PDF-muodossa - Matematiikkalehti Solmu - Helsinki.fi

Matematiikkalehti1/2004http://solmu.math.helsinki.fi/

2 SolmuSolmu 1/2004ISSN 1458-8048 (Verkkolehti)ISSN 1459-0395 (Painettu)Matematiikan ja tilastotieteen laitosPL 4 (Yliopistonkatu 5)00014 Helsingin yliopistohttp://solmu.math.helsinki.fi/PäätoimittajaPekka Alestalo, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluToimitussihteeritMika Koskenoja, yliopistonlehtori, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoAntti Rasila, tutkija, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoSähköposti toimitus@solmu.math.helsinki.fiToimituskunta:Heikki Apiola, dosentti, Matematiikan laitos, Teknillinen korkeakouluAri Koistinen, FM, Helsingin ammattikorkeakoulu StadiaMatti Lehtinen, dosentti, MaanpuolustuskorkeakouluMarjatta Näätänen, dosentti, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoTommi Sottinen, tutkija, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoGraafinen avustaja Marjaana BeddardYliopistojen ja korkeakoulujen yhteyshenkilöt:Virpi Kauko, tutkija, virpik@maths.jyu.fiMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Jyväskylän yliopistoJorma K. Mattila, professori, jorma.mattila@lut.fiSovelletun matematiikan laitos, Lappeenrannan teknillinen yliopistoJorma Merikoski, professori, jorma.merikoski@uta.fiMatematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos, Tampereen yliopistoKalle Ranto, assistentti, kalle.ranto@utu.fiMatematiikan laitos, Turun yliopistoTiina Rintala, opiskelija, tirintal@paju.oulu.fiOulun yliopistoTimo Tossavainen, lehtori, timo.tossavainen@joensuu.fiSavonlinnan opettajankoulutuslaitos, Joensuun yliopistoNumeroon 2/2004 tarkoitetut kirjoitukset pyydämme lähettämään maaliskuun 2004 loppuun mennessä.Kiitämme taloudellisesta tuesta Jenny ja Antti Wihurin rahastoa sekä Suomen Kulttuurirahastoa.Huom! Solmun paperiversio postitetaan vain niihin kouluihin, jotka ovat sitä erikseen pyytäneet. SolmunInternet-sivuilta saatava paperiversio on mahdollista tulostaa omalla kirjoittimella. Toivomme, että lehti ei jäävain opettajien luettavaksi, vaan sitä kopioidaan kaikille halukkaille.

Solmu 3SisällysPääkirjoitus: Matematiikan päivät ja matematiikan aseman parantaminen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Toimitussihteerin palsta: Koulutuksen mallimaa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Matematiikka – monipuolinen tiede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Laskutaito ja numeroiden lukutaito edelleen tarpeen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Solmun tehtäviä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Ohjelmoinnin alkeita Python-kielellä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Tietojenkäsittelytehtävien ratkaisuja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201089 ja muita matemaattisia yllätyksiä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Yksinkertaisista jaollisuustesteistä. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 SolmuMatematiikan päivät ja matematiikanaseman parantaminenSuomen matemaattinen yhdistys ja Oulun yliopistonmatemaattisten tieteiden laitos järjestivät Oulussatammikuun 2004 alussa Matematiikan päivät. Päivilläoli runsaasti tilaisuuksia, jotka sopivat matematiikastaja sen opettamisesta kiinnostuneille. Matematiikantutkimuksen sessiossa saatiin mm. kuulla, miten noin160 vuotta vanha Catalanin probleema ratkesi vuonna2002. Ongelma on helppo ymmärtää – vaan ei ratkaista– peruskoulutiedoilla.virheellisten käsitysten korjaamiseksi. Tilaisuus oli erittäintarpeellinen ja onnistunut. Yhteistyöideoita kehiteltiin,mutta valitettavasti tilaisuus kiinnosti vain harvojatoimittajia. Paneelin ja siihen liittyvien keskustelujenpohjalta koottiin yhdeksän kohdan muistilistamatematiikan nostamiseksi sille kuuluvaan arvoon.Opetussessiossa esiteltiin monipuolisesti opetuksen kehittämishankkeita,mm. verkko-opetusta, tuutortoimintaasekä matematiikkakerhoja ja -leirejä. Erittäinsuosituiksi tulleista matematiikkakerhoista kertoivatnuoret oululaiset opettajat ja opiskelijat, Oulussa onpäästy ilahduttavasti alkuun tässä tärkeässä toiminnassa.Toivottavasti kipinä leviää muuallekin Suomeen.Solmuun tullaan keräämään ideoita, kokemuksia javinkkejä siitä, millaista aineistoa on saatavana. Toivottavastiyhteistyö lähtee hyvin käyntiin ja yhteiseen kekoonkannetaan korsia.Matemaattisista videoista saattoi aistia matematiikankauneuden. Eräs niistä kertoi Granadassa sijaitsevanAlhambran seinäkoristeiden yhteydestä algebraan, siistässä on eräs esimerkki algebran ja geometrian yhteydestä.Matematiikka ja media -paneeli oli järjestetty matematiikkakuvanlaajentamista ja matematiikkaa koskevienPääkirjoitus

Solmu 51) Kulttuurikäsite on saatava laajemmaksi; myös luonnontieteetja matematiikka ovat yhteistä kulttuuriperintöämme.Suomen selviytymisstrategiana mainitaanaina korkean tegnologian innovaatiot – samalla pitäisitiedostaa, että matematiikka on korkean teknologianperusta. Lisäksi se on tarpeellinen yhä useammilla,myös ns. pehmeillä aloilla, kuten sairaanhoidossa jabiologiassa.2) Suomen kielen on säilyttävä myös tieteen kielenä.Tämä on yhteiskunnallinen tehtävä. Maailmankulttuurienkäsitteistä on voitava puhua suomeksi – ei riitä,että asiantuntijat keskustelevat keskenään englanniksi.3) Koululaisille on esiteltävä laajat uravalinnat myösmediassa. Luonnontieteen ja matematiikan osaajia tarvitaannykyistä paljon enemmän, mutta myös esimerkiksikädentaitojen hallitsijoita.4) Tiedekirjat on saatava näkyviin mediassa; suomenkielelläilmestyvistä tiedekirjoista – myös luonnontieteenaloilta – on saatava arviot esimerkiksi päivälehtiin.Kirjakaupoissa tulisi olla nähtävänä suomenkielisiätiedekirjoja ja matematiikan harrastuskirjoja. Syyksiniiden laiminlyömiseen ei riitä, ettei niiden myyntiole suurta, kirjakaupoilta toivotaan myös sivistystehtävää.5) Toimittajien ja asiantuntijoiden on pyrittävä tekemäänyhteistyötä.6) Matematiikan perusosaaminen on tarpeen kaikille,esimerkiksi prosenttilaskut, murtoluvut, vertailut ja tilastojenesittämisen perusasiat ovat näitä. Koulukursseissaon nykyisellään tarpeeksi tai jopa liikaa matematiikansisältöjä. Lisäpanostusta tarvitaan näiden sisältöjenkunnolliseen omaksumiseen.7) Suomenkielellä verkossa ilmestyvä matematiikkalehtiSolmu on saatava laajojen piirien tietoon:http://solmu.math.helsinki.fi8) Matematiikka on monilla aloilla tarpeellista perusosaamista,hyvin työllistävänä se ehkäisee syrjäytymistä.Matematiikka on tasa-arvokysymys, sillä sen opiskeluantaa myös naisille mahdollisuuden valita perinteisestimiehisiä aloja. Matematiikka on hyvä kasvattaja,sillä sen opiskelu vaatii kurinalaisuutta ja pitkäjänteisyyttäsekä harjoittaa keskittymiskykyä ja opettaaajattelua.9) Matematiikka on kiehtovaa ja hauskaa. Sen todistavatkaikki sen koukkuun jääneet. Se on ”tervettä huumetta”.Alli HuovinenLehtoriMatemaattisten tieteiden laitosOulun yliopistoMarjatta NäätänenDosenttiMatematiikan ja tilastotieteen laitosHelsingin yliopistoSMY:n matematiikkapalkinto Alli HuoviselleLehtori Alli Huovinen sai Matematiikan päivien avajaisissa julkistetun Suomen matemaattisen yhdistyksenmatematiikkapalkinnon. Perustelut olivat seuraavat:”Suomen matemaattinen yhdistys on päättänyt myöntää vuoden 2004 matematiikkapalkinnon lehtori AlliHuoviselle Oulun yliopiston matemaattisten tieteiden laitokselta. Matematiikkapalkinto on suuruudeltaan3000 euroa.Lehtori Huovinen on toiminut poikkeuksellisen aktiivisesti matemaattisen yleissivistyksen levittämiseksi jatukemiseksi, erityisesti naisten ja nuorten piirissä. Oulun yliopistossa tekemänsä tärkeän ja innostavan kasvatustyönja perusopetuksen kehittämisen lisäksi Huovinen on luonut, käynnistänyt ja ylläpitänyt yhteistyötäkoulujen suuntaan, esimerkiksi matematiikkakerhotoiminnan muodossa. Kerhoja toimii tällä hetkellän. 30, ja oppilaita niissä on n. 400, joista yli puolet tyttöjä. Kerhojen ja Huovisen pyyteettömän työn myötäinnostus matematiikan alaa kohtaan on herännyt laajasti Oulun seudulla ja muualla Pohjois-Suomessa.”Pääkirjoitus

