Luku 16 Varatun hiukkasen liike SM-kentässä - FMI

Luku 16Varatun hiukkasen liikeSM-kentässäTarkastellaan lopuksi varatun hiukkasen liikettä sähkömagneettisessa kentässä.Liikeyhtälö on tullut esiin useaan otteeseen kurssin aikana aiemminkin.Yleisesti asetettuna tehtävänä on ratkaista relativistinen liikeyhtälödp/dt = q(E + v × B) (16.1)missä p = mv/ √ 1 − (v/c) 2 . Lisäksi muistetaan, että kenttä tekee työtäteholla dW/dt = qE · v. Liikeyhtälö on hankala integroitava yleisille ajastaja paikasta riippuville kentille ja se on usein ratkaistava numeerisesti. Josaika- ja paikkariippuvuuksien voi olettaa olevan riittävän hitaita ja laakeita,on mahdollista käyttää häiriöteoriaa lähtien vakiokentistä ja tehdä niihinpieniä korjauksia.16.1 Säteilyhäviöiden vaikutusLiikeyhtälön käsittelyyn sisältyy hyvin vaikea ongelma. Jos hiukkasella onkiihtyvyyttä, se säteilee ja säteily kuljettaa mukanaan energiaa, liikemäärääja liikemäärämomenttia. Varatun hiukkasen säteilyä kuitenkin tarkastellaantyypillisesti kaksivaiheisesti. Ensin ratkaistaan liikeyhtälöstä hiukkasen rataannetussa ulkoisessa kentässä. Sen jälkeen lasketaan säteilyhäviöt olettaen,että hiukkanen pysyy ratkaistulla radallaan. Käytännössä monessatilanteessa säteilyn vaikutus voidaankin jättää huomiotta.Säteilyn merkitystä voidaan arvioida tutkimalla tilannetta, jossa hiukkasen(varaus q) kiihtyvyys on suuruusluokkaa a ajan T verran. Jos nopeus onpaljon valon nopeutta pienempi, niin Larmorin kaavan perusteella hiukkasensäteilemä energia onW rad ∼ q2 a 2 T6πɛ 0 c 3 (16.2)197

198 LUKU 16. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄJos kyseessä on levosta lähtenyt hiukkanen, niin silloin sen liike-energia onluokkaa W kin ∼ m(aT ) 2 . SitenW radW kin∼q 26πɛ 0 mc 3 T = τ T(16.3)missä τ = q 2 /(6πɛ 0 mc 3 ) on karakteristinen aika. Varauksellisista hiukkasistase on suurin elektroneille (∼ 10 −23 s), missä ajassa valo etenee matkancτ ∼ 10 −15 m. Jos taas kyseessä on jaksollinen liike amplitudilla d ja kulmataajuudellaω, niin W kin ∼ mω 2 d 2 , a ∼ ω 2 d ja T ∼ 1/ω. SilloinW rad /W kin ∼ ωτ (16.4)Yhteenvetona voi todeta, että säteilyhäviöt ovat lyhytkestoisessa liikkeessämerkittäviä vain, jos hiukkasen liike muuttuu ulkoisten voimien takiamerkittävästi aikaskaalassa τ tai pituusskaalassa cτ. Pitkäkestoisessa liikkeessäkumuloituvat säteilyhäviöt on puolestaan aina otettava huomioon.16.2 Homogeeninen ja staattinen BOletetaan aluksi, että E =0jaB = vakio. Rajoitutaan lisäksi epärelativistiseentapaukseen v

