Kertaustehtäviä - Lahti

Hannu Lehto – p. 1/9Maa13Kertaustehtäviä

Hannu Lehto – p. 2/91. Derivaatta1. Tarkastellaan funktiota f(x) = √ x.a) Määritä käyttäen derivaatan määritelmää f ′ (2).b) Tutki, onko funktiolla f(x) oikeanpuoleista derivaattaakohdassa x = 0.2. Tutki funktion f(x) ={6x − 5, x ≤ 13x 2 − 2x, x > 1derivoituvuutta.3. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio{ax 2 , x ≤ 1f(x) =x 2 + bx, x > 1on derivoituva kohdassa x = 1.

Hannu Lehto – p. 3/92. Funktion raja-arvo äärettömyydessä ja raja-arvo ∞1. Määritä seuraavien funktioiden raja-arvo, kun x → ∞:a) 2x 2 − xx 3 + 5xb)x − √ x + 12. Millä vakion a arvoilla raja-arvoc x − 1√x 2 − 1lim x→ax 2 − 2x − 3x 2 − a 2on olemassa. Laske myös kyseiset raja-arvot.

Hannu Lehto – p. 4/93. Murtofunktion kulku, erityisesti asymptootit1. Määritä funktionasymptootit.2. Määritä funktionasymptootit ja ääriarvot.f(x) = x3 + 2x + 1x 2 + 3xf(x) = x2 + 1x 2 − 1

Hannu Lehto – p. 5/94. Lukujonon raja-arvo1. Määritä lukujonona n = n2 + 13n 2 − 1 , n ∈ Z +raja-arvo. Mistä indeksin n arvosta lähtien lukujonon jäsenetpoikkeavat tästä raja-arvosta vähemmän kuin 10 −3 ?2. Osoita, että lukujonoa n = 1 n − 1n + 1 , n ∈ Z +on aidosti vähenevä, ts. a n > a n+1 kaikilla n:n arvoilla.

5. Geometrinen jono ja geometrinen summa1. N. tallettaa joka vuoden alussa tilille 500e. Tilin korkoon5%. Kuinka paljon tililä on rahaa kymmenennentalletusvuoden lopussa?2. Millä muuttujan x arvoilla seuraavat lukujonot suppenevat?a) a n = (4x + 3) n , n ∈ Z + b) a n = (x 2 − 4) n , n ∈ Z +Hannu Lehto – p. 6/9

Hannu Lehto – p. 7/96. Sarja ja sarjan suppeneminen1. Tutki seuraavien sarjojen suppenemista. Määritämahdollinen summa.a)∞∑ k + 1kb)c)∞∑k=2k=1∞∑5 · 3 −kk=1( 1k − 1 − 1 )k + 1

Hannu Lehto – p. 8/96. Geometrinen sarja1. Millä muuttujan x ∈ R arvoilla sarja∞∑k=1suppenee. Laske myös summa.2. Ratkaise yhtälö( ) x + 1 kx − 11x + x + x2 + x 3 + · · · < −23. Millä x:n arvoilla seuraava sarja suppenee?∞∑cos k xk=1

Hannu Lehto – p. 9/97. Epäolennainen integraali ja jatkuva jakauma1. Osoita, että funktiof(x) ={e −x x > 00 x ≤ 0on erään satunnaismuuttujan x tiheysfunktio.2. Funktio{1x 2 x ≤ −1f(x) =0 x > −1on erään satunnaismuuttujan x tiheysfunktio. Määritä tämänsatunnaismuutujan kertymäfunktio ja laske todennäköisyysP(−2 < x < −1,5).