neliöön. Suurellakaan nopeudellaliikkuva hiukkanen ei siis säteile.Kenttää on mukavinta tarkastella varauksen kulloisenkin paikan suhteen.Kohtisuorassa suunnassa (x − vt =0)sähkökentän voimakkuus onE =√Ey 2 + Ez 2 = q γ4πɛ 0 y 2 + z 2 (14.35)Tämä on Coulombin kenttä tekijällä γ suurennettuna (aina γ ≥ 1). Varauksenedessä ja takana y = z =0jaE = E x =q 14πɛ 0 γ 2 (x − vt) 2 (14.36)Tämä on puolestaan Coulombin kenttä tekijällä 1/γ 2 pienennettynä.Kenttäviivat saadaan piirtämällä ensin staattisen varauksen kenttäviivatja sitten liikuttamalla kuviota suurella nopeudella silmien ohi, jolloin havaitaanLorentz-kontraktio (ei onnistu kotioloissa kovin helposti). Vaihtoehtoisestipuristetaan x-akselia kasaan tekijän γ verran (kuva 14.3). Kannattaakuitenkin muistaa, että kenttäviivat eivät ole todellisia fysikaalisia olioita.Magneettikentän hahmottaminen jää lukijan mietittäväksi kuten hitaastiliikkuvan varauksen magneettikentän osoittaminen samaksi kuin luvussa 5.

14.2. KENTTIEN LASKEMINEN 173vKuva 14.3: Vakionopeudella liikkuvan varauksellisen hiukkasen sähkökentänkenttäviivat. Vasemmalla staattinen varaus, oikealla liikkuva varaus.14.2.2 Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttäVakionopeudella liikkuva varaus ei siis säteile ympäristöönsä. Mikäli varauksennopeus muuttuu, Liénardin ja Wiechertin potentiaaleja ei voi enää ilmaistavarauksen tarkasteluhetken paikan funktioina vaan viivästyminen onotettava huomioon eksplisiittisesti eli laskettaessa kenttiä on huomioitavaderivaattamuuttujien riippuvuus viivästymisestä.Tarkastellaan aluksi epärelativistista rajaa (β ≪ 1), jolloin 1/R-säteilykentiksituleeE(r,t)=q n × (n × ˙v)/R (14.37)4πɛ 0 c2 B(r,t)= 1 Rc R × E = q ˙v × n/R (14.38)4πɛ 0 c3 missä n = R/R. Näistä saadaan Poyntingin vektoriksiS = 1µ 0 c E × B = q 2 |R × ˙v| 216π 2 ɛ 0 c 3 R 5 R (14.39)missä Z 0 on tyhjön impedanssi √ µ 0 /ɛ 0 .Säteilyteho avaruuskulmaan dΩ onnytdPdΩ = q2 | ˙v| 216π 2 ɛ 0 c 3 sin2 θ (14.40)missä θ on ˙v:n ja n:n välinen kulma. Suorittamalla kulmaintegroinnit saadaanLarmorin kaavaP = q2 ˙v 26πɛ 0 c 3 (14.41)

174 LUKU 14. LIIKKUVAN VARAUKSEN KENTTÄRelativistisille hiukkasille t:n ja t ′ :n välinen ero on tärkeä. Aikavälillät 1 = t ′ 1 + R(t′ 1 )/c...t 2 = t ′ 2 + R(t′ 2 )/c säteilty energia onW =∫ t2t 1[S · n] retdt =∫ t ′2t ′ 1S · n dtdt ′ dt′ (14.42)On siis mielekästä määritellä hiukkasen säteilyn intensiteetti S · n dt/dt ′ =S · n (1 − n · β) sen omassa ajassa ja omassa paikassa:dP (t ′ )dΩ = q 2 ∣∣n × ((n − β) × ˙β) ∣ 216π 2 ɛ 0 c (1 − n · β) 5 (14.43)Kun β → 1, niin dP/dΩ:n nimittäjän merkitys kasvaa ja säteilykeila alkaavenyä hiukkasen liikkeen suuntaan. Maksimi-intensiteetti saavutetaan, kunθ max → 1/(2γ) ja keilan leveys on ≈ 1/γ. Koska laskuissa ei ole tehty oletuksiakiihtyvyyden suunnasta, saadut kaavat kuvaavat sekä jarrutussäteilyäettä syklotroni- ja synkrotronisäteilyä. Säteilyn kokonaisteho saadaan integroimallakulmien yli (siis ei helposti) tai tekemällä Larmorin kaavalleLorentzin muunnos (jos osataan suhteellisuusteoriaa). Lopputulos onP =q26πɛ 0 c γ6 ( ˙β 2 − (β × ˙β) 2 ) (14.44)

Luku 15Säteilevät systeemitEdellisessä luvussa käsiteltiin vain yhden varauksellisen hiukkasen säteilykenttiä.Nyt tutustutaan esimerkinomaisesti yksinkertaisiin antenneihin javarausjoukon aiheuttamaan säteilyyn (RMC luku 20).15.1 Värähtelevän dipolin kenttäTarkastellaan tyhjössä olevaa sähköistä dipolia, joka muodostuu kahdestaz-akselilla pisteissä z = ±L/2 sijaitsevasta pallosta (kuva 15.1). Pallot onyhdistetty johdolla, jonka kapasitanssi voidaan jättää huomiotta. Ylemmänpallon varaus olkoon q(t), alemman −q(t).Varauksen säilyminen antaa virrantiheydeksiJ(r,t)=I(t)δ(x)δ(y)θ(L/2 − z)θ(z + L/2) (15.1)qzL/2yx–q–L/2Kuva 15.1: Yksinkertainen dipoliantenni.175

176 LUKU 15. SÄTEILEVÄT SYSTEEMITmissä I =+˙q. Lasketaan viivästynyt vektoripotentiaaliA(r,t)= µ ∫04π VJ(r ′ ,t−|r − r ′ |/c)|r − r ′ |dV ′ (15.2)jolla on nyt ainoastaan z-komponenttiA z (r,t)= µ ∫ L/20 I(z ′ ,t−|r − z ′ e z |/c)4π −L/2 |r − z ′ dz ′ (15.3)e z |Lausekkeen yksinkertaistamiseksi oletetaan, että dipolia katsotaan kaukaaL ≪ r, jolloin voidaan kirjoittaa|r − z ′ e z | =(r 2 − 2z ′ e z · r + z ′2 ) 1/2 ≈ r − z ′ cos θ (15.4)missä θ on katselupisteen paikkavektorin r ja z-akselin välinen kulma. Vektoripotentiaalinnimittäjässä z ′ cos θ voidaan jättää huomiotta, kun dipoliakatsotaan kaukaa. Viivästystermissä se voidaan jättää huomiotta, josz ′ cos θ/c on pieni verrattuna virran muutoksen aikaskaalaan, esimerkiksiharmonisesti oskilloivan virran periodiin T . Koska z ′ cos θ ≤ L/2, voidaanz ′ cos θ/c jättää huomiotta vain, josL/2 ≪ cT = λ (15.5)Oletetaan, että näin on eli, että syntyvän aallon aallonpituus λ on paljondipolin pituutta suurempi ja tarkastellaan dipolia kaukaa. TällöinA z (r,t)= µ 0 LI(t − r/c) (15.6)4π rSkalaaripotentiaalin laskeminen on yksinkertaisinta käyttäen Lorentzin mittaehtoa∇·A + 1 ∂ϕc 2 ∂t = 0 (15.7)mistä saadaan∂ϕ∂t= − L [ ]∂ 14πɛ 0 ∂z r I(t − r/c) [ ]L z z= I(t − r/c)+4πɛ 0 r3 r 2 c I′ (t − r/c)(15.8)missä I ′ on I:n (t − r/c):n suhteen laskettu derivaatta. Koska toisaalta I =+q ′ , missä q ′ on saman argumentin suhteen otettu derivaatta, saadaan ϕintegroiduksiϕ(r,t)=L [z q(t − r/c)4πɛ 0 r 2 +r]I(t − r/c)c(15.9)

15.1. VÄRÄHTELEVÄN DIPOLIN KENTTÄ 177Rajataan tarkastelu harmonisesti oskilloivaan dipoliinq(t − r/c) = q 0 cos ω(t − r/c)I(t − r/c) = I 0 sin ω(t − r/c) = −ωq 0 sin ω(t − r/c) (15.10)Kirjoitetaan A pallokoordinaatistossaA r = µ 0 I 0 L4π rA θ = − µ 04πA φ = 0cos θ sin ω(t − r/c)I 0 LrNyt ∇×A:lla on vain φ-komponentti, jotensin θ sin ω(t − r/c) (15.11)B φ = 1 ∂(rA θ )− 1 r ∂r r= µ 04π∂A r∂θI 0 lr sin θ [ ωc cos ω(t − r/c)+1 r sin ω(t − r/c) ](15.12)Sähkökenttä onE = −∂A/∂t −∇ϕ:E r = 2lI [ ]0 cos θ sin ω(t − r/c) cos ω(t − r/c)4πɛ 0 r 2 −cωr 3E θ = − lI [(0 sin θ 14πɛ 0 ωr 3 − ω )rc 2 cos ω(t − r/c) − 1]r 2 c sin ω(t − r/c)E φ = 0 (15.13)Koska B on kaikkialla tangentiaalinen dipoli keskipisteenä piirretylle pallonpinnalle, kyseessä on TM-moodi (HT: totea, että suurilla r:n arvoilla E =cB × e r ).Lasketaan sitten dipolin säteilemä energia integroimalla Poyntingin vektorinnormaalikomponentti R-säteisen pallon pinnan yli.∮S · n da = 1 ∫ πR 2 E θ B φ 2π sin θdθ (15.14)µ 0Kun R → ∞ ainoastaan 1/r:ään verrannolliset termit antavat nollastapoikkeavan kontribuution. Rajoittumalla näihin tulee energiavuoksi∮S · n da = (I 0l) 2 ω 26πɛ 0 c 3 cos2 ω(t − r/c) (15.15)Tämä on siis dipolin hetkellisesti säteilemä teho. Integroimalla periodin ylisaadaan keskimääräinen säteilyteho0〈P 〉 = l2 ω 26πɛ 0 c 3 I 2 02 = 2π 3√ ( ) µ0 l 2I02ɛ 0 λ 2(15.16)

178 LUKU 15. SÄTEILEVÄT SYSTEEMITTämän tuloksen voi tulkita siten, että vastus R, jossa kulkee sinimuotoinenvirta I 0 cos ωt, kuluttaa energiaa keskimääräisellä teholla 〈P 〉 = RI0 2 /2. SuurettaR r = 2π √ ( ) µ0 l 2 ( ) l 2≈ 789 Ω (15.17)3 ɛ 0 λ λkutsutaan säteilyvastukseksi. Mikäli dipoli ei ole tyhjössä, on permittiivisyysja permeabiliteetti korvattava väliaineen vastaavilla suureilla.Magneettinen dipoli käsitellään aivan samaan tapaan. Se voidaanesittää ympyränmuotoisena silmukkana, jossa kulkee sinimuotoinen sähkövirta.Magneettinen dipoli on puolestaan kohtisuorassa silmukan tasoa vastaan.Koska virralla on vain φ-komponentti on myös vektoripotentiaalin ainoanollasta poikkeava komponenttiA φ (r,t)= µ 0I 0 a4π∫ 2π0cos ω(t −|r − r ′ |/c)|r − r ′ |cos φdφ (15.18)missä a on virtasilmukan säde. Nyt dipoliapproksimaatio edellyttää, ettär ≫ a ja ωa ≪ c. Tästä eteenpäin lasku etenee samalla reseptillä kuinedellä. Erona oskilloivaan sähködipoliin on, että tällä kertaa syntyvän aallonsähkökenttä on dipolikeskisen pallon tangentti eli kyseessä on TE-moodi.Yksityiskohdat jääkööt harjoitustehtäväksi.Huom. Oletettaessa harmoninen aikariippuvuus (e −iωt ) skalaaripotentiaaliaei välttämättä tarvitse laskea. Magneettikenttä määräytyy pelkästäänvirrasta vektoripotentiaalin kautta. Toisaalta lähdealueen ulkopuolella∇×B = −iωµ 0 ɛ 0 E (15.19)josta saadaanE = ic2 ∇×B (15.20)ω15.2 PuoliaaltoantenniEdellä saatu tulos ei anna oikeaa säteilytehoa oikealle radioantennille, koskayleensä antenni ei ole lyhyt verrattuna aallonpituuteen eikä sitä yleensäsyötetä päistä vaan keskeltä.Tarkastellaan tasan puolikkaan aallonpituuden mittaista antennia. Tämäon realistinen esimerkki, koska esimerkiksi 100 MHz aallon aallonpituuson 3 m. Antennin voi ajatella koostuvan infinitesimaalisista osista, joihinkuhunkin sopii edellä ollut tarkastelu. Olkoon antenni z-akselilla välillä(−λ/4, +λ/4) ja kulkekoon siinä virta( 2πzI(z ′ ′ ),t)=I 0 sin ωt cos(15.21)λ