16.2. HOMOGEENINEN JA STAATTINEN B 199missä ω c on pyörähdystaajuus, syklotronitaajuus tai Larmorin taajuus.Koska ÿ = −ω c ẋ, niin integroimalla ja alkuehdot huomioimalla saadaanv y = −ω c x.Tällöin yhtälöstä ẍ = ω c ẏ seuraaẍ + ω 2 c x = 0 (16.9)Yhtälö kuvaa harmonista värähtelyä, jonka kulmataajuus on ω c . Ratkaisemallahiukkasen rata nähdään, että ratakäyrän projektio xy−tasossa onympyrä, jonka säde onTässä v ⊥ =r L = v ⊥|ω c | = mv ⊥|q|B(16.10)√v 2 x + v 2 y on hiukkasen nopeus kohtisuoraan magneettikenttäävastaan. Sädettä r L kutsutaan pyörähdyssäteeksi (Larmorin säteeksi).Pyörimisliikkeen keskipistettä kutsutaan johtokeskukseksi (guiding center,GC). Yhteen kierrokseen kuluva aika, pyörähdysperiodi (Larmorinaika), onτ L =2π/|ω c | (16.11)Katsottaessa magneettikentän suuntaan myötäpäivään pyörivän hiukkasenvaraus on negatiivinen (HT).Näin hiukkasen liike on jaettu kahteen komponenttiin: vakionopeus v ‖kentän suuntaan ja pyörimisliike v ⊥ kenttää vastaan kohtisuoraan. Näidensumma on ruuviviiva. Ruuviviivan nousukulma määritellään kaavallajotentan α = v ⊥ /v ‖ (16.12)α = arcsin(v ⊥ /v) = arccos(v ‖ /v) (16.13)Koordinaatistoa, jossa v ‖ = 0, kutsutaan johtokeskuskoordinaatistoksi(GCS) ja hiukkasen liikkeen jakamista GC:n liikkeeseen ja pyörimisliikkeeseenGC:n ympäri kutsutaan johtokeskusapproksimaatioksi.GCS:ssä varaus aiheuttaa sähkövirran I = q/τ L , johon liittyvä magneettinenmomentti onµ = IπrL 2 = 1 q 2 rL 2 B2 m = 1 mv⊥22 BVektorimuodossa magneettinen momentti on= W ⊥B(16.14)µ = 1 2 q r L × v ⊥ (16.15)Koska pyörähdyssädevektorissa on mukana varauksen merkki, µ:n suunta onvarauksesta riippumatta vastakkainen taustan magneettikentälle eli vapaatvaratut hiukkaset muodostavat tässä mielessä diamagneettisen systeemin.

200 LUKU 16. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄEBionielektroniKuva 16.1: Sähköinen kulkeutuminen.Myös relativistinen liikeyhtälö ontässä tapauksessa helppo ratkaista.Koska liike-energia on vakio (p · dp/dt = 0), niin γ on vakio. Liikeyhtälönkomponentit ovat siisγm˙v x = qBv yγm˙v y = −qBv x (16.16)γm˙v z = 0eli vakiotekijää γ lukuunottamatta samat kuin edellä. Pyörähdystaajuus onnyt ω c = qB/(γm).16.3Homogeeniset ja staattiset B ja EOletetaan nyt, että vakiomagneettikentän lisäksi hiukkasiin vaikuttaa myösvakiosähkökenttä E. Magneettikentän suuntaiseksi epärelativistiseksi liikeyhtälöksituleem ˙v ‖ = qE ‖ (16.17)Tämä kuvaa kiihdytystä magneettikentän suuntaan. Tarkastellaan sittenpoikittaista sähkökenttää ja valitaan se x-akselin suuntaiseksi, jolloin˙v x = ω c v y + q m E x˙v y = −ω c v x (16.18)Ratkaisun yksityiskohdat jätetään harjoitustehtäväksi. Tässäkin tapauksessahiukkanen kieppuu GC:n ympäri, mutta nyt GC kulkeutuu y-akselin suuntaannopeudella E x /B. Vektorimuodossa kulkeutumisnopeus onv E = E × BB 2 (16.19)Tätä kutsutaan sähköiseksi kulkeutumiseksi tai E × B-kulkeutumiseksi(kuva 16.1). Kulkeutumisnopeus ei riipu varauksesta eikä hiukkasen massasta!

