Tehtävät

Johdatus materiaalifysiikkaan 20081. laskuharjoitukset keskiviikkona 17.9. klo 10.15−11.45 luokassa 216Laskuharjoituksiin osallistuminen ei ole pakollista, mutta erittäin suositeltavaa, ja harjoitussuorituksistahyvitetään tentissä seuraavasti:40 % laskettu ⇒ 1 tenttipiste60 % laskettu ⇒ 2 tenttipistettä80 % laskettu ⇒ 3 tenttipistettäHarjoituksissa toimitaan pienryhmissä, mutta menestyksellinen osallistuminen edellyttää runsaastiennakoivaa kotityötä. Yhteistyöhön kannustamiseksi suorituspisteisiin vaikuttaa henkilökohtaisensuorituksen lisäksi kaikkien osallistujien keskiarvo. Jos on tähdellisestä syystä estynyt saapumastaharjoituksiin, suorituksensa voi toimittaa etukäteen, mutta tällöin saa ainoastaan henkilökohtaisetpisteensä. Hyvitykset ovat voimassa yhden lukuvuoden.Etuliiteellä "U.P." merkityt tehtävät ovat Insinöörifysiikan oppikirjasta Young & Freedman"University Physics, 11th Edition", Addison Wesley. Hakasuluissa oleva numero viittaa 10.painokseen, mikäli sama tehtävä löytyy myös siitä. Numeroltaan parittomien tehtävien oikeatvastaukset on annettu kirjan lopussa. Parillisnumeroisten tehtävien vastaukset annetaan tässä.Toisinaan annetaan myös lisäohjeita. Tehtäviä on yleensä 6 kpl / harjoituskerta.1. U.P. Problem 39.60 [Puuttuu 10. painoksesta]Ohje: Toimi kuten johdettaessa kaava (39.17).Vastaus: Ei ole.2. Hiukkanen liikkuu x-akselilla ja on stationaarisessa tilassa, jota kuvaava aaltofunktio on2 2A a − x (1 + i)välillä −a ≤ x ≤ a ja nolla kaikkialla muualla. (A on normointitekijä ja i onimaginaariyksikkö.) a) Normita tämä aaltofunktio. b) Esitä hiukkasen paikan todennäköisyysjakauma.c) Laske hiukkasen paikan odotusarvo. d) Laske todennäköisyys sille, ettähiukkasen paikka x ≥ a / 2.3Vastaukset: a) A = 3/(8a) , b) [3/(4a 3 )](a 2 − x 2 ) välillä −a ≤ x ≤ a ja 0 muualla, c) 0 jad) 15,6 %.3. U.P. Exercise 39.33 [41-29]4. U.P. Exercise 39.34 [42-9]5. U.P. Exercise 39.35 [42-12]6. Laske ja piirrä kaavan (39.24) aaltofunktiota vastaava hiukkasen paikan todennäköisyysjakauma,kun vakioille pätee, että A 2 = −A 1 , ja osa-aaltoja 1 ja 2 vastaavat liikemääräteroavat toisistaan 6,63·10 −34 kgm/s.Vastaus: 4A 12sin 2 (3,14 m −1 x).

Johdatus materiaalifysiikkaan 20082. laskuharjoitukset keskiviikkona 1.10. klo 10.15−11.45 luokassa 2161. a) Laske laatikkoon suljetun hiukkasen alin energia (eli nollapiste-energia) kvanttimekaniikanesittämällä tavalla, kun "hiukkanen" on jalkapallo massaltaan 0,42 kg ja "laatikko" onjalkapallokenttä pituudeltaan 100 m. b) Kuinka suurta vauhtia a-kohdassa laskettu nollapiste-energiavastaa, jos energian oletetaan liittyvän pelkästään pallon etenemisliikkeeseen?(Ts. gravitaatio ja vierimiseen liittyvä pyöriminen jätetään ottamatta huomioon.) c) Kauankokestäisi pallon kulku kentän päästä päähän b-kohdassa lasketulla vauhdilla? d) Jalkapalloapelattaessa pallon vauhti on tyypillisesti 10....30 m/s. Laske pallon etenemisliikkeeseen liittyväenergia, kun pallon vauhti on 20 m/s. e) Kuinka monennetta kvanttimekaanista energiatasoad-kohdassa laskettu, jalkapallon tyypillinen liike-energia vastaa? (Ts. kysytään lukua nlausekkeessa E n .) f) Laske pallon todennäköisimmän ja epätodennäköisimmän paikan pieninvälimatka toisaalta a-kohdan (n = 1) ja toisaalta e-kohdan tapauksessa. (Ts. maksimi- jaminimikohtien välimatka kuvassa 40.5b.) g) Päättele f-kohdan tulosten perusteella, ovatkokvanttimekaaniset ilmiöt merkittäviä Veikkausliigan otteluissa.Vastaukset: a) 1,3·10 −71 J, b) 7,9·10 −36 m/s, c) 4,0·10 29 a, d) 84 J, e) 6,4·10 72 , f) 50 m ja7,8·10 −72 m, g) Eivät.2. U.P. Exercise 40.14 [Puuttuu 10. painoksesta]Ohje: Huomaa, että elektronin liike-energia on K(x) = E − U(x).Vastaus: (3/2) 1/2 .3. U.P. Exercise 40.18 [42-16]Ohje: E 1 ja E 2 on annettu kuvassa 40.8 [42-8].Vastaus: 0,499 nm.4. U.P. Exercise 40.22 [42-20]Ohje: Vrt. Example 40.5 [42-6].Vastaukset: a) 5,5·10 −4 , b) 1,8·10 −5 , c) 1,1·10 −7 .5. U.P. Exercise 40.24 [Puuttuu 10. painoksesta]Ohje: Vrt. Example 40.5 [42-6].Vastaus: 0,26 nm.6. U.P. Exercise 40.28 [42-24]

