Tehtävät

Sähkömagneettiset kentät ja aallot I 2010 syksy1. laskuharjoitukset keskiviikkona 15.9. klo 12.1513.45 luokassa 2261. Oppikirjan Problem 2-11 (sivulla 68).2. Oppikirjan Problem 2-23 (sivulla 69).3. Oppikirjan Exercise 2.14 (sivulla 61).4. Oppikirjan Problem 3-3 (sivulla 143).5. L:n pituinen osa x-akselista on varattu epätasaisesti siten, että pituusvarauksen tiheys onA (L / 2 x), kun x L / 2, ja nolla muualla. (Tässä A on vakio.) Laske sähkökentän voimakkuusy-akselin mielivaltaisessa pisteessä (eli varatun pätkän keskinormaalilla).Ohje: Tämä on muunnos luennolla yksityiskohtaisesti esitetystä oppikirjan esimerkistä 3-3,jossa integroimisalue oli ääretön ja varaus oli jakautunut tasaisesti. Nyt integroimisarajatovat äärellisiä ja varauksen epätasaisuus tuottaa vain helpon lisätermin integroitavaanfunktioon.Vastaus: 2A y L / 4yaˆy2 2 20 y L / 4yy .6. Varaustiheys alueessa 0 R b on 0 R / b, missä R on etäisyys origosta ja 0 on vakio, janolla kaikkialla muualla. Laske sähkökentän voimakkuus origosta mitatun etäisyydenfunktiona kaikkialla.Ohje: Vrt. Oppikirjan Example 3-6. Toisin kuin esimerkissä varaustiheys alueessa R b einyt ole vakio, vaan R:n funktio, mutta pallosymmetrinen, joten Gaussin lakia voidaankäytttää samalla tavoin.Vastaus: â R 0 R 2 / (4 0 b), kun R b, ja â R 0 b 3 / (4 0 R 2 ), kun R > b.

Sähkömagneettiset kentät ja aallot I 2010 syksy2. laskuharjoitukset keskiviikkona 29.9. klo 12.1513.45 luokassa 2261. Oppikirjan Problem 3-10 (sivulla 144).Huom.: Tehtävänanto on hiukan puutteellinen yksiköiden osalta: siinä ajatellaan pituudetannetuiksi metreinä ja sähkökentän voimakkuus voltteina metriä kohti.Vastaukset: a) +90 J, b) +90 J.2. Osoita, että kaava (3-37) voidaan esittää myös muodossa: 1 E 3p aˆRaˆR p.34 0ROhje: Vektoriopin kaava (2-47).3. Pieni sähködipoli, jonka sähködipolimomentti on â x 10,0 nCm – â y 3,0 nCm + â z 5,0 nCm,sijaitsee muutoin tyhjässä avaruudessa, xyz-koordinaatiston pisteessä (2,0 m, 4,0 m, 1,0 m).Laske sähköpotentiaali (äärettömyyden suhteen) pisteessä (5,0 m, 1,0 m, 0).Ohje: Huomaa, että kaavassa (3-36) dipoli on koordinaatiston origossa, mutta tässä se ei ole,joten ensin on laskettava tarkastelupaikan ja dipolin paikan erotusvektori.Vastaus: +3,7 V.4. Pistevaraukset +q, +2q, q ja 2q sijaitsevat viereisenkuvion osoittamalla tavalla ristikkäin a:n etäisyyksilläristin keskipisteestä. Laske tämän varausmuodostelmansähködipolimomentti. Vastauksena ilmoitat vektorinitseisarvon sekä kulman kuvion pystysuuntaan nähden.Ohje: Vrt. luentoesimerkki 3-Y1.Vastaus: 2 5qasuuntaan, joka poikkeaa 26,57° vastapäiväänpystysuunnasta.5. Sähkövaraus Q on jakautunut tasaisesti pitkin hyvin ohutta, suoraa rimaa, jonka pituus on L.Laske a) sähköpotentiaali (äärettömyyden suhteen) ja b) sähkökentän voimakkuus rimanjatkeella etäisyydellä x riman lähimmästä päädystä.Ohje: Vrt. Esim. 3-8, mutta nyt on kysymyksessä viivavaraus, jolle pätee kaava (3-40).Vastaukset: a) [Q / (4 0L)] ln(1 + L / x) ja b) â x Q / [(4 0)(L x + x 2 )].6. Esimerkin 3-Y2 kuori yhdistetään johtimella maahan, jonka potentiaali on nolla. Laskesähköpotentiaali kaikilla etäisyyksillä tässä uudessa tilanteessa ja piirrä sen kuvaaja.Vastaus: [Q / (4 0)](2/3R 1 ), kun R R 1 ; [Q / (4 0)](1/R – 1/3R 1 ), kun R 1 R R 2 ; 0, kunR R 2 .

