Tehtävät

Elektroniikan lämmönsiirto 20072. laskuharjoitukset keskiviikkona 10.10. klo 15.15−16.45 luokassa 1041. Voimalaitosten höyryputkistot päällystetään useammalla eriaineisella kerroksella, koskaedullisimmat eristeet eivät kestä tulistetun höyryn lämpötilaa. Eräs teräksinen höyryputki,jonka halkaisija on 20 cm, on päällystetty kahdella kerroksella, joista sisempi on 10 cmpaksua, korkeaa lämpötilaa hyvin sietävää ja kallista keraamista eristettä lämmönjohtavuudeltaan0,095 W/(m⋅K) ja ulompi 5 cm paksua, arempaa ja halvempaa mineraalivillaalämmönjohtavuudeltaan 0,052 W/(m⋅K). Tiedetään, että putken lämpöhäviö pituusyksikköäkohti on 210 W/m ja että uloimman pinnan lämpötila on 40 °C. Oletetaan, että eristeidenvälinen lämpökontakti on erinomainen. Laske lämpötilat a) eristekerrosten rajapinnassa,b) sisemmän eristeen sisäpinnassa ja c) sisemmän eristekerroksen puolivälissä.Vastaukset: a) 183 °C, b) 427 °C, c) 285 °C.Huom.: Karkein oletus on lämmönjohtavuuksien pitäminen vakioina. Todellisuudessa neriippuvat lämpötilasta ja lämpötilat vaihtelevat kerrosten sisällä tässä niin paljon, ettäriipuvuus pitäisi ottaa huomioon. Se kuitenkin monimutkaistaisi laskuja olennaisesti.2. Onton pallon sisäpinnalla, jonka säde on r s , lämpötila on vakaa T s ja ulkopinnalla, jonkasäde on r u , lämpötila on vakaa T u . Laske lämpötila pintojen välissä etäisyydellä r pallonkeskipisteestä.Ohje: Esimerkki 2.8. Vastaus: T s + [(T u − T s ) / (1/r s −1/r u )](1/r s −1/r ).3. Laske a) lämpötilajakauma ja b) lämpövirta äärettömän pitkässä puikkorivassa.Ohje: Ota raja-arvot kaavoista (2.59) ja (2.64).Vastaukset: a) T ∞ + (T 0 − T ∞ ) exp(−m x), b) (hp/m)(T 0 − T ∞ ).4. Johda kaava (2.64) käyttämällä Fourier'n lakia (2.2) kaavaan (2.59).5. Duralumiinista valmistetun jäähdytysrivan pituus on 20,0 mm ja poikkileikkaus ontasasivuinen kolmio, jonka kunkin sivun pituus on 2,0 mm. Rivan alustan lämpötila on80,0 °C ja ripaa ympäröivän ilman 20,0 °C. Konvektiivinen lämmönsiirtymiskerroin(sisältäen myös säteilyn vaikutuksen) on 9,00 W/(m 2 ⋅K). Duralumiinin lämmönjohtavuusoletetaan vakioksi 180 W/(m⋅K). (Todellisuudessa sen vaihtelu ko. lämpötilavälillä on n.5 %.) Pitäen ripaa ohuena, laske a) rivan lämpövirta sekä lämpötila rivan b) puolivälissä jac) kärjessä. d) Laske rivan kärjen lämpötila olettamatta ripaa ohueksi ja ilmoita c-kohdanlaskun suhteellinen virhe.Vastaukset: a) 63 mW, b) 78,5 °C, c) 78,0 °C d) 0,07 % liian suuri.