6 SolmuKoulutuksen mallimaa?Suomen menestyminen OECD:n tuoreimmassa koulutusvertailussaon huomioitu näyttävästi eturivin sanomalehtiämyöten. Vuoden 2004 helmikuun alussa julkaistututkimus käsittelee informaatio- ja viestintäteknologian(ICT) hyödyntämistä ja osaamista toisen asteenkoulutuksessa, siis lukioissa ja ammattikouluissa.Suomen lisäksi mukana vertailussa olivat Belgia, Espanja,Irlanti, Italia, Korea, Meksiko, Norja, Portugali,Ranska, Ruotsi, Sveitsi, Tanska ja Unkari.Verkkosivuillaan www.oecd.org OECD otsikoi tutkimuksenyhteenvedon ”OECD havainnoi pettymykseninformaatio- ja viestintäteknologian käytössä toisenasteen koulutuksessa”. Helsingin Sanomien (4.2.2004)otsikko samasta tutkimuksesta antaa varsin toisenlaisenkuvan: ”Lukioiden ja ammattikoulujen opintoohjauksellekehut OECD:lta”. ’Hyvä me’ -henki korostuuuutisartikkelin alkavassa lauseessa ”Suomi on taaskoulutuksen mallimaita OECD-vertailussa”. Innostustaosaamisen tasosta lievennetään kuitenkin jo parin päivänpäästä peräti pääkirjoituksessa otsikolla ”Koulujenhyvä sijoitus ei paljasta koko totuutta” (HS 6.2.2004).Tutkimuksessa nostetaan esille erityisesti opintoohjauksen,tietokonelaitteistojen ja opettajien täydennyskoulutuksenhyvä taso Suomessa. Vähemmälle huomiolle– ainakin uutisoinnissa – jää ICT:n hyödyntäminenopetuksessa suhteessa niihin mahdollisuuksiin,jotka Suomessa on mittavalla panostuksella saavutettu.Totuus lienee, että kouluissa tietokoneita ei käytetäjuuri muuhun kuin tekstinkäsittelyyn ja tiedonhakuunverkosta, nettisurffaukseen. Mitenkään näiden taitojenmerkitystä väheksymättä ICT:n opetuskäytössä on vielärutkasti kehittämistä niin matematiikan kuin muidenkinaineiden opettajilla. Tosin ICT:n mielekäs opetuskäyttöon erittäin vaativaa ja aikaavievää. OpettajatSuomessa ovat varmasti tehneet voitavansa, lyhyessäajassa on tapahtunut valtava muutos, eikä ajan tasallapysyminen ole ollut kenellekään helppoa.* * *Verkko-Solmussa artikkelit julkaistaan nykyisin vainPDF- ja PS-muodoissa, eikä uusista artikkeleista oleHTML-versioita enää saatavilla. PDF on muodostunutladontaa vaativien verkkojulkaisujen standardiksi, jatoisin kuin HTML, se soveltuu hyvin myös matemaattisentekstin esittämiseen verkossa. PDF-dokumenttienlukemiseen ja tulostamiseen tarkoitettu Adobe Reader-ohjelma on vapaasti kopioitavissa verkkosivultawww.adobe.com/products/acrobat/readstep2.html.HTML-dokumenteista luopumista kokeiltiin Solmussajo muutama vuosi sitten, mutta tuolloin verkkoyhteyksienhitaus ja PDF-tiedostojen toiminnan epävarmuusaiheuttivat paluun HTML-versioihin. Nyt näistä ongelmistaon päästy eroon; jos olette käyttökokemustenneperusteella eri mieltä, niin lähettäkää palautetta.Mika KoskenojaToimitussihteerin palsta

Solmu 7Matematiikka – monipuolinen tiedeMatti VuorinenProfessoriMatematiikan laitos, Turun yliopistoMitä matematiikka on?Lähes jokaisella suomalaisella on käsitys siitä, mitämatematiikka on kouluaineena. Matematiikan todellinenluonne samoin kuin modernin matematiikan tutkimuksenmotivaatiot ja visiot jäävät kuitenkin useimmilleepäselviksi tai kokonaan tuntemattomiksi. Nykyyhteiskunnanarkipäivässä matemaattisiin keksintöihinpohjautuvilla laitteilla on kuitenkin suuri merkitys, olkoonkin,että matematiikan osuus jää usein piiloon laitteenkäyttäjältä. Mitä sitten tarkoitetaan sanalla ”matematiikka”?Turun Akatemiassa vuonna 1645 [5] eräässäprof. Simon Kexleruksen johdolla julkaistussa väitöskirjassaannettiin seuraava määritelmä [6, s. 47]:”Matematiikka on taito tutkia ja selvittää demonstraatioidenavulla olioiden kvaliteetteja.”En nyt pyri Kexleruksen tavoin määrittelemään matematiikkaa,vaan nostamaan esille joitakin moderninmatematiikan tutkimuksen ajankohtaisia visioita jatutkimusaloja.Matematiikka tieteenäVarhaisimmat dokumentit matematiikan historiasta onlöydetty muinaisen Babylonian nuolenpääkirjoituksellatehdyistä savitauluista ja muinaisen Egyptin hieroglyfikirjoituksista.Kummassakin tapauksessa oli kysymyskokemusperäisten seikkojen soveltamisesta. Ratkaisevaaskel eteenpäin otettiin antiikin Kreikassa, jossa kokemusperäisetgeometriset seikat systematisoitiin ja niilleesitettiin loogisen päättelyn avulla perustelu, todistus.Näin syntyi matemaattinen tiede [1, s. 768]. TeoksissaanEukleides kokosi geometrian alalla saavutetut tuloksetoppijärjestelmäksi, jossa keskeisiä olivat seuraavatseikat:• tarkastelun kohteena olevat suureet määritellään täsmällisesti,• tutkimustulokset lausutaan tarkassa muodossa,• tulokset todistetaan deduktiivisesti, aksiomeihin palautuvillaloogisilla perusteluilla,• tarkastelut eivät ole irrallisia, vaan liittyvät, uuttalisävalaistusta tuoden, aikaisempaan tutkimukseen.Nämä piirteet ovat edelleenkin tyypillisiä kaikelle matemaattiselletutkimustyölle. Matematiikan kehittymiselletieteenä on olennaista, että uudet tulokset voidaanrakentaa vanhojen tulosten perustukselle, niitähylkäämättä. Tehtävänasettelut voivat säilyttää ajankohtaisuutensaaikakaudesta toiseen samalla kuin ymmärrysniiden merkityksestä syventyy. Matematiikassaeivät ole keskeisiä numeroihin kohdistuvat laskutoimituksettai kaavojen manipulointi, vaan matemaattinen

8 Solmupäättely, jonka kohteina voivat olla esim. matemaattisiinstruktuureihin, kuten yhtälöryhmien ratkeavuuteen,liittyvät tarkastelut. Matematiikan erikoistuneitatutkimusaloja on nykyään useita satoja algebrasta jaanalyysistä tietotekniikan matemaattiseen teoriaan jamatemaattiseen fysiikkaan.Mitkä seikat sitten ohjaavat matematiikan kehitystä?Virikkeinä voivat olla sovelluksissa, esim. fysiikassa,esiintyvät tarpeet. Monesti voidaan todeta, että tutkimustyössäkaraistunut tutkijan sisäinen näkemys, intuitio,johtaa tutkimushypoteeseihin, joihin aikanaantoivottavasti löydetään myös ratkaisu.Intuition merkitys matemaattisten ideoiden tienviittanailmenee seuraavasta Albert Einsteinista kerrotustaesimerkistä [6]. Matemaattisen fysiikan alalla työskennellytEinstein joutui ponnistelemaan vuosikymmenenennenkuin lopulta keksi yleisen suhteellisuusteorian.Useista epäonnistuneista yrityksistään huolimatta,työn vielä ollessa kesken, hän oli kuitenkin vakuuttunut,että luonnon todellisuutta oikealla tavalla kuvaavaratkaisu oli olemassa ja se oli löydettävissä. Uskonsaoikean teorian saavutettavuuteen Einstein muotoiliseuraavasti [6, s. 7]:”Luonto näyttää meille vain leijonan hännän. En kuitenkaanepäile, että siihen liittyy leijona, vaikka hän eiheti pystykään paljastamaan itseään valtavan kokonsatakia.”Ratkaisuihin pääsy voi joskus kestää pitkäänkin: mm.kysymystä paralleelipostulaatin asemasta geometriassapohdittiin antiikin ajoista 1800-luvun alkuun, jolloinse ratkesi epäeuklidisen geometrian synnyn yhteydessä.Toisena esimerkkinä matemaatikkojen ammattikunnansitkeydestä voi mainita, että kuuluisan 1600-luvulla esitetyn Fermat’n ongelman ratkaisuun päästiinvasta vuosikymmen sitten, yli 300-vuotisten ponnistelujenjälkeen.Matematiikka ja sovelluksetGalileo Galilei toteaa tunnetussa lausumassaan 1500-luvulta, että luonnon kirjaa ei voi lukea tuntemattakieltä, jolla se on kirjoitettu [2]. Tämän kielen kirjaimetovat kolmioita, ympyröitä ja muita geometrisia kuvioitaja ilman näiden tuntemusta on mahdotonta ymmärtääluonnon kieltä.Näin siis Galilein aikana, mutta mitkä ovat matematiikansovellusmahdollisuudet nykyään? Haluaisin alleviivatasanaa ”kieli” Galilein lausumassa. Voidaan nimittäintodeta, että matematiikan ilmaisuvoimainen jatäsmällinen käsitekieli tarjoaa sopivia työvälineitä käsitteenmuodostukseen,metodinkehitykseen ja tieteellisiinläpimurtoihin kokonaan uusilla tieteenaloilla.Ensimmäisenä esimerkkinä otan esille Bernhard Riemannin1800-luvun puolivälissä luoman geometriankeskeisen roolin Einsteinin suhteellisuusteoriassa kaksisukupolvea myöhemmin. Geometrian ja matemaattisenfysiikan hedelmällinen vuorovaikutus jatkuu fysiikanuusimmissa teorioissa nykyäänkin.Toisena esimerkkinä voisi mainita algoritmien matemaattisenteorian, joka sijoittuu matematiikan ja tietojenkäsittelytieteenvälimaastoon. MatemaatikkojenJohn von Neumann ja Alan Turing uraauurtavilla tietokoneidentoimintaperiaatetta koskevilla töillä 1900-luvun puolivälissä oli keskeinen vaikutus ensimmäistentoimivien tietokoneiden syntyyn. Sittemmin algoritmienmatemaattinen teoria on eriytynyt omaksi tutkimusalueekseen,jonka kehitys on ollut nopeaa viimeistenkolmen vuosikymmenen aikana. Yksittäisenä esimerkkinäalan suuresta merkityksestä voidaan mainitakaikkien Internetin käyttäjien tuntema hakupalveluGoogle, jonka tehokkuus perustuu valtavan suurenmatriisin ominaisarvojen laskentaan.Kolmas esimerkkini on uusi tieteenala, tieteellinen laskenta.Kysymyksessä on noin kymmenen vuotta sittenomaksi alakseen eriytynyt matematiikan haara,jolla on vahva poikkitieteellinen luonne. Siinä yhdistyvätmatematiikka ja tietojenkäsittelytiede. Sen piiriinkuuluvat mm. simulointi, matemaattinen mallinnusja laajojen aineistojen tietokoneavusteinen dataanalyysi.Simuloinnissa tutkimuksen kohteena olevaailmiötä kuvataan sen olennaiset piirteet sisältävän mallinavulla. Simulointitekniikoilla on erittäin laajat sovellusmahdollisuudetteknisiin tieteisiin, biotieteisiinja luonnontieteisiin. Simulointimallit antavat apuvälineenesim. matkaviestinverkkojen komponenttien optimoinnillejo suunnitteluvaiheessa, jolloin kalliilta korjauskustannuksiltaverkon rakennusvaiheen aikana vältytään.Kustannussäästöt ovat oleellisia kansainvälisenkilpailukyvyn säilyttämiseksi. Tieteellisen laskennankehittyessä matematiikan tutkimukseen soveltuvatohjelmistot ovat tulleet laajaan käyttöön. Nämä ohjelmistotovat avaneet kokonaan uudenlaisia mahdollisuuksiakokeellisen aineiston käyttöön matematiikantutkimuksessa ja opetuksessa.Matematiikan haasteetIhmisen elinympäristö on muuttunut radikaalisti viimevuosikymmeninä. Osaltaan tämä johtuu arkipäiväähelpottavista tekniikan keksinnöistä, joista edelläjo mainittiin tietokoneet ja matkaviestimet. Kummassakintapauksessa matematiikan rooli on ollut keskeinen,seikka, jonka soisi olevan laajemmin tunnettu.Kysymys ei ole yksittäistapauksista, vaan arvostettujenasiantuntijatahojen näkemyksen mukaan high techon suuressa määrin matemaattista tekniikkaa. Galileita

