luentomoniste

LINEAARIALGEBRAII802119PLUENTOMONISTEjaHARJOITUSTEHTÄVÄTsyksy 2008

30V SISÄTULOAVARUUKSISTA1. Sisätulon määritelmäTarkastellaan sisätulon määrittelyä varten kompleksilukujen joukkoaC = {x + iy | x, y ∈ R},missä imaginaariyksikkö i toteuttaa yhtälön i 2 = −1. Kompleksilukujen yhtäsuuruussekä yhteen- ja kertolasku määrittellään asettamallax 1 + iy 1 = x 2 + iy 2 jos ja vain jos x 1 = x 2 ja y 1 = y 2 ;(x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 );(x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 − y 1 y 2 + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ).Kompleksiluvuilla lasketaan siis muuten samoin kuin reaaliluvuilla, mutta i 2 = −1.Luvun z = x + iy reaaliosa on Re z = x ja imaginaariosa Im z = y. Lukua ¯z = x − iysanotaan luvun z liittoluvuksi eli kompleksikonjugaatiksi. Koska z¯z = x 2 + y 2 = |z| 2 ,missä |z| on luvun z itseisarvo, niin luvun z käänteisluku onz −1 = ¯zz¯z =¯z|z| 2 = x − iyx 2 + y 2 aina, kun z ≠ 0.Määritelmä. Olkoon V K-kertoiminen (K = R tai C) vektoriavaruus. KuvaustaV × V → K: (X, Y ) ↦→ (X|Y ) sanotaan sisätuloksi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:ST1. (X|Y ) = (Y |X) aina, kun X, Y ∈ V ;ST2. (X + Y |Z) = (X|Z) + (Y |Z) aina, kun X, Y, Z ∈ V ;ST3. (aX|Y ) = a(X|Y )aina, kun a ∈ K ja X, Y ∈ V ;ST4. (X|X) ≥ 0 aina, kun X ∈ V , ja (X|X) = 0 jos ja vain jos X = 0.Huomautus. 1) Jos K = R, niin (X|Y ) = (Y |X) ehdon ST1 mukaan.2) Ehdosta ST2 saadaan: Jos X = 0 tai Y = 0, niin (X|Y ) = 0.3) Ehdoista ST2 ja ST3 saadaan induktiolla(c 1 X 1 + · · · + c n X n |Y ) = c 1 (X 1 |Y ) + · · · + c n (X n |Y ).Käyttämällä lisäksi ehtoa ST1 saadaan myös(Y |c 1 X 1 + · · · + c n X n ) = c 1 (Y |X 1 ) + · · · + c n (Y |X n ).4) Jos (X|Y 1 ) = (X|Y 2 ) aina, kun X ∈ V , niin Y 1 = Y 2 . Näin on, sillä (X|Y 1 − Y 2 ) = 0aina, kun X ∈ V . Erityisesti, kun X = Y 1 − Y 2 , joten (Y 1 − Y 2 |Y 1 − Y 2 ) = 0. EhdonST4 nojalla on oltava Y 1 − Y 2 = 0 eli Y 1 = Y 2 .

Määritelmä. Sisätulolla varustettua lineaarista avaruutta sanotaan sisätuloavaruudeksi.Reaalista äärellisulotteista sisätuloavaruutta sanotaan euklidiseksi avaruudeksija vastaava kompleksista avaruutta unitaariseksi avaruudeksi.Esimerkkejä. 1) Avaruudessa R n vektoriensisätulo voidaan määritellä yhtälöllä⎛ ⎞⎛ ⎞x 1y 1xX = ⎜ 2⎟⎝.⎠ ja Y = y⎜ 2⎝ . ⎟⎠.x n y n(X|Y ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x n y n .Tällöin käytetään myös merkintää (X|Y ) = X · Y ja puhutaan pistetulosta tai skalaaritulosta.Samaistamalla skalaarit ja 1 × 1-matriisit voidaan myös asettaa2) Yhtälö(X|Y ) = X T Y.(X|Y ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + · · · + x n y nmäärittelee sisätulon avaruuteen C n . Tällöin (X|Y ) = X T Y , missä vektori Y saadaankorvaamalla vektorin Y koordinaatit liittoluvuillaan.3) Tarkastellaan välillä [a, b] jatkuvien reaalifunktioiden muodostamaa vektoriavaruuttaC([a, b]). Yhtälö(f|g) =määrittelee sisätulon avaruuteen C([a, b]).2. Vektorin pituus eli normi∫ baf(x)g(x)dxSisätuloavaruudessa V voidaan määritellä vektorin pituus seuraavasti.Määritelmä. Vektorin X ∈ V pituus eli normi ||X|| määritellään asettamalla||X|| = √ (X|X).Huomautus. 1) Ehdon ST4 mukaan ||X|| ≥ 0 ja ||X|| = 0 jos ja vain jos X = 0.2) Koska||cX|| 2 = (cX|cX) =ST3c (X|cX) =ST1c (cX|X) =ST3c ¯c (X|X) =ST1c ¯c (X|X),31

32niin ||cX|| = |c| ||X||.3) Jos X ≠ 0, niin vektoriX||X||Esimerkkejä.on ns. yksikkövektori eli vektori, jonka pituus on 1.Lause 2.1 (Schwarzin epäyhtälö). |(X|Y )| ≤ ||X|| ||Y ||. Yhtäsuuruus pätee tässä josja vain jos joukko {X, Y } on lineaarisesti riippuva.Todistus. Jos Y = 0, niin kummankin puolen arvo on 0 ja {X, Y } on lineaarisestiriippuva. Näin ollen väitteet pätevät tässä tapauksessa.Oletetaan lopputodistuksen ajan, että Y ≠ 0. Tällöin jokaiselle a ∈ C pätee0 ≤ (X + aY |X + aY ) = (X|X + aY ) + (aY |X + aY )= (X|X) + (X|aY ) + a(Y |X) + a(Y |aY )= ||X|| 2 + ā(X|Y ) + a(X|Y ) + aā||Y || 2 .Valitsemalla tässä a = t(X|Y ), t ∈ R, saadaan||X|| 2 + 2t|(X|Y )| 2 + t 2 |(X|Y )| 2 ||Y || 2 ≥ 0 aina, kun t ∈ R.Vasen puoli saa pienimmän arvonsa, kun t = − 1||Y || 2 . Epäyhtälö on tällöineli||X|| 2 |(X|Y )|2− 2||Y || 2 + |(X|Y )2 |||Y || 2 ≥ 0(1) ||X|| 2 ||Y || 2 ≥ |(X|Y )| 2 .Ensimmäinen väite seuraa tästä.Jos epäyhtälössä (1) on yhtäsuuruus, niin yhtäsuuruuden on oltava myös jokaisessaaiemmassa vaiheessa. Erityisesti (X + aY |X + aY ) = 0, kun a = −(X|Y )/||Y || 2 .Ehdon ST4 mukaan tällöin X + aY = 0, ja {X, Y } on lineaarisesti riippuva. Toisaalta,jos {X, Y } on lineaarisesti riippuva, niin X = cY jollakin c ∈ C (itse asiassa on oltavac = (X|Y )/||Y || 2 ). Täten|(X|Y )| = |(cY |Y )| = |c(Y |Y )| = |c| ||Y || 2 = |c| ||Y || ||Y || = ||cY || ||Y ||= ||X|| ||Y ||. motLauseen 2.1 nojalla saadaan seuraava tärkeä tulos.Lause 2.2 (kolmioepäyhtälö).| ||X|| − ||Y || | ≤ ||X + Y || ≤ ||X|| + ||Y ||.

33Todistus. Schwarzin epäyhtälön avulla saadaan||X + Y || 2 = (X + Y |X + Y ) = (X|X) + (X|Y ) + (Y |X) + (Y |Y )= ||X|| 2 + 2Re (X|Y ) + ||Y || 2 ≤ ||X|| 2 + 2|(X|Y )| + ||Y || 2≤ ||X|| 2 + 2||X|| ||Y || + ||Y || 2 = (||X|| + ||Y ||) 2 .SchwarzKoska kummankin puolen arvo on vähintään 0, niin ||X + Y || ≤ ||X|| + ||Y || ja saatiinjälkimmäinen epäyhtälö. Tämän avulla saadaan nyt||X|| = ||X + Y − Y || ≤ ||X + Y || + ||Y ||||Y || = ||X + Y − X|| ≤ ||X + Y || + ||X||jaeli −||X + Y || ≤ ||X|| − ||Y || ≤ ||X + Y ||. Ensimmäinen epäyhtälö seuraa tästä.mot3. OrtogonaalisuusMääritelmä. Sisätuloavaruuden vektorien X ja Y sanotaan olevan ortogonaaliset elikohtisuorassa toisiaan vastaan, jos (X|Y ) = 0. Tätä merkitään X ⊥ Y .Lause 3.1 (Pythagoraan lause). Jos X ⊥ Y , niinTodistus. Oletetaan, että X ⊥ Y . Tällöin||X + Y || 2 = ||X − Y || 2 = ||X|| 2 + ||Y || 2 .||X + Y || 2 = (X + Y |X + Y ) = (X|X + Y ) + (Y |X + Y )= ||X|| 2 + (X|Y ) + (Y |X) + ||Y || 2 = ||X|| 2 + ||Y || 2 . motEsimerkkejä.Jos V on reaalinen sisätuloavaruus ja X, Y ∈ V \ {0}, niin vektorien X ja Y välinenkulma ω(X, Y ) määritellään asettamallacos ω(X, Y ) = (X|Y ) , 0 ≤ ω(X, Y ) ≤ π.||X|| ||Y ||Huomautus. Jos X ⊥ Y , niin ω(X, Y ) = π 2 . Edelleen{ 0, jos a > 0,ω(X, aX) =π, jos a < 0.4. Ortogonaalinen ja ortonormaali kantaMääritelmä. Sisätuloavaruuden V epätyhjää osajoukkoa S sanotaan ortogonaaliseksi,jos 0 /∈ S ja X ⊥ Y aina, kun X, Y ∈ S ja X ≠ Y . Ortogonaalista joukkoa S sanotaanortonormaaliksi, jos ||X|| = 1 aina, kun X ∈ S.

34Esimerkkejä.Lause 4.1. Jos S on ortogonaalinen joukko, niin se on lineaarisesti riippumaton.Todistus. Oletetaan, että {U 1 , . . . , U p } ⊆ S ja x 1 U 1 + · · · + x p U p = 0. Koska(U j |U i ) = 0 aina, kun i ≠ j, niin0 = (0 | U i ) = (x 1 U 1 + · · · + x p U p |U i )= x 1 (U 1 |U i ) + · · · + x p (U p |U i ) = x i (U i |U i ) = x i ||U i || 2jokaisella i = 1, . . . , p. Tässä ||U i || 2 ≠ 0, joten x 1 = · · · = x p = 0. Siis {U 1 , . . . , U p } onlineaarisesti riippumaton. motLause 4.2. Olkoon V äärellisulotteinen sisätuloavaruus ja {U 1 , . . . , U n } sen ortogonaalinenkanta. TällöinX =n∑i=1(X|U i )||U i || 2 U i aina, kun X ∈ V.Jos kanta on ortonormaali (||U i || = 1 jokaisella i), niinX =n∑(X|U i )U i aina, kun X ∈ V.i=1Huomautus. Vektorin X koordinaatteja ortonormaalin kannan {U 1 , . . . , U n } suhteensanotaan vektorin X Fourier’n kertoimiksi; ne ovat a i = (X|U i ), i = 1, . . . , n.Todistus. Olkoon X = c 1 U 1 + · · · + c n U n . Jokaisella i = 1, . . . , n(X|U i ) = c 1 (U 1 |U i ) + · · · + c n (U n |U i ) = c i (U i |U i ) = c i ||U i || 2 ,jotenc i = (X|U i), i = 1, . . . , n. mot||U i ||2Lause 4.3 (Gram–Schmidt). Olkoon S = {X 1 , . . . , X p } sisätuloavaruuden V lineaarisestiriippumaton joukko. Tällöin on olemassa sellainen avaruuden V ortonormaalijoukko F = {U 1 , . . . , U p }, että L(S) = L(F ).Todistus. Todistuksessa esitetään ns. Gramin–Schmidtin ortonormeerausmenetelmä.Aluksi todetaan, että X i ≠ 0 aina, kun i = 1, . . . , p, koska S on lineaarisesti riippumaton.Valitaan nyt U 1 = X 1 /||X 1 ||, jolloin ||U 1 || = 1 ja L({X 1 }) = L({U 1 }).Merkitään Z 2 = X 2 − (X 2 |U 1 )U 1 , jolloin(Z 2 |U 1 ) = (X 2 |U 1 ) − (X 2 |U 1 )||U 1 || 2 = 0.