Elektroniikan lämmönsiirto 20073. laskuharjoitukset keskiviikkona 24.10. klo 15.15−16.45 luokassa 1041. Osoita matemaattisesti, että ihanteellisen rivan lämpövirta (2.69) saadaan raja-arvonavastaavan todellisen rivan lämpövirrasta (2.64), kun lämmönjohtavuuden annetaan kasvaarajatta.Ohje: Käytä l'Hospitalin sääntöä, mutta sitä ennen muuttujaksi kannattaa ottaa lämmönjohtavuudensijasta parametri "m".2. Rivoitettua kohdetta jäähdytetään virtaavalla nesteellä, jonka lämpötila on 200 °C alempikuin kohteen. Konvektiivinen lämmönsiirtymiskerroin on 2,8 kW/(m 2 ⋅K) ja rivoitukseenkäytetään duralumiinia, jonka lämmönjohtavuus kyseisellä lämpötilavälillä on keskimäärin187 W/(m⋅K). Ripojen leveyden on oltava 40 mm ja pituuden 20 mm. Matemaattisestivoidaan osoittaa, että massayksikköä kohti tehokkain jäähdytysripa on tyyppiä 4 taulukossaA.F. Mills Table 2.2, kun rivassa parametrien tulo β L = 2 . a) Kuinka paksuja tämänkohteen ripojen pitää olla tyvestään, jos käytetään mainittua ripatyyppiä ja rivaston massahalutaan minimoida? b) Kuinka suuri on yhden rivan massa? (Ks. tiheys MAOL-taulukosta.)c) Kuinka suuri on yhden rivan lämpövirta?Vastaukset: a) 6,0 mm, b) 4,5 g, c) 455 W.3. Laske rivan a) lämpövirta ja b) massa edellisen tehtävän tapauksessa, jos rivan tyypiksi olisivalittu taulukon tyyppi 3, mutta mitoitus (leveys, pituus ja tyven paksuus) tehty samoin.c) Laske lämpövirta massayksikköä kohti kummankin rivan tapauksessa:Vastaukset: a) 510 W, b) 6,7 g, c) 102 kW/kg ja 76 kW/kg.4. Hiiliteräksisen, 3,0 cm paksun ja 20 cm × 20 cm laajan levyn etupintaan on hitsattu 25 kplsamasta teräksestä sorvattuja, kartiomaisia jäähdytysripoja, joiden pituus on 5,0 cm jahalkaisija tyven kohdalla 1,0 cm. Levyn takapinnan lämpötila on 210 °C ja rivastoaympäröivän ilman lämpötila on 25 °C. Hiiliteräksen lämmönjohtavuus kyseisellä lämpötilavälilläon keskimäärin 59 W/(m⋅K) ja konvektiivinen lämmönsiirtymiskerroin oletetaanvakioksi 9,44 W/(m 2 ⋅K). Laske a) rivoitetun pinnan kokonaislämpöresistanssi, b) lämpövirtaja c) lämpövirta siinä tapauksessa, ettei etupintaa olisi rivoitettu.Ohjeita: Kartiomainen puikkoripa löytyy taulukosta A.F. Mills Table 2.2 ja ominaisuuksialaskettaessa tarvitaan mm. Mathematical Handbookin kaavaa 27.46.Vastaukset: a) 1,8 K/W, b) 99 W, c) 70 W.5. Kuinka monta käytetyn tyyppistä ripaa edellisen tehtävän teräslevyssä pitäisi olla, jottajäähdytysteho olisi kaksi kertaa niin suuri kuin täysin rivattoman levyn tapauksessa?Vastaus: 58 kpl.

Elektroniikan lämmönsiirto 20074. laskuharjoitukset keskiviikkona 7.11. klo 12.15−13.45 luokassa 104Huomaa aiemmista kerroista muuttunut kellonaika!1. Olkoon esimerkin 2.14 tapauksessa a = b = 50 cm, T C = 0,0 °C ja T H = 100,0 °C. a) Toteaarvojen perusteella, että kaavassa (2.125) oleva sarja suppenee nopeasti pisteissä (x, y) =(5 cm, 5 cm) ja (25 cm, 5 cm), mutta ei suppene nopeasti pisteessä (5 cm, 45 cm). b) Laskekunkin edellä mainitun kolmen pisteen tapauksessa sarjan viisi ensimmäistä termiä. c) Esitälikiarvot lämpötiloille pisteissä (5 cm, 5 cm) ja (25 cm, 5 cm).Vastaukset: b) 0,01088, 0, 6,03⋅10 −5 , 0, 1,77⋅10 −7 ja 0,03521, 0, −7,46⋅10 −5 , 0, 1,77⋅10 −7 sekä0,2869, 0, 0,1338, 0, 0,0529 c) 1,1 °C ja 3,5 °C.2. Laske likiarvot lämpövirran tiheyksille edellisen tehtävän pisteissä (5 cm, 5 cm) ja(25 cm, 5 cm), kun särmiön lämmönjohtavuus on 100 W/(m⋅K).Vastaus: −2,1 kW/m 2 î − 2,3 kW/m 2 ĵ ja −7,3 kW/m 2 ĵ.3. Laske esimerkin 2.16 öljyputken a) lämpötila loppupäässä ja b) lämmönhukkateho siinätapauksessa, että putki on ympäröity 15 cm paksulla eristeellä, jonka lämmönjohtavuus on30 mW/(m⋅K).Ohjeita: Tee kaikki ratkaisun mahdollistavat lisäoletukset kuin esimerkissäkin. Lisäksi oletaeristekerroksen ulkopinnan lämpötila samaksi joka puolella putkea. (Eristämättömän putkentapauksessa oli olemattakin selvää, ettei putken ulkopinnan lämpötila olennaisesti vaihtelepoikittaisissa suunnissa, mutta hyvän eristeen tapauksessa tämä on karkea oletus.)Vastaukset: a) 98 °C, b) 110 kW.4. Radioaktiivinen jäte on väliaikaisesti varastoitu hautaamalla se pallonmuotoisessa,erinomaisesti lämpöä johtavassa säiliössä kuivaan maahan, jonka lämmönjohtavuus on0,60 W/(m⋅K). Pallon halkaisija on 2,0 m ja keskipiste 5,0 m maanpinnan alapuolella. Jätetuottaa jatkuvasti lämpöä 500 W teholla. Laske kuinka suureksi säiliön lämpötila voikorkeintaan nousta, kun tiedetään, ettei maanpinnan lämpötila seudulla koskaan ylitä 30 °C.Ohjeita: Tee kaikki lisäoletukset, jotka ratkaiseminen muototekijämenetelmällä vaatii.Vastaus: 90 °C.5. Esimerkin 2.18 seudulla (ts. maanpinnan keskilämpötila talvisin 5 °C jne.) vesijohdotsijoitettiin varmuuden vuoksi 75 cm syvyyteen. Eräänä poikkeuksellisena talvenapintalämpötila kuitenkin laski yllättäen −15 °C:een. Kuinka kauan näin kovan pakkasenpitäisi maanpinnalla jatkua, ennen kuin jäätyminen alkaisi uhata noita putkia?Vastaus: 12 vrk.

