Luku 7 Sähkömagneettinen induktio - FMI

Luku 7Sähkömagneettinen induktioToistaiseksi olemme tarkastelleet vain ajasta riippumattomia kenttiä. Ne voimainiosti kuvitella kenttäviivojen avulla, joten emme ole törmänneet mihinkään,mikä puolustaisi Feynmanilta lainattua toteamusta kurssin alussa.Tässä luvussa alamme tarkastella ajasta riippuvia kenttiä ja siirtyä alueelle,jossa mielikuvitus joutuu paljon kovemmalle koetukselle.7.1 Faradayn lakiSähköstaattiselle kentälle pätee ∮ CE · dl = 0. Mikäli kenttä ei ole staattinenja siten integraali ei ole nolla, silmukkaan C sanotaan indusoituvansähkömotorisen voiman (smv)∮E = E ′ · dl (7.1)CTässä E ′ (r) on kenttä silmukka-alkion dl(r) kohdalla. Havaintojen mukaansmv vastaa silmukan läpäisevän magneettivuon muutostaE = − dΦdt = − d ∫B · n dS (7.2)dt STämä onFaradayn induktiolaki. Se ei riipu mitenkään siitä, kuinka magneettivuontiheys itsessään muuttuu. Lain olemassaolo ei myöskään riipufysikaalisen silmukan olemassaolosta, vaan pätee annettua reittiä C pitkinlasketulle integraalille. Faradayn laki on kokeellinen luonnonlaki, joka ei seuraamistään muista luonnonlaeista.Sähkömotorisen voiman yksikkö on sama kuin potentiaalieron eli voltti.Sähkömotorinen voima ei kuitenkaan ole minkään kahden pisteen välinenjännite, koska se lasketaan aina suljetun silmukan yli!93

94 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOJos tarkastellaan liikkuvia silmukoita ja mahdollisesti liikkeen mukanamuuttuvia silmukoita, on oltava huolellinen. Faradayn lain integraalimuodossaolevan kokonaisaikaderivaatan on otettava huomioon nämä muutokset.On tärkeää huomata, että E ′ (r) onsähkökenttä alkion dl(r) kohdallakoordinaatistossa, jossa dl on levossa. Jos nimittäin silmukka olisi todellinenvirtapiiri, niin nimenomaan kenttä E ′ aiheuttaisi virran siinä.Oletetaan seuraavassa aluksi, että Faradayn laissa olisi kokeellisesti määritettäväverrannollisuuskerroin k siten, että∮E ′ · dl = −k d ∫B · n dS (7.3)C dt SVedotaan lisäksi klassiseen Galilei-invarianssiin eli siihen, että toistensa suhteenvakionopeudella v liikkuvissa koordinaatistoissa K ja K ′ fysiikan laitovat samat muunnoksessa r ′ = r + vt, t ′ = t.Vuo silmukan läpi voi johtua eksplisiittisestä aikariippuvuudesta (∂/∂t)tai muutoksesta liikkeen vuoksi (v·∇). Käyttämällä konvektiivista derivaattaad/dt = ∂/∂t + v ·∇voidaan osoittaa (HT), että∫∫dB · n dS =dt SSTällöin Faradayn laki saa muodon∮C∫(E ′ − k(v × B)) · dl = −k∂B∂t∮C· n dS + B × v · dl (7.4)S∂B∂t· n dS (7.5)Tämä voidaan tulkita toisinkin. Tilannetta sivusta tarkastelevan levossa olevanhavaitsijan voi ajatella katsovan paikallaan olevaa silmukkaa C. Faradaynlaki sovellettuna tällaiseen kiinteään silmukkaan on∮C∫E · dl = −kS∂B∂t· n dS (7.6)missä E on kyseisen havaitsijan näkemä kenttä. Galilei-invarianssin perusteellaon oltava E ′ = E + k(v × B). Tarkastellaan sitten todellisessa johtimessaliikkuvaa virtaa kuljettavaa elektronia. Silmukan C mukana liikkuvankoordinaatiston suhteen johdinelektronit ovat käytännössä levossa (HT:tarkastele tavanomaista metallijohdinta ja siinä kulkevaa tavanomaista virtaa).Siihen vaikuttavassa Lorentzin voimassa on siis vain sähköinen osuusqE ′ . Ulkopuolisen havaitsijan mielestä Lorentzin voima on q(E + v × B),joten on oltava k =1.Nyt Faradayn laki saadaan helposti differentiaalimuotoon. Oletetaan,että silmukka C on levossa valitussa koordinaatistossa. Tällöin myös kentätB ja E on määritelty samassa koordinaatistossa. Stokesin kaavan avullasaadaan∫S∫∂B∇×E · n dS = − · n dS (7.7)S ∂t