Solmu 9mukaillen voisi todeta, että matematiikka on nykyajanympäristöoppia.Nokian tutkimusjohtaja Yrjö Neuvo piti syksyllä 2001esitelmän otsikkona ”Mathematics for mobile generations”[9],jossa hän toi esille matematiikan tärkeän roolinnykyisten matkaviestimien kehityksessä ja totesi, ettäseuraavan sukupolven viestimissä matematiikan rooliedelleen kasvaa. Matkaviestimien tulevien sukupolvienkehitykseen osallistuminen on haaste paitsi matematiikalleyleensä, myös nimenomaan suomalaisellematematiikalle, koska kyseessä on kansantaloudellemmemerkittävä teollisuudenala. On paikallaan korostaa,että luotettavassa tiedonsiirrossa keskeisen tärkeät matematiikanalat, kryptografia ja koodausteoria ovat juuriTurun yliopiston matematiikan laitoksen vahvuusaloja.Akateemikko Arto Salomaan ja professori AimoTietäväisen perustamat tutkimusryhmät ovat luoneeturaauurtavaa tutkimusta maassamme ja heidän ryhmistäänpolveutuvat lähes kaikki näiden alojen suomalaisetasiantuntijat.Paavo Lipposen pääministerikaudellaan asettama Valtiontiede- ja teknologianeuvosto toteaa uusimmanv. 2003 julkaistun raporttinsa [10] yhteenveto-osassamatematiikan merkityksestä mm. seuraavaa: ”Suomenkansainväliseksi vahvuudeksi katsotun korkean koulutustasonturvaamiseksi esitetään tietoyhteiskunnan perusvalmiuksiinpanostamista, matematiikan ja luonnontieteidenosaamisen lisäämistä sekä tohtorintutkintoaseuraavaan tutkijanuraan ja tutkijoiden urakehitysmahdollisuuksiinpanostamista.” Näin tämä tiedepolitiikantuleviin linjauksiinkin todennäköisesti vaikuttavaasiakirja tiivistää matematiikan merkityksen yhtenätietoyhteiskunnan kulmakivistä.Matematiikan asiantuntijoita on Suomessa liian vähän.Suurten ikäluokkien jäädessä eläkkeelle seuraavan vuosikymmenenaikana matematiikan, samoin kuin monienmuiden alojen, asiantuntijatarpeen voi ennakoida merkittävästivielä kasvavan sekä oppilaitoksissa että teollisuudentoimialalla. Keskeisinä tehtävinä ja tavoitteinatulevat olemaan toisaalta määrätietoisena jatkuvapanostaminen tutkijankoulutukseen ja toisaalta yhteistyönsyventäminen teollisuuden kanssa.LopuksiMatematiikka on toisaalta menetelmätiede, jolla on yhdenmukaistavavaikutus useilla käyttöalueillaan, toisaaltayhtenä vanhimmista tieteistä se on enemmänkuin sovellustensa summa. Matematiikka on dynaaminentiede, josta ehtymättä kumpuaa uusia ideoita sekäperustutkimuksen että sovellusten käyttöön. Kukin tiedetarjoaa ikäänkuin oman ikkunansa totuuden katsomiseen,ponnistelee kohti meitä ympäröivän todellisuudenymmärtämistä ja antaa sovellustensa kautta motivaatioitaja visioita tulevaisuuden kehittämiseen. Matematiikantarjoamat visiot liittyvät vahvasti luonnontieteidenja tekniikan menetelmiin, joiden kehitykseense on keskeisesti vaikuttanut antiikista nykypäivään.Kirjallisuutta[1] H. Bass: The Carnegie Initiative on the Doctorate:The Case of Mathematics, Notices of Amer. Math.Soc., Vol. 50, Nr. 7, Aug. 2003, 767–776.[2] E.T. Bell: Matematiikan miehiä, WSOY, 1963.[3] A. Borel: On the place of mathematics in culture.Duration and change, 139–158, Springer, Berlin, 1994.[4] H. Hasse: Mathematik als Wissenschaft, Kunst undMacht, Wiesbaden, 1952.[5] M. Klinge et al.: Helsingin yliopisto 1640–1990. 1.osa: Kuninkaallinen Turun akatemia 1640–1808. Otava,Helsinki, 1987, ISBN 951-1-09736-9.[6] R. Lehti: Leijonan häntä – luoko tietoa luonto vaiihminen? Ursa, 2001, ISBN 952-5329-10-0.[7] O. Lehto: Matemaattiset tieteet. Teoksessa: Suomentieteen historia. osa. Luonnontieteet, lääketieteetja tekniset tieteet. Päätoim. P. Tommila, Porvoo, 2000,ISBN 951-0-23108-8.[8] Mathematics unlimited – 2001 and beyond, Ed. B.Engquist ja W. Schmid, Springer, Berlin, 2001, ISBN3-540-66913-2.[9] Y. Neuvo: Mathematics for mobile generations.Fifth Diderot Mathematical Forum, November 22,2001. http://www.math.hut.helsinki.fi/diderot2001/programme.html[10] Valtion Tiede- ja teknologianeuvosto: Osaaminen,innovaatiot ja kansainvälistyminen. http://www.minedu.fi/tiede ja teknologianeuvosto/julkaisut/katsaus2003.pdfTämä artikkeli on Matti Vuorisen virkaanastujaisesitelmä Turun Akatemiatalolla 15.10.2003. Artikkeli on julkaistuArkhimedes-lehden numerossa 6/2003, ja se julkaistaan Solmussa Arkhimedes-lehden luvalla.

10 SolmuLaskutaito ja numeroiden lukutaitoedelleen tarpeenMatti SeppäläLuonnonmaantieteen professoriMaantieteen laitos, Helsingin yliopistoTimo Tossavainen ja Tuomas Sorvali kirjoituksessaan”Matematiikka, koulumatematiikka ja didaktinen matematiikka”(Tieteessä tapahtuu 8/2003) kirjoittavat,että ”Laskimien ja tietokoneiden kehitys on siis tehnytpuhtaasti teknistä laatua olevan laskutaidon käytännönkannalta tarpeettomaksi.” Tästä sallittaneen muutamamaallikon reunahuomautus, koska olen hieman erimieltä. Mekaaninen laskutaito on monesti ainakin hyödyllistä.Väitteeni tueksi kerron muutaman esimerkin.Jokunen vuosi sitten seisoin jonossa Snellmaninkadunnyttemmin suljetussa postissa Helsingin keskustassaostaakseni muutaman arkin joulumerkkejä. Laskin aikanikuluksi 20 merkin arkin hinnan. Kun vuoroni lopultatuli ja sain merkit, niin virkailija (silloin oli vieläpostivirkailijoita) ilmoitti laskelmastani poikkeavankorkeamman hinnan. Minä kinaamaan vastaan, jolloinhän näytti arkin reunaan painetun hinnan (joka rivilleon laskettu kumulatiivinen hinta) ja viivakoodilla otettunahinta oli ylimmälle riville painettu, mutta kun seoli väärä. Virkailija suostui lopulta jonosta huolimattalaskemaan koneella kahdenkymmenen merkin hinnanja päätyi minun ilmoittamaani. Viimeinen rivi oli hinnaltaankaksinkertainen. Lopulta sain maksetuksi oikeanhinnan ja vitsailin, ettei kenenkään kannata ostaaviimeistä riviä merkkejä. Kuinka monet tuhannet ihmisetmaksoivat sinä vuonna liikaa joulumerkeistään?Havaintoni jälkeen Helsingin Sanomat julkaisi nopeastiasiasta kirjoituksen ja posti muistaakseni pahoitteliasiaa, mutta varmaan ympäri maata painettua hintaaperittiin asiakkailta kauden loppuun.Olen usein oikaissut kaupan kassalla yhteenlaskusummia,jotka voivat olla aivan mielikuvituksellisia. Koneetlaskevat lukuja, joita niihin syötetään. Päässälaskutaidostaon hyötyä.Arkikieleen on pesiytynyt epätäsmällisyyksiä, jotka leviävättaudin lailla, koska ihmiset eivät ajattele tai ymmärrämitä he puhuvat. Sanotaan, että jokin asia onpuolet suurempi kuin toinen ja tarkoitetaan, että se onkaksi kertaa niin suuri kuin toinen. Joku muu asia onmuka kaksi kertaa pienempi kuin toinen, vaikka tarkoitetaan,että se on vain puolet toisesta. Jos kerrotaankahdella, niin tapahtuu suurenemista, ja jos puolellakerrotaan, niin koko pienenee. Ainakin näin minulle onopetettu. Tässä olisi matematiikan opettajille työsarkaa.Jo TV:n uutistoimittajille pitäisi opettaa tätä jokapäivän matematiikkaa.Merkittävä parannus olisi myös, jos opittaisiin lukujensuuruussuhteiden ymmärtäminen, ettei puhuttaisi julkisuudessaaivan mahdottomia. Pinta-alojen ymmärtä-

Solmu 11minen on näköjään vaikeaa.WWF:n pääsihteeri kertoi kerran radiossa miten sademetsiähakataan 100 miljoonaa neliökilometriä vuodessa.Soitin hänellä ohjelman jälkeen ja kysyin mikäon Euroopan pinta-ala. Hänellä ei ollut aavistustakaan.Kun kerroin, että se on noin 10 miljoonaa neliökilometriä,hän myönsi ehkä erehtyneensä.Ilmastonmuutosta päivittelevä professori kirjoittiHelsingin Sanomissa (1.9.2002) vieraskynässä miten”Pohjois-Amerikassa lumipeitteen alta vapautuviauusia alueita lasketaan muodostuvan vuosittainnoin 103 miljoonaa neliökilometriä”. Kuitenkin kokoPohjois-Amerikan pinta-ala on vain 23,5 miljoonaa neliökilometriä.Kerran maantieteen seminaarissa piti esitelmän opiskelija,joka ei osannut lukea 100 000:ta suurempia lukuja,joita hän esitykseensä oli kirjoittanut.Käytännön laskutaito tuli vastaan myös niille opiskelijoille,jotka eivät millään tahtoneet saada selville peruskarttalehdenpinta-alaa, kun karttaneliön sivut ovat10 kilometriä.Mielestäni matematiikan opettajilla on paljon hyvinpaljon perustavanlaatuista opetettavaa ilman hienojateorioita. Matematiikka on kieli ja kieltä ei voi käyttääellei ole sanoja ja yhteisiä käsitteitä, joten kyllä neon syytä oppia. Onko muuten olemassa matemaattistahuumoria? Voisiko sitä käyttää opetuksessa?Tämä artikkeli on julkaistu Tieteessä tapahtuu -lehden numerossa 1/2004, ja se julkaistaan Solmussa Tieteessätapahtuu -lehden ja artikkelin kirjoittajan luvalla.