Elektroniikan lämmönsiirto 20075. laskuharjoitukset keskiviikkona 21.11. klo 12.15−13.45 luokassa 1041. Pojat sytyttivät kellarin paksulle betonilattialle nuotion, joka tuottaa lämpöä 50 kW/m 2 .Betonin tiheys on 2100 kg/m 3 , lämmönjohtavuus 1,4 W/(m⋅K) ja ominaislämpökapasiteetti920 J/(kg⋅K). a) Kauanko kestää, ennen kuin lattian pintalämpötila on noussut 200 °C:een,jos se nuotion sytyttämishetkellä oli 20 °C? b) Kuinka suuri tällöin on betonin lämpötila1 cm syvyydellä?Ohje: Lattiaa voidaan pitää puoliäärettömänä kappaleena.Vastaukset: a) 28 s, b) 31 °C.2. Eräällä seudulla maanpinnan lämpötila vaihtelee aamuöisen −10 °C ja iltapäiväisen +12 °Cvälillä. Vähintään kuinka syvälle vesijohdot pitää siellä jäätymisen estämiseksi sijoittaa, kunmaan tiheys on 1500 kg/m 3 , lämmönjohtavuus 0,95 W/(m⋅K) ja ominaislämpökapasiteetti1100 J /(kg⋅K)?Ohje: Lämpötilan vuorokautista vaihtelua voidaan pitää sinimuotoisena.Vastaus: 30 cm.3. Kätesi lämpötila on +32 °C, kun otat kintaan pois ja tartut kaiteeseen, jonka lämpötila on on−28 °C. Laske, minkä lämpöiseltä kaide käteesi tuntuu eli mikä on kaiteen ja ihosi rajapinnanlämpötila, jos kaide on a) puuta tai b) kuparia.Ohjeita: Pidä kappaleita puoliäärettöminä. Käden pintakerroksen lämmönjohtavuus on0,37 W/(m⋅K), tiheys noin 900 kg/m 3 ja ominaislämpökapasiteetti noin 4 kJ/(kg⋅K). Katsopuun ja kuparin tiedot MAOL-taulukoista.Vastaukset: a) +20 °C, b) −26 °C.4. Laske tunketumissyvyys a) esimerkin 2.19 ja b) tämän harjoituksen 1. tehtävän tapauksissa.Vastaukset: a) 2 α t / π , b) 5,0 mm.5. Johda kaavoista (2.197) ja (2.204) kaava (2.205), kun kappaleena on laaja levy, jonkapaksuus on 2L.

