Diplomi II osa 1 - OuLUMA

TehtäviäRatkaise annetut yhtälöt:9. 4 6(1 5x) 40x1610. 2x 5(2 3x) 2(7 10x)x 2 4 x 2 311. 112.4x 6 2x 6 2x 24 2 4 3 6Yhtälönratkaisutehtävistä saadaan haastavampia, kun niitä sovelletaanongelmanratkaisutehtäviin. Tartu haasteeseen ja ratkaise seuraavat tehtävät!Tehtäviä2 113. Lukiolaisen Oskarin kuukausirahasta menee urheiluun , elokuviin ,561 1vaatteisiin ja herkkuihin . Kuinka suuri hänen kuukausirahansa on, kun5 15hänellä jää muihin menoihin 25 €?14. Aku, Tupu, Lupu ja Hupu jakavat työpalkkansa Akun määräysten mukaan: Akusaa suurimman osuuden, Tupu toiseksi suurimman osuuden, Lupukolmanneksi suurimman osuuden ja Hupu pienimmän osuuden. Toiseksisuurin osuus on puolet suurimmasta, kolmanneksi suurin osuus onkolmasosa toiseksi suurimmasta ja pienin osuus on neljäsosa kolmanneksisuurimmasta. Suurimman ja pienimmän osuuden summa on 200 €.a) Kuinka paljon kukin saa?b) Kuinka monta prosenttia Hupun osuus on Akun osuudesta?c) Kuinka monta prosenttia Tupun osuus on suurempi kuin Lupun osuus?d) Kuinka monta prosenttia Lupun osuus on pienempi kuin Tupun osuus?Matemaattisten aineiden diplomi II

15. Kesälomalle päässeet Katja ja Hanna lähtevät moporetkelle läheiselleuimarannalle. He ajavat aluksi nopeudella 30 km/h puolet matkasta, jonkajälkeen he istahtavat syömään ja nauttimaan kesäpäivästä tunnin ajaksi.Toisen puoliskon matkasta he hurjastelevat nopeudella 40 km/h. Kuinka pitkämatka on, kun matkaan meni kokonaisuudessaan 2,5 h?Tehtävissä, joissa muuttujan lisäksi esiintyy tuntematon vakio (ns. parametri), täytyy olla erityisentarkkana:Esimerkki: Ratkaise yhtälö ax 2 3 a.Normaaliin tapaan tunnistetaan, että kyseessä on ensimmäisen asteen yhtälö, joten saadaanax 5 a (huomaa, että a on vakio!). Jotta muuttuja x saadaan ratkaistua, yhtälön molemmatpuolet pitää jakaa luvulla a. Nyt pitää olla tarkkana, sillä tässä jakolaskussa täytyy huomioidatilanne, että a olisikin luku 0. Siispä oletetaan ensin, että a 0.Tällöin ax 3 . Jos taas a = 0, niin alkuperäiseen yhtälöön sijoitettuna tämä tieto saadaana0 x 2 3 0 2 3 , joka on identtisesti epätosi yhtälö. Täten tämän tehtävän vastaus on:3ax , a 0 ja yhtälöllä ei ole ratkaisua, mikäli a = 0.aTehtäviä16. Ratkaise yhtälöta) ax x a 12b) ax a a(4a1).Matemaattisten aineiden diplomi II

2Toisen asteen yhtälön perusmuoto on ax bx c 0, a 0.Yhtälö on vaillinainen, mikäli b = 0 taic = 0. Tässä diplomissa harjoitellaan vaillinaisia toisen asteen yhtälöitä, mutta 9. luokandiplomissa opitaan täydellisen toisen asteen yhtälön ratkaisu. Aloitetaan tilanteesta, jossa b = 0.222 cTällöin yhtälö on muotoa ax c 0.Ratkaistaan tästä ensin x . Saadaan x . Huomaa,aettä a 0 ja näinhän onkin, jotta yhtälö säilyisi toisen asteen yhtälönä. Koska x2 0 , niin myöscc 0, jotta yhtälöllä on ratkaisu. Jos näin on, niin yhtälön ratkaisuna on x .a a2Esimerkki 1: Ratkaise yhtälö x 16 0 .Edetään yllä olevan ohjeen mukaan: x 2 16,josta edelleen x 16 4.Esimerkki 2: Ratkaise yhtälö 2x2 36 0.2 36Koska x 18, niin yhtälöllä ei ole ratkaisua.24Esimerkki 3: Ratkaise yhtälö x ( x 1) x .27Poistetaan sulut, jolloin saadaan 4 24 4x x x x2 x . Tulos on saatu,27 27 274 4 2 2 22mutta voimme vielä sieventää sitä, sillä . Siis x .27 27 9 39 3 33 332Tarkastellaan nyt yhtälöä, jossa c = 0. Tällöin yhtälö tulee muotoon ax bx 0.Tämän yhtälönratkaisussa käytetään tulon nollasääntöä, jonka mukaan kahden luvun tulo on nolla vain, mikäliainakin toinen luvuista on nolla. Aluksi meidän täytyy saattaa toisen asteen yhtälö tulomuotoon2ottamalla yhteinen tekijä: ax bx x(ax b).Tämä lauseke on nolla, mikäli x = 0 tai ax + b = 0.bSaadaan siis ratkaisuiksi x = 0 tai x , a 0.aEsimerkki 1: Ratkaise yhtälö 3x2 7x 0.Ottamalla x yhteiseksi tekijäksi saadaan x ( 3x 7) 0. Tästä edelleen tulon nollasääntöä7hyödyntäen x = 0 tai x .3Tehtäviä17. Ratkaise yhtälöta) 2x2 24 034b) x 2 .Matemaattisten aineiden diplomi II

18. Ratkaise yhtälöta) 3x 2 6x2b) x 5x 0.Matemaattisten aineiden diplomi II