Johdatus materiaalifysiikkaan 20083 laskuharjoitukset keskiviikkona 15.10. klo 10.15−11.45 luokassa 2161. U.P. Exercise 40.30 [Puuttuu 10. painoksesta]Ohje: Vrt. Example 40.6 [42-7].Vastaus: 111 nm.2. U.P. Problem 40.53 [42-49]3. Hiukkanen, jonka massa on m suorittaa harmonista värähdysliikettä jousivakion ollessa k'.Laske hiukkasen a) liikemäärän ja b) liikemäärän neliön odotusarvo perustilassa.Ohje: Vrt. esimerkki Y.2. Harmonisen värähtelijän perustilan aaltofunktiohan on (40.24),jonka normointitekijä laskettiin luennolla. b-kohdassa tarvitaan Mathematical Handbookinkaavoja 18.77 ja 25.6.Vastaukset: a) 0, b) h m k′/ 2 .4. Osoita, että yksiulotteiseen laatikkoon suljetun hiukkasen aaltofunktiot (40.13) ovatkeskenään ortogonaalisia.5. Osoita, a) että kaksiulotteiseen, L×L-laajuiseen suorakulmaiseen laatikkoon suljetunhiukkasen Schrödingerin yhtälön ratkaisufunktiot ovat tuloja x- ja y-akseleiden suuntaistenyksiulotteisten laatikoiden ratkaisufunktioista (40.13) eli muotoan n yxπx yπψn n= ψnψn= A sin( ) sin( ) , kun 0 ≤ x ≤ L ja 0 ≤ y ≤ Lx yx yL Lja nollia muualla. Tässä n x = 1, 2, 3, ..., n y = 1, 2, 3, ...ja vakio A on normointitekijä. Osoita,b) että näistä esim. aaltofunktiot ψ12ja ψ21ovat keskenään ortogonaalisia, mutta c) ettäniillä on silti yhtä suuri energia. Ts. kysymyksessä on degeneraatio.Ohjeita: a) Sijoita esitetty funktio kaksiulotteisen Schrödingerin yhtälön vasempaanpuoleen, jolloin saat saman funktion vakiolla kerrottuna. b) Voit käyttää hyväksi 4. tehtäväntulosta.6. U.P. Exercise 41.3 [43-3]