7.1. FARADAYN LAKI 95Koska silmukka on muuten mielivaltainen, niin on oltava∇×E = − ∂B(7.8)∂tjoka on Maxwellin kolmas yhtälö.Huom. Tarkasteltaessa liikkuvaa silmukkaa oletettiin implisiittisesti, ettäB ′ = B. Tämä on totta kertalukuun (v/c) 2 asti. Kenttien relativistisiinmuunnoskaavoihin perehdytään kurssin lopussa. Faradayn laki ei kuitenkaanole approksimaatio, vaan fysiikka on samaa kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa,joita yhdistää Lorentzin muunnos.Faradayn laissa oleva miinusmerkki ilmaisee Lenzin lain: “induktiovirtavastustaa muutosta, joka sen aiheuttaa”. Induktiovirta kuluttaa energiaa.Tämä energia on saatava systeemiltä, joka aiheuttaa induktion. Tämämerkitsee, että induktion aiheuttajan on tehtävä työtä induktiovirran vastavaikutuksenvoittamiseksi. Lenzin laki on usein kätevä tapa määrittää indusoituvanvirran suunta, joka saattaa olla vaikea johtaa aikaderivaatan jaroottorin sisältävästä abstraktin näköisestä Faradayn laista.Faradayn lain avulla voidaan ymmärtää esimerkiksi betatronin toiminta.Vain sähkökenttä voi tehdä työtä varaukselliseen hiukkaseen. Betatronissamuuttuva magneettikenttä indusoi hiukkasia kiihdyttävän sähkökentän.Esimerkki. Liikkuva johdin magneettikentässäTarkastellaan yksinkertaisena, mutta toivottavasti ajatuksia herättävänä esimerkkinämagneettikentässä likkuvaa johdetankoa. Oletetaan, että johdetankoab (pituus l) liikkuu vakionopeudella v pitkin johdinkiskoja ja saapuualueeseen x>x 0 , jossa on vakiomagneettikenttä B kohtisuorassa silmukantasoa vastaan (kuva 7.1). Asetetaan välille cd suuriresistanssinen jännitemittari(silmukassa abcda ei siis kulje virtaa).Kentässä olevan johdetangon vapaisiin varauksiin vaikuttaa LorentzinvoimaF = q(E + v × B) (7.9)Voiman magneettinen osa ajaa positiivisia ja negatiivisia varauksia tangoneri päihin. Tämä aiheuttaa sähkökentän, joka pyrkii vastustamaan varausseparaatiotaja syntyy tasapainotilanne, jossa sähkökenttä suuntautuupisteestä a kohti pistettä b ja kentän suuruus onTangon päiden a ja b välillä onjänniteV ab = ϕ a − ϕ b =E = vB (7.10)∫ baE · dl = El = Blv (7.11)

96 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOcVdnbv Baxx 0Kuva 7.1: Magneettikenttään saapuva kiskoilla liikkuva johdintanko.Tätä sanotaan liikkeen indusoimaksi potentiaalieroksi (joskus epätäsmällisestiliikkeen indusoimaksi sähkömotoriseksi voimaksi).Edellä ei tarvittu induktiolakia ollenkaan, vaan mikrofysikaalinen tarkasteluriitti. Voimme toisaalta laskea magneettivuon silmukan abcda läpi, kunjohdetanko kulkee magneettikentässä. Valitsemalla integroimispinnan eli silmukantason normaalivektori magneettikentän suuntaiseksi saadaan vuonmuutosnopeudeksidΦdt = B dAdt = Bldx = Blv (7.12)dtjoten Faradayn lain mukaan piiriin indusoituu smv− dΦ = −Blv (7.13)dtMerkki kertoo, ettäsähkömotorinen voima vaikuttaa kuvaan merkittyä positiivistakiertosuuntaa vastaan. Jos virtapiiri oikosuljettaisiin jännitemittarinkohdalta, niin induktiovirta kulkisi myötäpäivään. Induktiovirta pyrkii siispienentämään magneettivuon muutosta silmukan läpi.Ajatellaan sitten, että neliösilmukka (sivu l) saapuu magneettikenttäännopeudella v. Oikosuljetaan piiri, jolloin virta voi kulkea siinä. Silmukantullessa magneettikenttään vuon muutos on vakio (−Blv), ja piiriin syntyvänmyötäpäivään kulkevan induktiovirran suuruus on Blv/R (R on piirinresistanssi). Kun silmukka on kokonaan magneettikentän sisällä, vuo eienää muutu ja virta lakkaa kulkemasta (itseinduktion takia virran kulkuei käytännössä lopu aivan heti). Kannattaa huomata, että induktioilmiövoitaisiin tässäkin tapauksessa selittää myös Lorentzin voiman avulla.Silmukan tullessa kenttään sivuun ab kohdistuu nopeudelle vastakkaissuuntainenvoima F suuruudeltaan BlI, joten silmukan kiskomiseen tarvittavateho on Fv = BlIv. Tämä ontäsmälleen yhtä suuri kuin virtasilmukanohmiset tehohäviöt.