Jos Z 2 = 0, niin X 2 = kX 1 , mikä on mahdotonta, koska {X 1 , X 2 } on lineaarisestiriippumaton. Siis Z 2 ≠ 0, joten voidaan määritellä U 2 = Z 2 /||Z 2 ||. Nyt {U 1 , U 2 } onortonormaali ja L({X 1 , X 2 }) = L({U 1 , U 2 }).Täydennetään todistus induktiolla. Induktio-oletus: {U 1 , . . . , U k−1 } on ortonormaalija L({X 1 , . . . , X k−1 }) = L({U 1 , . . . , U k−1 }), missä k ≤ p. Jos merkitäänP k = (X k |U 1 )U 1 + · · · + (X k |U k−1 )U k−1 , Z k = X k − P k ,35niin(Z k |U j ) = (X k |U j ) − (X k |U j )||U j || 2 = 0 aina, kun j = 1, . . . , k − 1.Jos Z k = 0, niin X k = P k ∈ L({U 1 , . . . , U k−1 }) = L({X 1 , . . . , X k−1 }), mikä on mahdotonta,koska joukko {X 1 , . . . , X k−1 , X k } on lineaarisesti riippumaton. MääritelläänU k = Z k /||Z k ||, jolloin {U 1 , . . . , U k−1 , U k } on ortonormaali. Lisäksi L({U 1 , . . . , U k }) =L({X 1 , . . . , X k }). Väite induktioperiaatteesta seuraa. motSeuraus. Jokaisella äärellisulotteisella sisätuloavaruudella on ortonormaali kanta.Esimerkkejä.5. Ortogonaalinen eli kohtisuora komplementtiMääritelmä. Sisätuloavaruuden V osajoukon S ≠ ∅ ortogonaali eli kohtisuora komplementtiS ⊥ määritellään asettamallaS ⊥ = {X ∈ V |(X|Y ) = 0aina, kun Y ∈ S}.Esimerkkejä.Lause 5.1. Ortogonaalinen komplemntti S ⊥ on avaruuden V aliavaruus. Jos 0 ∈ S,niin S ∩ S ⊥ = {0}, muutoin S ∩ S ⊥ = ∅.Todistus. Olkoot X 1 , X 2 ∈ S ⊥ ja a ∈ K. Jokaisella Y ∈ S pätee(X 1 + X 2 |Y ) = (X 1 |Y ) + (X 2 |Y ) = 0, (aX 1 |Y ) = a(X 1 |Y ) = 0ja (0|Y ) = 0, joten X 1 + X 2 , aX 1 ja 0 ∈ S ⊥ eli VA1, VA2 ja VA3 toteutuvat.Jos X ∈ S ∩ S ⊥ , niin (X|X) = 0 ja myös toinen väite pätee.motSeuraus. Jos M on avaruuden V aliavaruus, niin M ∩ M ⊥ = {0}.Lause 5.2. S ⊥ = L(S) ⊥ .Todistus. Triviaalisti L(S) ⊥ ⊆ S ⊥ . Harjoitustehtävänä osoitetaan, että S ⊥ ⊆ L(S) ⊥ .Väite seuraa tästä. mot

36Lause 5.2 osoittaa, että aliavaruuden L(S) ortogonaalisen komplementin muodostavatvektorit, jotka ovat kohtisuorassa virittäjävektorien kanssa. Tästä seuraaLause 5.3. Olkoon K = R ja A m × n-matriisi. Tällöin(Row A) ⊥ = Nul A ja (Col A) ⊥ = Nul A T .Sisätuloavaruuden äärellisulotteisen aliavaruuden ortogonaaliselle komplementille päteeseuraava tulos.Lause 5.4. Jos M on sisätuloavaruuden V äärellisulotteinen aliavaruus, niin V =M ⊕ M ⊥ ja (M ⊥ ) ⊥ = M.Todistus. Jos M = {0}, niin M ⊥ = V ja V = {0} ⊕ V . Oletetaan seuraavassa, ettäM ≠ {0}. Olkoon edelleen {U 1 , . . . , U p } avaruuden M ortonormaali kanta (Lause 4.3).Jos X ∈ V , merkitäänP = (X|U 1 )U 1 + · · · + (X|U p )U p ∈ M,N = X − P(vrt. Gram–Schmidt). Koska U i ⊥ U j aina, kun i ≠ j, niin jokaisella j = 1, . . . , p(N|U j ) = (X − P |U j ) = (X|U j ) − (P |U j ) = (X|U j ) − (X|U j )(U j |U j )= (X|U j ) − (X|U j ) = 0.Siis N ∈ M ⊥ . Lisäksi Lauseen 5.1. seurauksen nojalla M ∩ M ⊥ = {0}, joten V =M ⊕ M ⊥ .Toisen väitteen todistus jätetään harjoituksiin.Asetetaan nytMääritelmä. Olkoon M sisätuloavaruuden V aliavaruus ja X ∈ V . Esityksessä X =P + N, missä P ∈ M ja N ∈ M ⊥ , vektoria P sanotaan vektorin X ortogonaaliseksieli kohtisuoraksi projektioksi aliavaruudelle M ja vektoria N vektoria X vastaavaksialiavaruuden M normaaliksi.Huomautus. Jos M on äärellisulotteinen ja {U 1 , . . . , U p } ortonormaali kanta, niinLauseen 5.4 todistuksen nojalla ortogonaalinen projektio onja normaali N = X − P .motP = (X|U 1 )U 1 + · · · + (X|U p )U p =p∑(X|U k )U kk=1Lause 5.5 (paras approksimaatio).aliavaruudelle M, niinJos P on vektorin X ortogonaalinen projektio||X − P || < ||X − U|| aina, kun U ∈ M, U ≠ P.

Todistus. Jos U ∈ M, niin U − P ∈ M, joten (U − P ) ⊥ (X − P ). Koska X − U =(X − P ) + (P − U), niin Pythagoraan lauseen (Lause 3.1) nojalla||X − U|| 2 = ||X − P || 2 + ||P − U|| 2 > ||X − P || 2 ,37jos P ≠ U.motEsimerkkejä.

38VI LINEAARISISTA KUVAUKSISTA1. Määritelmä ja perusominaisuuksiaSeuraavassa oletetaan, että V ja W ovat K-kertoimisia vektoriavaruuksia.Määritelmä. Kuvausta α: V → W sanotaan lineaariseksi, jos ehdotLK1 α(X + Y ) = α(X) + α(Y ) aina, kun X, Y ∈ V ,LK2 α(cX) = cα(X) aina, kun c ∈ K, ja aina, kun X ∈ V ,ovat voimassa.Kuvausten yhtäsuuruus: Jos α, β: V → W ovat lineaarisia kuvauksia, niinα = β jos ja vain jos α(X) = β(X) aina, kun X ∈ V .Huomautus. Jos W = K, niin lineaarista kuvausta sanotaan myös lineaariseksi funktionaaliksi.Määritelmästä saadaanLause 1.1. Jos α: V → W on lineaarinen kuvaus, niina) α(0) = 0,b) α(c 1 X 1 + · · · + c n X n ) = c 1 α(X 1 ) + · · · + c n α(X n ) aina, kun c i ∈ K ja X i ∈ V .Todistus. a) α(0) = α(0 · 0) =LK20 · α(0) = 0.b) Saadaan määritelmästä induktiolla.Esimerkkejä.Olkoon A m × n-matriisi. Määritellään kuvaus α: K n → K m asettamalla α(X) = AXaina, kun X ∈ K n . Saatu kuvaus on lineaarinen, silläα(X 1 + X 2 ) = A(X 1 + X 2 ) = AX 1 + AX 2 = α(X 1 ) + α(X 2 )jaα(cX) = A(cX) = cAX = cα(X).Itse asiassa kaikki lineaariset kuvaukset α: K n → K m ovat yllä olevaa tyyppiä.Lause 1.2. Jos α: K n → K m on lineaarinen kuvaus, niin on olemassa yksikäsitteinenm × n-matriisi A, jolleα(X) = AX aina, kun X ∈ K n .

Todistus. Käyttämällä avaruuden K n luonnollista kantaa E = {E 1 , . . . , E n } ja kuvauksenα lineaarisuutta saadaanα(X) = α(x 1 E 1 + · · · + x n E n ) = x 1 α(E 1 ) + · · · + x n α(E n )⎛ ⎞x 1x= (α(E 1 ) . . . α(E n )) ⎜ 2⎝ . ⎟.⎠ = AX,x nmissä matriisin A i:s sarake on α(E i ). Yksikäsitteisyyden todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.motMääritelmä. Ylläolevaa matriisia A = (α(E 1 ) . . . α(E n )) sanotaan lineaarisen kuvauksenα matriisiksi luonnollisten kantojen suhteen.Huomautus. Yhdistettyä kuvausta vastaa kuvausten matriisien tulo.Esimerkkejä. Koordinaattikuvaus. Olkoon V vektoriavaruus ja S = {U 1 , . . . , U n } senkanta. Määritellään ns. koordinaattikuvaus α: V → K n yhtälöllä α(X) = X S (tässä X Son luvun IV kappaleessa 3 määritelty koordinaattivektori), Siis, jos X = c 1 U 1 + · · · +c n U n , niinα(X) = X S =⎛⎜⎝⎞c 1c 2..c nTämä kuvaus on koordinaattivektorin määritelmän jälkeisen Huomautuksen 1) mukaanlineaarinen. Huomautuksessa 2) todettiin, että tapauksessa V = K n on⎟⎠ .X = P X S , missä P = (U 1 , . . . , U n ).Koska {U 1 , . . . , U n } on kanta, P on säännöllinen, jotenX S = P −1 X.Näin ollen koordinaattikuvauksen matriisi luonnollisten kantojen suhteen on P −1 .2. Ydin ja kuva-avaruusOlkoon α: V → W lineaarinen kuvaus. Jos S ⊆ V ja T ⊆ W , niinjoukon S kuva on α(S) = {Y ∈ W |Y = α(X) eräällä X ∈ S}39jajoukon T alkukuva on α −1 (T ) = {X ∈ V |α(X) ∈ T }.