15.2. PUOLIAALTOANTENNI 179Tämä virta on nolla antennin molemmissa päissä. Nyt pisteen z ′ ympärilläoleva elementti dz ′ tuottaa tyhjössä sähkökentän θ-komponenttiin(sin θ2πz′ )dE θ = I 04πɛ 0 Rc 2 ω cos ω(t − R/c) cos dz ′ (15.22)λTässä R on etäisyys dz ′ :sta katselupisteeseen ja kertalukua 1/R 2 olevat termiton jätetty huomiotta. Magneettikenttään tulee puolestaan osuusdB φ = µ (0 I 0 ω2πz′ )4π Rc sin θ cos ω(t − R/c) cos dz ′ (15.23)λE θ :n ja B φ :n laskemiseksi on integroitava lauseke∫ π/21K = cos ω(t − R/c) cos udu (15.24)−π/2 Rmissä u = 2πz ′ /λ. Nyt jälleen R = r − z ′ cos θ ja riittävän suurella rnimittäjässä voidaan korvata R → r. Kosinitermissä täytyy kuitenkin ollavarovainen ja kirjoittaaK = 1 rTämän saa muotoonjolloin lopputulos on∫ π/2−π/2cos[ω(t − r/c)+u cos θ] cos udu (15.25)K = 1 ∫ π/2r Re (eiω(t−r/c) du e iu cos θ cos u)−π/2K = 2 cos θ]cos ω(t − r/c)cos[(π/2)r sin 2 (15.26)θSijoittamalla tämä tulos sähkö- ja magneettikenttien lausekkeisiin saadaanE θ =B φ = µ 0I 02πrKeskimääräiseksi säteilytehoksi tulee nytI 0cos θ]cos ω(t − r/c)cos[(π/2)2πɛ 0 rc sin θ〈P 〉 = 1 √ µ0I02 4π ɛ 0cos ω(t − r/c)cos[(π/2)cos θ]sin θ∫ π0cos 2 [(π/2) cos θ]sin 2 θ(15.27)(15.28)sin θdθ (15.29)Integraalin numeerinen arvo on 1.219 joten puoliaaltoantennin säteilytehoon〈P 〉 =73.1Ω I2 0(15.30)2Tästä eteenpäin antennilaskut käyvät pian hankaliksi. Jo se korjaus, ettäantennia syötetään usein keskeltä sinimuotoisella virralla tai jännitteellä aiheuttaateknisiä monimutkaisuuksia. Toisaalta pitkän ohuen antennin rajallaylläoleva tulos on muutaman prosentin päässä oikeasta.

180 LUKU 15. SÄTEILEVÄT SYSTEEMIT15.3 Liikkuvan varausjoukon aiheuttama kenttäTarkastellaan sitten mielivaltaisen varausjoukon säteilyä. Oletetaan, ettätarkasteltava varausjoukko on etäällä tarkastelupisteestä siinä mielessä, ettävarausjoukko pysyy tilavuudessa V 1 sen ajan, mikä SM-aallolta kuluu saavuttaatarkastelupiste ja V 1 :n dimensiot ovat pienet verrattuna etäisyyteentarkastelupisteestä (eli v ≪ c). Oletetaan lisäksi, että tilavuuden pituusskaalatovat pieniä hallitseviin säteilyn aallonpituuksiin verrattuina ja että varauksetovat tyhjössä.Valitaan origo tilavuuden V 1 sisälle, merkitään varauksien koordinaattejar ′ :llä, tarkastelupiste olkoon r ja R = r − r ′ . NytR = |r − r ′ |≈r − r · r′r(15.31)Viivästynyt skalaaripotentiaali tarkastelupisteessä onϕ(r,t) =≈Käyttäen binomisarjaaja Taylorin kehitelmääρ∫14πɛ 0∫14πɛ 0ρ(r ′ ,t− R/c)V 1RdV ′ρ(r ′ ,t− r/c + r · r ′ /cr)V 1r − (r · r ′ )/rdV ′ (15.32)(r − r · r ′ /r) −1 = r −1 + r −2 (r · r ′ /r)+... (15.33)(r ′ ,t− r c + r · ) (r′= ρ r ′ ,t− r )+ r · r′crc crsaadaan potentiaali muotoonϕ(r,t) =∂ρ∣∂t∣ r ′ ,t−r/c+ ... (15.34)∫ (1ρ r ′ ,t− r )dV ′ + 1 ∫ (4πɛ 0 r V 1c 4πɛ 0 r 3 r · r ′ ρ r ′ ,t− r )dV ′V 1c1+4πɛ 0 r 2 c r · d ∫ (r ′ ρ r ′ ,t− r )dV ′ (15.35)dt V 1c+ ...Ensimmäinen integraali antaa jakautuman kokonaisvarauksen, toinen dipolimomentinja kolmas dipolimomentin aikaderivaatan ja loput ovat korkeampiamultipolimomentteja, jotka häviävät etäällä nopeammin. Siispäϕ(r,t)= 14πɛ 0[ Qr+r · p(t − r/c)r 3+]r · ṗ(t − r/c)cr 2(15.36)

15.3. LIIKKUVAN VARAUSJOUKON AIHEUTTAMA KENTTÄ 181Viivästynyt vektoripotentiaali on puolestaanA(r,t) = µ ∫04π= µ 04πrJ(r ′ ,t− r/c + r · r ′ /cr)V 1r − (r · r ′ dV ′)/r∫ (r ′ ,t− r )dV ′ + ... (15.37)cV 1JÄärelliselle tilavuudelle V pätee ∫ VJ dV = dp/dt (HT), jolloinA(r,t)= µ 0− r/c) (15.38)4πrṗ(tOlisimme yhtä hyvin voineet johtaa tämän ensin ja laskea sitten ϕ:n käyttäenLorentzin mittaehtoa.Rajoitutaan jatkossa säteilykenttiin, jotka siis pienenevät etäisyyden funktionakaikkein hitaimmin (r −1 ). Laskettaessa ∇ϕ:ta todetaan, että koska ṗon (t − r/c):n funktio, ∂ṗ/∂r = −(1/c)¨p, jotenE(r,t)=− µ 01 r · ¨p(t − r/c)¨p(t − r/c)+4πr 4πɛ 0 c 2 r 3 r (15.39)Samoin laskettaessa vektoripotentiaalin roottoria täytyy huomioida se, ettäA on (t − r/c):n funktio. Pieni vektoriakrobatia (HT) antaa tuloksenB(r,t)=∇×A(r,t)=− µ 0r × ¨p (15.40)4πcr2 Edellä saatu sähkökenttä on (HT)E(r,t)=− c r × B(r,t) (15.41)rKaikissa laskuissa dipolimomentin aikaderivaatta on laskettava viivästetylläajanhetkellä t−r/c, joka on sama koko varausjakaumalle pieniksi oletettujennopeuksien vuoksi.Säteilykenttä on poikittainen SM-aalto, jonka Poyntingin vektori onmikä lausuttuna dipolimomentin avulla onS =Jos z-akseli valitaan ¨p:n suuntaiseksi, tämä onS = cB2µ 0 r r (15.42)116π 2 ɛ 0 c 3 r 5 r(r × ¨p)2 (15.43)S =¨p2 sin 2 θ r16π 2 ɛ 0 c 3 r 2 r(15.44)

182 LUKU 15. SÄTEILEVÄT SYSTEEMITSäteilyn maksimi on kohtisuoraan ¨p:tä vastaan. Säteilytehon (P R ) laskemiseksitarkastellaan pallonkuorta, joka on kokonaan säteilyalueessa∮P R = S · n da==∂V¨p 2 ∫ sin 2 θ16π 2 ɛ 0 c 3 r 3 r · rr r2 sin θdθdφ1 ¨p 26πɛ 0 c 3 (15.45)Varausjoukko siis säteilee, mikäli siihen liittyvällä dipolimomentilla on”kiihtyvyyttä”. Edellä käsitelty dipoliantenni on esimerkki tällaisesta tilanteesta.Niinkin voi käydä, että vaikka varausjoukossa olisi kiihtyvässä liikkeessäolevia varauksia, niiden muodostama dipolimomentti voisi olla ajastariippumaton, mutta varaukset säteilisivät siitä huolimatta. Tällöin edelläolevissa sarjakehitelmissä on mentävä korkeampiin kertalukuihin. Seuraavanatulee kvadrupolitermi ja itseasiassa kvadrupoliantenni on aivan käyttökelpoinenvehje. Sen etuna on se, ettäsäteilykenttä pienenee kuten r −2 , jotensäteily ei häiritse kaukana lähteestä olevia vastaanottimia.Tässä esitetty tarkastelu soveltuu myös yksittäiseen kiihtyvään varaukseen,jolloin ¨p = q ˙v ja saadaan tuttu Larmorin kaavaP R =q2 ˙v 26πɛ 0 c 3 (15.46)Se on voimassa hitaasti liikkuvalle (ei-relativistiselle) kiihtyvälle varaukselle.15.4 Aallon vaimeneminen ja Thomsonin sirontaSäteily vie mukanaan energiaa, joten säteilytehon ylläpitäminen edellyttäätyötä, josta vastaa jonkinlainen lähetin. Jos väliaineessa, jonka läpi aaltoetenee, on elektroneja, ne vuorovaikuttavat säteilykentän kanssa ja saavatsiltä energiaa. Aalto siis vaimenee.Yhden nopeudella v liikkuvan elektronin säteilyteho on Larmorin kaavanmukaisestiP =e2 ˙v 26πɛ 0 c 3 (15.47)Tehonhävikkiä kuvaavan voiman ja tehon välinen suhde onF = − P v = −e2 ˙v 26πɛ 0 c 3 v(15.48)

15.4. AALLON VAIMENEMINEN JA THOMSONIN SIRONTA 183Kuvataan tämän suuruista tehon hävikkiä nopeuteen verrannollisella vaimentavallavoimalla F = −Gv, missä G antaa oskillaation vaimennuskertoimenγ = G/m (vrt. dispersiivisen väliaineen malli luvussa 12), jolloine 2 ˙v 2γ =6πɛ 0 mc 3 v 2 (15.49)Oletetaan varauksen värähtelevän, v = v 0 sin ωt, jolloinγ = e2 ω 2 cos 2 ωt6πɛ 0 mc 3 sin 2 (15.50)ωtTämä lauseke on jonkin verran hankala, sillä sen nimittäjä menee nollaksijokaisella jaksolla. Ongelman käsittelemiseksi on tarkasteltava säteilynreaktiovoimaa, mikä ei ole triviaali asia. Lopputulos on, että tarkasteltaessakeskimääräistä tehoa voidaan osoittajasta ja nimittäjästä ottaa keskiarvoerikseen. Koska〈cos 2 ωt〉 = 〈sin 2 ωt〉 (15.51)efektiivinen vaimennuskerroin onγ = e2 ω 26πɛ 0 mc 3 (15.52)Ottamalla käyttöön elektronin klassinen säde R e = e 2 /(4πɛ 0 mc 2 ) =2.81·10 −15 m, saadaan vaimennuskertoimen suhde taajuuteen ilmaistua R e :nja aallonpituuden (λ =2πc/ω) suhteenaγω = 4π 3R eλ(15.53)Tästä saadaan arvioiduksi alaraja SM-aallon vaimenemisesta aiheutuvallespektriviivan leveydelle. Nyt γ = △ω ja △ω/ω = △λ/λ, joten△λ = 4π 3 R e =1.16 · 10 −5 nm (15.54)Käytännössä absorptioviivat ovat yleensä selvästi leveämpiä, silläväliaineessaon usein muitakin säteilyä vaimentavia mekanismeja kuin vuorovaikutusyksittäisten elektronien kanssa. Lisäksi Dopplerin efektistä aiheutuvaspektriviivojen leveneminen tulee merkittäväksi esimerkiksi astrofysikaalisiaspektrejä katseltaessa.SM-aallon siroamista yksittäisestä vapaasta elektronista kutsutaanThomsonin sironnaksi. Aallon sähkökenttä aiheuttaa kiihtyvyydenm ˙v = eE (15.55)joten Larmorin kaava antaa elektronin säteilemän tehonP = e4 E 26πɛ 0 m 2 c 3 (15.56)

184 LUKU 15. SÄTEILEVÄT SYSTEEMITThomsonin sironnan vaikutusala σ T on P jaettuna elektroniin kohdistuvallaPoyntingin vektorilla. Koska Poyntingin vektori antaa tehon pinta-alaakohti, vaikutusalan yksikkö on todellakin m 2 .S 0 = 1µ 0 c E2 (15.57)jotene 4σ T =6πɛ 2 0 m2 c 4 = 8π 3 R2 e (15.58)Thomsonin sironta on tärkeä ilmiö mm. röntgenfysiikassa. Röntgensäteidentaajuus on paljon suurempi kuin useiden väliaineen elektronien resonanssitaajuus(luku 12). Tämän voi myös ilmaista sanomalla, että röntgensäteilynfotonien energia on paljon suurempi kuin elektronien sidosenergia. Tällaisetelektronit ovat röntgensäteiden kannalta vapaita. Koska Thomsonin sironnanvaikutusala on hyvin pieni atomin kokoon nähden, pääsee röntgensäteilytunkeutumaan syvälle aineeseen ennen vaimenemistaan.Vapaita elektroneja on myös plasmassa. Esimerkkinä Thomsonin sironnanhyväksikäytöstä onepäkoherentti ionosfääritutka, joka lähettää esimerkiksinoin 1 GHz:n radioaaltoa avaruuteen. Suurin osa signaalista meneeionosfäärin läpi, mutta yksittäiset elektronit kuitenkin sirottavat riittävästitehoa takaisin, joka voidaan havaita tehokkailla vastaanottimilla. Sironneensignaalin spektri riippuu ionosfäärin fysikaalisista parametreista ja antaatietoa lähiavaruuden ilmiöistä.