Johdatus materiaalifysiikkaan 20084. laskuharjoitukset keskiviikkona 5.11. klo 10.15−11.45 luokassa 2161. Montako erilaista kvanttilukujen n, l ja m l yhdelmää vetyatomilla on, jos sen energia ona) −3,40 eV tai b) −0,850 eV?Ohje: Vrt. Example 41.1 [43-1].Vastaukset: a) 4 kpl, b) 16 kpl.2. Millä todennäköisyydellä perustilassaan olevan vetyatomin elektroni löytyy ytimestäetäisyydeltä, joka suurempi kuin puoli Bohrin sädettä mutta pienempi kuin puolitoistaBohrin sädettä?Ohje: Vrt. Example 41.3 [43-3].Vastaus: 49,65 %3. U.P. Problem 41.42 [43-40]Ohje b-kohtaan: Balmerin sarjaan kuuluvan aallonpituuden arvo nollakentässä saadaanesim. kaavasta (38.7).Vastaukset: a) Tasot siirtyvät 162 µeV ja 81 µeV. b) Aallonpituus lyhenee 0,028 nm verran.4. U.P. Problem 41.50 [43-46]Ohje: Vrt. esimerkit 41.5 [43-6] ja 41.6 [43-7].Vastaukset: a) hc/gµ B λ, b) 0,306 T.5. Määritä termitunnukset seuraavien alkuaineiden atomien perustiloille: a) natrium, b) pii, c)skandium, d) titaani, e) kromi ja f) rauta.Ohje: Täytä Hundin sääntöjen perusteella lokerokaaviot ja laske atomien kokonaiskvanttiluvuts, l ja j kuten luennolla esimerkissä Y.5. Lähtökohtana voit käyttää atomien elektronikonfiguraatioita,jotka löytyvät esim. MAOL-taulukoista.Vastaus: Termit ovat a) 2 S 1/2 , b) 3 P 0 , c) 2 D 3/2 , d) 3 F 2 , e) 7 S 3 ja f) 5 D 4 .6. U.P. Exercise 41.29 [43-29]Ohje: Vrt. esimerkit 41.7 [43-8] ja 41.8 [43-9].

Johdatus materiaalifysiikkaan 20085. laskuharjoitukset keskiviikkona 19.11. klo 10.15−11.45 luokassa 2161. U.P. Exercise 42.2 [44-2]Ohje: Vrt. Example 42.1 [44-1].Vastaukset: a) −5,0 eV, b) −4,2 eV.2. Vastaa perustellen, mitkä seuraavista molekyyli-ioneista ovat mahdollisia ja mikä silloin onniiden magneettinen tyyppi: a) H 2 + , b) He 2 + , c) Li 2 + , d) Li 2 ++ ja e) O 2 ++ .Ohje: Tarkastele muodostuvien molekyylitilojen sitovuutta ja molekyyli-ionien kokonaisspinejäsamaan tapaan kuin luennolla tehtiin sama-atomisten neutraalien molekyylientapauksissa esimerkissä Y.6.Vastaus: a) on mahdollinen, paramagneettinen, b) on mahdollinen, paramagneettinen, c) onmahdollinen, paramagneettinen, d) ei ole mahdollinen, e) on mahdollinen, diamagneettinen.3. U.P. Problem 42.33 [44-29]4. Osoita, että luennolla esitetyt hiilen sp 3 -hybridisaatioon liittyvät aaltofunktiot y a , y b , y c jay d ovat normoituja ja keskenään ortogonaalisia, kun tiedetään, että alkuperäiset aaltofunktioty 2s , y 2px , y 2py ja y 2pz ovat normoituja ja keskenään ortogonaalisia. (Riittää todeta, että esim.y a on normoitu ja että esim. y a ja y b ovat keskenään ortogonaalisia, sillä kaikki laskut ovatsamanlaisia.)5. Vastaa perustellen, millä atomeista tai ioneista B + , B − , N, N + , F − , Ne, Na, Al, Si ja Casp 3 -hybridisaatio on mahdollinen.Ohje: Kuten luennolla esitetyissä tapauksissa muodosta ensin atomin tai ionin perustilan jasitten perustilaa lähinnä olevan virittyneen tilan elektronikonfiguraatio.Vastaus: B − , N + ja Si.6. Osoita matemaattisesti, että sp 2 - hybridin maksimisuuntien väliset kulmat ovat 120°.Ohje: Muodosta kutakin hybridiaaltofunktiota vastaava suuntavektori, jonka lausekeesitettiin luennolla, ja laske sitten vektoreiden väliset pistetulot.