40Määritelmä. Lineaarisen kuvauksen α: V → W kuva-avaruudeksi sanotaan joukkoaα(V ) = Im α ja ytimeksi joukkoaα −1 (0) = Ker α = {X ∈ V |α(X) = 0}.Esimerkkejä.Jos α(X) = AX on lineaarinen kuvaus K n → K m , niinKer α = Nul A ja α(K n ) = Col A.Astelauseesta (luvun IV Lause 4.3) ja luvun IV Lauseesta 5.1 seuraa tällöin, että(1) n = dim Ker α + dim α(K n ).Tätä tulosta yleistetään myöhemmin. Yleisesti Ker α on avaruuden V ja α(V ) avaruudenW aliavaruus, kuten seuraava lause osoittaa.Lause 2.1. Olkoon α: V → W lineaarinen kuvaus, M avaruuden V aliavaruus jaN avaruuden W aliavaruus. Tällöin α(M) on avaruuden W ja α −1 (N) avaruuden Valiavaruus.Todistus. Todistetaan α −1 (N) avaruuden V aliavaruudeksi. Toinen väite osoitetaanvastaavasti.Olkoot X 1 , X 2 ∈ α −1 (N), jolloin α(X 1 ), α(X 2 ) ∈ N. Koska N on aliavaruus, niinα(X 1 + X 2 ) = α(X 1 ) + α(X 2 ) ∈ N. Näin ollen X 1 + X 2 ∈ α −1 (N), joten VA1 pätee.Samoin α(cX 1 ) = c α(X 1 ) ∈ N, joten cX 1 ∈ α −1 (N) ja VA2 on voimassa. Lisäksiα(0) = 0 (Lause 1.1 a), joten myös 0 ∈ α −1 (N). motSeuraus. Ydin Ker α on avaruuden V ja kuva α(V ) avaruuden W aliavaruus.Määritelmä. Lineaarista kuvausta α: V → W sanotaan1) surjektioksi, jos α(V ) = W ;2) injektioksi tai säännölliseksi, jos yhtälöstä α(X) = α(Y ) seuraa, että X = Y ;3) bijektioksi, jos se on surjektio ja injektio.Huomautus. Yllä injektion määritelmässä oleva ehto on yhtäpitävä sen kanssa, ettäepäyhtälöstä X ≠ Y seuraa α(X) ≠ α(Y ).Lause 2.2. Lineaarinen kuvaus α: V → W on säännöllinen jos ja vain jos Ker α = {0}.Todistus. Jos Ker α = {0} ja α(X) = α(Y ), niin 0 = α(X) − α(Y ) = α(X − Y ). SiisX − Y ∈ Ker α, joten X = Y ja α on säännöllinen.Oletetaan sitten, että α on säännöllinen ja X ∈ Ker α. Tällöin α(X) = 0 = α(0), joteninjektiivisyyden nojalla X = 0. Siis Ker α = {0}. mot

41Esimerkkejä.Säännöllisillä kuvauksilla on seuraava ominaisuus.Lause 2.3. Jos α: V → W on säännöllinen ja F ⊆ V on avaruuden V kanta, niin α(F )on kuva-avaruuden α(V ) kanta.Todistus. Lauseen 1.1 b)-kohdan nojalla α(F ) virittää kuva-avaruuden α(V ), jotenriittää osoittaa, että joukko α(F ) on lineaarinen riippumaton. Jos α(F 1 ), . . . , α(F p ) ∈α(F ) jac 1 α(F 1 ) + · · · + c p α(F p ) = 0,niin Lauseen 1.1 b)-kohdan nojallaα(c 1 F 1 + · · · + c p F p ) = 0.siis c 1 F 1 +· · ·+c p F p ∈ Ker α, joten Lauseen 2.2 nojalla c 1 F 1 +· · ·+c p F p = 0. Koska Fon avaruuden V kantana lineaarisesti riippumaton, on oltava c 1 = · · · = c p = 0. Tästäseuraa, että α(F ) on lineaarisesti riippumaton. motSeuraus. Lauseen 2.3 oletuksilla dim V = dim α(V ).Olkoon S = {U 1 , U 2 , . . . , U n } vektoriavaruuden V kanta. Osoitetaan, että koordinaattikuvausα: V → K n , missä α(X) = X S , on bijektio.Selvästi α(V ) = K n , joten α on surjektio. Jos X ∈ Ker α, niin X S = 0. Siis X =0· U 1 + · · · + 0· U n = 0, joten Ker α = {0} ja α on injektio Lauseen 2.2 nojalla. Näinollen α on bijektio. Koordinaattikuvauksella on siis käänteiskuvaus α −1 : K n → V , jokaon myös lineaarinen, sillä on voimassaLause 2.4. Jos lineaarinen kuvaus α: V → W on bijektio, niin on olemassa käänteiskuvausα −1 : W → V , joka on lineaarinen kuvaus.Todistus. Bijektiolla on käänteiskuvaus, lineaarisuuden todistaminen jätetään harjoituksiin.mot3. Lineaarisen kuvauksen matriisiLauseessa 1.2 osoitettiin, että jokainen lineaarinen kuvaus α: K n → K m voidaan esittäämuodossa α(X) = AX, missä A on m × n-matriisi. Yleistetään nyt tämä tulos.Olkoot V ja W K-kertoimisia ja äärellisulotteisia vektoriavaruuksia, joiden kannat ovatvastaavasti F = {F 1 , . . . , F n } ja G = {G 1 , . . . , G m }. Olkoon edelleen α: V → Wlineaarinen kuvaus. Lauseen 1.1 b)-kohdan nojalla vektorit α(F 1 ), . . . , α(F n ) ∈ Wmääräävät yksikäsitteisesti lineaarikuvauksen α. Nämä vektorit voidaan esittää yksikäsitteisestiavaruuden W kannan G avulla muodossa(1) α(F j ) = a 1j G 1 + · · · + a mj G m , j = 1, . . . , n,

42missä a ij ∈ K. Siis annettua lineaarista kuvausta α: V → W vastaa yhtälöiden (1)määräämällä tavalla yksikäsitteinen m × n-matriisi A = (a ij ) m×n , jonka j:s sarake onkantavektorin α(F j ) koordinaattivektori kannan G suhteen. Jos taas kääntäen annetaanm × n-matriisi A, niin sitä vastaa yhtälöiden (1) avulla määräytyvä yksikäsitteinenlineaarinen kuvaus α: V → W .Määritelmä. Olkoon F = {F 1 , . . . , F n } avaruuden V ja G = {G 1 , . . . , G m } avaruudenW kanta sekä α: V → W lineaarinen kuvaus. Edellä mainittua matriisia A = (a ij ), jolleα(F j ) = a 1j G 1 +· · ·+a mj G m , aina, kun j = 1, . . . , n, sanotaan kuvauksen α matriisiksikantojen F ja G suhteen. Tätä merkitäänA = M(α) = M(F, G; α).Jos V = W ja F = G, niin matriisia A sanotaan kuvauksen α matriisiksi kannan Fsuhteen ja sitä merkitäänA = M(α) = M(F ; α).Huomautus. A riippuu kantoja F ja G valinnasta. Kantoja vaihdettaessa myös Avaihtuu.Esimerkkejä.Lause 3.1. Olkoon A = M(F, G; α). Tällöin(2) Y = α(X) jos ja vain jos Y G = AX F .Todistus. Olkoot⎛ ⎞a 1aX F = ⎜ 2⎝.a n⎟⎠ ja Y G =⎛ ⎞b 1b⎜ 2⎝ . b m⎟⎠ ,eli X = a 1 F 1 + · · · + a n F n ja Y = b 1 G 1 + · · · + b m G m . TällöinY = α(X) ⇐⇒m∑ ( ∑n )b i G i = α a j F j =i=1⇐⇒ b i ==j=1n∑a j α(F j )j=1n∑ ( ∑ m )a j a ij G i =j=1i=1n∑a ij a j , i = 1, . . . , mj=1⇐⇒ Y G = AX F .motNyt voidaan ylestää aikaisempaa kappaleen 2 tulosta (1).m∑ ( ∑ na ij a j)G ii=1j=1

Lause 3.2. Olkoot V ja W äärellisulotteisia vektoriavaruuksia ja α: V → W lineaarinenkuvaus. Tällöindim V = dim Ker α + dim α(V ).Todistus. Oletetaan, että dim V = n ja dim W = m. Olkoot edelleen F ja G avaruuksienV ja W kantoja. Lauseen 3.1 mukaan kuvaus X →αY voidaan esittää muodossa43X →γ1X F →ˆαY G →γ −12Y,missä γ 1 : V → K n ja γ 2 : W → K m ovat koordinaattikuvauksia ja ˆα: K n → K m onkuvaus Y G = ˆα (X F ) = AX F . Kappaleen 2 yhtälön (1) nojallan = dim Ker ˆα + dim ˆα(K n ).Tässä Ker ˆα = Nul A ja ˆα(K n ) = Col A. Koska koordinaattikuvaukset ovat bijektioita,saadaanX ∈ Ker α ⇐⇒ Y = 0 ⇐⇒ Y G = 0 ⇐⇒ X F ∈ Nul A,joten γ 1 (Ker α) = Nul A ja γ2 −1 (Col A) = α(V ). Lauseen 2.3 nojalla edelleendim Ker α = dim Nul A = dim Ker ˆαjadim α(V ) = dim Col A = dim ˆα(K n ).Koska dim V = n, saadaan väite.motSeuraava lause yhdistää kuvauksen α ja sen matriisin A säännöllisyyden.Lause 3.3. Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja α: V → α(V ) lineaarinen kuvaus.Olkoot F ja G vastaavasti avaruuksien V ja α(V ) kantoja. Kuvaus α on säännöllinenjos ja vain jos sen matriisi A = M(F, G; α) on säännöllinen. Jos α on säännöllinen, niinkäänteiskuvauksen α −1 : α(V ) → V matriisi on M(G, F ; α −1 ) = A −1 .Todistus. 1) Lauseen 2.2 mukaan α on säännöllinen jos ja vain jos Ker α = {0}. Tällöindim V = dim α(V ) = n (Lauseen 2.3 seuraus tai Lause 3.2). Siis A on n × n-matriisi.LisäksiKer α = {0} ⇐⇒ Nul A = {0} ⇐⇒ rank A = n ⇐⇒ A on säännöllinen(ks. edellisen lauseen todistus ja luvun IV Lause 4.3).2) Jos α on säännöllinen, niin on olemassa käänteiskuvaus α −1 : α(V ) → V . Olkoon senmatriisi kantojen G ja F suhteen B, jolloinY = α(X) ⇐⇒ X = α −1 (Y ).

44Lauseen 3.1 nojalla saadaan nytY G = AX F ⇐⇒ X F = BY G ,joten Y G = ABY G aina, kun Y G ∈ K n . Tästä seuraa (totea tarkasti!), että AB = I jaB = A −1 . motSeuraus. Olkoon V n-ulotteinen vektoriavaruus ja I: V → V identtinen kuvaus. JosF ja ˆF ovat kaksi avaruuden V kantaa, niin matriisi P = M(F, ˆF ; I) on säännöllinen jaP −1 = M( ˆF , F ; I).4. Kannan vaihto, similaarisuusMääritelmä. Olkoot F ja ˆF vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Lauseen 3.3 seurauksessaesiintynyttä identiteettikuvauksen matriisia P = M(F, ˆF ; I) kutsutaan kannanvaihtomatriisiksikannasta F kantaan ˆF .Kappaleen 3 mukaan P = ((F 1 ) ˆF3.1 mukaan. . . (F n ) ˆF), jos F = {F 1 , . . . , F n }. Edelleen Lauseen(1) X ˆF= P X F aina, kun X ∈ V.Jos V = K n , F = {F 1 , . . . , F n } ja ˆF = { ˆF 1 , . . . , ˆF n }, niin Luvun IV kappaleen 3mukaanX = P 1 X F ja X = P 2 X ˆF, P 1 = (F 1 . . . F n ), P 2 = ( ˆF 1 . . . ˆF n ).Näin ollenX ˆF= P −12 X = P −12 P 1 X F = P X F aina, kun X F ∈ K n .(matriisit P 1 ja P 2 ovat säännöllisiä, koska F ja ˆF ovat kantoja.) Edellisen nojalla onP = P −12 P 1 .Esimerkkejä.Kannanvaihtomatriiseja käyttämällä nähdään, mitä lineaarisen kuvauksen matriisilletapahtuu kantoja vaihdettaessa.Lause 4.1. Olkoon α: V → W lineaarinen kuvaus, A = M(F, G; α), B = M( ˆF , Ĝ; α),P = M(F, ˆF ; I) kannanvaihtomatriisi avaruuden V kannasta F kantaan ˆF ja Q =M(G, Ĝ; I) kannanvaihtomatriisi avaruuden W kannasta G kantaan Ĝ. TällöinB = QAP −1 .