Luku 16Elektrodynamiikka jasuhteellisuusteoriaTämä luku seuraa CL:n lukuja 11 ja 12, joissa asiaa on käsitelty laajemminsekä osittain RMC:n lukua 22. Esitietoina oletetaan modernin fysiikanalkeista tai muualta tutut perustiedot Lorentzin muunnoksista jne. Koskatensoriformalismin käyttö ei ole useimmille ennestään tuttua, tässä luvussaesitellään joitain käytännön laskuissa tarvittavia perusasioita. Johdatus tensoreihinlöytyy CL:n lisäksi kirjoista Honkonen, Pitkänen, Perko: Fysiikanmatemaattiset apuneuvot (Limes, 1994) tai Arfken, Weber: MathematicalMethods for Physicists (Academic Press, 1995) sekä useista suhteellisuusteorianoppikirjoista.16.1 Lorentzin muunnosSuhteellisuusteoria ja elektrodynamiikka liittyvät läheisesti toisiinsa, mikätullut esiin useampaan kertaan. Koordinaatistomuunnosten merkitys elektrodynamiikassailmenee esimerkiksi tilanteessa, jossa on varauksia levossatarkastelijan suhteen. Hän näkee niistä aiheutuvan sähkökentän, mutta neeivät aiheuta hänen koordinaatistossaan magneettikenttää. Jos tarkastelijakuitenkin liikkuu varauksiin nähden, varaukset kuljettavat tarkastelijannäkökulmasta sähkövirtaa ja aiheuttavat magneettikentän. Niinpä sähkö- jamagneettikentät muuntuvat jollain tavoin toisikseen liikkeen seurauksena.Ehkä vieläkin tärkeämpi esimerkki liittyy lukuun 7, jossa kuljetettiinjohdetankoa magneettikentässä ja saatiin aikaan sähkökenttä. Siellä olennaistaoli, että siirrettiinpä sitten tankoa magneettikentässä, kestomagneettiatangon suhteen tai muutettiin magneettikenttää ajan suhteen, kaikissatapauksissa pätee sama Faradayn laki ∂B/∂t = −∇ × E. Siis vaikka kentät185

186LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIAitsessään riippuvat liiketilasta, niitä toisiinsa sitova fysikaalinen laki on liikkeestäriippumatta sama.1800-luvun lopulla sähkömagneettisen aallon olemassaolo oli kokeellisestivarmistettu tosiasia, mutta kysymys, missä koordinaatistossa sen nopeus olitasan c, oli ongelmallinen. Tähän liittyi kysymys eetteristä, johon mm. Maxwelloli itse uskonut ja joka oli hänelle ilmeisestikin tärkein syy kentänmuutosvirrankäyttöönottoon. Tämä pelasti myös jatkuvuusyhtälön, mikä oli tietenkinhyvä asia sinänsä. Vuosisadan loppupuolella tehdyt havainnot kutentähden näennäisen paikan pieni siirtyminen Maan rataliikkeen suuntaan sekäkuuluisa Michelsonin ja Morleyn koe, jolla pyrittiin määrittämään Maan liikenopeuseetterin koordinaatistossa, kuitenkin viittasivat siihen, että valoetenee tyhjössä vakionopeudella havaitsijan koordinaatistosta riippumatta.Klassisessa Galilei-muunnoksessa koordinaatisto K ′ liikkuu koordinaatistonK suhteen x-suuntaan vakionopeudella u siten, että koordinaatistojenakselit ovat samansuuntaisia ja origot yhtyvät nollahetkellä. Tällöin muunnosK → K ′ on x ′ = x − ut, y ′ = y, z ′ = z,t ′ = t. Newtonin lait ovat samatmolemmissa systeemeissä. Aaltoyhtälö ei ole kuitenkaan ole sama, minkänäkee suoralla laskulla.Vuonna 1904 Lorentz huomasi, että varsin erikoinen koordinaatistomuunnosjätti Maxwellin yhtälöt samoiksi. Asian yksinkertaistamiseksi tarkastellaanhomogeenista skalaarimuotoista aaltoyhtälöä, joka kuvaa valon nopeudella(x, y, z)-koordinaatistossa K etenevää aaltoa∂ 2 ϕ∂x 2 + ∂2 ϕ∂y 2 + ∂2 ϕ∂z 2 = 1 ∂ 2 ϕc 2 ∂t 2 (16.1)Olkoon K ′ toinen koordinaatisto, joka liikkuu tasaisella nopeudella uxakselinsuuntaan. Lorentzin muunnos onx ′ 1= √ (x − ut)1 − u 2 /c2 y ′ = yz ′ = z (16.2)(t ′ 1= √ t − u )1 − u 2 /c 2 c 2 xOsittaisderivaatat muuntuvat muotoon∂∂x = ∂x′ ∂∂x ∂x ′ + ∂t′ ∂∂x ∂t ′∂= ∂y′ ∂∂y ∂y ∂y ′∂= ∂z′ ∂∂z ∂z ∂z ′ (16.3)∂= ∂x′ ∂∂t ∂t ∂x ′ + ∂t′ ∂∂t ∂t ′

16.1. LORENTZIN MUUNNOS 187Sijoitetaan nämä aaltoyhtälöön, jolloin saadaan koordinaatistossa K ′∂ 2 ϕ∂x ′ 2 + ∂2 ϕ∂y ′ 2 + ∂2 ϕ∂z ′ 2 = 1 ∂ 2 ϕc 2 ∂t ′ 2(16.4)eli aalto etenee samalla nopeudella c myös koordinaatistossa K ′ .Lorentz ei ilmeisesti ymmärtänyt muunnoksen merkitystä. Ehkäpä sesoti vastoin hänenkin käsitystään eetterin olemassaolosta. Suhteellisuusteorianmerkityksen oivalsivat ensimmäisinä Poincaré ja Einstein. Poincaré olijo vuonna 1899 esittänyt suhteellisuusperiaatteen, jonka mukaan fysiikanlakien pitää olla samat tasaisessa liikkeessä toistensa suhteenolevissa koordinaatistoissa. Vuonna 1905 Einstein lisäsi tähän postulaatin,että valon nopeus tyhjössä on sama kaikissa koordinaatistoissaja riippumaton valoa lähettävän kappaleen liikkeestä. Suppeampisuhteellisuusteoria oli syntynyt.Tarkastellaan Lorentzin muunnosta neliulotteisessa avaruudessa, jonkapaikkavektori on X =(ct, x, y, z). Sen koordinaatteja merkitään x α , missäα =0, 1, 2, 3. Jatkossa käytetään kreikkalaisia indeksejä osoittamaan neliavaruudenkomponentteja ja latinalaisia indeksejä tavallisen kolmiulotteisenkotiavaruuden komponenteille (1,2,3 tai x, y, z). Otetaan lisäksi käyttöönmerkinnät β = u/c sekä γ −1 = √ 1 − β 2 = √ 1 − (u/c) 2 . Kaikilla vektoreilla(nelinopeus, nelivoima, neliliikemäärä, jne.) on nyt neljä komponenttia.Esimerkiksi nelinopeus u onu = dXdτ(16.5)missä dτ = dt √ 1 − β 2 on liikkeessä olevan olion itseisaika eli aika mitattunasen omassa lepokoordinaatistossa.Sellaiset muunnokset, jotka jättävät neliömuodonI = c 2 t 2 − x 2 − y 2 − z 2 (16.6)invariantiksi (I = I ′ ) koordinaatistonmuunnoksessa K → K ′ , ovat Lorentzinmuunnoksia. Tämän voi todeta esimerkiksi SM-aallolle tilanteessa, jossakoordinaatistojen origot ovat samat hetkellä t =0jat ′ = 0. Jos origostalähtee tuolla hetkellä SM-aalto, I = 0 aaltorintaman mukana kummassakinkoordinaatistossa.

188LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA16.2 TensoriformalismiaEdellä ollut x-akselin suuntainen Lorentzin muunnos voidaan kirjoittaa matriisiyhtälönä⎛⎜⎝x 0 ′x 1 ′x 2 ′x 3 ′⎞ ⎛⎟⎠ = ⎜⎝γ −γβ 0 0−γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1⎞ ⎛⎟ ⎜⎠ ⎝x 0 ⎞x 1x 2 ⎟⎠x 3(16.7)Merkitsemällä kerroinmatriisia Λ:lla tämä voidaan kirjoittaa tensorimuodossax µ′ =Λ µ′ νx ν (16.8)missä onkäytetty Einsteinin summaussääntöä eli toistetun indeksin yli summataan:x µ′ = ∑ Λ µ′ νx ν (16.9)νTässä luvussa käytettävässä tensoriformalismissa indeksien paikka ja järjestysovattärkeitä.Toisen kertaluvun tensoreilla indeksien järjestys kertoo,onko kyseessä tensorin matriisiesityksen vaakarivi vai pystyrivi. Vektoria,jolla on yläindeksi, kutsutaan kontravariantiksi vektoriksi ja alaindeksillävarustettua vektoria puolestaan kovariantiksi vektoriksi. Summaus tapahtuuaina ylä- ja alaindeksin välillä. Tensoriformalismi voidaan muotoillamyös ilman ylä- ja alaindeksejä (esim. RMC luku 22), mutta silloin siitätulee laskuteknisesti jonkin verran hankalampaa.Kahdesta kontravariantista vektorista u µ ja v ν muodostetaan toisen kertaluvuntensori T µν suorana tulona, jonka komponentit muodostavat matriisinu µ v ν . Tensori T µν muuntuu siis seuraavasti:missäT ′µν =Λ µ αΛ ν βT αβ (16.10)Kahden kontravariantin nelivektorin pistetulo määritellään puolestaan⎛g αβ = ⎜⎝A · B = g αβ A α B β (16.11)1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1⎞⎟⎠(16.12)on metrinen perustensori. Se on symmetrinen (g αβ = g βα ) ja sillä onkäänteismatriisi g αβ eli g αβ g βγ = δ α γ, missä δ α γ on yksikkötensori eli Kroneckerindeltan neliulotteinen vastine, jolle δ α γ = 1, kun α = γ ja muulloinδ α γ =0.