12 SolmuSolmun tehtäviäLähetä ratkaisusi Solmun tämänkertaisiin tehtäviinSolmun toimitukseen viimeistään kesän 2004 aikana jokosähköpostitse osoitteeseentoimitus@solmu.math.helsinki.fitai kirjeenä osoitteeseenSolmun toimitusMatematiikan laitosPL 400014 Helsingin yliopisto.Parhaat ratkaisuehdotukset julkaistaan Solmun tulevissanumeroissa.1. Kuusinumeroisesta luvusta vähennetään luvun numeroidensumma ja toistetaan sama operaatio saadulletulokselle. Onko mahdollista, että lopputuloksena saadaanluku 2002?2. Ratkaise yhtälö|x + 3| + p|x − 2| = 5,missä p on reaalinen parametri.3. Nelikulmiossa ABCD onAB = 1, BC = 2, CD = √ 3, kulma ABC = 120 ◦ja kulma BCD = 90 ◦ .Määritä sivun AD pituuden tarkka arvo.4. Kolmion ABC sivun AB pituus on 10 cm, sivunAC pituus on 5,1 cm ja kulma CAB = 58 ◦ . Määritäkulman BCA suuruus asteen sadasosan tarkkuudella.5. Millä todennäköisyydellä lottoarvonnassa (yksi arvontaviikossa) ainakin yksi seitsemästä tämän viikonlottonumerosta (numerot 1–39) arvottiin myös viimeviikolla?6. Joulupukki tarkkaili taivasta huolestuneena, syvästimietiskellen. Seuraavana päivänä hän halusi matkustaaniin kauas kuin mahdollista jakaakseen lahjoja lapsille.Lopulta keskiyöllä alkoi sataa lunta. Lumisateen asiantuntijanahän näki heti, että sade oli sen laatuista, etteise lakkaisi seuraavaan 24 tuntiin. Joulupukki myös tiesi,että ensimmäisen 16 tunnin aikana reki kulkee yhänopeammin ja nopeammin (nopeus kiihtyy tasaisesti).Reki olisi alussa paikallaan, mutta kun 16. tunti olisikulunut, lentäisi se kuin nuoli. Sen jälkeen kuitenkinmatkan taivaltaminen vaikeutuisi yhä paksunevan lumenvuoksi, ja seuraavan 8 tunnin aikana reen huippunopeuslaskisi tasaisesti takaisin nollaan. Toisaaltajoulupukki ei kuitenkaan haluaisi uuvuttaa porojaanpakottamalla niitä yli 8 tunnin työhön. Milloin joulupukinpitäisi lähteä matkaan kulkeakseen mahdollisimmanpitkän matkan?7. Onko olemassa sellainen aritmeettinen lukujono, jokakoostuu erisuurista positiivisista kokonaisluvuista,ja jossa mikään jonon termi ei ole jaollinen millään neliöluvulla,joka on suurempi kuin 1?

Solmu 138. Onko jollakin neliöluvulla desimaaliesitys, jonka luvunnumeroiden summa on 2002?9. Ratkaise seuraava yhtälö:2x 4 + 2y 4 − 4x 3 y + 6x 2 y 2 − 4xy 3 + 7y 2+ 7z 2 − 14yz − 70y + 70z + 175 = 0.10. Ympyrä k 1 , jonka säde on R, ja ympyrä k 2 , jonkasäde on 2R, koskettavat ulkoisesti pisteessä E 3 , jaympyrät k 1 ja k 2 koskettavat ulkoapäin myös ympyrääk 3 , jonka säde on 3R. Ympyrät k 2 ja k 3 koskettavatpisteessä E 1 , ja ympyrät k 3 ja k 1 koskettavat pisteessäE 2 . Todista, että kolmion E 1 E 2 E 3 ympäri piirrettyympyrä on yhdenmukainen ympyrän k 1 kanssa.11. Onko totta, että jos on olemassa annetun puolisuunnikkaankantojen kanssa yhdensuuntainen suora,joka puolittaa sekä puolisuunnikkaan pinta-alan ettäympärysmitan, niin silloin puolisuunnikas on suunnikas?12. Tasakylkisten kolmioiden kärkikulmat ovat 140 ◦ jane on piirretty annetun kolmion ABC sivuille AB jaAC (ulkopuolelle). Uudet kulmapisteet ovat silloin A 1ja C 1 . Tasakylkinen kolmio, jonka kärkikulma on 80 ◦pisteessä B 1 , piirretään sivulle AC (ulkopuolelle). Määritäkulma C 1 B 1 A 1 .13. Suora katkaistu ympyräkartio on piirretty pallonympärille. Mikä on sen tilavuuden ja pinta-alan suurinmahdollinen suhde?14. Määritä kolmiulotteisessa koordinaatistossa kuutio,jonka särmät eivät ole yhdensuuntaiset koordinattiakselienkanssa, mutta niiden pituus on kokonaisluvunmittainen.15. Anna ja Sofia heittävät vuorotellen arpakuutiota.Arpakuution osoittama luku lisätään aina kummankinerikseen keräämään pistemäärään. Pelin voittaa luvulla4 jaollisen pistemäärän ensin saavuttanut pelaaja.Jos Anna aloittaa pelin, millä todennäköisyydellä häntulee voittamaan sen?16. Todista, että jos n on mielivaltainen positiivinenkokonaisluku, niin∑k 1 ,..., kn≥ 0k 1+2k 2+...+nk n=n(k 1 + k 2 + . . . + k n )!k 1 ! · . . . · k n != 2 n−1 .17. Kolmion ABC korkeusjanojen leikkauspiste on M,ja sen sisään piiretty ympyrä, keskipisteenä O, koskettaasivuja AC ja BC pisteissä P ja Q. Todista, että josM sijaitsee suoralla P Q, niin suora MO kulkee sivunAB läpi sen keskikohdasta.18. Olkoon a n termin x n kerroin polynomissa(x 2 + x + 1) n .Todista, että jos p > 3 on alkuluku, niina p ≡ 1 (mod p 2 ).Lähde: KöMaL, December 2002, http://www.komal.hu/.Käännös ja ladonta: Jouni Koponen

14 SolmuOhjelmoinnin alkeita Python-kielelläAntti RasilaTutkijaMatematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopistoJohdantoTämän artikkelin tarkoituksena on esitellä lukijallePython-ohjelmointikieltä matemaattisten sovellustennäkökulmasta. Artikkeli on tarkoitettu ohjelmoinninperuskurssiksi, jossa käydään läpi yksinkertaistenohjelmien kirjoittamista Python-kielellä, mutta sen voivaihtoehtoisesti ymmärtää Pythonin yleisesittelyksi jojohonkin toiseen ohjelmointikieleen perehtyneelle lukijalle.Tarkoituksena on kirjoittaa artikkeliin myöhemminjatkoa, jonka sisällöksi olen kaavaillut yksinkertaistennumeerisen matematiikan sovellusten kirjoittamistaNumerical Python -kirjastoa käyttämällä sekä graafistenkäyttöliittymien kirjoittamista ja matemaattisendatan visualisointia Tkinter-laajennuksen avulla.Python on interaktiivinen olio-ohjelmointikieli, jossayksinkertainen ja selkeä syntaksi yhdistyy kokeneemmankinohjelmoijan arvostamiin monipuolisiin ominaisuuksiin.Python-kieli on helppo oppia, ohjelmienkirjoittaminen on sillä nopeaa ja virheiden etsiminenvalmiista ohjelmasta vaivatonta. Python sopii hyvinensimmäiseksi ohjelmointikieleksi ja on osoittautunutsuosituksi monenlaisissa ohjelmointiprojekteissa.Tavallisimmin Pythonia käytetään erilaistentietoliikenne- ja ylläpitosovellusten kirjoittamisessa.Pythoniin on saatavissa laajennuksia, joiden avulla sitävoi tehokkaasti käyttää moniin muihinkin tarkoituksiin.Yksi tällainen laajennus on tämän artikkelin seuraavassaosassa esiteltävä Numerical Python -kirjasto,jonka avulla Python on laajennettavissa ominaisuuksiltaanlähes kaupallista Matlab-ohjelmistoa vastaavaksinumeerisen matematiikan ohjelmointiympäristöksi.Osoitteesta http://www.python.org ladattavissa olevaPython-tulkki on vapaasti levitettävissä kaupalliseenja ei-kaupalliseen käyttöön. Tulkki on saatavissakaikille tavallisimmille laitteistoille ja käyttöjärjestelmille,joita ovat esimerkiksi Linux, Windows, Appleja UNIX. Yhdessä ympäristössä kirjoitetut Pythonohjelmattoimivat yleensä muissa ilman muutoksia(poikkeuksena esimerkiksi käyttöjärjestelmän palveluitaos.system-kutsun kautta käyttävät ohjelmat).Kokonais- ja liukuluvutMonien muiden tulkattujen ohjemointikielten tapaanPythonia voi käyttää interaktiivisesti, eli eräänlaisenalaskimena. Tällöin komennot syötetään suoraanPython-tulkin kehotteeseen. Python-tulkista poistuminentapahtuu painamalla CTRL+D 1 . Interaktiivinen1 Tämä on UNIX-maailmasta tuttu tiedoston loppumiseen viittaava kontrollimerkki.