45Todistus. Lauseen 3.1 mukaanEdelleen yhtälön (1) mukaanNytjoten B = QAP −1 .Y G = AX F ⇐⇒ Y = α(X) ⇐⇒ YĜ = BX ˆF.X ˆF= P X F ja YĜ = QY G .BX ˆF= YĜ = QY G = QAX F = QAP −1 X ˆFaina, kun X ˆF∈ K n ,motSeuraus. Olkoon α: V → V lineaarinen kuvaus, ˜F ja ˜G avaruuden V kantoja, A =M( ˜F ; α), B = M( ˜G; α) ja P = M( ˜F , ˜G; I). TällöinB = P AP −1 .Todistus. Valitaan edellä F = G = ˜F ja ˆF = Ĝ = ˜G.Määritelmä. Lajia n × n olevia matriiseja A ja B sanotaan similaarisiksi, jos onolemassa sellainen säännöllinen matriisi C, että B = CAC −1 .Esimerkkejä.5. Rieszin esityslauseSisätulolla on seuraava tärkeä sovellus lineaarisiin kuvauksiin. Sen mukaan jokainenlineaarinen funktionaali eli lineaarikuvaus V → K voidaan esittää sisätulona. Tässätulos todistetaan vain äärellisulotteisille avaruuksille, mutta vastaava tulos pätee myöstietyt ehdot toteuttavissa ääretönulotteisissa avaruuksissa.Lause 5.1 (Rieszin esityslause). Olkoon K = R tai C, V äärellisulotteinen K-kertoiminensisätuloavaruus ja f: V → K lineaarinen funktionaali. Tällöin on olemassa sellainenyksikäsitteinen vektori Y ∈ V , että(1) f(X) = (X|Y ) aina, kun X ∈ V .Todistus. Lauseen 3.2 ja luvun IV Lauseen 6.3 seurauksen mukaan V = Ker f ⊕L({X})jokaisella X /∈ Kerf (huomaa, että dim K = 1). Toisaalta luvun V Lauseen 5.4 nojallaV = Ker f ⊕ (Ker f) ⊥ . Täten (Ker f) ⊥ = L({X 0 }) eräällä X 0 ∈ (Ker f) ⊥ . Osoitetaan,että yhtälö (1) on voimassa, kun Y = aX 0 , missä a ∈ K on valittu sopivasti.Jos f = 0, voidaan valita Y = 0, sillä tällöin f(X) = 0 = (X|0) = (X|Y ) aina, kunX ∈ V . Oletetaan siis, että f ≠ 0. Tällöin X 0 ≠ 0. Jotta yhtälö (1) olisi voimassavektorille Y = aX 0 , niin täytyy ollaf(X 0 ) = (X 0 |aX 0 ) = ā(X 0 |X 0 ) = ā||X 0 || 2 ,

46mistä saadaan a = f(X 0)||X 0 || 2 . Näin ollen vektorin Y pitäisi olla Y = f(X 0)||X 0 || 2 X 0 . Osoitetaan,että tämä Y toteuttaa yhtälön (1) myös vektoreille X ≠ X 0 .Hajotelman V = Ker f ⊕ L({X 0 }) mukainen esitys vektorille X ∈ V on X = (X −bX 0 ) + bX 0 , missä b = f(X)f(X 0 ) ja X − bX 0 ∈ Ker f. Tällöin(X|Y ) = ((X − bX 0 ) + bX 0 |aX 0 ) = ((X − bX 0 )|aX 0 ) + (bX 0 |aX 0 )= bā(X 0 |X 0 ) = bā||X 0 || 2 = f(X)f(X 0 ) · f(X 0)||X 0 || 2 · ||X 0|| 2 = f(X)aina, kun X ∈ V . Näin ollen f(X) = (X|Y ) aina, kun X ∈ V .Vektorin Y yksikäsitteisyys seuraa sisätulon määritelmän jälkeisestä huomautuksesta4): Jos f(X) = (X|Y ) = (X|Y 1 ) aina, kun X ∈ V , niin kyseisen huomautuksen nojallaY = Y 1 . motRieszin esityslauseelle saadaan allaoleva seuraus. Olkoot V ja W äärellisulotteisia sisätuloavaruuksiaja olkoon α: V → W lineaarikuvaus. Asetetaan jokaista Y ∈ W kohtikuvaus(2) f Y : V → K, f Y (X) = (α(X)|Y ).Tämä kuvaus on lineaarinen (totea!), joten Rieszin esityslauseen mukaan on olemassasellainen yksikäsitteinen Z ∈ V , että f Y (X) = (X|Z) aina, kun X ∈ V . Siis jokaistaY ∈ W vastaa yksikäsitteinen Z ∈ V , jolle (α(X)|Y ) = (X|Z). Tämä antaa kuvauksen,joka kuvaa vektorin Y ∈ W ylläolevaksi vektoriksi Z ∈ V . Käyetään tälle kuvauksellemerkintää α ∗ . Siis α ∗ on kuvaus α ∗ : W → V , jolle(α(X)|Y ) = (X|α ∗ (Y )).Tässä määriteltyä kuvausta α ∗ sanotaan kuvauksen α adjungoiduksi kuvaukseksi. Myösadjungoitu kuvaus α ∗ on lineaarinen: Jos X ∈ V ja Y 1 , Y 2 ∈ W , niin(X|α ∗ (Y 1 + Y 2 )) = (α(X)|Y 1 + Y 2 ) = (α(X)|Y 1 ) + (α(X)|Y 2 )= (X|α ∗ (Y 1 )) + (X|α ∗ (Y 2 )) = (X|α ∗ (Y 1 ) + α ∗ (Y 2 )).Täten sisätulon määritelmän jälkeisen huomautuksen 4) nojalla α ∗ (Y 1 +Y 2 ) = α ∗ (Y 1 )+α ∗ (Y 2 ). Näin ollen ehto LK1 on voimassa. Ehdon LK2 saa osoitettua vastaavasti.Johdetaan seuraavaksi esitys kuvauksen α ∗ matriisille luonnollisten kantojen suhteen.Olkoot kuvausten α ja α ∗ matriisit A = (a ij ) m×n ja A ∗ . Huomaa aluksi, että (AX|Y ) =(X|A ∗ Y ) eli (Y |AX) = (A ∗ Y |X). Siten (A ∗ ) ∗ = A (vastaavasti (α ∗ ) ∗ = α). Tämänsekä Luvun V Lauseen 4.2 ja sen jälkeisen huomautuksen nojalla matriisin A ∗ (i, j)-alkioon(A ∗ E j |E i ) = (E j |AE i ) = (AE i |E j ) = ā ji .Näin ollen A ∗ = ĀT . Matriisia A ∗ kutsutaan myös matriisin A Hermiten liittomatriisiksi.Näitä tarkastellaan lähemmin luvussa IX.

47VII DETERMINANTEISTA1. Neliömatriisin determinaattiSeuraavassa M n (K) tarkoittaa n × n-neliömatriisien joukkoa, missä matriisien alkiotkuuluvat kuntaan K. Tarkastellaan joukon M n (K) alkiota A, ts. n × n-matriisia A.Käytetään merkintää A(i|j) sellaiselle (n − 1) × (n − 1)-matriisille, joka saadaan poistamallamatriisista A tämän i:s rivi ja j:s sarake. Vastaavasti A(i 1 , . . . , i r |j 1 , . . . , j r )tarkoittaa sellaista (n − r) × (n − r)-matriisia, joka saadaan matriisista A poistamallasiitä rivit i 1 , . . . , i r ja sarakkeet j 1 , . . . , j r . Tällaisia matriiseja sanotaan matriisin Aalimatriiseiksi.Määritellään nyt determinanttifunktio det: M n (K) → K asettamallaMääritelmä. Olkoon A = (a ij ) n×n . Jos n = 1, niin asetetaanJos n ≥ 1, niin asetetaandet A =det A = det(a 11 ) = a 11 .n∑(−1) 1+j a 1j det A(1|j).j=1Matriisin A alimatriisien determinantteja sanotaan matriisin A alideterminanteiksi.Lause 1.1. Olkoon A = (a ij ) n×n .a) Determinantille pätee(1) det A =n∑(−1) i+j a ij det A(i|j), i = 1, . . . , n.j=1b) Jos matriisi B saadaan matriisista A tyyppiä (I) olevalla vaakarivimuunnoksella, niindet B = − det A.c) Jos matriisissa A on kaksi samanlaista vaakariviä, niin det A = 0.d) Jos matriisi C saadaan matriisista A kertomalla matriisi A jokin rivi skalaarilla e ∈ K(tyyppiä (II) oleva vaakarivimuunnos), niin det C = e det A.e) Jos matriisi D saadaan matriisista A tyyppiä (III) olevalla vaakarivimuunnoksella,niin det D = det A.Huomautus. Kaava (1) on determinantin det A kehitelmä i:nnen vaakarivin suhteen.Lukua (−1) i+j det A(i|j) sanotaan alkiota a ij vastaavaksi kotekijäksi.

48Lauseen 1.1 todistus. a) Käytetään induktiota. Jos n = 1, niin väite seuraa determinantinmääritelmästä. Jos n = 2, tapaus i = 1 seuraa määritelmästä. Tapausessa i = 2saadaan2∑(−1) 2+j a 2j det A(2|j) = −a 21 a 12 + a 22 a 11 = det A.j=1Kun n ≥ 3, tehdään induktio-oletus: Yhtälö (1) pätee m × m-matriiseille aina, kunm ≤ n − 1.Olkoon A = (a ij ) n×n . Määritelmän mukaan det A = ∑ nj=1 (−1)1+j a 1j det A(1|j).Induktio-oletusta voidaan nyt käyttää determinantteihin det A(1|j) (todistuksen loppuosaluennolla). motHuomautus. Lauseen 1.1 avulla determinanttien laskemista voidaan yleensä helpottaahuomattavasti.Lause 1.2. det A T = det A.Todistus. Tapaus n = 1 on selvä. Tehdään induktio-oletus: Lause pätee m × m-matriiseille, jos m ≤ n − 1. Olkoon A = (a ij ) n×n , jolloin B = A T = (b ij ) n×n , missäb ij = a ji .Lauseen 1.1 a)-kohdan nojalla det A Tluennolla. mot= ∑ nj=1 (−1)i+j b ij det B(i|j), mistä jatketaanKoska matriisin A sarakkeet ovat transpoosin A T vaakarivejä, Lauseiden 1.1 ja 1.2nojalla saadaanLause 1.3. Olkoon A = (a ij ) n×n .a) (2) det A = ∑ ni=1 (−1)i+j a ij det A(i|j), j = 1, 2, . . . , n.b) Jos B saadaan matriisista A vaihtamalla tämän A kaksi saraketta keskenään, niindet B = − det A.c) Jos matriisilla A on kaksi samanlaista saraketta, niin det A = 0.d) Jos C saadaan matriisista A kertomalla tämän jokin sarake skalaarilla e ∈ K, niindet C = e det A.e) Jos D = (d ij ), missä d ir = a ir + ea is , i = 1, . . . , n, ja d ij = a ij aina, kun j ≠ r,j = 1, . . . , n, niin det D = det A.2. Käänteismatriisin määrääminen determinanttien avullaMääritelmä. Olkoot A = (a ij ) n×n ja B = (b ij ) n×n , missäb ij = (−1) i+j det A(j|i), i, j = 1, . . . , n.