16.2. TENSORIFORMALISMIA 189Metrisellä perustensorilla on tärkeä laskutekninen rooli. Koska summaustapahtuu aina yläindeksin ja alaindeksin välillä, täytyy esimerkiksi kahdenkontravariantin vektorin pistetuloa laskettaessa toinen muuntaa kovariantiksieli laskea sen indeksi alas, mikä tapahtuu seuraavasti:Edellä oleva pistetulo (16.11) on siisv β = g αβ v α ; v β = g αβ v α (16.13)A · B = g αβ A α B β = A β B β = A α B α (16.14)Samalla tavoin nostetaan ja lasketaan toisen tai korkeamman kertaluvuntensoreiden indeksejäT α β = g αω T ωβ (16.15)Huom. Metrisen perustensorin komponenttien ±-merkit määritellään jokonäin tai päinvastoin. Valinnalla ei ole fysikaalista merkitystä, mutta laskettaessaon pidettävä kiinni tehdystä valinnasta. Lisäksi indeksit on syytäkirjoittaa selvästi peräkkäin, etteivät vaaka- ja pystyrivit mene sekaisin.Invariantti neliömuoto I ennen Lorentzin muunnosta onI = g αβ x α x β (16.16)ja Lorentzin muunnoksen jälkeen (x µ → x ′µ =Λ µ αx α )Vaatimus I = I ′ antaa ehdontaiI ′ = g µν Λ µ αΛ ν βx α x β (16.17)g µν Λ µ αΛ ν β = g αβ (16.18)g µν Λ α µΛ β ν = g αβ (16.19)Vain sellaiset muunnokset, jotka toteuttavat tämän yhtälön, ovat Lorentzinmuunnoksia. Yleisessä lineaarisessa muunnoksessa on 16 vapaata parametriaja ehdossa (16.19) on 10 eri yhtälöä, joten Lorentzin muunnoksessa on kuusivapaata parametria: pusku jokaisen (kolmiavaruuden) koordinaattiakselinsuuntaan ja kierto jokaisen akselin ympäri.Määritetään vielä (Λ −1 ) α γ . Merkitään M α γ = g αβ Λ ν βg νγ ja kerrotaanpuolittain Λ µ α:lla:jotenΛ µ αM α γ = g αβ Λ µ αΛ ν βg νγ = g µν g νγ = δ µ γ(Λ −1 ) α γ = gαβ Λ ν βg νγ =Λ γαHT: laske Λ −1 x-akselin suuntaisen Lorentz-muunnoksen tapauksessa.(16.20)

190LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA16.3 Lorentzin muunnokset ja dynamiikkaVaikka suhteellisuusteorian fysikaalinen perusta onkin elektrodynamiikassa– valon nopeushan on nimenomaan sähkömagneettisen aallon nopeus,Lorentzin muunnokset, ajan venyminen jne. ovat useille tutumpia mekaanisenliikkeen avulla annetuissa esimerkeissä.Valon nopeus on rajanopeus, jolla vain massaton hiukkanen voi edetä.Näin ollen sitä ei voi saavuttaa laskemalla yhteen nopeuksia, jotka ovat allevalon nopeuden, eli esimerkiksi tekemällä kaksi Lorentz-muunnosta peräkkäin.Yhtälöt (16.2) kuvaavat muunnosta koordinaatistoon K ′ , joka liikkuunopeudella u koordinaatiston K suhteen. Liikkukoon sitten koordinaatistoK ′′ nopeudella v koordinaatiston K ′ suhteen, jolloinx ′′ =y ′′ = y ′1√1 − v 2 /c 2 (x′ − vt ′ )z ′′ = z ′ (16.21)(t ′′ 1= √ t ′ − v )1 − v 2 /c 2 c 2 x′Sijoittamalla tähän systeemin K ′ (yhdellä pilkulla merkityt) koordinaatitmuunnoksen (16.2) mukaisesti saadaan yhdistetty muunnosx ′′ =1√ (x − wt)1 − w 2 /c2 y ′′ = yz ′′ = z (16.22)(t ′′ 1= √ t − w )1 − w 2 /c 2 c 2 xmissäw =u + v1+uv/c 2 (16.23)Tämä onnopeuksien yhteenlaskukaava. Olivatpa u ja v kuinka lähellävalon nopeutta tahansa, niiden summa jää kuitenkin alle valon nopeuden.Tämä on itse asiassa seuraus siitä, että Lorentzin muunnokset muodostavatmatemaattisesti ryhmän. Yhdistämällä kaksi muunnosta saadaan uusiLorentzin muunnos, tässä tapauksessa koordinaatistosta K koordinaatistoonK ′′ , joiden suhteellinen nopeus on w.Suppea suhteellisuusperiaate voidaan ilmaista sanomalla, että kaikkiLorentzin muunnosten yhdistämät inertiaalijärjestelmät ovat samanarvoisiakaikkien fysikaalisten tapahtumien kuvailussa. Tämä jättää kiihtyvätkoordinaatistot tarkastelun ulkopuolelle. Tarkastellaan seuraavaksi lyhyestitavallista massapistemekaniikkaa suhteellisuusperiaatteen valossa.

16.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAMIIKKA 191Kutsutaan massapisteen (hiukkasen) liikerataa neliavaruudessa sen maailmanviivaksija merkitään sen koordinaatteja x µ . Differentiaalit dx µ määrittäväthiukkasen differentiaalisen siirtymän pitkin maailmanviivaa. Muodostetaansitten Lorentz-invariantti skalaarisuureds 2 = g µν dx µ dx ν (16.24)joka on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tarkastellaan nyt hiukkastakoordinaatistossa, jossa se on hetkellisesti levossa. Tällöineli tässä koordinaatistossa vain aika kuluu. Nytdx ′ =(dx ′0 , 0, 0, 0) (16.25)ds 2 = g 00 (dx ′0 ) 2 = c 2 (dt ′ ) 2 (16.26)Ajanlaatuinen suure ds/c on invariantti aikaväli hiukkasen hetkellisessä lepokoordinaatistossaeli se on hiukkasen mukana liikkuvan kellon mittaamaaikaväli. Määritellään kiinteästä maailmanpisteestä s A laskettu hiukkasenominaisaika integraalinaτ = 1 c∫ ss Ads =⎧ ⎡⎨dtt A⎩ 1 − 1 ( )⎣ dx1 2 ( )dx2 2 ( ) ⎤⎫dx3 2 ⎬c 2 + + ⎦dt dt dt ⎭∫ tTässä kaavassa esiintyy kolminopeus v koordinaatistossa K( )dx1v =dt , dx2dt , dx3dt1/2(16.27)(16.28)ja ominaisajan differentiaalinen muoto on sama kuin luvussa 16.1 mainittudτ√ = dt (16.29)1 − v 2 /c2 joka kuvaa ajan venymistä liikkeessä olevassa koordinaatistossa.Hiukkasen nelinopeus u määritellään sen nelipaikan derivaattana ominaisajansuhteen (älä sekoita edellä esiintyneeseen tavalliseen nopeuteen u!).Sen komponentit ovatu µ = dxµ(16.30)dτKolminopeuden avulla ilmaistuna tämä onu =(γc,γv). Suoralla laskullanähdään, että nelinopeuden neliö on invarianttiu 2 = g µν u µ u ν = c 2 (16.31)

192LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIAVastaavasti lasketaan nelikiihtyvyysa µ = duµdτ = d2 x µdτ 2 (16.32)Tarkastellaan sitten Newtonin liikeyhtälöädpdt = F (16.33)missä p = mv on liikemäärä. Tämä on kuitenkin Galilei-invariantti yhtälö,missä mikään ei rajoita nopeutta alle valon nopeuden. Muodostetaan nelivektoriyhtälödm 0dτ uµ = K µ (16.34)missä m 0 on massanlaatuinen vakiosuure ja K µ nelivoima. Jotta tämäolisi kelvollinen liikeyhtälö, pienen nopeuden rajalla (sama asia kuin rajac →∞), tämän avaruusosasta on saatava Newtonin liikeyhtälö. Käyttäenkoordinaattiaikaa t kirjoitetaan yhtälön avaruuskomponentit muodossad m 0 v i√√1dt= 1 − β 2 Ki − β 2 (16.35)Jos ulkoinen voima on nolla, liikemäärä on vakio, joten liikemäärän määritelmäksituleep i =m 0v i√ (16.36)1 − β 2joka rajalla β → 0 vastaa Newtonin mekaniikan liikemäärää. Näin kolmivoimanja nelivoiman välinen yhteys onF i = K i √1 − β 2 (16.37)Liikeyhtälön (16.34) nollannen komponentin määrittämiseksi kirjoitetaan senelikiihtyvyyden a µ avullam 0 a µ = K µ (16.38)Laskemalla nelikiihtyvyyden ja nelinopeuden pistetulo saadaang µν a µ u ν = 1 d2 dτ (g µνu µ u ν )= 1 d2 dτ c2 = 0 (16.39)eli nelikiihtyvyys ja nelinopeus ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jotenmyösg µν K µ u ν = 0 (16.40)Sijoittamalla tähän nelinopeuden komponentit (u =(γc,γv)) ja nelivoimanavaruusosa jää jäljellec√1 − β 2 K0 =3∑i=1v i F i√ √1 − β 2 1 − β 2(16.41)

16.3. LORENTZIN MUUNNOKSET JA DYNAMIIKKA 193eliK 0 = 1 cF · v√1 − β 2(16.42)Liikeyhtälön nollas komponentti on siisd m 0 c 2√dt= F · v (16.43)1 − β 2Hiukkasen liike-energia määritellään Newtonin mekaniikassa siten, että senaikaderivaatta (teho) on F·v. Tarkastellaan sitten energianlaatuista suurettaKirjoittamalla γ sarjaksi saadaanW = m 0 c 2 [W = m 0c 2√1 − β 21+ v22c 2 + O (v4c 4 )](16.44)(16.45)Epärelativistisella rajalla (β → 0) tästä tuleeW = m 0 c 2 + 1 2 m 0v 2 (16.46)eli Newtonin mekaniikan mukainen m 0 -massaisen hiukkasen liike-energia jasuure m 0 c 2 , jota kutsutaan m 0 -massaisen hiukkasen lepoenergiaksi.Nyt neliliikemäärä voidaan kirjoittaa muodossa(Wp =c , m 0 v i )√ (16.47)1 − β 2taiTämän invariantiksi neliöksi saadaanp µ = m 0 u µ (16.48)g µν p µ p ν =(m 0 c) 2 = W 2 /c 2 − p 2 (16.49)Relativistiset liikeyhtälöt voi tiivistää muotoonddτ pµ = K µ (16.50)Huom. Hiukkasen massa on m 0 . Sitä kutsutaan joskus lepomassaksi, muttasiihen ei ole mitään syytä, sillä massa m 0 on itseasiassa Lorentz-invarianttisuure, joka määrittelee lepoenergian kaavallaW 0 = limv→0W = m 0 c 2 (16.51)

194LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA16.4 Elektrodynamiikan kovariantti formulointiTarkastellaan seuraavaksi Lorentzin voiman lauseketta muodossaF i = q(E i + ɛ i jk v j B k ) (16.52)missä ɛ ijk on permutaatiotensori ja oletetaan summaus toistettujen indeksienyli (HT: kertaa ɛ ijk :n ominaisuudet). Varaus q oletetaan invariantiksisäilymislain perusteella.Edellä saatiin hiukkasen liikeyhtälö muotoondp µdτ = Kµ (16.53)missä nelivoiman komponentit ovatK 0 = γ c F · v ; Ki = γF i (16.54)Oletetaan nyt, että kyseisen voiman avaruusosa on juuri Lorentzin voima.Kirjoitetaan liikeyhtälö komponenteittain. Aikakomponentista tuleedp 0dτ = K0 = γ c F · v = γ qE · v (16.55)celi kentän tekemä työ. Paikkakomponenteille saadaandp 1( )() Edτ = γq E 1 +(v 2 B 3 − v 3 B 2 1) = qc u0 + u 2 B 3 − u 3 B 2dp 2( )() Edτ = γq E 2 +(v 3 B 1 − v 1 B 3 2) = qc u0 + u 3 B 1 − u 1 B 3dp 3( )() Edτ = γq E 3 +(v 1 B 2 − v 2 B 1 3) = qc u0 + u 1 B 2 − u 2 B 1(16.56)Aika- ja paikkakomponentit voidaan koota yhtälöiksidp µdτ = qu βF βµ (16.57)missä (F 01 ,F 02 ,F 03 )=(1/c)(E 1 ,E 2 ,E 3 ), (F 23 ,F 31 ,F 12 )=(B 1 ,B 2 ,B 3 )jaF µν = −F νµ .Tästä saa suoralla laskulla liikeyhtälön komponentit.Osoitetaan sitten, että (F µν ) on kelvollinen toisen kertaluvun tensori eliettä se muuntuu oikein Lorentzin muunnoksissa. Muunnettu liikeyhtälö ondp ′ µdτ = qu′ βF ′ βµ