Johdatus materiaalifysiikkaan 20086. laskuharjoitukset keskiviikkona 3.12. klo 10.15−11.45 luokassa 2161. Luennolla on kerrottu, että kun kidejärjestelmien seitsemästä tyypistä muodostetaankustakin neljä alatyyppiä, ei saadakaan 7 × 4 = 28 erilaista, vaan ainoastaan 14 erilaistaBravais'n hilaa. Esim. tetragonisia hiloja mainittiin olevan ainoastaan yksinkertainen jatilakeskinen. Osoita muutamalla piirroksella, että valitsemalla yksikkökopin akselisuunnatuudelleen osoittautuu tetragoninen a) pintakeskinen hila tilakeskiseksi ja b) päätykeskinenhila yksinkertaiseksi. (Kummassakin tapauksessa jälkimmäiset yksikkökopit ovat hilapistemääriltäänja tilavuuksiltaan pienempiä, joten kyseisiä nimityksiä on pidettävä osuvampina.)2. Erään ortorombisen kiteen yksikkökopin hilavakiot ovat 0,21 nm, 0,27 nm ja 0,38 nm.Laske tasojen välimatkat tasoparvessa (212).Ohje: Vrt. luennolla esitetty esimerkki Y.7.Vastaus: 0,087 nm.3. Tarkastellaan tasoja (⎺100), (0⎺10), (00⎺1), (011), (1⎺10), (⎺101), (0⎺11) ja (111) kiteen tavanomaisenyksikkökopin koordinaatistossa. Mitkä noista tasoista kuuluvat tasoperheeseen{101}, jos kide on a) kuutiollinen, b) tetragoninen tai c) ortorombinen?Vastaukset: a) (011), (1⎺10), (⎺101) ja (0⎺11), b) (011), (⎺101) ja (0⎺11), c) ainoastaan (⎺101).4. Laske kulma, jolla hilasuunta [212] poikkeaa hilatason (212) normaalin suunnasta ortorombisessakiteessä, jonka yksikkökopin hilavakiot ovat 0,21 nm, 0,27 nm ja 0,38 nm..Ohje: Vrt. luennolla esitetty esimerkki Y.8.Vastaus: 31°.5. Tilakeskisen kuutiollisen hilan alkeiskopin perusvektorit ovat tavanomaisen yksikökopinkoordinaatistossa:r )( / 2)( ˆr )a1 = a i + j − kˆ), ( / 2)( ˆ ˆ r )a2= a −i+ j + k), a ( / 2)( ˆ ˆ3= a i − j + k),missä a on yksikkökopin särmän pituus eli hilavakio. a) Kuinka suuria ovat alkeiskopinperusvektorien väliset kulmat? b) Montako prosenttia alkeiskopin tilavuus on yksikkökopintilavuudesta? c) Mitkä ovat yksikkökopin tason (100) Millerin indeksit alkeiskopin koordinaatistossa?Ohje: Vrt. esimerkki Y.9 ja sen yhteydessä esitetyn skannauksen Figure 4.13.Vastaukset: a) 109,47°, b) 50 %, c) (1⎺11).6. Osoita, että pintakeskisessä kuutiollisessa hilassa koordinaatioluku on 12 ja pakkaussuhdeon 0,7405.Ohje: Vrt. luennolla esitetty esimerkki Y.10.

Johdatus materiaalifysiikkaan 20087. laskuharjoitukset torstaina 11.12. klo 8.15−9.45 luokassa 226Huom. aiemmista harjoituskerrroista poikkeava ajankohta ja paikka!1. a) Laske atomien koordinaatioluku NaCl-rakenteessa. b) Cl − -ionit ovat huomattavasti suurempiakuin Na + -ionit, ja tiedetään, että Cl − -ionin säde on 0,181 nm. Jos ioneita pidetäänkovina palloina ja Cl − -ionien arvellaan juuri ja juuri koskettavan toisiaan, laske Na + -ioninsäteelle yläraja, joka vielä mahdollistaa NaCl-rakenteen.Vastaukset: a) 6 ja b) 0,075 nm. (Todellisuudessa Na + -ionin säde on 0,095 nm, mutta ioniteivät ole kovia palloja, vaan menevät kiteessä toistensa sisään.)2. U.P. Problem 42.50 [44-44]Vastaukset: a) U tot = (α e 2 / 4πε 0 )(−1 / r + r 0 7 / 8r 8 ), U tot (NaCl) = −7,85 eV, b) 6,32 eV.3. U.P. Problem 42.47 [44-43]4. U.P. Exercise 42.28 [44-24]Ohje: Vrt. luennolla esitetty Example 4.10 [44-10].Vastaukset: a) 1,78·10 −7 , 2,37·10 −6 ja 1,51·10 −5 , b) 1,78·10 −7 , 2,37·10 −6 ja 1,51·10 −5 .5. Erään suorarakoisen puolijohteen johtovyön energia noudattaa aaltoluvun k funktiona kaavaaA + B k 2 , missä A = 2,45 ⋅10 −19 kg m 2 s −2 ja B = 8,33 ⋅10 −38 kg m 4 s −2 , ja valenssivyönenergia kaavaa C − D k 2 , missä C = 1,11 ⋅10 −19 kg m 2 s −2 ja D = 3,12 ⋅10 −38 kg m 4 s −2 .a) Laske energiaraon suuruus. b) Laske elektronien tehomassa johtovyössä miniminkohdalla prosentteina elektronin oikeasta massasta.Vastaukset: a) 0,836 eV ja b) 7,34 %.6. U.P. Exercise 42.29 [44-25]