(Tässä b ij on alkiota a ji vastaava kotekijä.) Matriisia B sanotaan matriisin A adjungoiduksimatriisiksi ja sitä merkitään B = adj A.Lause 2.1. A (adj A) = (adj A)A = (det A)I n .Todistus. Olkoon adj A = B = (b ij ) ja AB = (c ij ). Jokaiselle i = 1, . . . , n pätee49c ii =n∑t=1n∑a it b ti = (−1) t+i a it det A(i|t) = det At=1ja jokaiselle i ≠ jc ij =n∑a it b tj =t=1n∑(−1) t+j a it det A(j|t) = 0.t=1Tässä jälkimmäisen summan determinantin rivit i ja j ovat kumpikin (a i1 , a i2 , . . . , a in ),joten summan arvo on Lauseen 1.1 c)-kohdan nojalla 0. SiisC = (det A)I n .Vastaavasti nähdään, että BA = (det A)I n .motLause 2.2. Matriisi A n×n on säännöllinen jos ja vain jos det A ≠ 0. Jos det A ≠ 0, niinA −1 = 1det Aadj A.Todistus. Olkoon A ∼ C, missä C on pelkistetyssä porrasmuodossa. Lauseen 1.1 nojalladet A = k det C jollakin k ∈ K, k ≠ 0. Lisäksi luvun III Lauseesta 2.2 seuraa, että A onsäännöllinen jos ja vain jos C = I n . Siis A on säännöllinen jos ja vain jos det A = k ≠ 0.Jälkimmäinen väite seuraa nyt edellisestä lauseesta. motEsimerkkejä.3. Cramerin kaavaTarkastellaan yhtälöryhmää(1) AX = B,missä A = (a ij ) n×n , X = (x 1 , . . . , x n ) T ja B = (b 1 , . . . , b n ) T . Olkoon nyt A j -matriisi,joka saadaan matriisista A korvaamalla tämän j:s sarake vektorilla B.Lause 3.1 (Cramerin kaava). Jos det A ≠ 0, niin yhtälöryhmällä (1) on yksikäsitteinenratkaisux j = det A j, j = 1, . . . , n.det A

50Todistus. Koska det A ≠ 0, niin Lauseen 2.2 nojallaTästä seuraa, ettäA −1 = 1det Aadj A.AX = B ⇐⇒ X = A −1 B = 1 (adj A)B.det AVäite saadaan nyt laskemalla tästä x j .motEsimerkkejä.4. Vektoritulo avaruudessa R (3)Olkoot X = (x 1 , x 2 , x 3 ) ja Y = (y 1 , y 2 , y 3 ) avaruuden R (3) vektoreita. Aikaisemmin onmääritelty vektorien X ja Y sisätulo (X|Y ) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 , jota sanotaan myösskalaarituloksi ja merkitään X ·Y . Edelleen todettiin, että X ·Y = ||X||||Y || cos θ, missäθ on vektorien X ja Y välinen kulma. Määritellään nyt vektoritulo X × Y .Määritelmä. Avaruuden R (3) vektorien X = (x 1 , x 2 , x 3 ) ja Y = (y 1 , y 2 , y 3 ) välinenvektoritulo X × Y määritellään asettamallaX × Y = (x 2 y 3 − x 3 y 2 , x 3 y 1 − x 1 y 3 , x 1 y 2 − x 2 y 1 )= (x 2 y 3 − x 3 y 2 )E 1 + (x 3 y 1 − x 1 y 3 )E 2 + (x 1 y 2 − x 2 y 1 )E 3 ,missä E 1 = (1, 0, 0), E 2 = (0, 1, 0) ja E 3 = (0, 0, 1) ovat luonnolisen kannan alkiot. Useinmerkitään myös E 1 = ī, E 2 = ¯j, E 3 = ¯k.Muistisääntönä voi käyttää sitä, että tulo X × Y saadaan, kun ”determinantti”∣ E 1 E 2 E 3 ∣∣∣∣∣x 1 x 2 x 3∣ y 1 y 2 y 3kehitetään ensimmäisen vaakarivin mukaan.Huomautus. Jos Z = (z 1 , z 2 , z 3 ), niin∣ x 1 x 2 x 3 ∣∣∣∣∣X · (Y × Z) =y 1 y 2 y 3 .∣ z 1 z 2 z 3Tämän ja Lauseen 1.1 c)-kohdan nojalla X ⊥ (X × Y ) ja Y ⊥ (X × Y ), joten X × Yantaa vektorien X ja Y suuntaisen tason normaalin suunnan.

51Lause 4.1.||X × Y || = ||X||||Y ||| sin θ|, missä θ on vektorien X ja Y välinen kulma.Seuraus. Vektroeiden X ja Y määräämän suunnikkaan pinta-ala on ||X × Y ||.Lause 4.2. Lineaarisesti riippumattomien vektorien X, Y ja Z määräämän suuntaissärmiöntilavuus on |X · (Y × Z)|.5. Matriisien tulon determinanttiMääritelmä. Elementaarimatriisiksi kutsutaa matriisia, joka saadaan (yhdellä) elementaarisellavaakarivimuunnoksella yksikkömatriisista I n .Lause 5.1. Jos B saadaan matriisista A elementaarisella vaakarivimuunnoksella, niinB = EA, missä E on elementaarimatriisi, joka saadaan yksikkömatriisista I n samallaelementaarimuunnoksella.Todistus. Väite seuraa matriisien kertolaskun määritelmästä, kuten seuraava 3×3 matriisintarkastelu havainnollistaa. OlkoonA =⎛⎝ 1 3 −12 1 13 1 4Tyyppi (I): vaihdetaan rivit 1 ja 3 keskenään:⎞⎠ .⎛I 3 ↦→ E = ⎝ 0 0 1⎞⎛0 1 0 ⎠ ; EA = ⎝ 3 1 4⎞2 1 1 ⎠ .1 0 01 3 −1Tyyppi (II): kerrotaan rivi 2 skalaarilla c ≠ 0:⎛I 3 ↦→ E = ⎝ 1 0 0⎞⎛0 c 0 ⎠ ; EA = ⎝ 1 3 −1⎞2c c c ⎠ .0 0 13 1 4Tyyppi (III): lisätään rivi 2 luvulla c kerrottuna kolmanteen riviin:⎛I 3 ↦→ E = ⎝ 1 0 0⎞⎛0 1 0 ⎠ ; EA = ⎝ 1 3 −1⎞2 1 1 ⎠ .0 c 13 + 2c 1 + c 4 + cElementaarimatriiseja on siis kolmea tyyppiä:I) Rivien r ja s vaihto: I n → E missä, EE = I n , joten E −1 = E. Lauseen 1.1 b)-kohdannojalla det E = −1.

52II) Kerrotaan rivi r vakiolla c ≠ 0:⎛⎞⎛⎞1 0 01 0 0. .. .0.. 0I n → E =c; merk. F =c −1.⎜⎝. ⎟⎜0.. ⎠⎝. ⎟0.. ⎠0 0 10 0 1Nyt F E = I n , joten E −1 = F ja det E = c.III) Lisätään rivi s luvulla c kerrottuna riviin r: I n → E. Lisätään (−c)·(rivi s.) riviinr. I n → F. F E = I n , joten E −1 = F . Edelleen tässä tapauksessa det E = det I n = 1.Jos nyt A ∼ B, niin Lauseen 5.1 nojalla on olemassa sellaiset elementaarimatriisitE 1 , . . . , E k , että B = E 1 . . . E k A.Lause 5.2. Jos A ja B ovat n-rivisiä neliömatriiseja, niin det(AB) = (det A)(det B).Todistus. 1) Jos A on singulaarinen, niin Lauseen 2.2 nojalla det A = 0. EdelleenA ∼ C, missä matriisi C on pelkistetyssä porrasmuodossa ja sen alin rivi on nollarivi.Lauseen 5.1 nojalla A = E 1 . . . E k C missä E 1 , . . . , E k ovat elementaarimatriiseja. NytAB = E 1 · · · E k CB, joten AB ∼ CB. Tässä matriisin CB alin rivi on nollarivi, jotenrank (AB) < n ja AB on singulaarinen. Lauseen 2.2 nojalla det(AB) = 0, joten väitepätee.2) Oletetaan nyt, että A on säännöllinen, jolloin A ∼ I n (luvun III Lause 2.2). NytA = E 1 · · · E l I n = E 1 · · · E l , missä E 1 , . . . , E l ovat elementaarimatriiseja, jotenAB = (E 1 · · · E l )B.Tehdään induktiotodistus tekiöiden lukumäärän l suhteen.Olkoon ensin l = 1. Jos matriisi E 1 on tyyppiä I, niin Lauseen 1.1 b)-kohdan mukaandet(E 1 B) = − det B = (det E 1 )(det B). Jos E 1 on tyyppiä II, niin Lauseen 1.1 d)-kohdan nojalla det(E 1 B) = c det B = (det E 1 )(det B). Lopuksi tyypin III tapauksessaLauseen 1.1 e)-kohta antaa tuloksen det(E 1 B) = det B = (det E 1 )(det B). Perusaskelon näin tehty.Tehdään sitten induktio-oletus: Väite on oikea, kun l = k, ts. det(E 1 · · · E k B) =(det(E 1 · · · E k ))(det B). Tällöindet(E 1 · · · E k E k+1 B) = (det E 1 ) det(E 2 · · · E k E k+1 B)l=1= (det E 1)(det(E 2 · · · E k E k+1 ))(det B) = (det(E 1 · · · E k E k+1 ))(det B).Ind.ol. l=1Näin ollen induktioaskel on voimassa, ja väite seuraa induktioperiaatteesta.motSeuraus 1. Jos A on säännöllinen, niin det A −1 = 1det A .

53Seuraus 2. Jos A ja B ovat similaarisia, niin det A = det B.Todistukset. Jos matriisi A on säännöllinen, niin det A ≠ 0 ja AA −1 = I, joten Lauseen5.2 nojalla (det A)(det A −1 ) = det I = 1. Seuraus 1 saadaan tästä.Jos matriisi A ja B ovat similaarisia, niin A = CBC −1 . Lauseen 5.2 mukaan detA =(det C)(det BC −1 ) = (det C)(det B)(det C −1 ). Seurauksesta 1 saadaan nyt det A =det B. mot

54VIII OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT1. Lineaarisen kuvauksen ominaisarvot ja ominaisvektoritOletetaan seuraavassa, että V on K-kertoiminen vektoriavaruus ja α: V → V on lineaarinenkuvaus.Määritelmä. Lukua λ ∈ K sanotaan lineaarisen kuvauksen α: V → V ominaisarvoksi,jos α(X) = λX, jollakin vektorilla X ≠ 0. Vektoria X sanotaan tällöin ominaisarvoa λvastaavaksi ominaisvektoriksi.Lause 1.1. Luku λ on lineaarisen kuvauksen α: V → V ominaisarvo jos ja vain josKer (α − λI) ≠ {0}, missä I: V → V on identiteettikuvaus.Todistus. Suoraan laskemalla saadaanα(X) = λX ⇐⇒ α(X) = λI(X) ⇐⇒ (α − λI)X = 0⇐⇒ X ∈ Ker (α − λI). motMääritelmä. Jos λ on kuvauksen α ominaisarvo, niin avaruuden V aliavaruuttaKer (α−λI) sanotaan ominaisarvoa λ vastaavaksi ominaisavaruudeksi ja sen dimensiotadim Ker (α − λI) ominaisarvon λ geometriseksi kertalukuksi.Esimerkkejä.Huomautus. Ominaisarvoja ei aina ole.Lause 1.2. Lineaarinen kuvaus α on säännöllinen jos ja vain jos 0 ei ole sen ominaisarvo.Todistus. Luvun VI Lauseen 2.2 mukaanα on säännöllinen ⇐⇒ Ker α = {0} ⇐⇒ Ker (α − 0I) = {0}⇐⇒ 0 ei ole ominaisarvo (Lause 1.1).Lause 1.3. Jos λ 1 , . . . , λ k ovat lineaarisen kuvauksen α erisuuria ominaisarvoja, niinniitä vastaavat ominaisvektorit X 1 , . . . , X k ovat lineaarisesti riippumattomat.Seuraus. Jos dim V = n, niin kuvauksella α on korkeintaan n erisuurta ominaisarvoa.Lauseen 1.3 todistus. Käytetään induktiota lukumäärän k suhteen. Koska X 1 ≠ 0,väite pätee, jos k = 1. Tehdään induktio-oletus: Jos λ 1 , . . . , λ l ovat kuvauksen α erisuuriaominaisarvoja, niin X 1 , . . . , X l ovat lineaarisesti riippumattomia. Olkoot nytλ 1 , . . . , λ l , λ l+1 kuvauksen α erisuuria ominasarvoja ja X 1 , . . . , X l , X l+1 vastaavat ominaisvektorit.Josc 1 X 1 + · · · + c l X l + c l+1 X l+1 = 0,mot

