Öljyn määrä säiliössä - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Öljyn määrä säiliössäHeikki Apiola19.1.2011Liittyy matematiikkalehti Solmun artikkeliin: Riittääkö lämmitysöljyhttp://solmu.math.helsinki.fi/2011/1/apiola.pdfMaan sisällä makaava lieriön muotoinen säiliö.Pohjaympyrän säde: R, Lieriön pituus: Lrestart: with(plots):with(linalg): # AlustuksiaLieriön kuvaAvaamalla kappaleen nuolta klikkaamalla näet piirtokoodin. Kuvaa voit pyöritellä hiirellä.(Edellyttää Maplea, pdf-tiedostoa voi vain katsoa.)lierionkuva;Piirretään lieriön profiiliympyrän kuvaJos avaat kappaleen nuolta klikkaamalla, näet piirtokomennot.ympkuva;

Maple:ssa on kaksi tapaa, emme puutu tekniikoihin tarkemmin, tässä yhteydessä sopii tämä:V:=unapply(tilavuus,h);(5)Koska lieriön tilavuus = 4L:=4/(Pi*R^2);(6)V(h);(7)Nyt siis myös L on sijoitettu R:n avulla lausuttuna V-funktion lausekkeeseen..Meillä on siis tuntematon R ja sen määräämiseksi yhtälö V(0.95) = V(0.1) + 3yhtalo:=V(0.95)=3+V(0.1);(8)Nähdään, että vähentämällä 4 kummaltakin puolelta, voitaisiin yhtälö sieventää artikkelissaesiintyvään muotoon. Maplen komentaminen tuohon ei näytä olevanihan helppoa, eikä sillä ole merkitystä jatkokösittelyssä, kun jatketaan Maplella.Yhtälön ratkaiseminenwith(plots):vasen:=lhs(yhtalo);oikea:=rhs(yhtalo);Tutkitaan graafisesti:kappyra:=plot(vasen-oikea,R=0.5..1,thickness=2,axes=box,gridlines=true): rinkula:=plot([0.65],[0],style=point,symbol=circle,symbolsize=20,color=black):display([kappyra,rinkula]);(3.1)

0Zoomataan lähemmäs:kappyra:=plot(vasen-oikea,R=0.6..0.7,thickness=2,axes=box,gridlines=true): rinkula:=plot([0.648],[0],style=point,symbol=circle,symbolsize=20,color=black):display([kappyra,rinkula]);R

0Kursorin kohdistuksella luetaan: R=0.648.Ratkaistaan vielä numeerisella yhtälön ratkaisijalla, alkupisteenä R=0.65.(Silmämääräisesti käyrä ei juuri eroa tangentistaan tällä zoomauksella. Niinpä tällä alueellaNewtonin menetelmän pitäisi toimia erittäin hyvin.)Rfsolve(vasen-oikea,R=0.65);0.6480360777(3.2)Mittatikun asteikon laskeminenR:='R':V(h);(4.1)Annetaan R:lle yllä laskettu arvo.R:=0.648036077;V(h);(4.2)(4.3)

1(4.3)Nyt meillä on funktio V, joka laskee numeerisen tilavuusarvon V(h) syötteenä annetullekorkeusarvolle h. Maple täytyy komentaa laskemaan numeerinen likiarvo yhdistämällälaskentaan funktio evalf. Funktioiden yhdistämiseen on symboli @.Vf:=evalf@V;Tarkistetaan, että yhtälömme toteutuu.Vf(0.95)=Vf(0.1)+3;Vf(2*R);4.00000Kun otettiin R:lle näin tarkkaan, yhtälön puolet eroavat vasta 10:nnessä numerossa. Tokimittauksissa on senverran epätarkkuutta, että pienempikin numeroiden määrä riittäisihyvin. Mutta antaa nyt Maplen laskea tällä arvolla.(Kiintoisa havainto: Jokisen öljysäiliön täyttöfirma oli nähtävästi tähdännyt siihen, että säiliöönlaitetaan öljyäkolmen numeron tarkkuudella onnistuivat)(4.4)(4.5)(4.6)Taulukon laskentaaskel:=0.1; korkeudet:=[seq(k*askel,k=0..13)]; #Taulukoidaan 10 cm askelin.tilavuudet:=map(Vf,korkeudet);(4.1.1)(4.1.2)interface(displayprecision=5): #Näyttötarkkuus 5 numeroatilavuudet;(4.1.3)with(linalg):with(LinearAlgebra):matrix([korkeudet,tilavuudet]);(4.1.4)Kuriositeetti: Kun pyydetään laskemaan tilavuutta korkeusarvolla, joka menisi säiliönulkopuolelle (1.3 > 2R), saadaan tilavuudelle imaginaariosa.

Lasketaan 1 cm:n askeleella, kuten alkuperäisessä tehtävänannossa. Toistetaan edellisetkomennot muuttaen asekel ja niiden lukumäärä:askel:=0.01: korkeudet:=[seq(k*askel,k=0..130)]:tilavuudet:=map(Vf,korkeudet):Taulukko ei mahdu vaakasuunnassa, joten käännetään se pysyyn ja jaetaan osiin.Näytetään muodossa:[hsarake,Vsarake,hsarake,Vsarake,...,hsarake,Vsarake]Taulukko:=Transpose(Matrix([korkeudet,tilavuudet])):osa1:=;(4.1.5)osa2:=;(4.1.6)osa3:=;

(4.1.7)Transpose(Taulukko(121..130,1..2)); # Viimeinen osavaakasuoraan.(4.1.8)2*R;1.29607(4.7)Eiköhän se ole siinä!