16.4. ELEKTRODYNAMIIKAN KOVARIANTTI FORMULOINTI 195⇔ Λ µ dp ννdτ = qΛ β α u α F ′ βµ = qΛ µ νu α F αν⇒ Λ β α F ′ βµ =Λ µ νF αν⇔ (Λ −1 ) α β F ′ βµ =Λ µ νF αν⇔ Λ γ α(Λ −1 ) α β F ′ βµ =Λ γ αΛ µ νF αν⇔ F ′ γµ =Λ γ αΛ µ νF αν (16.58)Tensoria (F µν ) kutsutaan sähkömagneettiseksi kenttätensoriksi ja senkomponentit ovat⎛(F µν )= ⎜⎝0 E 1 /c E 2 /c E 3 /c−E 1 /c 0 B 3 −B 2−E 2 /c −B 3 0 B 1−E 3 /c B 2 −B 1 0⎞⎟⎠(16.59)Kirjoitetaan sitten Maxwellin yhtälöt kenttätensorin komponenttien avulla.∇·E = ρ/ɛ 0 ≡ µ 0 c 2 ρ tulee muotoon∂ 1 F 01 + ∂ 2 F 02 + ∂ 3 F 03 = µ 0 cρ (16.60)Ampèren ja Maxwellin lain kolme komponenttia ovat puolestaan∂ 0 F 10 + ∂ 2 F 12 + ∂ 3 F 13 = µ 0 j 1∂ 0 F 20 + ∂ 1 F 21 + ∂ 3 F 23 = µ 0 j 2 (16.61)∂ 0 F 30 + ∂ 1 F 31 + ∂ 2 F 32 = µ 0 j 3Ottamalla käyttöön nelivirta J =(j µ )=(cρ, J) voidaan nämä yhtälötkirjoittaa muodossa∂ ν F µν = µ 0 j µ (16.62)Vastaavasti homogeeniset yhtälöt (∇ ·B =0, ∇×E + ∂ t B = 0) saadaanmuotoon (HT)∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 (16.63)Koska Maxwellin yhtälöt voidaan kirjoittaa tensoriyhtälöinä, ne säilyttävätmuotonsa Lorentzin muunnoksissa. Näin siis Maxwellin 1860-luvulla kehittämäteoria on osoittautunut ensimmäiseksi suppeamman suhteellisuusteoriankanssa sopusoinnussa olevaksi fysiikan kuvailuksi.

196LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIA16.5 Kenttien muunnoksetElektrodynamiikan Lorentz-kovarianssi tarkoittaa siis sitä, että Maxwellinyhtälöt ovat samat koordinaatistosta riippumatta. Sitävastoin sähkö- ja magneettikentätriippuvat havaitsijan liiketilasta. Muunnosten täytyy siis ollasellaiset, että sijoitettaessa muunnetut kentät Maxwellin yhtälöihin, tuloksenaovat alkuperäiset yhtälöt. Kaikki tämä on tietenkin jo edellisen jaksonformalismin sisällä, mutta katsotaan tässä vielä kenttien E ja B muunnoskaavat.Valitaan koordinaattiakselit siten, että koordinaatistojen välinen suhteellinennopeus v on x-akselin suuntainen. Muunnosmatriisi on tällöin⎛(Λ µ ν)= ⎜⎝γ −γβ 0 0−γβ γ 0 00 0 1 00 0 0 1⎞⎟⎠(16.64)Muuntumaton sähkökentän 1-komponentti on F 01 = E 1 /c. Lasketaan F ′ 01 :F ′ 01 = Λ 0 µΛ 1 νF µν= Λ 0 0Λ 1 0F 00 +Λ 0 0Λ 1 1F 01 +Λ 0 1Λ 1 0F 10 +Λ 0 1Λ 1 1F 11= γ 2 1 c E1 + β 2 γ 2 (− 1 c E1 )⇒E ′ 1 = γ 2 (1 − β 2 )E 1 = E 1 (16.65)Siis puskun suuntainen sähkökenttä säilyy ennallaan. Lasketaan seuraavaksiF 02 = E 2 /c:n muunnosF ′ 02 = Λ 0 µΛ 2 νF µν= Λ 0 0Λ 2 0F 02 +Λ 0 0Λ 2 2F 02 +Λ 0 1Λ 2 2F 12= γ 1 c E2 − βγB 3⇒E ′ 2 = γE 2 − γuB 3 (16.66)Vastaavat laskut komponentille E 3 ja magneettikentän komponenteille antavatmuunnoskaavatE ′ ‖ (r′ ,t ′ )=E ‖ (r,t) ; E ′ ⊥(r ′ ,t ′ )=γ(E ⊥ (r,t)+v × B(r,t))(16.67)B ′ ‖ (r′ ,t ′ )=B ‖ (r,t) ; B ′ ⊥(r ′ ,t ′ )=γ(B ⊥ (r,t) − 1 c 2 v × E(r,t))missä ‖ ja ⊥ viittaavat v:n suuntaisiin ja sitä vastaan kohtisuoriin komponentteihin.

16.5. KENTTIEN MUUNNOKSET 197Liikkuvan varauksen kenttäLasketaan esimerkkinä Lorentzin muunnoksesta tasaisesti liikkuvan varauksenkentät. Oletetaan, että pistevaraus liikkuu nopeudella vx-akselia pitkinpilkuttomassa tarkkailijan koordinaatistossa, jossa haluamme määrittää kentät.Olkoon pilkullinen koordinaatisto sellainen, että se liikkuu varauksenmukana ja sen origo olkoon varauksen kohdalla. TällöinB ′ = 0E ′ =qr ′4πɛ 0 (r ′ ) 3 (16.68)Käytetään edellä johdettuja muunnoskaavojaE x = E ‖ = E ′ x =qx ′4πɛ 0 (r ′ ) 3Vektorin r ′ komponentit ovatE ⊥ = γE ′ ⊥ =γqr ′ ⊥4πɛ 0 (r ′ ) 3 (16.69)r ′ =(γ(x − vt),y,z) (16.70)Määritellään suureγR ∗ =(γ(x − vt),y,z) (16.71)jolloin sähkökentän komponentit ovateli koottuna vektoriksiE x =E y =E z =q γ(x − vt)4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3q γy4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3 (16.72)q γz4πɛ 0 γ 3 (R ∗ ) 3E =q R4πɛ 0 (R ∗ ) 3 (1 − β2 ) (16.73)missä R =(x−vt,y,z). Tämä on luvusta 14 tuttu tulos. Kenttä onyhä radiaalinen,mutta vahvempi varauksen liikettä vastaan kohtisuoraan suuntaan.Jos varaus liikkuu hyvin suurella nopeudella, kenttä on pakkautunut hyvinvahvasti kohtisuoraan suuntaan. Kyseessä on siis samantapainen Lorentzinkontraktio kuin mekaniikasta tutuissa litistymisesimerkeissä.Magneettikentäksi tulee puolestaanB x = B ‖ =0B ⊥ = γ 1 c 2 v × E′ = γ 1 c 2 v × E′ ⊥ = 1 c 2 u × E ⊥ (16.74)

198LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIAeliB = 1 c 2 v × E (16.75)Magneettikentän kenttäviivat ovat renkaita varauksen kulkureitin ympärilläja niitä on tiheimmässä siellä, missä on eniten sähkökenttää eli hiukkasenkohdalla olevalla kohtisuoralla tasolla.Huom. Muistutetaan taas, että tasaisella nopeudella liikkuvan varauksenkenttiä ei pidä sekoittaa kiihtyvän hiukkasen säteilykenttään! Suurellakaanvakionopeudella liikkuva hiukkanen ei säteile, vaan säteily edellyttääaina nopeuden muutosta.16.6 Potentiaalien muunnoksetHomogeeniset Maxwellin yhtälöt voidaan luvussa 16.4 opitun mukaan esittäämuodossa∂ α F βγ + ∂ β F γα + ∂ γ F αβ = 0 (16.76)Nämä yhtälöt ovat välttämättömiä ja riittäviä ehtoja sille, että on olemassanelipotentiaali A µ , jolleF µν = ∂ ν A µ − ∂ µ A ν (16.77)Suoralla laskulla nähdään, että näin esitetty F µν toteuttaa homogeenisetMaxwellin yhtälöt eli välttämättömyysehto on voimassa. Riittävyysehdontodistaminen sivuutetaan (ks. CL).Nostamalla indeksit saadaanF µν = ∂ ν A µ − ∂ µ A ν (16.78)Muistamalla kenttätensorin määritelmä ja kenttien esitys potentiaalien avullasaadaan nelipotentiaalijoka toteuttaa aaltoyhtälön(A µ )=(ϕ/c, A) (16.79)∂ γ ∂ γ A ν − ∂ ν (∂ α A α )=µ 0 j ν (16.80)Valitsemalla Lorenzin mittaehto (∂ α A α =0)tämä palautuu tutuksi aaltoyhtälöksi.Todetaan lopuksi, että nelipotentiaali yleensä ajatellaan nelivektoriksi.Tämä on oikeutettua, vaikkakaan ei välttämätöntä. Voidaan osoittaa, ettänelipotentiaali muuntuu mittamuunnosta vaille nelivektorina (ks. CL).

16.7. SÄILYMISLAIT 19916.7 SäilymislaitLuvussa 9 esitettiin energian, liikemäärän ja impulssimomentin säilymislaitkolmiavaruuden Maxwellin jännitystensorin avulla. Esitetään nämäsäilymislaitkovariantissa muodossa.Lorentzin voimatiheys onOlkoon f =(f 1 ,f 2 ,f 3 ). Tällöinf = ρE + J × B (16.81)f 1 = ρE 1 + j 2 B 3 − j 3 B 2= cρF 01 + j 2 F 12 − j 3 F 31= j 0 F 01 − j 2 F 12 + j 3 F 31 (16.82)= j 0 F 01 + j 2 F 21 + j 3 F 31sillä (j 0 ,j 1 ,j 2 ,j 3 )=(j 0 , −j 1 , −j 2 , −j 3 ). Olemme saaneet siis yhtälönf i = j α F αi ; (F αα = 0) (16.83)Lorentzin voimatiheys on siten nelivektorin f µ = j α F αµ avaruusosa. 0-komponentti on puolestaaneli tehohäviö tilavuusyksikössä. Koskaf 0 = j α F α0 = −F 0α j α = 1 c E · J (16.84)j α = g αβ j β = 1 µ 0g αβ ∂ ν F βν = 1 µ 0∂ ν F αν(16.85)voidaan nelivoima kirjoittaa muodossaf µ = 1 µ 0(∂ ν F α ν )F αµ (16.86)Määritellään (jälkiviisaasti) symmetrinen tensori (T νµ )T νµ = 1 µ 0[F α ν F αµ − 1 4 gνµ F αβ F αβ ]=T µν (16.87)Nyt pieni indeksijumppa antaa tuloksen∂ ν T νµ = 1 µ 0(∂ ν F α ν )F αµ = f µ (16.88)(T µν ) on siis sellainen tensori, jonka divergenssi antaa Lorentzin nelivoimatiheyden.Tensori on arvatenkin Maxwellin jännitystensorin yleistys neliavaruudessa.Tämän toteamiseksi lasketaan tensorin komponentit.

200LUKU 16. ELEKTRODYNAMIIKKA JA SUHTEELLISUUSTEORIATensorin määritelmässä on mukana invariantti −(1/4)F αβ F αβ =(1/2)((E/c) 2 − B 2 ), joka tulee mukaan diagonaalisiin termeihin. NytT 00 = 1 [F 0 α F α 0+ 1 ( )] (1µ 0 2 c 2 E2 − B 2 ɛ0 E 2 )= − + B2(16.89)2 2µ 0eli kentän energiatiheys w em = −T 00 .T 0i = 1 µ 0F α 0 F αi = ...= − 1 c (E × B)i = − 1 c Si (16.90)ovat puolestaan Poyntingin vektorin komponentit. Pelkästään avaruusosiasisältävät komponentit ovatT kl = 1 [F k α F α l+ g kl 1 ( )]1µ 0 2 c 2 E2 − B 2= ɛ 0 E k E l + g kl ɛ 0E 2= T kle+ T klm2+ 1 B k B l kl B2+ g (16.91)µ 0 2µ 0eli jaksossa 9.3.2 johdetun Maxwellin jännitystensorin T sähköiset ja magneettisetkomponentit. Tensori T αβ on kuitenkin Maxwellin jännistystensorinlaajennus koska sen 0α-komponentit antavat suoraan sekäsähkömagneettisenenergiatiheyden että Poyntingin vektorin.Tuloksista f µ = j α F αµ ja f µ = ∂ β T βµ saadaan yhtälöTämän nollas komponentti ∂ β T β0 = j α F α0 antaa∂ β T βµ = j α F αµ (16.92)∂w em∂t+ ∇·S = −E · J (16.93)eli differentiaalisen energian säilymislain (Poyntingin teoreeman). Avaruuskomponentit∂ β T βi = j α F αi puolestaan antavat liikemäärän säilymislain− ∂ ∂t (ɛ 0E × B) l + ∂ k (T kle+ T klm )=ρE l +(J × B) l (16.94)Olemme siis onnistuneet kirjoittamaan olennaisesti koko klassisen mikroskooppisenelektrodynamiikan kovariantissa muodossa, kun väliaineeksi oletetaantyhjö.Luvussa 14 käsitelty liikkuvan varauksen säteily voidaan esittää hiemanelegantimmin tässä luvussa käsitellyssä formalismissa. Asiasta kiinnostuneitakehoitetaan tutustumaan CL:n lukuun 13 tai Jacksonin säteilyteoriaakäsitteleviin lukuhin.