55niin(1) c 1 λ l+1 X 1 + · · · + c l λ l+1 X l + c l+1 λ l+1 X l+1 = 0,LisäksiKoska α(X i ) = λ i X i , niin saadaan yhtälö0 = α(0) = α(c 1 X 1 + · · · + c l X l + c l+1 X l+1 )= c 1 α(X 1 ) + · · · + c l α(X l ) + c l+1 α(X l+1 ).c 1 λ 1 X 1 + · · · + c l λ l X l + c l+1 λ l+1 X l+1 = 0.Vähentämällä tästä yhtälö (1) päästään tulokseenc 1 (λ 1 − λ l+1 )X 1 + · · · + c l (λ l − λ l+1 )X l = 0.Induktio-oletuksen nojalla on oltava c i (λ i − λ l+1 ) = 0 aina, kun i = 1, . . . , l. Koskaλ i − λ l+1 ≠ 0, on c 1 = . . . = c l = 0. Siis c l+1 X l+1 = 0, joten myös c l+1 = 0 (X l+1 ≠ 0).Tästä seuraa, että joukko {X 1 , . . . , X l , X l+1 } on lineaarisesti riippumaton, joten väitepätee arvolla k = l + 1. Tämä todistaa väitteen. mot2. Matriisin ominaisarvot ja ominaisvektoritMääritelmä. Lukua λ ∈ K sanotaan n×n-matriisin A ominaisarvoksi, jos on olemassasellainen X ∈ K n , että AX = λX, X ≠ 0. Vektoria X sanotaan tällöin ominaisarvoa λvastaavaksi matriisin A ominaisvektoriksi.Määritelmä. Olkoon A = (a ij ), a ij ∈ K, n × n-matriisi. Polynomiaa 11 − λ a 12 . . . a 1nap(λ) = det(A − λI) =21 a 22 − λ . . . a 2n..∣∣a n1 a n2 . . . a nn − λsanotaan matriisin A karakteristiseksi polynomiksi.Lause 2.1. Luku λ ∈ K on matriisin A ominaisarvo jos ja vain jos p(λ) = 0.Seuraus. Jokaisella matriisilla A ∈ M n (C) on ainakin yksi ja korkeintaan n eri ominaisarvoa,sillä polynomin p(λ) aste on n ja algebran peruslauseen nojalla n:nnen asteenpolynomilla on kertaluvut mukaanlukien n nollakohtaa.Lauseen 2.1 todistus. Luku λ on matriisin A ominaisarvo, jos ja vain jos yhtälölläAX = λX eli yhtälöllä (A − λI)X = 0 on ratkaisu X ≠ 0. Tämä on yhtäpitävää senkanssa, että rank (A − λI) < n eli A − λI on singulaarinen. Luvun VII Lauseen 2.2mukaan tämä pätee jos ja vain jos det(A − λI) = p(λ) = 0. mot

56Olkoon nyt V K-kertoiminen vektoriavaruus, ja olkoon sen dimensio dim V = n. Olkoonedelleen F = {U 1 , . . . , U n } jokin avaruuden V kanta. Jos α: V → V on lineaarinen kuvaus,niin sitä vastaa matriisi A = M(F ; α). Seuraava lause antaa yhteyden kuvauksenα ja matriisin A ominaisarvojen ja ominaisvektorien välille.Lause 2.2. Kuvauksen α ja matriisin A ominaisarvot ovat samat. Edelleen X =x 1 U 1 + · · · + x n U n on kuvauksen α ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori jos ja vainjos X F = (x 1 , . . . , x n ) T on matriisin A samaa ominaisarvoa λ vastaava ominaisvektori.Todistus. Luvun VI Lauseen 3.1 nojalla Y = α(X) jos ja vain jos Y Fα(X) = λX jos ja vain jos AX F = λX F . mot= AX F . SiisJos kantaa F vaihdetaan, muuttuu kuvauksen matriisi A-matriisiksi B, joka on similaarinenmatriisin A kanssa, ts. on olemassa sellainen säännöllinen matriisi P , että B =P AP −1 (luvun VI Lauseen 4.1 seuraus). Seuraava lause on tästä johtuen luonnollinen.Lause 2.3. Similaarisilla matriiseilla on samat ominaisarvot.Todistus. Olkoot matriisit A ja B similaarisia, ja olkoon B = P AP −1 jollakin säännöllisellämatriisilla P . Tällöindet(B − λI) = det(P AP −1 − λI) = det(P (A − λI)P −1 )= (det P )(det(A − λI)(det P −1 ) = det(A − λI),missä käytettiin luvun VII Lausetta 5.2 ja sen Seurausta 1.motLineaarisen kuvauksen ominaisarvot saadaan usein parhaiten selville tarkastelemallakuvauksen matriisin ominaisarvoja. Näin tehtävänä on determinantin det(A−λI) nollakohtienλ määrääminen, jonka jälkeen ominaisvektorit saadaan ratkaisemalla lineaarisiahomogeenisia yhtälöryhmiä. Jos A on diagonaalimatriisi eli muotoadiag(λ 1 , . . . , λ n ) =⎛λ 1 0λ⎜ 2⎝. ..⎟⎠ ,0 λ n⎞niin tehtävä on erityisen helppo, koska tällöin ominaisarvot ovat suoraan λ 1 , . . . , λ n .Olisi siis toivottavaa löytää avaruudelle V kanta, joka antaisi kuvauksen matriisiksidiagonaalimatriisin. Koska eri kantoja vastaavat matriisit ovat similaarisia, on luontevaaselvittää sitä, milloin matriisi on similaarinen diagonaalimatriisin kanssa.Määritelmä. Matriisia A sanotaan diagonalisoituvaksi, jos se on similaarinen jonkindiagonaalimatriisin kanssa.Lause 2.4 Matriisi A n×n on diagonalisoituva jos ja vain jos sillä on n lineaarisestiriippumatonta ominaisvektoria.

Todistus. Oletetaan, että matriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoriaX 1 , . . . , X n , jolloin AX i = λ i X i aina, kun i = 1, . . . , n (tässä λ i on ominaisvektoria X ivastaava ominaisarvo). Jos merkitään C = (X 1 . . . X n ) ja D = diag(λ 1 , . . . , λ n ), niinAC = (AX 1 . . . AX n ) = (λ 1 X 1 . . . λ n X n ) = CD.Vektorien X i lineaarisesta riippumattomuudesta seuraa matriisin C säännöllisyys, jotenC −1 on olemassa. Kertomalla edellinen yhtälö vasemmalta käänteismatriisilla C −1 ,saadaan C −1 AC = D, joten A on diagonalisoituva.Oletetaan nyt, että A on diagonalisoituva. Tällöin on olemassa sellainen säännöllinenmatriisi C = (C 1 . . . C n ), että C −1 AC = D = diag(λ 1 , . . . , λ n ). Tästä seuraa, ettäAC = CD ⇐⇒ (AC 1 . . . AC n ) = (λ 1 C 1 . . . λ n C n ),joten AC i = λ i C i aina, kun i = 1, . . . , n. Näin ollen vektorit C 1 , . . . , C n ovat matriisinA lineaarisesti riippumattomia ominaisvektoreita. motHuomautus. Ylläolevn todistuksen nojalla pätee: Jos matriisin C n×n pystyvektoritovat matriisin A ominaisvektoreita ja det C ≠ 0, niinC −1 AC = diag(λ 1 , . . . , λ n ).Lause 2.5 Jos λ 1 , . . . , λ k , missä k ≤ n, ovat matriisin A erisuuria ominaisarvoja, niinniitä vastaavat ominaisvektorit X 1 , X 2 , . . . , X k ovat lineaarisesti riippumattomia.Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 1.3 valitsemalla α(X) = AX.Seuraus. Jos matriisilla A n×n on n erisuurta ominaisarvoa, niin A on diagonalisoituva.Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseista 2.4 ja 2.5.Esimerkkejä.57

58IX HERMITEN MATRIISIT JA MUODOT1. Hermiten matriisiTässä pykälässä tarkastellaan erästä keskeistä matriisiluokkaa, ns. Hermiten matriiseja.Reaaliset Hermiten matriisit ovat symmetrisiä. Symmetria on yleistä monissa fysikaalisissailmiöissä, joten Hermiten matriiseilla ja niihin liittyvillä lineaarisilla kuvauksillaon paljon sovellutuksia.Määritelmä. Kompleksisen m × n-matriisin A = (a ij ) Hermiten liittomatriisiksi sanotaanmatriisiaA ∗ = A T = (a ij ) T .Matriisia H ∈ M n (C) sanotaan Hermiten matriisiksi, jos H ∗ = H. Reaalista Hermitenmatriisia, ts. matriisia S ∈ M n (R), jolle S T = S, sanotaan symmetriseksi.Esimerkkejä.Lause 1.1. Olkoot A, B ∈ M n (C) Hermiten matriiseja. Tällöina) A + B on Hermiten matriisi,b) AB on Hermiten matriisi jos ja vain jos A ja B kommutoivat (ts. AB = BA).Todistus. a) Selvä.b) Jos A ∗ = A ja B ∗ = B, niin(AB) ∗ = (AB) T = (A B) T = B T A T = B ∗ A ∗ = BA.Siis(AB) ∗ = AB ⇐⇒ AB = BA.motLause 1.2. Hermiten matriisin ominaisarvot ovat reaalisia. Edelleen Hermiten matriisinerisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.Todistus. Olkoon H n×n Hermiten matriisi ja X ∈ C n . Jos H = X T H T X, niinjoten H ∈ R. motH = H T = (X T H T X) T = X T (H ∗ ) T X = X T H T X = H,Jos λ on Hermiten matriisin H ominaisarvo, niin det(H − λI) = det(H − λI) T =det(H T − λI). Siten λ on myös transpoosin H T ominaisarvo, olkoon H T X 1 = λX 1jollakin X 1 ≠ 0. TällöinX T 1 H T X 1 = X T 1 λX 1 = λ||X 1 || 2 ,

missä ||X 1 || > 0 (käytetään avaruuden C n tavallista sisätuloa). Todistuksen alkuosannojalla X T 1 H T X 1 ∈ R (valitaan X = X 1 ), joten59λ = XT 1 H T X 1||X 1 || 2 ∈ R.Olkoot seuraavassa λ 1 ja λ 2 ≠ λ 1 matriisin H ominaisarvoja ja X 1 ja X 2 vastaaviaominaisvektoreita. Tällöinλ 1 (X 1 |X 2 ) = (λ 1 X 1 |X 2 ) = (HX 1 |X 2 ) = (HX 1 ) T X 2 = X T 1 H T X 2= X T 1 (HX 2 ) = X T 1 (λ 2 X 2 ) = λ 2 X T 1 X 2 = λ 2 (X 1 |X 2 ),sillä λ 2 = λ 2 alkuosan perusteella. Koska λ 1 ≠ λ 2 , on oltava (X 1 |X 2 ) = 0 eli X 1 ⊥ X 2 .motErikoistapauksena Lauseesta 1.2 saadaan seuraava ortogonaalisuustulos.Seuraus. Symmetrisen matriisin erisuuria ominaisarvoja vastaavat ominaisvektoritovat ortogonaalisia.Määritelmä. Matriisia U ∈ M n (C) sanotaan unitaariseksi, jos U ∗ = U −1 , ts. U ∗ U =UU ∗ = I n . Reaalista unitaarista matriisia sanotaan ortogonaaliseksi. Siis P ∈ M n (R)on ortogonaalinen, jos P T = P −1 .Lause 1.3. a) Vektori U on unitaarinen jos ja vain jos sen vaakavektorit (ja pystyvektorit)muodostavat ortonormaalin joukon (avaruuden C n tavallisen sisätulon suhteen).b) Jos A, B ∈ M n (C) ovat unitaarisia, niin myös AB on unitaarinen.c) Unitaarisen matriisin käänteismatriisi on unitaarinen.d) Unitaarisen matriisin ominaisarvoille λ pätee ehto |λ|=1.Huomautus. Seuraavasta todistuksesta käy ilmi, että ylläolevassa unitaarinen voidaankorvata ortogonaalisella, kun samalla avaruus C n korvataan avaruudella R n .Todistus. a) Merkitään U = (U 1 U 2 . . . U n ) sekä δ ij = 1, jos i = j, ja δ ij = 0, jos i ≠ j.Koska(δ ij ) n×n = I = U ∗ U = (U iTUj ) n×n = ((U i |U j )) n×nja δ ij ∈ R, niin (U i |U j ) = δ ij . Tästä seuraa a)-kohdan väite sarakkeille. Vaakavektoreilleväite seuraa vastaavasti yhtälöstä UU ∗ = I.Muut kohdat jätetään harjoituksiin.motSeuraava lause on tämän kurssin tärkeimpiä tuloksia.