7.2. ITSEINDUKTIO 97Oletetaan nyt, että neliösilmukka on kokonaan alueessa x>x 0 eikä liiku.Muutetaan magneettikenttää silmukan kohdalla ajan funktiona: B(t) =Bvt/l. Tällöin magneettivuo silmukan läpi on Φ(t) = Bvlt, jolloin vuonmuutos on sama kuin edellä liikkuvan tangon tapauksessa. Ratkaisevanaerona on se, ettei induktioilmiötä voida nyt selittää Lorentzin voiman avulla(v × B = 0).Magneettikenttään saapuvan silmukan tilannetta voitaisiin tarkastellamyös silmukan mukana liikkuvan tarkkailijan kannalta. Hänen mielestäänmagneettisia voimia ei ole, joten taas tarvitaan induktiolakia selittämäänsähkömotorisen voiman syntyminen.Se, että liikkeen indusoima jännite on yhtä suuri kuin muuttuvan magneettikentänaiheuttama sähkömotorinen voima, ei ole itsestään selvää. Tämänekvivalenssin selvittäminen oli keskeisessä osassa, kun Einstein kehittisuppeamman suhteellisuusteorian vuonna 1905. Liikkuvissa koordinaatistoissaoikean integroimistien valinta vuon muutoksen laskemiseksi ei oleaina helppoa. Koska Maxwellin yhtälöt kuitenkin osoittautuvat Lorentzinvarianteiksi,Faradayn laki differentiaalimuodossa ja Lorentzin voiman lausekepätevät kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.7.2 ItseinduktioTarkastellaan eristettyä virtasilmukkaa, jossa magneettivuo on silmukan itsensäaiheuttama. Biot’n ja Savartin lain mukaan magneettikenttä riippuulineaarisesti silmukassa kulkevasta sähkövirrasta I. Kiinteässä muuttumattomassasilmukassa vuon muutos johtuu vain virran muutoksesta, jotendΦdt = dΦ dI(7.14)dI dtVirran ja vuon muutoksen välistä verrannollisuuskerrointaL = dΦ(7.15)dIkutsutaan silmukan itseinduktanssiksi. Jos vuo on suoraan verrannollinenvirtaan, niin L =Φ/I. Virran muutos indusoi sähkömotorisen voimanE = −L dIdt(7.16)Koska sähkömotorisen voiman SI-yksikkö on voltti, niin induktanssin SIyksikköon Vs/A ≡ H eli henry. Itseinduktio ilmenee esimerkiksi siten, ettävirtapiireissä virta ei koskaan kytkeydy tai katkea täysin hetkellisesti. Itseinduktiokorostuu, jos piirissä onkäämi, koska silloin piirin induktanssi onkäytännössä sama kuin käämin induktanssi.

98 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOEsimerkki. Toroidaalisen kelan itseinduktanssiKierretään johdinlankaa N kierrosta toruksen ympäri (poikkileikkauksenala A). Itseinduktanssiin vaikuttaa sekä kela itse että silmukkaan virtaasyöttävä johteen ulkoinen osa. Oletetaan, että ulkoinen osa on koaksiaalikaapeli,joka ei aiheuta merkittävää ulkoista kenttää. Ampèren kiertosääntöantaa magneettikentäksi toruksen sisälläB = µ 0 NI/l (7.17)missä l on toruksen keskimääräinen pituus (luku 5.3). Magneettivuo jokaisenyksittäisen kierroksen läpi onja kaikkien kierrosten yhteenlaskettu vuo onjosta saadaan induktanssi7.3 KeskinäisinduktioΦ 1 = µ 0 NIA/l (7.18)Φ=µ 0 N 2 IA/l (7.19)L = dΦdI = µ 0N 2 A/l (7.20)Tarkastellaan sitten n kappaletta erillisiä silmukoita. Kirjoitetaan kaikkiensilmukoiden aiheuttama yhteenlaskettu vuo silmukan i läpi muodossan∑Φ i = Φ ij (7.21)Tähän silmukkaan indusoituu smvj=1E i = −n∑j=1dΦ ijdt(7.22)Jos kaikki silmukat ovat kiinteitä, kunkin silmukan j osuus Φ ij riippuu vainsiinä kulkevan virran I j muutoksesta, jotendΦ ijdt= dΦ ijdI jdI jdt(7.23)KertoimiaM ij = dΦ ijdI j,i≠ j (7.24)