Solmu 15käyttötapa sopii hyvin kielen ominaisuuksiin tutustumiseenja ohjelmoinnin harjoitteluun. Ohjeita jonkinkäskyn tai kirjaston toiminnasta saa kirjoittamallehelp([käskyn nimi]). Seuraavassa yksinkertainenesimerkki Python-tulkin interaktiivisesta käytöstä:>>> 1+12>>> 123+456579>>>Lukujen esittämiseen tietokoneessa käytetäänkokonaisluku- (Pythonissa int) ja liukulukuesityksiä(vast. float). Liukulukuja käytetään tavallisestimurto- ja irrationaalilukujen esittämiseen. Liukulukuon kuitenkin aina tarkkuudeltaan rajoitettu approksimaatio,joka vastaa likimäärin taskulaskimista tuttualuvun eksponenttiesitystä. Äärellinen esitystarkkuusaiheuttaa ongelmia, jos esimerkiksi lasketaan yhteensuuruusluokaltaan paljon toisistaan poikkeavia liukulukuja,kuten 10 −10 ja 10 10 . Erityisesti kahden liukuluvunyhtäsuuruuden vertaaminen suoraan ei yleensäjohda toivottuun lopputulokseen. Tehtäessä laskutoimituksiakokonaisluvuilla lopputulos on kokonaisluku,liukuluvuilla vastaavasti liukuluku. Tämä voi aiheuttaaodottamattomia lopputuloksia. Liukulukuesitystäkäytettäessä kokonaislukujen kokonaisosan jälkeenmerkitään . (tai .0).>>> 7/32>>> 7./3.2.3333333333333335>>> 7./9.-(1./3.)*7./31.1102230246251565e-16Koska 7 ja 3 käsitellään ensimmäisellä rivillä kokonaislukuina,jakolaskun lopputulos on myös kokonaisuluku,eli osamäärän kokonaisosa. Liukulukujenkaan laskutoimituksentuloksena ei äärellisen esitystarkkuudenvuoksi saada matemaattisesti oikeaa arvoa 2.3333....Tämä aiheuttaa ongelmia, jos halutaan esimerkiksi testataovatko, kahden eri lausekkeen antamat arvot samat.Tällöin pitää samoiksi arvoiksi hyväksyä ne tapaukset,joissa arvot ovat riittävän lähellä toisiaan; käsitteenriittävän lähellä tulkinta riippuu sovelluksesta.MuuttujistaSijoittaminen muuttujaan tapahtuu sijoitusoperaattorin= avulla. Jos laskutoimituksen tai muun operaationlopputulos sijoitetaan muuttujaan, sitä ei tulosteta.Useampia muuttujia voi sijoittaa samanaikaisestierotamalla muuttujat ja sijoitettavat arvot pilkulla.>>> a,b=5,6>>> a5>>> b6Jokaisella Python-muuttujalla (kuten muillakin lausekkeilla)on tyyppi, jonka voi selvittää komennolla type.Merkkijonot ja listatKokonais- ja liukulukujen ohella muita hyödyllisiämuuttujia ovat esimerkiksi merkkijonot (str) ja listat(list). Merkkijonon merkkeihin osamerkkijonoihin voiviitata hakasulkujen [] avulla. Ilmaisu [j:k] tarkoittaasuljettua väliä j:stä (k − 1):een. Jos jompikumpipäätepiste puuttuu, tarkoitetaan väliä j:stä loppuuntai k:sta alkuun. Merkkijonon pituuden voi selvittääkäskyllä len. Merkkijonojen (ja listojen) indeksointiPythonissa alkaa 0:sta; indekseihin merkkijonon lopustalukien viitataan negatiivisilla luvuilla. Merkkijonojavoi yhdistää operaation + avulla. Esimerkki merkkijonojenkäytöstä:>>> s=’merkkijono’>>> len(s)10>>> type(s)>>> s[0]’m’>>> s[0:5]’merkk’>>> s[-5:]’ijono’>>> s[-1]’o’>>> t=’ ja toinen merkkijono’>>> s+t’merkkijono ja toinen merkkijono’Listat ovat indeksöityjä muuttujajonoja. Samaan listaanvoidaan tallettaa erityyppisiä arvoja. Listan käsittelyja listan alkoihin viittaaminen muistuttaa merkkijonojenvastaavia operaatioita. Listan alkioilla on luonnollisestiomat tyyppinsä.>>> li=[’nolla’,’yksi’,’kaksi’,3,4,5.0,6.0]>>> li[’nolla’, ’yksi’, ’kaksi’, 3, 4, 5.0, 6.0]>>> li[1]’yksi’>>> li[2:4][’kaksi’, 3]>>> len(li)7>>> type(li)>>> type(li[2])

16 Solmu>>> type(li[6])TyyppimuunnoksetMuunnoksia erityyppisten muuttujien välillä voi tehdätyyppimuunnosfunktioiden avulla. Niiden syntaksi ontyyppi(·). Kaikkia tyyppejä ei voi luonnollisesti muuttaatoisikseen, ja lisäksi jotkin tyyppimuunnokset voivathävittää informaatiota.>>> s1=’0.5’>>> int(s1)Traceback (most recent call last):File "", line 1, in ?ValueError: invalid literal for int(): 0.5>>> float(s1)0.5>>> int(float(s1))0>>> float(’1.0’)1.0>>> str(1.0)’1.0’Tulostaminen print-käskyn avullaMuuttujan arvon voi tulostaa käskyllä print . Käskyn yhteydessä on mahdollista antaatulostuksen muodon määräävä merkkijono 2 , jokaerotetaan tulostettavista muuttujista prosenttimerkillä.Jos tulostettavia muuttujia on useita, niiden ympärillepitää merkitä sulkeet. Myös listan voi tulostaaprint-käskyllä.>>> a,b=5,6>>> print a,b5 6>>> print ’%f %f’ % (a,b)5.000000 6.000000>>> print [a,b][5, 6]Tulostuksen formatoinnin määrittämisessä voidaankäyttää mm. seuraavia optioita:Tulostettavan merkkikentän pituuden ja mahdollisenesitystarkkuuden voi määrittää print-käskyn yhteydessä.Nämä annetaan pisteellä erotettuna prosenttimerkinjälkeen.>>> a=1.23456789>>> print "%10.6f" % a1.234568>>> print "%10.3f" % a1.235>>> print "%6.3f" % a1.235>>> print "%6.3e" % a1.235e+00>>> print "%6.3d" % a001Python-ohjelmat ja syötteen lukeminenkäyttäjältäPython-kielisten ohjelmatiedostojen tunnisteena käytetääntarkennetta .py. Ohjelmat ovat itsessään tavallisiatekstitiedostoja, ja niiden editoimiseen voi käyttäämitä hyvänsä ohjelmointiin soveltuvaa tekstieditoria,kuten esimerkiksi notepad tai emacs. Kommenttirivejämerkitään Pythonissa #-merkillä ja käskyn voijakaa useammalle riville kenoviivan \ avulla. Kommenteissaolevat skandinaaviset merkit voivat aiheuttaaongelmia joissakin järjestelmissä. Windowissa Pythontulkkiasettaa itsensä automaattisesti .py-tiedostojenoletusarvoiseksi avausohjelmaksi. Ohjelmien ajaminensujuu klikkaamalla ohjelmatiedoston kuvaketta. Ohjelmiavoi ajaa myös komentoriviä käyttäen kirjoittamallapython ohjelma.py.Pythonissa syötteen lukeminen käyttäjältä tapahtuuinput-käskyllä. Käsky ottaa parametrinaan merkkijonon,joka on käyttäjälle syötettävä kehote.>>> x=input(’Anna luku: ’)Anna luku: 3>>> print x3%d kokonaisluku,%f liukuluku,%e liukuluku, eksponenttiesitys,%s merkkijono.Käyttäjän antama syöte voi aiheuttaa myös ongelmia.Saattaa olla, että lukua pyydettäessä käyttäjä onkinantanut jonon kirjaimia. Tämän voi kuitenkin helpostiestää tarkastamalla annetun syötteen tyyppi. Siihentarvitaan kuitenkin seuraavaksi esitettäviä ehtorakenteita.2 Tämä vastaa C-kielen printf-käskyn toimintaa.

Solmu 17Ehto- ja toistorakenteetToistorakenteen for syntaksi poikkeaa Pythonissauseimmista muista ohjelmointikielistä. Toistolauseelleei anneta parametriksi ehtoa, vaan lista, jonka jokaisellealkiolle toisto suoritetaan. Toistettavaan haaraan liittyvätkäskyt merkitään sisennyksen (tabuloinnin) avulla,eli for [muuttuja] in [lista]: ....Jos asia halutaan toistaa k kertaa, voidaan käyttääkäskyä range(k), joka tuottaa listan, jossa ovat luvut0, . . . , k − 1. Parametrina voidaan antaa myös toinenluku j. Tässä tapauksessa range(j,k) tuotaa listanluvuista j, . . . , k − 1.# Esimerkki: Lukujen toiset potenssitfor x in range(1,5):xx=x*xprint ’%d*%d = %d’ % (x,x,xx)# Esimerkki: Parilliset ja parittomat luvutx=’x’# Syotetta kysytaan uudelleen, kunnes kayttaja# antaa kokonaisluvunwhile type(x)!=type(1):x=input(’Anna kokonaisluku: ’)if type(x)!=type(1): print x,’ \ei ole kokonaisluku.\n’if x%2==0: print "Luku %d on parillinen" % xelse: print "Luku %d on pariton" % xTestiajo:Anna kokonaisluku: 0.50.5 ei ole kokonaisluku.Anna kokonaisluku: 4Luku 4 on parillinenTestiajo:1*1 = 12*2 = 43*3 = 94*4 = 16Lähes kaikista ohjelmointikielistä löytyvän if-thenelse-rakenteen syntaksi Pythonissa on seuraava:if [ehto]: ...elif [ehto2]: ...else: ...Näistä elif ja else -haarat voi jättää pois. Haarassaif olevat käskyt suoritetaan, jos ehto toteutuu. Josehto ei toteudu, tutkitaan järjestyksessä elif-haarojenehtoja. Jos mikään annetuista ehdoista ei toteutunut,suoritetaan else-haaran käskyt. Samaan haaraan kuuluvatkäskyt merkitään for-lauseen tapaan sisennyksenavulla.Tavallisimpia ehtoja ovat vertailut . Huomaa, että yhtäsuuruutta verrattaessa käytetäänmerkintää ==, jotta tehtäisiin ero sijoitusoperaation =kanssa 3 . Erisuuruudelle käytetään merkintää !=.Toistorakennetta while käytetään, kun jotakin halutaantoistaa niin kauan, että jokin ehto ei enää olevoimassa. Tämä rakenne on erityisen hyödyllinen luettaessasyötettä käyttäjältä tai tiedostosta. Tällöin halutaanehkä jatkaa lukemista, kunnes tiedosto on loppunuttai odottaa, että käyttäjä on antanut haluttujenrajojen puitteissa olevan syötteen. While-lauseen syntaksion while [ehto]: .... Päättymättömän silmukanvälttämiseksi täytyy toistettavan rakenteen sisälläluonnollisesti olla jotakin, mikä asettaa annetun ehdonepätodeksi, kun haluttu määrä toistoja on suoritettu.Ohjelmassa esiintyvä merkintä n%k tarkoittaa n:n jakojäännöstäjaettaessa k:lla.Kirjastojen käyttöMonet hyödyllisistä Python-kielen ominaisuuksista onsijoitettu kirjastoihin, jotka täytyy ladata importkäskylläennen käyttöä. Kirjastoja ovat esimerkiksimatemaattisia funktioita sisältävä math ja käyttöjärjestelmäänliittyviä käskyjä sisältävä kirjasto os. Kirjastojavoi helposti tehdä itsekin kirjoittamalla Pythontiedoston,joka sisältää pelkkiä funktioita. Kirjasto aktivoidaankäskylläfrom [kirjasto] import [metodi] taiimport [kirjasto].Ensimmäisessä tapauksessa metodit (funktiot) haetaankirjastosta oletusnimiavaruuteen, eli metodeitavoi kutsua suoraan kirjoittamalla metodi([parametrit]),jälkimmäisessä tapauksessa kirjastonmetodeja pitää kutsua nimellä [kirjasto].[metodi]([parametrit]).>>> from math import sin>>> sin(3)0.14112000805986721>>> import math>>> math.cos(3)-0.98999249660044542Jos kirjastosta halutaan hakea kaikki metodit, niin metodinpaikalle voidaan merkitä *, siis esimerkiksi frommath import *.3 Tämä ero on tärkeä, koska joissakin ohjelmointikielissä esimerkiksi ehto if (x=1) on aina tosi. Pythonissa sijoituslauseketta eivoi kirjoittaa ehtolauseeseen, esimerkiksi if x=1: ... antaa virheilmoituksen.