Luku 17Varatun hiukkasen liikeSM-kentässäTarkastellaan tässä luvussa varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessakentässä. Asiaa on käsitelty RMC:n luvussa 14 ja CL käsittelee Hamiltoninformalismia luvussa 8.4. Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssinaikana aiemminkin.Yleisesti asetettuna tehtävänä on ratkaista relativistinen liikeyhtälödp= q(E + v × B) (17.1)dtmissä p = mv/ √ 1 − (v/c) 2 . Lisäksi muistetaan, että kenttä tekee työtäteholla dW/dt = qE · v. Liikeyhtälö on hankala integroitava yleisille ajastaja paikasta riippuville kentille ja se on usein ratkaistava numeerisesti. Josaika- ja paikkariippuvuuksien voi olettaa olevan riittävän hitaita ja laakeita,on mahdollista käyttää häiriöteoriaa lähtien vakiokentistä ja tehdä niihinpieniä korjauksia.17.1 Säteilyhäviöiden vaikutusLiikeyhtälön käsittelyyn sisältyy hyvin vaikea ongelma. Jos hiukkasella onkiihtyvyyttä, sen säteilee ja säteily kuljettaa mukanaan energiaa, liikemäärääja liikemäärämomenttia. Varatun hiukkasen säteilyä kuitenkin tarkastellaantyypillisesti kaksivaiheisesti. Ensin ratkaistaan liikeyhtälöstä hiukkasen rataannetussa ulkoisessa kentässä. Sen jälkeen lasketaan säteilyhäviöt olettaen,että hiukkanen pysyy ratkaistulla radallaan. Käytännössä monessatilanteessa säteilyn vaikutus voidaankin jättää huomiotta.Säteilyn merkitystä voidaan arvioida tutkimalla tilannetta, jossa hiukkasella(varaus q) kiihtyvyys on suuruusluokkaa a ajan T verran. Jos nopeus on201

202 LUKU 17. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄpaljon valon nopeutta pienempi, niin Larmorin kaavan perusteella hiukkasensäteilemä energia onW rad ∼ q2 a 2 T6πɛ 0 c 3 (17.2)Jos kyseessä on levosta lähtenyt hiukkanen, niin silloin sen liike-energia onluokkaa W kin ∼ m(aT ) 2 . SitenW radW kin∼q 26πɛ 0 mc 3 T = τ T(17.3)missä τ = q 2 /(6πɛ 0 mc 3 T ) on karakteristinen aika. Varauksellisista hiukkasistase on suurin elektroneille (∼ 10 −23 s), missä ajassa valo etenee matkancτ ∼ 10 −15 m. Jos taas kyseessä on jaksollinen liike amplitudilla d ja kulmataajuudellaω, niin W kin ∼ mω 2 d 2 , a ∼ ω 2 d ja T ∼ 1/ω. SilloinW rad∼ ωτ (17.4)W kinYhteenvetona voi todeta, että säteilyhäviöt ovat lyhytkestoisessa liikkeessämerkittäviä vain, jos hiukkasen liike muuttuu ulkoisten voimien takiamerkittävästi aikaskaalassa τ tai pituusskaalassa cτ. Pitkäkestoisessa liikkeessäkumuloituvat säteilyhäviöt on puolestaan aina otettava huomioon.17.2 Homogeeninen ja staattinen BOletetaan aluksi, että E =0jaB = vakio. Rajoitutaan lisäksi epärelativistiseentapaukseen v

17.2. HOMOGEENINEN JA STAATTINEN B 203missä ω c on pyörähdystaajuus, syklotronitaajuus tai Larmorin taajuusω c = qB/m (17.9)Koska ÿ = −ω c ẋ, niin integroimalla ja alkuehdot huomioimalla saadaanv y = −ω c x.Tällöin yhtälöstä ẍ = ω c ẏ seuraaẍ + ω 2 c x = 0 (17.10)ja sama yhtälö y-koordinaatille. Saadut yhtälöt kuvaavat harmonisia värähtelijöitä,joiden kulmataajuus on ω c . Ratkaisemalla hiukkasen rata nähdään,että ratakäyrän projektio xy−tasossa on ympyrä, jonka säde onr L = v ⊥|ω c | = mv ⊥|q|B(17.11)√Tässä v ⊥ = vx 2 + vy 2 on hiukkasen nopeus kohtisuoraan magneettikenttäävastaan. Tätä kutsutaan pyörähdyssäteeksi (Larmorin säteeksi). Pyörimisliikkeenkeskipistettä kutsutaan johtokeskukseksi (guiding center, GC).Yhteen kierrokseen kuluva aika, pyörähdysperiodi (Larmorin aika), onτ L = 2π|ω c |(17.12)Katsottaessa magneettikentän suuntaan myötäpäivään pyörivän hiukkasenvaraus on negatiivinen (HT).Näin hiukkasen liike on jaettu kahteen komponenttiin: vakionopeus v ‖kentän suuntaan ja pyörimisliike v ⊥ kenttää vastaan kohtisuoraan. Näidensumma on ruuviviiva. Ruuviviivan nousukulma määritellään kaavallatan α = v ⊥ /v ‖ (17.13)jotenα = arcsin(v ⊥ /v) = arccos(v ‖ /v) (17.14)Koordinaatistoa, jossa v ‖ = 0 kutsutaan johtokeskuskoordinaatistoksi(GCS) ja hiukkasen liikkeen jakamista GC:n liikkeeseen ja pyörimisliikkeeseenGC:n ympäri kutsutaan johtokeskusapproksimaatioksi.GCS:ssä varaus aiheuttaa sähkövirran I = q/τ L , johon liittyvä magneettinenmomentti onµ = IπrL 2 = 1 q 2 rL 2 B2 m = 1 mv⊥22 B= W ⊥B(17.15)Vektorimuodossa magneettinen momentti onµ = 1 2 q r L × v ⊥ (17.16)

204 LUKU 17. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄKoska pyörähdyssädevektorissa on mukana varauksen merkki, µ:n suunta onvarauksesta riippumatta vastakkainen taustan magneettikentälle eli vapaatvaratut hiukkaset muodostavat tässä mielessä diamagneettisen systeemin.Myös relativistinen liikeyhtälö ontässä tapauksessa helppo ratkaista.Koska liike-energia on vakio, niin γ on vakio. Liikeyhtälön komponentit ovatsiisγm˙v x = qBv yγm˙v y = −qBv x (17.17)γm˙v z = 0eli vakiotekijää γ lukuunottamatta samat kuin edellä. Pyörähdystaajuus onnyt ω c = qB/(γm).17.3 Homogeeniset ja staattiset B ja EOletetaan nyt, että vakiomagneettikentän lisäksi hiukkasiin vaikuttaa myössähkökenttä E = vakio. Magneettikentän suuntaiseksi epärelativistiseksi liikeyhtälöksituleem ˙v ‖ = qE ‖ (17.18)Tämä kuvaa kiihdytystä magneettikentän suuntaan. Tarkastellaan sittenpoikittaista sähkökenttää ja valitaan se x-akselin suuntaiseksi, jolloin˙v x = ω c v y + q m E xOttamalla jälleen toinen aikaderivaatta saadaan˙v y = −ω c v x (17.19)¨v x = −ωc 2 v x(¨v y = −ωc2 v y + E )xB(17.20)Sijoittamalla v ′ y = v y +E x /B saadaan yhtälöryhmä (17.8). Tässäkin tapauksessahiukkanen kieppuu GC:n ympäri, mutta nyt GC kulkeutuu y-akselinsuuntaan nopeudella E x /B. Vektorimuodossa kulkeutumisnopeus onv E = E × BB 2 (17.21)Tätä kutsutaan sähköiseksi kulkeutumiseksi tai E × B-kulkeutumiseksi(kuva 17.1). Kulkeutumisnopeus ei riipu varauksesta eikä hiukkasen massasta!

17.4. LIIKEYHTÄLÖ KANONISESSA FORMALISMISSA 205EBionielektroniKuva 17.1: Sähköinen kulkeutuminen.Edelläolevassa laskussa tehtiin itseasiassa Lorentzin muunnos sähkökentällehiukkasen mukana liikkuvaan koordinaatistoonE ′ = E + v × B (17.22)Koska tässä koordinaatistossa E’ =0,E = −v × B ja ratkaisemalla tästäv saadaan (17.21). Tämä koordinaatiston muunnos voidaan tehdä kaikilleriittävän heikoille ei-magneettisille voimille F ⊥ . Vektorimuodossadv ⊥dt= q m (v ⊥ × B)+ F ⊥m(17.23)Olettamalla, että F ⊥ aiheuttaa kulkeutumisen v D , tehdään muunnos v ⊥ =v ′ ⊥ + v D:dv ′ ⊥= q dt m (v′ ⊥ × B)+ q m (v D × B)+ F ⊥mGCS:ssä kahden viimeisen termin on kumottava toisensa, joten(17.24)v D = F ⊥ × BqB 2 (17.25)Tämä temppu edellyttää, että F/qB ≪ c. Jos F > qcB, ei johtokeskusapproksimaatiotayksinkertaisesti voi tehdä.Sijoittamalla ylläolevaan F ⊥ = qE saadaan tietenkin E×B-kulkeutuminen.Gravitaatiokenttä puolestaan johtaa kulkeutumiseenv g = mg × BqB 2 ∝ m (17.26)qGravitaatiokenttä separoi siis hiukkaset niiden m/q:n mukaan, muttei gravitaationsuuntaan vaan kohtisuoraan sitä ja magneettikenttää vastaan!17.4 Liikeyhtälö kanonisessa formalismissaHiukkasliikkeen käsittely voidaan tehdä elegantisti käyttäen mekaniikan kurssilta(toivottavasti) tuttua kanonista formalismia. Koska elektrodynamiikan

206 LUKU 17. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄesitietoina ei oleteta mekaniikan kurssia, tämä luku jää yleissivistäväksi(tärkeäksi) tiedoksi.Sijoitetaan sähkö- ja magneettikentät Lorentzin voiman lausekkeeseenskalaari- ja vektoripotentiaalien avulla:F = q(−∇ϕ − ∂ t A + ṙ × (∇×A)) (17.27)Muunnetaan tämä kanoniseen muotoon ilmaisemalla se riippumattomienmuuttujien r ja ṙ = v avulla. Käytetään seuraavassa merkintöjä ∂/∂r i =∂ i = ∇ i ja oletetaan summaus toistetun indeksin yli. Suorilla laskuillanähdään[ṙ × (∇×A)] i =ṙ j ∂ i A j − ṙ j ∂ j A i = ∂ i (ṙ · A) − (ṙ ·∇)AYhtälöiden dA/dt = ∂ t A +(ṙ ·∇)A ja ṙ j ∂ i A j = ∂ i (ṙ · A) avulla voimanlausekkeesta saadaanF = q[−∇ϕ −∇(ṙ · A) − d ]dt A (17.28)Koska ϕ ei riipu nopeudesta, voidaan kirjoittaaddt A i = d ( ) ∂(ṙ · A) = d ( )∂(−ϕ + ṙ · A)dt ∂ṙ i dt ∂ṙ iminkä avulla voiman i:s komponentti saadaan muotoonF i = − ∂ (qϕ − q ṙ · A)+ d ( )∂(−qϕ + q ṙ · A) (17.29)∂r i dt ∂ṙ iLorentzin voima on nyt ilmaistu Lagrangen mekaniikassa yleistetyn potentiaalinU = qϕ − q ṙ · A (17.30)avullam¨r i = − ∂U + d ∂U(17.31)∂r i dt ∂ṙ iLagrangen funktion L = m ṙ 2 /2 − U avulla liikeyhtälö saa muodon∂L∂r i− d dt∂L∂ṙ i= 0 (17.32)Nämä Lagrangen liikeyhtälöt ovat toista kertalukua. Niistä voidaan muodostaaensimmäisen kertaluvun yhtälöitä siirtymällä kanonisiin muuttujiinr i (kanoninen koordinaatti) ja π i = ∂L/∂ṙ i = mṙ i + qA i (kanoninenliikemäärä). Muodostetaan näiden muuttujien Hamiltonin funktioH(π, r,t) = ṙ i π i − L(r, ṙ,t) = ṙ i π i − 1 2 mṙ2 + qϕ − q ṙ · A= 12m (π − qA)2 + qϕ (17.33)

17.4. LIIKEYHTÄLÖ KANONISESSA FORMALISMISSA 207Kanoniset liikeyhtälöt ovat nytṙ i = ∂H∂π i= 1 m (π i − qA i ) (17.34)˙π i = − ∂H∂r i= − q ∂ϕ∂r i+ q m π · ∂A∂r i− q2m A · ∂A∂r i(17.35)joista alkuperäisen liikeyhtälön johtaminen on suoraviivainen HT.Kvanttimekaniikan Schrödingerin yhtälö voidaan ilmaista Hamiltoninfunktion avulla yleistämällä se kvanttimekaaniseksi operaattoriksi. Kun elektrodynamikkaaviedään kvanttitasolle, se tehdään nimenomaan tässä formalismissa,missä olennaista on kappaleen mekaanisen liikemäärän p = mvkorvaaminen sen sähkömagneettisella liikemäärällä mv + qA.