7.4. PÄHKINÄ PURTAVAKSI: FEYNMANIN KIEKKO 99kutsutaan silmukoiden i ja j välisiksi keskinäisinduktansseiksi.Jos väliaine on magneettisesti lineaarinen, M ij :t ovat vakioita. Sähkömotorisenvoiman lauseke sisältää myös silmukan i itseinduktanssin L i = M ii .Keskinäisinduktanssi voi olla positiivinen tai negatiivinen riippuen virtojenkulkusuunnista silmukoissa.Tarkastellaan kahta kiinteää silmukkaa lineaarisessa väliaineessa (yksinkertaisuudenvuoksi µ = µ 0 ). TällöinM 21 = Φ 21(7.25)I 1Lasketaan magneettikenttä Biot’n ja Savartin lailla ja integroidaan siitämagneettivuoΦ 21 = µ [∮]04π I dl 1 × (r 2 − r 1 )1∫S 2 C 1|r 2 − r 1 | 3 · n dS 2 (7.26)Käyttämällä kaavaa∮saadaanC 1dl 1 × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 = ∇ 2 ×M 21 = µ ∫0∇ 2 ×4π S 2= µ 04π∮C 2∮[∮dl 1 · dl 2C 1|r 2 − r 1 |∮dl 1C 1|r 2 − r 1 |]dl 1· n dS 2C 1|r 2 − r 1 |(7.27)(7.28)jota kutsutaan Neumannin kaavaksi. Tämä ei ole kovin hyödyllinen induktanssienlaskemisessa, mutta se osoittaa, että keskinäisinduktanssi onpuhtaasti silmukoiden geometriasta johtuva suure ja siten silmukoiden itsensäominaisuus. Silmukoissa kulkeva sähkövirta ei vaikuta lineaarisessatapauksessa induktanssiin. Lisäksi keskinäisinduktanssi on symmetrinen silmukoidenvaihtamisen suhteen (M 12 = M 21 ), mikä vaikuttaa ensi näkemältähieman yllättävältä.Keskinäisinduktanssin laskeminen on hankalaa, mutta mittaaminen varsinyksinkertaista: syötetään piiriin 1 tunnettu virta ja mitataan sen indusoimasmv piirissä 2. Helpointa tämä on toteuttaa sinimuotoisen vaihtovirranavulla.7.4Pähkinä purtavaksi: Feynmanin kiekkoPalataan lopuksi perusongelmien pariin (Feynman, osa 2, luku 17-4). Tarkastellaanlevyä, joka pääsee pyörimään akselinsa ympäri (kuva 7.2). Keskellä

100 LUKU 7. SÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIOIKuva 7.2: Levy, jonka keskellä kulkevassa käämissä kulkee tasavirta I. Reunallaon tasaisin välein varattuja palloja.on käämi, jossa pieni paristo pitää yllä tasavirtaa. Levyn reunalla on tasainenvarausjakauma, esimerkiksi samanlaisia varattuja palloja. Oletetaan,että levy ei tässä tilanteessa pyöri. Oletetaan sitten, että virta käämissäkatkeaa äkillisesti ilman ulkopuolista vaikutusta. Alkaako levy pyöriä?Magneettikentän heikkeneminen indusoi vähäksi aikaa sähkökentän. Geometrianperusteella kenttäviivat ovat ympyröitä, joiden keskipiste on levynakselilla. Varauspalloihin kohdistuva voima aiheuttaa silloin vääntömomentin,jonka takia levy alkaa pyöriä.Toisaalta laitteiston liikemäärämomentti ennen virran katkaisua on nolla.Siihen ei kohdistu ulkoisia voimia, joten liikemäärämomentin säilymislainperusteella levy ei ala pyöriä.Jos ensimmäinen vastaus on oikea, miten käy liikemäärämomentin säilymislain?Jos taas jälkimmäinen selitys pätee, niin sovellettiinko induktiolakiaväärin? Asiaan palataan luvussa 9.