18 SolmuFunktioiden määrittelyPython-kielessä funktioiden määrittely tapahtuu defrakenteenavulla. Käskyn syntaksi ondef [funktion nimi]([parametrilista]):.Toistorakenteiden tapaan funktioon kuuluvat käskyterotetaan sisennyksellä.# Esimerkki: Toisen asteen yhtalon ratkaiseminenfrom math import *def solve2(a,b,c):D=b*b-4*a*c# Liukulukua ei voi suoraan verrata nollaanif abs(a) from esim3 import *>>> solve2(1,0,0)[0.0]>>> solve2(1,0,1)[]>>> solve2(1,0,-1)[1.0, -1.0]Funktio solve2 ratkaisee toisen asteen yhtälön reaalisetjuuret. Funktion parametrit ovat kolme lukua a, bja c, jotka vastaavat vakiokertoimia ratkaistavassa yhtälössäax 2 + bx + c = 0.Funktio palauttaa listan yhtälön juurista. Jos reaalisiajuuria ei ole, palautetaan tyhjä lista. Esimerkkiajonensimmäinen tapaus vastaa yhtälöä x 2 = 0 (juuri0:ssa), toinen x 2 + 1 = 0 (ei reaalisia juuria) ja kolmasx 2 − 1 = 0 (kaksi juurta, ±1).SatunnaisluvuistaSatunnaislukujen generoimiseen on Pythonissa käytössäkirjasto whrandom. Tästä kirjastosta löytyvä metodirandom generoi tasaisesti jakautuneita satunnaislukuja(liukulukuja) puoliavoimelta väliltä [0, 1). Vastaavastimetodi uniform(a,b) generoi satunnaislukuja väliltä[a, b). Satunnaisten kokonaislukujen generoimiseen onkäytössä metodi randint(a,b), joka generoi satunnaisiakokonaislukuja väliltä [a, b], eli mukaanlukien välinpäätepisteet.# Esimerkki: Nopanheiton simulointi# Heitetaan noppaa 100 kertaa ja lasketaan# silmalukujen jakaumafrom whrandom import *jak=[0,0,0,0,0,0]for j in range(100):k=randint(1,6)jak[k-1]=jak[k-1]+1for j in range(6): print ’%d: %d’% (j+1,jak[j])Testiajo:1: 142: 153: 134: 185: 186: 22Tiedostojen lukeminen ja kirjoittaminenJotta tiedostoa voitaisiin lukea tai siihen kirjoittaa, tiedostoon avattava open-metodilla. Käsittelyn jälkeentiedosto suljetaan close-metodilla. Tiedoston jättäminensulkematta voi aiheuttaa erilaisia virhetilanteita,kuten tiedostoon kirjoitetun datan menettämisen osittaintai kokonaan.Käskyn open syntaksi on seuraava:[osoitin]=open(’[tiedosto]’, [moodi]), missä[tiedosto] on avattavan tiedoston nimi ja [moodi] onjoko ’r’ tai ’w’, riippuen siitä, halutaanko tiedostoalukea vai kirjoittaa siihen. Tiedostoon voidaan myöhemminviitata nimen [osoitin] avulla. Tiedostonlukemiseen ja kirjoittamiseen on käytössä esimerkiksiread, readlines ja write -metodit.# Esimerkki: funktion arvojen kirjoittaminen# tiedostoonfrom math import *import sysdataf=’esim5.dat’fp=open(dataf,’w’) # avataan tiedosto# kirjoitetaan tiedotoon funktion sin(x) arvojafor j in range(100):fp.write(’%10.6f\n’ % sin(0.05*j))fp.close()fp=open(dataf,’r’)# suljetaan tiedosto# avataan tiedosto uudestaan# lukemista vartenvals=fp.readlines() # luetaan tiedosto: tuloksena on# lista merkkijonoja, vastaten# tiedoston rivejafor v in vals: print ’%10.6f’ % float(v)fp.close()# suljetaan tiedosto

Solmu 19Testiajo:0.0000000.0499790.0998330.1494380.1986690.247404...Funktion kuvaajan voi piirtää esimerkiksi käyttäen ilmaistaGnuplot-ohjelmaa 4 . Gnuplotille annettava käskyon plot ’tiedosto.dat’ w l. Esimerkin tapauksessasaadaan seuraava kuva:10.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8’esim5.dat’-10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100Linkkejä• Pythonin kotisivuhttp://www.python.org/• Aloittelijan opas Pythoniin – linkkejä alkuun pääsemiseksihttp://www.python.org/topics/learn/• Python Reference Card (pikaohje)http://ourworld.compuserve.com/homepages/JasonRandHarper/PyQuickRef.pdf• Python FAQ (usein esitettyjä kysymyksiä)http://www.python.org/doc/FAQ.html• Johdatus Pythoniinhttp://archive.dstc.edu.au/python/python/Introduction.html• Guido van Rossumin (Pythonin isä) Python-opashttp://archive.dstc.edu.au/python/doc/tut/• Numerical Pythonhttp://www.numpy.org• Gnuplotin kotisivuhttp://www.gnuplot.info4 Ohjeita Gnuplotin käyttöön löytyy sivulta http://www.ucc.ie/gnuplot/gnuplot.html.

20 SolmuTietojenkäsittelytehtävien ratkaisujaSolmun edellisessä numerossa 3/2003 oli matemaattisiatietojenkäsittelytehtäviä, joista toiseen ja kolmanteenesitetään tässä alkuperäiset KöMaLin ratkaisuehdotukset.Ensimmäiseen tehtävään ei KöMaLissa oleesitetty kuin lyhyt ratkaisuperiaate, eikä lukijoilta oletullut ratkaisuja, joten niitä voi edelleen lähettää Solmuntoimitukseen.2. Binomikertoimet voidaan järjestää tavallisestaPascalin kolmiosta oheisen kuvan osoittamalla tavalla.Lukuunottamatta kunkin rivin uloimpia alkioita jokainenluku on summa sen suoraan ja vasemmalla yläpuolellaolevista luvuista.1 N = 61 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1Tee Excel-taulukko, joka näyttää ensimmäiset N + 1riviä tällä tavalla järjestetystä Pascalin kolmiosta. N:narvo (1 N 20) syötetään ensimmäisen rivin seitsemänteensarakkeeseen. Taulukon tulee aina sisältäätasan N + 1 riviä.Ratkaisu. Ratkaisussa otetaan huomioon Pascalin kolmionhyvin tunnettu ominaisuus: jokainen alkio on yläpuolistennaapureidensa summa. Koska taulukkommeon vinossa, summataan suoraan yläpuolella ja vasemmallayläpuolella olevat naapurit.Ensimmäisessä sarakkeessa on=IF(ROW()

Solmu 21Ratkaisu 1.Vakio max_al = 5000;Alkulukutek = Tietuelkm : Lukuelem : Taulukko( 1 .. max_al ) : Tietuealkuluku, eksp: LukuTietueen loppuTietueen loppuMuuttujatfakt, akt : Alkulukuteki, j, n : LukuLue luku. Jos se on 1, tekijöinti on valmis, muussa tapauksessaaloitamme laskennan.Lue: N (1

22 SolmuJos jako ei mene tasan, etsimme seuraavan (i:tä pienemmän)alkulukujakajan.Toista niin kauan kun (j

Solmu 231089 ja muita matemaattisia yllätyksiäDavid AchesonMatematiikan professoriJesus College, Oxfordin yliopisto, Iso-BritanniaMiksi niin monet ihmiset sanovat inhoavansa matematiikkaa?Aivan liian usein totuus on, että heidät on pidettyloitolla todellisesta matematiikasta, ja uskon, ettämatemaatikot voisivat halutessaan ponnistella enemmäntuodakseen alansa pieniä ilonaiheita ja ajatuksenpoikasiasuuren yleisön tietoisuuteen. Eräs tapa tehdätämä olisi ehkä korostaa yllätyksellisyyttä, joka onusein läsnä matematiikassa parhaimmillaan. Kaikkihanpitävät iloisista yllätyksistä!Temppu tehdään näin: Ota mikä tahansa kolminumeroinenluku, jossa ensimmäisen ja viimeisen numeronerotus on vähintään kaksi. Käännä luku toisinpäin, ja vähennä suuremmasta luvusta pienempi (esim.782 − 287 = 495). Käännä sitten saamasi erotus ja laskenäin saatu luku yhteen kyseisen erotuksen kanssa(594 + 495 = 1089). Merkillistä tässä on se, että tuloson aina 1089 riippumatta alussa valitusta kolminumeroisestaluvusta. Tänä päivänä olen tietenkin selvilläsiitä, että tämä 1089-temppu on matemaattisessa mielessämelko harmiton höyhensarjalainen. Mutta jos siihensattuu törmäämään 10-vuotias miehenalku vuonna1956, se saattaa kyllä panna sukat pyörimään jalassa.NumerotemppuKoin ensimmäisen matemaattisen yllätykseni vuonna1956, ollessani kymmenen vanha. Olin tuolloin innostunuttaikatempuista, ja yhtenä päivänä löysin sattumalta”numerotempun” eräästä artikkelista nimeltä UncleJack turns you into a Conjuror (conjuror = taikuri).