60Lause 1.4. Hermiten matriisi H on unitaarisesti diagonalisoituva eli on olemassa sellainenunitaarinen matriisi U, että U ∗ HU on diagonaalimatriisi.Todistus. Olkoon H n × n-kokoinen Hermiten matriisi. Käytetään todistuksessa induktiotarivien lukumäärän n suhteen. Tapaus n = 1 on selvä: valitaan U = (1).Tehdään induktio-oletus: Lause pätee kaikille (n − 1)-rivisille Hermiten matriiseille.Lauseen 1.2 mukaan matriisilla H on ominaisarvo λ 1 ∈ R. Olkoon V 1 ominaisarvoaλ 1 vastaava ominaisvektori (jos H ∈ M n (R), voidaan itse asiassa valita V 1 ∈ R n ).Olkoot edelleen V 2 , . . . , V n avaruuden C n sellaisia vektoreita, että {V 1 , V 2 , . . . , V n } onlineaarisesti riippumaton. Konstruoidaan nyt Gramin–Schmidtin menetelmällä näistävektoreista lähtien avaruuden C (n) ortonormeerattu kanta {U 1 , U 2 , . . . , U n }. ErityisestiU 1 = V 1 /||V 1 ||, jotenHU 1 = 1||V 1 || HV 1 = 1||V 1 || λ 1V 1 = λ 1 U 1 .Siten vektori U 1 on ominaisarvoa λ 1 vastaava ominaisvektori. Olkoon R = R n×n =(U 1 U 2 . . . U n ). Matriisin R ∗ HR ensimmäinen pystyvektori on⎛ T ⎞ ⎛ T ⎞U 1 U 1 U1TR ∗ HU 1 = R ∗ λ 1 U 1 = λ 1 R ∗ U T2 U 1 = λ 1 ⎜ ⎟⎝ . ⎠ U U 2 U11 = λ 1 ⎜ ⎟⎝ . ⎠ .TTU n U n U1TTässä U i U1 = (U 1 |U i ) = δ 1i , joten matriisin R ∗ HR ensimmäinen pystyvektori on(λ 1 , 0, . . . , 0) T . Koska (R ∗ HR) ∗ = R ∗ H ∗ (R ∗ ) ∗ = R ∗ HR, niin R ∗ HR on Hermitenmatriisi ja sen ensimmäinen vaakarivi on (λ 1 , 0, . . . , 0), missä λ 1 ∈ R. SiisR ∗ HR =⎛⎜⎝λ 1 0 . . . 00..H10missä H 1 on (n − 1)-rivinen Hermiten matriisi, koska R ∗ HR on Hermiten matriisi.Induktio-oletuksen nojalla on olemassa unitaarinen matriisi T 1 = T 1(n−1)×(n−1) , jolleT1 ∗ H 1 T 1 on diagonaalimatriisi. Merkitään⎛⎞1 0 . . . 00 T = ⎜⎝ .. ⎟T1⎠0⎞⎟⎠ ,ja osoitetaan luennolla, että U = RT toteuttaa vaaditut ehdot. motLuvun VIII Lauseen 2.4 todistuksesta seuraa, että Lauseen 1.4 matriisin U sarakkeetovat matriisin H ominaisvektoreita. Lauseen 1.3 kohdasta a) saadaan

Lause 1.5. Hermiten matriisilla H n×n on n ominaisvektoria, ja ne muodostavat ortonormaalinjoukon.Edelleen Lauseesta 3.4 saadaan reaalitapauksessaLause 1.6. Jos S on symmetrinen matriisi, niin on olemassa sellainen ortogonaalinenmatriisi P , että P T SP on diagonaalimatriisi. Matriisin P sarakkeet ovat matriisin Sortormeerattuja ominaisvektoreita.Esimerkkejä.2. Hermiten muodot ja neliömuodotKäytetään aikaisempaan tapaan avaruuden C n vektorien X ja Y sisätulolle merkintää(X|Y ).Lause 2.1. (AX|X) = (X|A ∗ X) aina, kun A ∈ M n (C) ja X ∈ C n .Todistus. Väite seuraa yhtälöketjusta(AX|X) = (AX) T X = X T A T X = X T A ∗ X = X T (A ∗ X)= (X|A ∗ X). mot61Määritelmä. Lauseketta H(X) = (HX|X), missä H on Hermiten matriisi ja X =(x 1 , . . . , x n ) T , sanotaan Hermiten muodoksi.Lause 2.2. H(X) ∈ R aina, kun X ∈ C n .Todistus. Väite seuraa Lauseen 1.2 todistuksesta, missä lauseke H(X) = (HX|X) =(HX) T X = X T H T X osoitettiin reaaliseksi. motJos edellä H = S = (s ij ) n×n on symmetrinen matriisi ja X = (x 1 , . . . , x n ) T ∈ R n , niinsaadaan erikoistapauksena yllä olevasta neliömuotoQ(X) = (SX|X) = (X|S ∗ X) = (X|SX)( ∑ n= X T SX = (x 1 , . . . , x n ) s 1j x j , . . . ,Jokainen neliömuotoj=1Q(X) =n∑k=1 j=1n∑ ) Ts nj x j =j=1n∑a kj x k x jn∑k=1 j=1n∑s kj x k x j .voidaan esittää edellä olevalla tavalla valitsemalla S = 1 2 (A + AT ), jolloin S on symmetrinenjaQ(X) = (SX|X).

62Lauseen 1.4 avulla Hermiten muotojen tarkastelua voidaan oleellisesti helpottaa. Kyseisenlauseen mukaan on olemassa sellainen unitaarinen matriisi U, että U ∗ HU = D =diag(λ 1 , . . . , λ n ), missä luvut λ i ovat Hermiten matriiisn H ominaisarvoja. Lauseen 1.2perusteella nämä ominaisarvot ovat reaalisia, joten D on reaalinen diagonaalimatriisi.Näitä tuloksia käyttämällä jokainen Hermiten muoto voidaan diagonalisoida eli saattaapääakselimuotoon.Lause 2.3. Olkoon H(X) = (HX|X) Hermiten muoto ja olkoon U sellainen unitaarinenmatriisi, että U ∗ HU = D. Jos X ′ = (x ′ 1, . . . , x ′ n) T = U ∗ X (ts. X = UX ′ ), niinTodistus. Kun X = UX ′ , niinH(X) = (DX ′ |X ′ ) = λ 1 |x ′ 1| 2 + . . . + λ n |x ′ n| 2 .H(X) = (HX|X) = X T H T X = (UX ′ ) T H T (UX ′ )= X ′ T (U T H T U)X ′ = X ′ T (U ∗ HU) T X ′ = X ′ T D T X ′= (DX ′ ) T X ′ = (DX ′ |X ′ ) = λ 1 |x ′ 1| 2 + · · · + λ n |x ′ n| 2 . motHuomautus. Jos edellä U = (U 1 . . . U n ), niin Lauseen 1.3 kohdan a) mukaan{U 1 , . . . , U n } on avaruuden C n ortonormaali kanta. EdelleenX = UX ′ = x ′ 1U 1 + · · · + x ′ nU n ,joten X ′ on vektorin X koordinaattivektori tämän kannan suhteen. Diagonalisointisaadaan siis tehtyä kannan vaihdolla siirtymällä luonnollisesta kannasta toiseen ortonormaaliinkantaan {U 1 , . . . , U n }. Vektorit U 1 , . . . , U n antavat Hermiten muodon pääakseliensuunnat.Reaalisessa tapauksessa Lauseesta 2.3 saadaan seuraava tulos.Lause 2.4. Jos S on symmetrinen matriisi ja Q(X) = (SX|X) sen määräämä neliömuoto,niin on olemassa sellainen ortogonaalinen matriisi P , että P T SP = D =diag(λ 1 , . . . , λ n ) jaQ(X) = λ 1 x ′ 12 + · · · + λn x ′ n2 ,missä X ′ = P T X (ts. X = P X ′ ).Esimerkkejä.

HARJOITUSTEHTÄVIÄ68. Olkoon V eräs reaalinen sisätuloavaruus, X, Y ∈ V ja ||X|| = ||Y ||. Osoita, ettäX − Y ja X + Y ovat ortogonaaliset ja tulkitse tulos alkeisgeometrian lauseena.Päteekö väite, jos avaruuden V kerroinkunta on C.69. Olkoon V reaalinen sisätuloavaruus (siis K = R) ja olkoot X, Y , Z ∈ V , joilleX + Y + Z = 0, ||X|| = 4, ||Y || = 5 ja ||Z|| = 6. Määrää (X|Y ) ja vektorien X jaY välisen kulman kosini.70. Sisätuloavaruuden V vektoreista oletetaan, että Z = 2X + Y , U = X − 3Y , X ⊥ Yja Z ⊥ U. Määrää vektorien Z ja U pituuksien suhde.71. Laske pisteen (1, 3, −1) T etäisyys tasosta 2x + y + 3z = 11.72. Olkoon T taso ax + by + cz + d = 0 ja olkoon N = (a, b, c) T . Osoita, että pisteen(x 0 , y 0 , z 0 ) T etäisyys tasosta T on|ax 0 + by 0 + cz 0 + d|.||N||73. Osoita, että yhtälö (X | Y ) = ∫ bX(t)Y (t) dt, X, Y ∈ C([a, b]), määrää sisätulonaavaruudessa C([a, b]). Määritä ||X||, kun X(t) = e t , t ∈ [a, b].74. Olkoon P reaalikertoimisten polynomifunktioiden muodostama lineaarinen avaruusvarustettuna sisätulolla (f|g) = ∫ 1f(t)g(t) dt aina kun f, g ∈ P .0a) Olkoot f(t) = a + t ja g(t) = t 2 . Määrää sellainen luku a ∈ R, että vektorit f jag ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.b) Määrää vektoreiden f 1 ja f 2 välisen kulman kosini, kun f 1 (t) = 1+t ja f 2 (t) = t 2 .c) Olkoot f 1 (t) = 1, f 2 (t) = a + t ja f 3 (t) = b + ct + t 2 . Määrää luvuille a, b ja csellaiset arvot, että vektorit f 1 , f 2 ja f 3 ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.75. Sovella Gramin–Schmidtin menetelmää avaruuden R 3 vektorijoukkoon {(1, 1, 1) T ,(0, −1, 1) T , (3, −1, 0) T }, kun sisätulona on avaruuden R 3 tavallinen sisätulo.76. Osoita, että joukko { 1 √3 (1, 1, 1) T ,1 √2 (1, −1, 0) T ,1 √6 (1, 1, −2) T} on avaruuden R 3ortonormaali kanta. Määrää vektorin (2, 4, 3) T koordinaatit tässä kannassa.77. Olkoon M = {f ∈ P 2 | f(0) = 0}. Määrää komplementti M ⊥ , kun avaruuden P 2sisätulo määritellään ehdolla (f | g) = ∫ 10 f(t)g(t) dt, kun f, g ∈ P 2.78. Määrää vektorin X 0 = (1, −1, 2, 0) T ∈ R 4 kohtisuora projektio aliavaruudelle M ={(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T ∈ R 4 | x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0}. Määrää etäisyys d(X 0 , M).