208 LUKU 17. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄ

Luku 18LisäaineistoaTähän on kerätty joitain luennoilla esitettyjä asioita, jotka eivät ehtineetmukaan alkuperäiseen luentomonisteeseen.18.1 Laplacen yhtälön ratkaisu laatikossa(Löytyy myös Jacksonin kirjasta.)Perusesimerkki Laplacen yhtälön yhtälön ratkaisemisesta on laatikko,jossa yhtä sivua lukuunottamatta potentiaali reunoilla on nolla. Olkoon nytlaatikkona alue 0

210 LUKU 18. LISÄAINEISTOATässä on tietoisesti valittu trigonometriset funktiot x- jay-suunnissa jahyperboliset funktiot z-suunnassa. Reunaehtoja soveltamalla nähdään heti,että voidaan valita A 2 = B 2 = C 2 = 0, kun separointivakiot α ja β toteuttavatseuraavat ehdot (reunaehdoista sivuilla x = a ja y = b):α = mπ/aβ = nπ/b (18.4)missä m, n ovat kokonaislukuja, ja ne voidaan rajoittaa lisäksi positiviisiksi.Myös kolmas separointivakio saa silloin vain diskreettejä arvoja:√γ = γ mn = π (m/a) 2 +(n/b) 2 (18.5)Tähän mennessä on siis saatu ratkaisuksiϕ(x, y, z) =∞∑m,n=1A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn z) (18.6)On helppo tarkastaa, ettätämä toteuttaa Laplacen yhtälön ja antaa potentiaaliksinollan vaadituilla reunoilla. Tuntemattomat kertoimet A mn saadaanasettamalla z = c:ϕ(x, y, c) =V (x, y) =∞∑m,n=1A mn sin(mπx/a) sin(nπy/b) sinh(γ mn c) (18.7)Loppu onkin Fourier-kertoimien määrittämistä. Olettamalla, että funktioV (x, y) on riittävän siisti, kertoimet saadaan laskettua ortogonaalisuusintegraalienavulla. Tämä lienee tuttua FYMM I:ltä.Edellä ei mietitty sitä mahdollisuutta, että jokin tai jotkin separointivakioistaolisivat voineet olla nollia. Huolellinen lukija tutkikoon erikseentämän tilanteen. Lyhyemmin voidaan kuitenkin todeta, ettälöydetty ratkaisuon selvästi kelvollinen ja yksikäsitteisyyslauseen mukaan ongelma on silläselvä.18.2 Pistevaraus eristepinnan lähellä(Löytyy myös Jacksonin kirjasta.)Tarkastellaan tilannetta, jossa xy-taso jakaa avaruuden kahteen homogeeniseeneristealueeseen: (z > 0,ɛ 1 )ja(z < 0,ɛ 2 ). Asetetaan varaus q pisteeseen(0, 0,d) alueeseen 1. Tehtävänä on laskea potentiaali koko avaruudessa.Oletetaan, ettei aineiden rajapinnalla ole varauksia.Tehtävän voisi ratkaista suoraan Poissonin yhtälöä käyttäen, mutta helpommallapäästään kuvalähdemenetelmän avulla. Otetaan mallia tilanteesta,

18.2. PISTEVARAUS ERISTEPINNAN LÄHELLÄ 211jossa varaus on maadoitetun johdetason yläpuolella. Silloin ongelma ratkeaapeilikuvavarauksella −q pisteessä (0, 0, −d). Eristeenkin tapauksessa potentiaalialueessa 1 voidaan yrittää esittää varauksen q ja jonkin alueessa 2sijaitsevan kuvavarauksen q ′ avulla. Yksinkertaisin arvaus on sijoittaa kuvavarauspisteeseen z = −d, jolloin potentiaali alueessa 1 on sylinterikoordinaateissalausuttuna Poissonin yhtälön toteuttavaϕ 1 (r, z) = 1 q( √4πɛ 1 r 2 +(z − d) + q ′2 √r 2 +(z + d) ) (18.8)2(Kiertosymmetrian vuoksi kannattaa käyttää sylinterikoordinaatistoa, muttatehtävä ratkeaa sujuvasti myös karteesisessa koordinaatistossa.)Alue 2 on eriste, joten johdetilanteesta poiketen sielläkin on kenttä. Koskaalueessa 2 ei ole varauksia, potentiaali toteuttaa siellä Laplacen yhtälön.Ainakin laskennallisesti kelvollinen ratkaisu alueessa 2 saadaan alueessa 1 sijaitsevankuvavarauksen q ′′ avulla, joka viisaasti sijoitetaan pisteeseen z = d.Tällöin potentiaali alueessa 2 onϕ 2 (r, z) = 14πɛ 2q ′′√r 2 +(z − d) 2 (18.9)Mikäli kuvavarausten suuruudet saadaan sovitettua siten, että reunaehdottoteutuvat, niin ongelma on ratkaistu. Reunaehtojen mukaan sähkövuontiheyden z-komponentti on jatkuva rajapinnalla (ei pintavarausta) samoinkuin sähkökentän r-komponentti. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa,että potentiaali on jatkuva. Näin saadaan yhtälöpariKuvavaraukset ovat sitenq − q ′ = q ′′1(q + q ′ )ɛ 1= 1 q ′′ɛ 2(18.10)q ′ = − ɛ 2 − ɛ 1qɛ 2 + ɛ 1q ′′ =2ɛ 2qɛ 2 + ɛ 1(18.11)Lukijalle jää harjoitustehtäväksi laskea polarisoitumaan liittyvä varaustiheysaineiden rajapinnalla. Jos väliaine 2 onkin johde, niin ratkaisu saadaanmuodollisesti asettamalla ɛ 2 äärettömäksi, jolloin potentiaali alueessa 2 häviääjaq ′ = −q.Viimeistään reunaehtoja sovellettaessa tuli selväksi, että kuvalähteetkannatti sijoittaa nimenomaan pisteisiin z = −d ja z = d. Paikkariippuvuudetsupistuvat silloin reunaehtoyhtälöistä kokonaan.

212 LUKU 18. LISÄAINEISTOALopuksi kannattaa muistuttaa, että kuvalähteet ovat vain kuvitteellisiaapuvälineitä, jotka eivät oikeasti sijaitse missään. Kun ratkaisu on löydetty,kuvalähteet voidaan vaikka unohtaa ja todeta suoraan saaduista lausekkeista,että kaikki vaadittavat yhtälöt reunaehtoineen toteutuvat.18.3 Vektoripotentiaalin multipolikehitelmäEsitetään tässä vaihtoehtoinen menetelmä vektoripotentiaalin multipolikehitelmänlaskemiseksi (Jackson). Luennoissa tutkitaan virtasilmukkaa, muttatässä oletetaan yleinen divergenssitön virrantiheys J, joka poikkeaa nollastavain äärellisessä tilavuudessa V .Koska vektoripotentiaalin integraaliesitys on samaa muotoa kuin sähköisenskalaaripotentiaalin, voidaan suoraan kirjoittaa vektoripotentiaalin komponentilleA lA l (r) = µ ∫04π (1 rJ l (r) dV ′ + r ∫r 3 ·Integraalien laskemiseksi käytetään seuraavaa aputulosta:r ′ J l (r) dV ′ + ...) (18.12)∇·(fgJ) =fJ ·∇g + gJ ·∇f (18.13)missä f ja g ovat vapaasti valittavia funktioita. Tässä myös käytettiin oletusta∇·J = 0. Integroimalla tilavuuden V yli saadaan∫(fJ ·∇g + gJ ·∇f) = 0 (18.14)(∇ ·(fgJ):n sisältävä integraali voidaan ulottaa yli koko avaruuden, koskaalueen V ulkopuolella virrantiheys on nolla. Muunnos pintaintegraaliksiantaa silloin nollan.)Integroitaessa multipolikehitelmän ensimmäistä termiä valitaan yksinkertaisestif =1jag = x l , jolloin ∫ J dV = 0 eli monopolitermiä ei magneettikentäntapauksessa ole.Seuraava eli dipolitermi käsitellään valitsemalla f = x l ,g = x n , jolloin∫∫r · r ′ J l dV ′ = x n x ′ n J l dV ′ = − 1 ∫2 x n (x ′ lJ n − x ′ nJ l ) dV ′ (18.15)missä summataan kahdesti esiintyvän indeksin n yli ja käytettiin kaavaa18.14. Integrandi muistuttaa vektoritulon komponenttia, ja pienen tarkastelunjälkeen huomataan, että∫r · r ′ J l dV ′ = − 1 ∫2 ɛ lnpx n (r ′ × J(r ′ )) p dV ′ (18.16)

18.4. RLC-PIIRI 213missä ɛ lnp on permutaatiosymboli ja summaus on nyt myös yli indeksin p.Lauseke sieventyy muotoon∫r · r ′ J l dV ′ = − 1 ∫2 (r × r ′ × J(r ′ ) dV ′ ) l =(m × r) l (18.17)missä m on virtajärjestelmän magneettimomentti.18.4 RLC-piiriKerrataan RLC-piirien perusasioita induktion ja sähkömagneettisen energianhavainnollistamiseksi. Asia lienee sinänsä tuttua peruskurssilta. Tarkastellaanyksinkertaista virtapiiriä, jossa on sarjaan kytkettynä vastus (resistanssiR), käämi (induktanssi L) ja kondensaattori (kapasitanssi C) (kuva18.1). Lisäksi piirissä onjännitelähde V (t).Valitaan kondensaattorin varauksen merkki ja virran positiivinen suuntakuvan mukaisesti, jolloin Kirchhoffin säännöstä saadaanV − L d2 I= RI + q/C (18.18)dt2 Derivoimalla ajan suhteen ja käyttämällä yhteyttä dq/dt = I saadaan virralletoisen kertaluvun differentiaaliyhtälöd 2 Idt 2 + R dIL dt + 1LC I = V L(18.19)Tarkastellaan ensin ideaalista tapausta, jossa piirin resistanssi on häviävänpieni (LC-piiri). Oletetaan, ettei piirissä myöskään ole jännitelähdettäV . Kyseessä on siis varatun kondensaattorin purkaminen käämin kautta.RL–qCqIVKuva 18.1: Yksinkertainen RLC-piiri. Kondensaattorin sen levyn varaus on+q, johon positiivinen virta tuo varausta, jolloin I = dq/dt.