24 SolmuÄllistyttävää geometriaaHiukan myöhemmin pääsi geometria yllättämään minutensimmäistä kertaa. Eräänä päivänä meille kerrottiinkoulussa, että jos AB on ympyrän halkaisijaja C on mikä tahansa ympyrän kehän piste, niin kulmaACB on suora. Muistelen, että tätä oli jokseenkinvaikea uskoa: minusta näytti siltä, että jos pistettä Csiirrettäisiin ympyrän kehää pitkin, niin kulma ACBmelko varmasti muuttuisi – erityisesti C:n lähestyessäB:tä. Sitten esitettiin kuitenkin todistus, että näin eiole. Kas näin:mahdotonta laskea yhteen m − 1 kappaletta potenssiinm korotettuja kokonaislukuja siten, että summakin olisim:nnessä potenssissa. Lähes kahteensataan vuoteenkukaan ei löytänyt mitään vikaa tästä väittämästä. Kukaanei varsinaisesti osannut todistaa sitä, mutta vastaesimerkitkinloistivat poissaolollaan. Ja loppujen lopuksi,olihan kyseisen veikkauksen esittänyt erittäin arvovaltainenauktoriteetti.Piirrä ensin suora viiva pisteestä C ympyrän keskipisteeseenO. Tällöin OA = OB = OC. Näin ollenkolmio AOC on tasakylkinen, ja kuvassa a:lla merkitytkulmat ovat siis yhtäsuuret. Vastaavasti perustellaanb:llä merkittyjen kulmien yhtäsuuruus kolmiossaBOC. Koska kolmion ACB kulmien summa on 180 ◦ ,niin a + (a + b) + b = 180 ◦ . Siis a + b = 90 ◦ , ja kulmaACB on täten suora. Yhä vieläkin tämä todistuson mielestäni yksi tehokkaimmista ja paljastavimmistakoko matematiikassa.Suuria erehdyksiäKoko todistamisen idea itsessään on ehkä yksi suurimmistahankaluuksista välitettäessä matematiikkaalaajemmalle yleisölle. Me matemaatikot saatamme helpostivaikuttaa tolkuttoman innostuneilta omasta alastamme,ja mielestäni meidän pitää olla valmiita selittämäänmuillekin, mikä siinä on niin tärkeää. Voisimmevaikkapa korostaa sitä, että todistusten puuttuessa matemaatikotsaattavat mennä pahasti metsään, eivätkäparhaatkaan matemaatikot ole virheille immuuneja.Euler esimerkiksi todisti vuonna 1753 Fermat’n viimeisenlauseen tapauksessa n = 3. Hän toisin sanoen osoitti,että yhtälöllea 3 + b 3 = c 3ei löydy kokonaislukuratkaisuja – siis kahden kuutionsumma ei voi olla kuutio. Hieman myöhemmin hänlaajensi epäilyään koskemaan neljättä potenssia: yhtälailla mahdotonta olisi, että kolmen neljännessä potenssissaolevan kokonaisluvun summa olisi neljännessäpotenssissa. Ja vielä yleisemmin, hän arveli, että olisiLeonhard Euler (1707–83)Sitten, vuonna 1966, L.J. Lander ja T.R. Parkin keksivätvastaesimerkin – neljä kappaletta 5:nnessä potenssissaolevia lukuja, joiden summa oli samassa potenssissa:27 5 + 84 5 + 110 5 + 133 5 = 144 5 .20 vuotta tämän jälkeen N. Elkies vuorostaan kumositapauksen m = 4:2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4 .Yhden–kahden erikoistapauksen perusteella yleistäminenon matematiikassa tietenkin aina riskibisnestä.Eräs mielestäni osuvimmista esimerkeistä yleistämisen

Solmu 25vaarallisuudesta liittyy näennäisen pieneen ja viattomaangeometriseen ongelmaan. Piirrä ympyrä, merkitsesen kehälle n pistettä ja yhdistä pisteet toisiinsa janoilla.Ne jakavat ympyrän osiin, ja kysymys kuuluukin:kuinka moneen? (Oletetaan että kussakin ympyränsisäpisteessä leikkaa korkeintaan kaksi janaa.)Muutamalla ensimmäisellä n:n arvolla – 2, 3, 4 ja 5– alueiden lukumäärä käyttäytyy yksinkertaisen säännönmukaisesti:2, 4, 8, 16. Ja ainakin omien kokemustenimukaan tässä vaiheessa on mahdollista houkutellamelkein kenet tahansa ”päättelemään”, että n:n arvolla6 alueiden lukumäärä on 32. Näin ei kuitenkaan ole,vaan niitä on 31:Kuvitusta Leibnizin artikkelista vuodelta 1674.Yllättäviä yhteyksiäKorkeammassa matematiikassa eräät suurimmistakummallisuuksista ilmenevät odottamattomina yhteyksinäeri osa-alueiden välillä. Opiskeltuamme jonkinverran esimerkiksi differentiaali- ja integraalilaskentaatörmäämme kuuluisaan Gregory–Leibniz -sarjaanYleinen kaava alueiden lukumäärälle ei siis ole 2 n − 1,vaann 4 − 6n 3 + 23n 2 − 18n + 24.24

26 SolmuTarkkakaan todistus ei minun silmissäni paljoakaan vähennäsitä hämmästystä ja kummastusta, jonka tämäerikoislaatuinen tulos saa aikaan. Kun nimittäin tapaammeπ:n ensimmäistä kertaa, se yhdistetään vainympyröihin, enkä ole tähän mennessä tavannut ketään,joka osaisi yksinkertaisella tavalla selittää ympyröidenja parittomien lukujen käänteislukujen välisen yhteyden.noudattava vetovoima. Ratkaistuamme asiaankuuluvatdifferentiaaliyhtälöt havaitsemme, että kaikkien suljettujenkiertoratojen täytyy olla ellipsejä, ja lisäksi aurinkoon aina yhdessä polttopisteistä!Melkein kuin intialainen köysitemppuKoin elämäni luultavasti suurimman matemaattisenyllätyksen eräänä sateisena marraskuun iltapäivänä1992, jolloin löysin itseni todistamasta omituista uuttateoreemaa. Yritin saada uutta vääntöä vanhaan dynamiikkaanliittyvään ongelmaan, jota ensimmäisenä olitutkinut Daniel Bernoulli vuonna 1738. Hän oli tutkinutN:n toisiinsa yhdistetyn heilurin ketjua ja löytänytN erilaista heilahtelutapaa. Alimmalla tasolla, taajuudenollessa f 1 , heilurit heilahtelevat yhdessä edestakaisin,melkein kuin muodostaen yhden pitkän heilurin.Korkeimmalla taajuustasolla f N peräkkäiset heiluritheilahtelevat joka hetki vastakkaisiin suuntiin.Ellipsi van Schootenin teoksesta Exercitationum mathematicorum(1657).Aina yllättävät yhteydet eivät kuitenkaan löydy matematiikastaitsestään, vaan matematiikan ja reaalimaailmanväliltä. Esimerkiksi ellipsi on jo kreikkalaistenmatemaatikoiden hyvin tuntema käyrä, joka voidaankonstruoida kuvan osoittamalla tavalla. Pisteitä H jaI kutsutaan polttopisteiksi.Daniel BernoulliEnsi silmäyksellä tämä saattaa näyttää ”vain” geometrialta.Jätetään kuitenkin hetkeksi puhdas geometria jaajatellaan esimerkiksi planeettaa (tai komeettaa) pistemäisenämassana, ja oletetaan, että sen ja jonkin kiinteän”auringon” välillä vaikuttaa etäisyyden neliölakiaMinun teoreemani osoitti, että N:n heilurin ketju voidaankääntää ylösalaisin niin, että ne ovat horjuvat jotenkutentasapainossa toinen toisensa päällä, ja sittenvakauttaa ne kyseisessä asennossa panemalla alimmanheilurin tukipiste värähtelemään pystysuunnassa. Josf 2 N on paljon suurempi kuin f 2 1 (kuten yleensä on), tasapainoehdoiksiosoittautuvata < 0.0114gf 2 Nja af p >g2 √ 2π 2 f 1,

Solmu 27missä a tarkoittaa tukipisteen värähtelysädettä, f p tukipisteenvärähtelytaajuutta ja g maan vetovoimankiihtyvyyttä. Näin teoreema riippuu hyvin yksinkertaisellatavalla vain kahdesta luvusta f 1 ja f N , jotka määräävätkuinka heilurit värähtelevät tukipisteen yläpuolella.Lopputuloksena on, että ”temppu” voidaan tehdäaina kun tukipiste saadaan värähtelemään pystysuunnassaniin, että värähtelysäde on tarpeeksi pieni ja taajuusriittävän korkea.Loppujen lopuksi ei kuitenkaan ole kovin oleellista, voidaankojokin taikatemppu selittää matematiikan avullavai ei. Merkitystä sen sijaan varmasti on sillä, missämäärin tämänkaltaiset yllättävät lopputulokset voivatsaada suuren yleisön vakuuttuneeksi matematiikan taianomaisuudesta.Heilurikolmikon kolme värähtelytapaa, Daniel Bernoullinalkuperäisestä artikkelista vuodelta 1738.Pian sen jälkeen, kun aloimme kutsua aihetta koskeviaesitelmiämme nimellä ”Melkein kuin intialainen köysitemppu”,huomasimme että sanomalehdet, radio jatelevisio alkoivat kaikki kiinnostua asiasta, ja aiheestaon ollut minulle ja Tomille vuosien kuluessa paljon hupia.Jopa lontoolainen Magic Circle on hankkinut asiaakoskevat tieteelliset julkaisuni arkistoihinsa, mikä olisivarmasti hämmästyttänyt erästä 10-vuotiasta poikaavuonna 1956. (Papereita säilytetään tietääkseni mapissa,jonka nimi on Sundry Ephemera, vap. suom. Kaikenlaistavessapaperia.)LähdeDavid Acheson, 1089 and all that: A journey into mathematics,Oxford University Press, 2002. (Erityisestiluku 15 antaa lisävalaistusta ”köysitemppuun”.)Tämä artikkeli on lyhennelmä kirjoittajansa London Mathematical Societyn yleisöluennosta ”Mathematics, magicand the electric guitar”. Achesonin kirja 1089 and all that on omaperäinen yritys tarjoilla matemaattisiaherkkupaloja keskivertokansalaisille. Lisää tietoa aiheesta löytyy osoitteesta www.jesus.ox.ac.uk/∼dacheson.Alkuperäisartikkeli: David Acheson, 1089 and all that: The elements of surprise in mathematics, EMS Newsletter,numero 49, syyskuu 2003, s. 9–11. Artikkelin kääntämiseen ja Solmussa julkaisuun on saatu lupa DavidAchesonilta ja EMS:n lehdeltä. Käännös ja ladonta: Anna Eteläaho