Elektroniikan lämmönsiirto 20076. laskuharjoitukset maanantaina 10.12. klo 14.15−15.45 luokassa 216Huomaa, että harjoituskerta 5.12. muutettiin luennoksi ja että näiden viimeisten harjoitustenviikonpäivä, kellonaika ja paikka poikkevat aikaisemmista kerroista.1. a) Kuinka korkeaksi olisi lämpötila esimerkin 2.25 teräsnauhan keskipisteessä noussut,mikäli nauhaa olisi pidetty uunissa kaksi kertaa niin pitkä aika kuin esimerkissä laskettiin?Montako prosenttia lämpöenergiaa nauhaan siirtyi b) esimerkin ja c) a-kohdan pituisessakuumennuksessa suhteessa siihen lämpömäärään, joka olisi siirtynyt, jos nauhaa olisi pidettyuunissa viikkotolkulla? Kuinka suuri oli nauhan keskimääräinen lämpötila, kun sitä olikuumennettu d) esimerkissä ja e) a-kohdassa lasketun pituinen aika?Vastaukset: a) 561 °C, b) 51,5 %, c) 76,5 %, d) 522 °C ja e) 562 °C.2. a) Tutki, mistä tapaustyypistä (1, 2, 3 vai 4) olisi kysymys, jos tilanne olisi muutoin aivankuten esimerkissä 2.25, mutta i) nauhan paksuus olisi 20 mm, ii) nauhan paksuus olisi160 mm, iii) nauhan paksuus olisi 20 mm ja konvektiivinen lämmönsiirtymiskerroin olisi800 W/(m 2 ⋅K), iv) nauhan paksuus olisi 160 mm ja konvektiivinen lämmönsiirtymiskerroinolisi 2000 W/(m 2 ⋅K) sekä v) nauhan paksuus olisi 160 mm, konvektiivinen lämmönsiirtymiskerroinolisi 2000 W/(m 2 ⋅K) ja nauhan alkulämpötila olisi 515 °C. b) Laske esimerkissäkysytty aika a-kohdan i-tapauksessa ja arvioi tuo aika v-tapauksessa.Vastaukset: a) i) 1, ii) 4, iii) 4, iv) 4 ja v) 3, b) i) 4,2 min ja v) noin 1,5 min.3. Savitiili, jonka koko on 5 cm × 10 cm × 20 cm ja tasainen alkulämpötila 500 °C, asetetaanuuniin, jonka lämpötila on 1700 °C. a) Kuinka suuri on tiilen keskipisteen lämpötila puolentunnin kuluttua, kun säteilyn vaikutusta ei oteta huomioon, konvektiivinen lämmönsiirtymiskerroinon 100 W/(m 2 ⋅K), tiilen lämmönjohtavuus kyseisellä lämpötilavälillä on keskimäärin1,4 W/(m⋅K), tiheys 2645 kg/m 3 ja ominaislämpökapasiteetti 960 J/(kg⋅K)? b) Kuinkapaljon tiileen siirtyy lämpöä tuona aikana?Vastaukset: a) Noin 1500 °C ja b) noin 2,8 MJ. (Huomaa, ettei vastauksia voidaan antaakahta merkitsevää numeroa suuremmalla tarkkuudella, koska yhdessä kolmesta suunnastaon kysymyksessä tapaustyyppi 3, jonka yhteydessä ratkaisuun on käytettävä käyrästöjä.)4. Erään laitteen jäähdytyskanavan läpi puhalletaan ilmaa 1,5 litraa sekunnissa. LaskeReynoldsin luku ja arvioi konvektiivinen lämmönsiirtymiskerroin kanavan sisäpinnalla,kaukana kanavan suusta, jos kanavan poikkileikkaus on a) suorakulmio, jonka sivut ovat20 mm ja 160 mm, b) ympyrä, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin a-kohdan suorakulmiollatai c) ympyrä, jonka pinta-ala on kymmenesosa a-kohdan suorakulmion pinta-alasta. Otalaskuissa huomioon, että kanavassa ilman lämpötila nousee siten, että tiheys on keskimäärin30 % pienempi ja lämmönjohtavuus sekä dynaaminen viskositeetti puolestaan ovat keskimäärin30 % suurempia kuin normaatilassa, mutta ettei ilman ominaislämökapasiteettilämpötilan muuttuessa olennaisesti muutu.Ohjeita: Huomaa, että sisäänpuhalletun ilman tilavuus on ilmoitettu normaalitilassa ja etteiilman massavirtaama voi matkalla muuttua. Vrt. esimerkki 3.2, mutta tarvitset nyt myösA.F. Millsin taulukkoa 4.5.Vastaukset: a) 993, n. 6 W/(m 2 ⋅K), b) 1782, n. 2 W/(m 2 ⋅K), a) 5635, n. 20 W/(m 2 ⋅K).5. Laitteessa on yksi pystysuora, ohut jäähdytyslevy, jonka korkeus on 20 mm, leveys 50 mmja pintalämpötila keskimäärin 60 °C. Laite sijaitsee avarassa huoneessa, jonka ilman jaseinien lämpötila on 20 °C. Laske kokonaislämpövirta levystä huoneeseen, jos a) huoneessailma seisoo ja levy on kiillotettua alumiinia emissiivisyydeltään 0,05, b) levyä peittää maaliemissiivisyydeltään 0,95 tai c) levy on kiillotettu, mutta tuuletin puhaltaa levyn pisimmänsärmän suuntaisesti 10 m/s.Ohje: Huomaa, että levyssä on kaksi puolta. Tyydy normaalitilaisen ilman arvoihin.Vastaukset: a) 0,8 W, b) 1,3 W ja c) 4,7 W.