79. Määrää pisteen X 0 = (1, −1, 2) T ∈ R 3 kohtisuora projektio aliavaruudelle M =L({(−1, 1, 1) T }). Mitä on d(X 0 , M)?80. Olkoon α: R 3 → R 3 lineaarinen kuvaus, joka kuvaa vektorit X, Y ja Z ∈ R 3 vektoreiksi(0, 2, −1) T , (1, 2, 3) T ja (1, −1, 0) T . Laske α(3X − 2Y + Z).81. Olkoon α: R 3 → R 3 ehdot α((0, 1, 1) T ) = (1, 0, 0) T , α((1, 0, 1) T ) = (1, 1, 0) T jaα((1, −1, 0) T ) = (1, 1, 1) T toteuttava kuvaus. Voiko α olla lineaarinen?82. Olkoon α: R 3 → R 2 lineaarinen kuvaus, jolle α((1, 0, 0) T ) = (1, 1) T , α((0, 1, 0) T ) =(0, 2) T ja α((0, 1, 1) T ) = (2, 1) T . Määrää α(3, 5, 2) T ja Ker α.83. Olkoon α: V → W lineaarinen bijektio. Osoita, että α −1 : W → V on lineaarinenkuvaus.84. Osoita, että lineaarinen kuvaus kuvaa lineaarisesti riippuvat vektorit lineaarisestiriippuviksi vektoreiksi.85. Määritellään kuvaukset α ja β polynomiavaruudesta P polynomiavaruuteen P asettamallaα(f) = g, missä g(t) = f(t + 1) aina, kun t ∈ R ja β(f) = h, missäh(t) = ∫ tf(s) ds aina, kun t ∈ R. Ovatko nämä kuvaukset lineaarisia? Tutki myös,0ovatko α ja β injektioita tai surjektioita.86. Tutki, onko kuvaus α lineaarinen, kun α on määritelty seuraavasti:a) α: R 3 → R 3 ja α((a 1 , a 2 , a 3 ) T ) = (a 1 − a 2 , a 1 + a 2 , a 2 + a 3 ) T ,b) α: R 2 → R 3 ja α((a 1 , a 2 ) T ) = (a 1 + 2a 2 , a 1 − a 2 , 2a 1 + a 2 ) T ,c) α: R 2 → R 2 ja α((a 1 , a 2 ) T ) = (a 1 + 1, a 1 − a 2 ) T .87. Määrää ydin Ker α ja kuva Im α edellisen tehtävän lineaarisille kuvauksille.88. Määrää seuraavien lineaaristen kuvausten matriisit luonnollisten kantojen suhteen:a) α: R 3 → R 3 ja α((x 1 , x 2 , x 3 ) T ) = (x 1 − 2x 3 , x 3 , x 1 + 5x 2 ) T ,b) α: R 2 → R 2 ja α((x 1 , x 2 ) T ) = (3x 1 − 2x 2 , 4x 1 ) T .89. Määrää seuraavien lineaaristen kuvausten matriisit luonnollisten kantojen suhteen:a) α: R 3 → R 3 ja α((x 1 , x 2 , x 3 ) T ) = (x 1 + x 3 , x 2 , −x 1 − 2x 3 ) T ,b) α: R 2 → R 2 ja α(X) = 4X,c) α: R 2 → R 2 ja α((x 1 , x 2 ) T ) = (3x 1 , x 1 − 2x 2 ) T ,d) α: R 4 → R 4 ja α((x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T ) = (0, 0, x 3 , x 4 ) T ,e) α: R 4 → R 2 ja α((x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) T ) = (x 1 , x 2 − x 3 ) T .

90. Olkoon α: P 2 → P 3 lineaarinen kuvaus, jolle α(f) = g, missä g(t) = (t + 1)f(t).Määrää kuvauksen α matriisi kantojen E = {1, t, t 2 } ja F = {1, t, t 2 + t, t 3 } suhteen.91. Määritellään kuvaus α: P 2 → P 5 asettamalla α(f) = g, missä g(t) = ∫ t(s+2)f(s) ds1aina, kun t ∈ R. Osoita, että α on lineaarinen kuvaus ja määrää sen matriisi kantojenE = {1, t, t 2 } ja F = {1, t, t 2 , t 3 , t 4 , t 5 } suhteen.92. Olkoon α: R 2 → R 2 lineaarinen kuvaus, jonka matriisi kannan F = {(1, 2) T , (1, −1) T }suhteen on( )2 −3A = M(F ; α) =.−1 4Onko α säännöllinen? Myönteisessä tapauksessa määrää M(F ; α −1 ). Määrää myösα((−2, 3) T ) ja kuvauksen α matriisi luonnollisen kannan suhteen.93. Tarkastellaan eräitä tason R 2 kuvauksia itselleen.a) Osoita, että peilaus origon tai koordinaattiakselien suhteen on lineaarinen kuvausja määrää sen matriisi luonnollisen kannan suhteen.b) Ns. homotetiakuvauksen matriisi luonnollisen kannan suhteen on ( a 0)0 a , missäa ≠ 0. Mikä on tämän kuvauksen geometrinen vaikutus?c) Tarkastellaan projektiokuvausta P origon kautta kulkevalle suoralle, jonka suuntavektorion yksikkövektori U. Siis P (X) on vektorin X projektio suoralle L : Z =tU. Osoita, että P on lineaarinen kuvaus ja määrää sen matriisi luonnollisen kannansuhteen.d) Tarkastellaan kuvausta, joka kiertää vektoria X origon ympäri kulman ϕ positiiviseenkiertosuuntaan (eli vastapäivään). Osoita, että tämä kuvaus on lineaarinenja että sen matriisi luonnollisen kannan suhteen on ( cos ϕ − sin ϕ )sin ϕ cos ϕ (sama matriisiesiintyi tehtävässä 34).94. Oletetaan, että lineaarinen kuvaus α: R 3 → R 3 toteuttaa ehdot α(X i ) = Y i , i =1, 2, 3, missä X 1 = (2, 3, 5) T , X 2 = (0, 1, 2) T , X 3 = (1, 0, 0) T ja Y 1 = (1, 1, 1) T ,Y 2 = (1, 1, −1) T , Y 3 = (2, 1, 2) T . Määrää kuvauksen α matriisi luonnollisen kannansuhteen.95. Olkoon E vektoriavaruuden R 3 luonnollinen kanta ja F = {(0, 1, −1) T , (1, −1, 1) T ,(−1, 1, 0) T } avaruuden R 3 toinen kanta. Olkoon α ∈ Λ(R 3 ), jolleM(E : α) = A =⎛⎝ 1 2 −11 −1 2−1 0 1Määrää matriisit M(E, F ; I), M(F, E; I), M(F ; α) ja M(E, F ; α), kun I on avaruudenR 2 identtinen kuvaus.96. Laske determinantit⎞⎠ .

∣ ∣ 1 2 3∣∣∣∣∣ 1 i −i∣∣∣∣∣∣ 1 1 1 −3a)4 1 2∣ 3 4 3 ∣ , b) 0 −i 2i1 + i 0 1 ∣ , c) 1 1 −3 1,1 −3 1 1∣−3 1 1 11 2 1 1−3 4 2 4d).1 1 −1 2∣∣−2 3 −2 −197. Ratkaise yhtälöt∣ a)∣ 2 − x 1∣∣∣∣∣ x x 2 x 33 1 − x ∣ = 0, b) −1 1 −12 4 8 ∣ = 0.1 a a 298. Laskea a 2 1∣ a 2 1 a ∣ , kun a ∈ C on luku, jolle a3 = 1 ja a ≠ 1.99. a) Ratkaise yhtälö3 + x x x xx 3 + x x x= 0.x x 3 + x x∣∣x x x 3 + x0 x − a x − bb) Olkoon f(x) =x + a 0 x − c∣ x + b x + c 0 ∣ . Osoita, että f(0) = 0.100. Osoita seuraava ns. Vandermonden determinanttia koskeva tulos:1 1 . . . 1x 1 x 2 . . . x nx 2 1 x 2 2 . . . x 2 n= ∏(x j − x i ).. ..1≤i

102. Ratkaise Cramerin kaavalla yhtälöryhmä⎧⎧x 1 + 2x 2 − 3x 3 − x 4 = −1⎪⎨ x + y + z = 11 ⎪⎨ 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1a) 2x − 6y − z = 0 b).⎪⎩x 1 − x 2 + x 3 = −23x + 4y + 2z = 0 ⎪⎩3x 1 + x 2 + x 4 = 0103. Määrää yksikkövektori X, jolle (U × V ) × X = 0, kun U = (1, 1, −1) T ja V =(1, −1, 2) T .104. Laske vektorin X × (X × Y ) pituus, kun tiedetään, että ‖X‖ = 2, ‖Y ‖ = 3 ja‖X + Y ‖ = 4.105. Olkoot X = (3, 1, 0) T , Y = (1, −1, u) T ja Z = (7, 1, 1) T . Määrää sellainen luku u,että (X × Y )⊥Z.106. Kolmion kärkipisteet ovat (1, 3, 2) T , (2, −1, 1) T ja (−1, 2, 3) T . Määrää kolmion ala.107. Määrää sen suuntaissärmiön tilavuus, jonka särminä ovat vektorit X = (1, 2, 0) T ,Y = (−3, 1, 0) T ja Z = (4, 9, −3) T .108. Olkoon α ∈ Λ(R 2 ), jolle α((1, 0) T ) = (2, 2) T ja α((0, 1) T ) = (5, 0) T . Laske det A,kun A = M(E; α), missä E = {(1, 0) T , (0, 1) T }. Määrää vektorien U = α((1, 1) T ) jaV = α((2, −1) T ) määräämän suunnikkaan alan suhde vektorien (1, 1) T ja (2, −1) Tmääräämän suunnikkaan alaan.2−x a 0109. Yhtälöllä2 a−x 0∣∣ = 0 on ratkaisut x = 1 ja x = 4. Määrää vakiot a ja b.0 0 b−xMikä on yhtälön kolmas juuri?110. Olkoon P ortogonaalinen, eli reaalinen ehdon P T = P −1 toteuttava, matriisi. Osoita,että det P = ±1. Osoita edelleen, että jos P = ( )a bc d on ortogonaalinen, a > 0ja det P = 1, niin on olemassa sellainen θ ∈ [− π 2 , π 2 ] että(cos θ − sin θP =sin θ cos θ).111. Olkoot A, B ja C sellaisia n × n-matriiseja, että AB = AC ja det A ≠ 0. Osoita,että B = C.112. Olkoon K = C. Määrää seuraavien matriisien ominaisarvot ja ominaisvektorit:( )0 1,0 0( )1 0,0 i( )1 1,0 i⎛⎝ 1 1 1⎞1 1 1 ⎠ ,1 1 1⎛⎝ 1 1 1⎞0 1 1 ⎠ .0 0 1

113. Määrää matriisien ( 2 1) (2 3 ja 3 4)5 2 ominaisarvot ja ominaisvektorit.114. Olkoon α ∈ Λ(R )3 ) lineaarinen kuvaus, jonka matriisi luonnollisen kannan suhteenon. Määrää kuvauksen α ominaisarvot ja ominaisvektorit.( 4 −5 71 −4 9−4 0 5115. Diagonalisoi matriisita)( )0 2, b)2 3( )6 2, c)2 3⎛⎝ 7 −2 0−2 6 −20 −2 5⎞⎠.116. Laske A 17 , kun A on edellisen tehtävän c)-kohdan matriisi.117. Tarkastellaan lineaarista kuvausta α: P 1 → P 1 , jolle α(t−1) = 2+t, α(t+1) = 2+5t.Määrää kuvauksen α ominaisarvot ja ominaisvektorit.118. Matriisia A sanotaan vinoksi Hermiten matriisiksi, jos A ∗ = −A. Osoita, ettäjokainen joukon M n (C) matriisi voidaan esittää Hermiten matriisin ja vinon Hermitenmatriisin summana.119. Tutki, onko 2 × 2-matriisi A = 1 √2( 1 −ii −1)a) Hermiten b) vino Hermiten tai c) unitaarinenmatriisi.120. Määrää sellainen ortogonaalinen matriisi P , että P T AP on diagonaalimatriisi, kunA on⎛a) ⎝ 2 0 1⎞ ⎛0 2 −1 ⎠ b) ⎝ 2 0 0⎞0 1 1 ⎠.1 −1 10 1 1⎛121. Laske matriisin ⎝ 1 2 3⎞4 5 6 ⎠ ominaisarvot.7 8 9122. Oletetaan, että n × n-matriisilla A on ominaisarvot λ 1 , . . . , λ n . Osoita, ettäp(λ 1 ), . . . , p(λ n ) ovat matriisin p(A) ominaisarvoja, kun p ∈ P on polynomi.⎛123. Määrää matriisien ⎝ 1 2 3⎞ ⎛⎞1 0 2 −12 1 3 ⎠ ⎜ 0 1 4 −2 ⎟ja ⎝⎠ ominaisarvot.2 −1 0 13 3 62 −1 1 2