16.4. LIIKEYHTÄLÖ KANONISESSA FORMALISMISSA 20116.4 Liikeyhtälö kanonisessa formalismissaHiukkasliike voidaan käsitellä elegantisti käyttäen mekaniikasta (toivottavasti)tuttua kanonista formalismia. Koska elektrodynamiikan esitietoina eikuitenkaan oleteta mekaniikan kurssia, seuraava jää yleissivistäväksi tärkeäksitiedoksi.Sijoitetaan sähkö- ja magneettikentät Lorentzin voiman lausekkeeseenskalaari- ja vektoripotentiaalien avulla:F = q(−∇ϕ − ∂ t A + ṙ × (∇×A)) (16.20)Muunnetaan tämä kanoniseen muotoon ilmaisemalla se riippumattomienmuuttujien r ja ṙ = v avulla. Käytetään seuraavassa merkintöjä ∂/∂r i =∂ i = ∇ i ja oletetaan summaus toistetun indeksin yli. Suorilla laskuillanähdään, että[ṙ × (∇×A)] i =ṙ j ∂ i A j − ṙ j ∂ j A i = ∂ i (ṙ · A) − (ṙ ·∇)AYhtälöiden dA/dt = ∂ t A +(ṙ ·∇)Aj a ṙ j ∂ i A j = ∂ i (ṙ · A) avulla voimanlausekkeesta saadaanF = q[−∇ϕ −∇(ṙ · A) − d ]dt A (16.21)Koska ϕ ei riipu nopeudesta, voidaan kirjoittaaddt A i = d ( ) ∂(ṙ · A) = d ( )∂(−ϕ + ṙ · A)dt ∂ṙ i dt ∂ṙ iminkä avulla voiman i:s komponentti saadaan muotoonF i = − ∂ (qϕ − q ṙ · A)+ d ( )∂(−qϕ + q ṙ · A)∂r i dt ∂ṙ i(16.22)Lorentzin voima on nyt ilmaistu Lagrangen mekaniikassa yleistetyn potentiaalinU = qϕ − q ṙ · A (16.23)avullam¨r i = − ∂U + d ∂U(16.24)∂r i dt ∂ṙ iLagrangen funktion L = m ṙ 2 /2 − U avulla liikeyhtälö saa muodon∂L∂r i− d dt∂L∂ṙ i= 0 (16.25)

202 LUKU 16. VARATUN HIUKKASEN LIIKE SM-KENTÄSSÄNämä Lagrangen liikeyhtälöt ovat toista kertalukua. Niistä voidaan muodostaaensimmäisen kertaluvun yhtälöitä siirtymällä kanonisiin muuttujiinr i (kanoninen koordinaatti) ja π i = ∂L/∂ṙ i = mṙ i + qA i (kanoninenliikemäärä). Muodostetaan näiden muuttujien Hamiltonin funktioH(π, r,t) = ṙ i π i − L(r, ṙ,t) = ṙ i π i − 1 2 mṙ2 + qϕ − q ṙ · A= 12m (π − qA)2 + qϕ (16.26)Kanoniset liikeyhtälöt ovat nytṙ i = ∂H∂π i= 1 m (π i − qA i ) (16.27)˙π i = − ∂H∂r i= − q ∂ϕ∂r i+ q m π · ∂A∂r i− q2m A · ∂A∂r i(16.28)joista alkuperäisen liikeyhtälön johtaminen on suoraviivainen HT.Kvanttimekaniikan Schrödingerin yhtälö voidaan ilmaista Hamiltoninfunktion avulla yleistämällä se kvanttimekaaniseksi operaattoriksi. Kun elektrodynamikkaaviedään kvanttitasolle, se tehdään nimenomaan tässä formalismissa,missä olennaista on kappaleen mekaanisen liikemäärän p = mvkorvaaminen sen sähkömagneettisella liikemäärällä mv + qA.