28 SolmuYksinkertaisista jaollisuustesteistäTimo TossavainenLehtoriSavonlinnan OKL, Joensuun yliopistoLukion pitkässä matematiikassa jaollisuustestejä käsitelläänainakin jossakin laajuudessa logiikan ja lukuteoriansyventävällä kurssilla. Solmussa jaollisuustestienkannalta keskeistä kongruenssin käsitettä on puolestaantarkasteltu ainakin artikkeleissa [2] ja [5]. Tämäkirjoitus on jonkinlainen yhteenveto siitä matematiikasta,jota yksinkertaisten jaollisuustestien konstruoimiseksitarvitaan.Jakoyhtälö ja kongruenssiJakoalgoritmin tai oikeammin jakoyhtälön nimellä tunnettulause on eräs keskeisimmistä lukuteorian työkaluista.Se voidaan ilmaista esimerkiksi seuraavassamuodossa.Lause 1. Olkoot a ja n kokonaislukuja siten, ettän > 0. Tällöin on olemassa yksikäsitteiset kokonaisluvutq ja r siten, ettäTodistus. Olkoona = qn + r ja 0 ≤ r < n.E = {r ∈ Z : r ≥ 0 ja r = a − qn jollakin q ∈ Z}.Tällöin E on epätyhjä, sillä jos a ≥ 0, on a ∈ E, ja josa < 0, on a − an ∈ E. Näin ollen joukossa E on pieninalkio r 0 = a − q 0 n. Lisäksi r 0 < n, sillä muutenr 1 = a − (q 0 + 1)n = r 0 − n ≥ 0ja siksi r 1 ∈ E, mikä olisi ristiriita.Oletetaan, ettäa = qn + r = q ′ n + r ′ , missä 0 ≤ r < n ja 0 ≤ r ′ < n.Tällöinr ′ − r = (q − q ′ )n,joten r ′ − r on jaollinen luvulla n. Koska 0 ≤ r < n ja0 ≤ r ′ < n, on−n < r ′ − r < n.Näin ollen r ′ − r = 0 eli r = r ′ , jolloin myös q = q ′ ,koska n > 0. □Usein sanotaan, että luku a on jaettava, n jakaja, q osamääräja r jakojäännös. Jos luvuilla a ja b on yhteisenjakajan n suhteen samat jakojäännökset, tällöin luvuta ja b ovat kongruentit modulo n, ja tätä merkitäänkirjoittamallaa ≡ b (mod n).Määritelmästä seuraa välittömästi, että luvut a ja bovat kongruentit modulo n, jos ja vain jos a−b on jaollinenluvulla n.

Solmu 29Esimerkki. Koska 17 = 3 · 5 + 2 ja −18 = −4 · 5 + 2,niin17 ≡ −18 (mod 5).Toisaalta sama asia nähdään siitä, että 17 − (−18) =35 = 7 · 5.Kongruenssi modulo n on ekvivalenssirelaatio kokonaislukujenjoukossa (ks. esim. [5]), joten se toimiiikäänkuin relaatio = kokonaislukujen tavallisessaaritmetiikassa. Jakojäännösten aritmetiikka muistuttaamuutenkin monessa suhteessa kokonaislukujentavallista aritmetiikkaa, sillä voimme todistaa muunmuassa seuraavat kongruentteja lukuja koskevat laskusäännöt.Lause 2. Olkoon a ≡ b (mod n) ja c ≡ d (mod n).Tällöinjaa + c ≡ b + d (mod n)ac ≡ bd (mod n).Todistus. Koska a − b = kn ja c − d = ln joillakink, l ∈ Z, on(a + c) − (b + d) = (a − b) + (c − d) = (k + l)n.Lukujen a + c ja b + d erotus on siis jaollinen luvulla n,joten ne ovat kongruentit modulo n.Vastaavastiac − bd = (ac − bc) + (bc − bd)mistä toinen väite seuraa.= (a − b)c + (c − d)b= (ck + bl)n,Olkoon k ≥ 2 luonnollinen luku. Induktion avulla taisoveltamalla Lausetta 2 riittävän monta kertaa peräkkäinnäemme edelleen, että(1)jak∑a i ≡i=1□k∑b i (mod n)i=1(2) a 1 a 2 · · · a k ≡ b 1 b 2 · · · b k (mod n)jos a i ≡ b i (mod n) kaikilla i = 1, ..., k.Huomautus. Jakojäännösten aritmetiikka poikkeaakuitenkin hieman kokonaislukujen tavallisesta aritmetiikasta.Koska esimerkiksi 14 ≡ 8 (mod 6) ja 7 ≢4 (mod 6), kongruenssiyhtälön puolittainen jakaminenei onnistu kaikilla vakioilla.Kongruenssi ja jaollisuustestitSe, onko luku x jaollinen luvulla n, selviää yleensä helpoitenjakamalla x luvulla n esimerkiksi taskulaskimenavulla tai käsin jakokulmassa. Jos x on hyvin suuri,jakaminen ei kuitenkaan onnistu taskulaskimella. Toisaaltajakokulmassa laskemistakaan ei voida pitää erityisentehokkaana tapana tutkia suurten lukujen jaollisuutta.Tällöin on etsittävä joko uusia tapoja suorittaajakolasku tai sitten menetelmiä, joissa testattavaluku voidaan korvata sellaisella luvulla, jonka jakaminenonnistuu helpommin. Lause 2 ja kaavat (1) ja (2)osoittautuvat tässä hyödyllisiksi.Koska kokonaisluvun x jaollisuus luvulla n > 0 ei riipusen etumerkistä, riittää tarkastella vain positiivistenkokonaislukujen jaollisuutta. Tällöin jokaista lukua xvastaa luonnollinen luku k ≥ 1 siten, että(3) x = a k 10 k + a k−1 10 k−1 + ... + a 1 10 + a 0 ,missä a i ∈ {0, 1, 2, ..., 9} kaikilla i = 0, 1, ..., k. Jakoyhtälönnojalla kaikilla i ∈ N löytyy luku b i siten, että0 ≤ b i < n ja 10 i on kongruentti luvun b i kanssa modulon. Tällöin Lauseen 2 ja kaavojen (1) ja (2) nojallaon x jaollinen luvulla n, jos ja vain jos(4) a k b k + a k−1 b k−1 + ... + a 1 b 1 + a 0 ≡ 0 (mod n).Jos x on suuri, on kaavan (4) vasen puoli huomattavastipienempi kuin x. Lisäksi kaavaa (4) voidaan soveltaauseita kertoja peräkkäin.Kolmella jaollisuusOlkoon n = 3. Koska 10 ≡ 1 (mod 3), on kaavan (2)nojalla 10 k ≡ 1 (mod 3) kaikilla k ≥ 1. Luvut b i ovatsiis kaikki ykkösiä kaavassa (4), joten kaavan (3) muodossaesitetty luku x on jaollinen luvulla 3, jos ja vainjosa k + a k−1 + ... + a 1 + a 0 ≡ 0 (mod 3).Esimerkiksi 29 760 183 on jaollinen luvulla kolme, sillä2 + 9 + 7 + 6 + 0 + 1 + 8 + 3 ≡ 36 ≡ 0 (mod 3).Kahdella ja viidellä jaollisuusOlkoon n ∈ {2, 5}. Koska 10 ≡ 0 (mod n), on kaavan(2) nojalla 10 k ≡ 0 (mod n) kaikilla k ≥ 1. Tällöin kaavan(3) muodossa esitetty luku x on jaollinen luvullan, jos ja vain josa 0 ≡ 0 (mod n).Esimerkiksi 976 213 521 ei ole jaollinen kahdella eikäviidellä, sillä1 ≢ 0 (mod n),silloin kun n ∈ {2, 5}.

30 SolmuJoissakin jaollisuustesteissä kannattaa sallia luvuille b imyös negatiivisia arvoja. Jos x ei ole luvun n monikerta,jakoyhtälöstä seuraa, kun alkuperäinen osamääräkorvataan yhtä suuremmalla kokonaisluvulla, että xvoidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti myös muodossax = qn + r, missä q ∈ Z ja − n < r < 0.Jokainen kokonaisluku, ja erityisesti jokainen 10 i , onsiis kongruentti myös sellaisen luvun b i kanssa, missä−n < b i ≤ 0.Jaollisuus luvulla 11Koska 10 ≡ −1 (mod 11), kaavasta (2) seuraa, että10 k ≡ (−1) k (mod 11) kaikilla k ≥ 1. Näin ollen kaavan(3) muodossa esitetty luku x on jaollinen luvulla11, jos ja vain josa k (−1) k + a k−1 (−1) k−1 + ... − a 1 + a 0 ≡ 0 (mod 11).Edellisen kaavan nojalla on siis ilmeistä, että esimerkiksi987 654 321 123 456 789 on jaollinen luvulla 11.Joskus testattava luku x kannattaa esittää muodossa,jossa kantalukuna on 100, 1000 tai vieläkin suurempikymmenen potenssi. (Yksinkertaisimmat kertoimet luvullan jaollisuuden testiin saadaan tietysti silloin, kunluku x esitetään n-lukujärjestelmän mukaisessa muodossa...)Jaollisuus luvulla 13Koska 10 ≡ −3 (mod 13), 10 2 ≡ −4 (mod 13), 10 3 ≡−1 (mod 13), 10 4 ≡ 3 (mod 13), 10 5 ≡ 4 (mod 13),10 6 ≡ 1 (mod 13), 10 7 ≡ −3 (mod 13) jne., on arvollan = 13 kaavassa (4) kertoimet b 1 = −3, b 2 = −4,b 3 = −1, b 4 = 3, b 5 = 4, b 6 = 1 jne. Jos x esitetäänkuitenkin muodossax = c k 1000 k + c k−1 1000 k−1 + ... + c 1 1000 + c 0 ,missä c i ∈ {0, 1, 2, ..., 999} kaikilla i = 0, 1, ..., k, saadaanluvun x kolmellatoista jaollisuuden ehto nyt kaavojen(1) ja (2) nojalla muotoonc k (−1) k + c k−1 (−1) k−1 + ... − c 1 + c 0 ≡ 0 (mod 13).Jos x ja n ovat molemmat hyvin suuria lukuja, edelläkuvatusta tavasta konstruoida jaollisuustestejä ei olesuuresti apua, ellei lukua n voida esittää pienempien(alku-)lukujen tulona. Suuren luvun jakaminen tekijöihinon yleensä kuitenkin hyvin työlästä. On arvioitu,että tietokoneella, joka suorittaa miljardi operaatiotasekunnissa, 100-numeroisen luvun jakaminen tekijöihinkestää noin 26 vuorokautta ja 200-numeroisen luvunjakaminen vajaat 4 miljoonaa vuotta. Vielä vuonna1988 200-numeroisen luvun tekijöihinjako olisi maksanutsuurin piirtein saman verran kuin miehittämätönkuumatka.Viitteet1. P. Haukkanen: Algebran luentomoniste, Tampereenyliopisto, 2003.2. V. Latvala ja P. Smolander: Modulaarisista laskutaulukoista,Solmu 2/2003.3. J. Merikoski, A. Virtanen ja P. Koivisto: Diskreettimatematiikka I, Tampereen yliopisto, 1998.4. J. Merikoski, K. Väänänen ja T. Laurinolli: Matematiikantaito 11, lukion pitkä matematiikka: Lukuteoriaja logiikka, Weilin+Göös, 3. p., 1997.5. T. Metsäkylä: Kongruenssi – lukuteorian käteväapuväline, Solmu 3/1997–1998.6. K.H. Rosen: Discrete Mathematics and Its Applications,McGraw-Hill International Editions, 4th Ed.,1999.