214 LUKU 18. LISÄAINEISTOA10.80.60.40.2virta0-0.2-0.4-0.6-0.8-10 100 200 300 400 500 600 700aikaKuva 18.2: Vaimeneva värähtely RLC-piirissä. Katkoviivoilla on piirrettyvaimennusfunktion ±exp(−Rt/2L) kuvaaja.Tällöin yhtälö 18.1 on mekaniikasta tuttu harmonisen värähtelijän liikeyhtälö,ja värähtelyn kulmataajuus on ω =1/ √ LC. Jos kondensaattorin varauson aluksi Q, niin ajan funktiona se muuttuu sinimuotoisesti: q(t) =Q cos ωt ja virta on I(t) =−ωQ sin ωt. Systeemin sähkömagneettinen energiaon U(t) =LI 2 /2+q 2 /(2C) =Q 2 /(2C) eli koko ajan sama kuin kondensaattorinsähköstaattinen energia aluksi. Kokonaisenergia siis säilyy, sevain jakautuu sähkö- ja magneettikentän energiaksi (säteilyhäviöitä eitässäoteta huomioon).Kondensaattorin varaus alkaa aluksi purkautua käämin kautta. Itseinduktiontakia tämä ei tapahdu silmänräpäyksessä. Induktiovirta kulkee myössen hetken jälkeen, jolloin kondensaattorin varaus on nolla. Virta kulkee niinkauan samaan suuntaan, että levyjen varaukset ovat alkutilaan nähden vastakkaismerkkiset.Sen jälkeen kondensaattorin varaus alkaa taas purkautuajne.Todellisessa piirissä on aina jonkin verran resistanssia. Tilanteen laskennallinentarkastelu on suoraviivaista differentiaaliyhtälöiden käsittelyä eikäsitä käydä tässä läpi. Mainitaan vain esimerkiksi tilanne, jossa piiriin kytketääntasajännite V hetkellä t = 0, ja kondensaattori on alkuhetkellä varaamaton.Piirin virta on silloinI(t) =(V 0 /ωL)e −Rt/(2L) sin ωt (18.20)missä ω = √ 1/LC − (R/(2L)) 2 . Kulmataajuus ω voi tässä tapauksessa ollaimaginaarinen, mutta joka tapauksessa piirin virta vaimenee eksponentiaalisesti.Kuvassa 18.2 on esitetty tilanne, jossa ω on reaalinen.

18.5. LORENTZ-MUUNNOS 21518.5 Lorentz-muunnos(Lähde: K. ja R. Kurki-Suonio, Vuorovaikuttavat Kappaleet)Liikkukoon koordinaatisto K’ koordinaatiston K suhteen vakionopeudellav. Havaitsijat Oja O’ havaitsevat saman tapahtuman ja määrittävät senpaikan ja hetken: (x, y, z, t) ja(x ′ ,y ′ ,z ′ ,t ′ ). Lisäksi oletetaan, että heilläyhteinen fysikaalisiin ilmiöihin perustuva standardi, jonka perusteella hekäyttävät samoja mittayksiköitä.Etsitään havaintojen välinen yhteys käyttäen neljää yleistä ehtoa.Ehto 1. Aika ja avaruus ovat homogeenisia. Kahden infinitesimaalisen lähekkäisentapahtuman siirtymien ja aikavälien välinen muunnos (dr,dt) ↔(dr ′ ,dt ′ ) on silloin sama aina ja kaikkialla eli niiden välillä on lineaarinenyhteys. Tästä seuraa, että myös koordinaattien välinen yhteys on lineaarinen:x ′ = a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 t + e 1y ′ = a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 t + e 2z ′ = a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 t + e 3t ′ = a 4 x + b 4 y + c 4 z + d 4 t + e 4missä kertoimet a i ,b i ,c i ,d i ovat vakioita.Yleisyyttä rajoittamatta voidaan sopia, että koordinaatistojen origotyhtyvät kummankin nollahetkellä. Voidaan myös sopia, että koordinaattiakselitovat samansuuntaisia ja että K’ liikkuu K:n x-akselia pitkin positiiviseensuuntaan. Tällöin yhtälöryhmä yksinkertaistuu muotoonx ′ = ax + bty ′ = yz ′ = zt ′ = hx + ktEhto 2. Koordinaatistojen suhteellinen nopeus on kummankin havaitsijanmielestä sama. Tällöin K’:n origossa hetkellä t ′ sattuva tapahtuma havaitaanK:ssa hetkellä t pisteessä x = vt tapahtuvaksi: (vt, t) ↔ (0,t ′ ). Vaaditunsymmetrian mukaan pätee vastaavasti (0,t) ↔ (−vt ′ ,t ′ ). Sijoittamallamuunnoskaavoihin saadaan0 = avt + btt ′ = hvt + kt−vt ′ = btt ′ = kt

216 LUKU 18. LISÄAINEISTOAMuunnos siis pelkistyy muotoonx ′ = k(x − vt)y ′ = yz ′ = zt ′ = k(t − αx)missä α = h/k.Ehto 3. Valon nopeus c on absoluuttinen. Tämä on ratkaiseva ero klassiseenGalilei-muunnokseen verrattuna. Ajatellaan, että yhteisellä nollahetkellä yhteisessäorigossa tapahtuu valonvälähdys. Valon saapuminen mielivaltaisessapisteessä olevaan ilmaisimeen havaitaan hetkillä t ja t ′ . Tapahtumien vastaavuuson (x = ct, t) ↔ (x ′ = ct ′ ,t ′ ), koska c on sama kummankin havaitsijanmielestä. Tästä seuraa, ettäct ′ = k(ct − vt)t ′ = k(t − αct)ja voidaan ratkaista α = v/c 2 .Ehto 4. Käänteismuunnos saadaan symmetrisesti vaihtamalla nopeudenetumerkki eli molempien inertiaalikoordinaatistojen on oltava samassa asemassa(vrt. ehto 2). Tällöinx = k(x ′ + vt ′ )t = k(t ′ + vx ′ /c 2 )Näin voidaan ratkaista k =1/ √ 1 − (v/c) 2 .Lorentz-muunnoskaavat ovat siisx ′ =x − vt√1 − (v/c) 2y ′ = yz ′ = zt ′ =t − vx/c 2√1 − (v/c) 2ja kääntäenx =x ′ + vt ′√1 − (v/c) 2y = y ′z = z ′t = t′ + vx ′ /c 2√1 − (v/c) 2

Sisältö1 Johdanto 31.1 Mikä tämä kurssi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Hieman taustaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Elektrodynamiikan perusrakenne . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Kirjallisuutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Staattinen sähkökenttä 92.1 Sähkövaraus ja Coulombin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Sähkökenttä ............................ 112.3 Sähköstaattinen potentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4 Gaussin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.1 Maxwellin ensimmäinen yhtälö ............. 132.4.2 Gaussin lain soveltamisesta . . . . . . . . . . . . . . . 142.5 Sähköinen dipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Sähkökentän multipolikehitelmä ................. 192.7 Pistevarauksen jakautuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.8 Poissonin ja Laplacen yhtälöt .................. 202.9 Laplacen yhtälön ratkaiseminen . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.9.1 Muuttujien erottelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.9.2 Ratkaisu pallokoordinaateissa . . . . . . . . . . . . . . 262.9.3 Ratkaisu sylinterikoordinaateissa . . . . . . . . . . . . 282.10 Peilivarausmenetelmä ...................... 292.11 Poissonin yhtälön ratkaisemisesta . . . . . . . . . . . . . . . . 31217

218 SISÄLTÖ3 Sähkökenttä väliaineessa 353.1 Sähköinen polarisoituma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Polarisoituman aiheuttaman sähkökentänmäärittäminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Sähkövuon tiheys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Dielektrisyys ja suskeptiivisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.5 Sähkökenttä rajapinnalla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Sähköstaattinen energia 474.1 Varausjoukon potentiaalienergia . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energia . . . . . . . . . . 484.3 Sähköstaattisen kentän energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4 Sähkökentän voimavaikutukset . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 Staattinen magneettikenttä 555.1 Sähkövirta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1.1 Jatkuvuusyhtälö ..................... 565.1.2 Ohmin laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.1.3 Stationaariset virtaukset . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.2 Magneettivuon tiheys - Biot’n ja Savartin laki . . . . . . . . . 605.3 Ampèren laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4 Lorentzin voima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5 Virtasilmukan magneettimomentti . . . . . . . . . . . . . . . 655.6 Magneettikentän potentiaaliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . 675.6.1 Vektoripotentiaali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.6.2 Magneettikenttä kaukana virtasilmukasta . . . . . . . 685.6.3 Magneettikentän skalaaripotentiaali . . . . . . . . . . 695.7 Magneettivuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716 Magneettikenttä väliaineessa 736.1 Magnetoituma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.2 Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttä ........... 75

SISÄLTÖ 2196.3 Magneettikentän voimakkuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.4 Suskeptiivisuus ja permeabiliteetti . . . . . . . . . . . . . . . 776.5 Magneettikenttävektoreiden reunaehdot rajapinnalla . . . . . 786.6 Reuna-arvo-ongelmia magneettikentässä ............ 797 Sähkömagneettinen induktio 837.1 Faradayn laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.2 Itseinduktanssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.3 Keskinäisinduktanssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.4 Pähkinä purtavaksi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908 Magneettinen energia 918.1 Kytkettyjen virtapiirien energia . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2 Magneettikentän energiatiheys . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.3 Magneettikentän voimavaikutus virtapiireihin . . . . . . . . . 959 Maxwellin yhtälöt 999.1 Siirrosvirta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.2 Maxwellin yhtälöt ........................1019.3 Sähkömagneettinen energia ja liikemäärä ............1029.3.1 Poyntingin teoreema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1029.3.2 Maxwellin jännitystensori . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3.3 Liikemäärän säilyminen . . . . . . . . . . . . . . . . . 1069.4 Sähkömagneettinen kenttä rajapinnalla . . . . . . . . . . . . . 1079.5 Aaltoyhtälö ja kenttien lähteet . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.5.1 Aaltoyhtälö tyhjössä ...................1109.5.2 Potentiaaliesitys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109.5.3 Viivästyneet potentiaalit . . . . . . . . . . . . . . . . . 1119.5.4 Aaltoyhtälön Greenin funktio . . . . . . . . . . . . . . 1139.6 Mittainvarianssi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

220 SISÄLTÖ10 Sähköiset ja magneettiset materiaalit 11910.1 Molekulaarinen polarisoituvuus . . . . . . . . . . . . . . . . . 12010.2 Ionikiteen sähköstaattinen energia . . . . . . . . . . . . . . . 12210.3 Sähkönjohtavuus mikroskooppisesti . . . . . . . . . . . . . . . 12310.4 Molekulaarinen magneettikenttä ................12510.5 Para- ja diamagnetismista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12510.6 Ferromagnetismi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12810.7 Epälineaariset energiahäviöt...................12911 Sähkömagneettiset aallot 13311.1 Tasoaallot eristeessä .......................13311.2 Aaltojen polarisaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13711.3 Sähkömagneettisen aallon energia . . . . . . . . . . . . . . . . 13811.4 Tasoaallot johteessa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14011.5 Palloaallot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14212 Aaltojen heijastuminen ja taittuminen 14712.1 Kohtisuora saapuminen kahden eristeen rajapinnalle . . . . . 14712.2 Saapuva aalto mielivaltaisessa kulmassa . . . . . . . . . . . . 14912.3 Druden ja Lorentzin oskillaattorimalli . . . . . . . . . . . . . 15413 Aaltoputket ja resonanssikaviteetit 15913.1 Sylinteriputki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15913.2 Suorakulmainen aaltoputki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16213.3 Resonanssikaviteetit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16414 Liikkuvan varauksen kenttä 16714.1 Liénardin ja Wiechertin potentiaalit . . . . . . . . . . . . . . 16714.2 Kenttien laskeminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16814.2.1 Vakionopeudella liikkuvan varauksen kenttä ......17114.2.2 Kiihtyvässä liikkeessä olevan varauksen kenttä ....173

SISÄLTÖ 22115 Säteilevät systeemit 17515.1 Värähtelevän dipolin kenttä ...................17515.2 Puoliaaltoantenni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17815.3 Liikkuvan varausjoukon aiheuttama kenttä ...........18015.4 Aallon vaimeneminen ja Thomsonin sironta . . . . . . . . . . 18216 Elektrodynamiikka ja suhteellisuusteoria 18516.1 Lorentzin muunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18516.2 Tensoriformalismia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18816.3 Lorentzin muunnokset ja dynamiikka . . . . . . . . . . . . . . 19016.4 Elektrodynamiikan kovariantti formulointi . . . . . . . . . . . 19416.5 Kenttien muunnokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19616.6 Potentiaalien muunnokset . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19816.7 Säilymislait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19917 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä 20117.1 Säteilyhäviöiden vaikutus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20117.2 Homogeeninen ja staattinen B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20217.3 Homogeeniset ja staattiset B ja E . . . . . . . . . . . . . . . . 20417.4 Liikeyhtälö kanonisessa formalismissa . . . . . . . . . . . . . . 20518 Lisäaineistoa 20918.1 Laplacen yhtälön ratkaisu laatikossa . . . . . . . . . . . . . . 20918.2 Pistevaraus eristepinnan lähellä .................21018.3 Vektoripotentiaalin multipolikehitelmä .............21218.4 RLC-piiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21318.5 Lorentz-muunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214