Sähkömagneettiset kentät ja aallot I 2010 syksy3. laskuharjoitukset keskiviikkona 13.10. klo 12.1513.45 luokassa 2261. Oppikirjan Problem 3-15 (sivulla 145).Huom.: Kirjassa vastaukset on annettu sylinterikoordinaatistossa, mikä onkin ainoa järkevätapa kuvatun muotoisen kappaleen tapauksessa.2. Erään lineaarisen, isotrooppisen ja homogeenisen eristeen suhteellinen permittiivisyys on2,70. Sähköpolarisoituma tätä ainetta olevan kappaleen eräässä pisteessä on (–200 nC/m 2 ) â x+ (700 nC/m 2 ) â y + (300 nC/m 2 ) â z . Laske sähkökentän voimakkuus ja sähkövuon tiheystuossa pisteessä.Vastaukset: (–13 kV/m) â x + (47 kV/m) â y + (20 kV/m) â z ja (–320 nC/m 2 ) â x +(1110 nC/m 2 ) â y + (480 nC/m 2 ) â z .3. Laske esimerkin 3-12 koaksiaalikaapelin ulkojohtimen pienin riittävä sisäsäde siinä tapauksessa,että johtimien välissä on polystyreenin sijasta a) kiillettä tai b) ilmaa. c) Jos koaksiaalikaapelinulkojohtimen sisäsäteen on oltava tarkalleen r o , kuinka suureksi on sisäjohtimensäde mitoitettava, jos läpilyönnin vaara halutaan minimoida? (Tehtävässä saa käyttää kaikkiaesimerkissä 3-12 johdettuja tuloksia uudelleen johtamatta.)Vastaukset: a) 2,2 mm, b) 1,6 m ja c) 0,368 r o .(Em. arvot saadaan oppikirjan taulukon 3-1arvoilla. MAOL:n arvoilla a-kohdan vastaus on 2,6 mm ja b-kohdan 14 cm.)4. Nailonin ja ilman rajapinta on taso. Sähkökentän voimakkuus ilman puolella rajapintaa onsuuruudeltaan 100 kV/m ja suunnaltaan vinosti poispäin nailonista poiketen 45° pinnan normaalista.Laske sähkökentän voimakkuuden suuruus ja suunta nailonin puolella rajapintaa.Ohje: Vrt. Example 3-14.Vastaus: 73 kV/m poiketen 75° pinnan normaalista (kun käytetään MAOL-taulukoidenarvoja.)5. Levykondensaattorin johdelevyjen etäisyys toisistaan on d ja kummankin levyn pinta-ala onS. Levyjen välin täyttää epähomogeeninen eriste, jonka permittiivisyys on levyjen puolivälissäsuurimmillaan eli nelinkertainen tyhjiöön verrattuna ja pienenee siitä molempiinsuuntiin kosiniin verrannollisena ollen levyjen kohdalla enää kaksinkertainen tyhjiöönverrattuna. Laske tämän kondensaattorin kapasitanssi.Ohje: Vrt luennolla esitetty oppikirjan Problem 3-20. Nyt permittiviisyys on siis muotoa(vakio 1) cos[(vakio 2)(poikeama puolivälistä)] ja integroitavaksi tulevan lausekkeenintegraali löytyy Mathematical Handbookin kaavasta 17.18.7.Vastaus: S 3ln(2 3) d 3,18 S / d .4006 Oppikirjan Problem 3-21 (sivulla 145).

Sähkömagneettiset kentät ja aallot I 2010 syksy4. laskuharjoitukset keskiviikkona 3.11. klo 12.1513.45 luokassa 216Huom. eri luokka kuin alkusyksyllä.1. Oppikirjan Exercise 3.16 (sivulla 122).2. Laske oppikirjan Example 3-17:ssa laskettu energia kaavasta (3-106).Ohje: Huomaa, että sähkökenttä ulottuu pallon ulkopuolelle äärettömiin, joten kaavassa(3-106) oleva tilavuus V' on koko avaruus.3. Oppikirjan Problem 3-27sivulla147).Ohjeita: Kapasitanssin voi laskea ajatellen, että systeemissä on kytketty rinnan ilma- jaeristetäytteinen levykondensaattori. Huomaa energian lauseketta derivoidessasi, etteisysteemin jännite pysy "kuvitellussa siirtymässä" vakiona, vaan jännitekin on siinäilmaistava x:n funktiona.4. Laske oppikirjan Example 3-21 siinä tapauksessa, että kaikki muut arvot ovat samat kuinesimerkissä, mutta levyjen välitilassa vallitseva tilavaraustiheys onkin vakio 0 eikä y:nfunktio.Vastaukset: a) ( 0 / 2 0 ) y 2 + (V 0 / d 0 d / 2 0 ) y, b) alemmalla 0 d / 2 0 V 0 / d jaylemmällä 0 d / 2 + 0 V 0 / d.5. Oppikirjan Exercise 3.19 (sivulla 132).Ohje: Kaava (3-138).Huom.: Kirjan vastauksessa b-kohtaan on painovirhe. Oikea vastaus on a r V 0 / [r ln(b/a)].6. Laske esimerkin 3-23 potentiaali siinä tapauksessa, että johtavien kuorten välitila koostuukahdesta erilaisesta eristekerroksesta, joiden rajapinta on puolivälissä ja joista ulommanpermittiivisyys on puolet sisemmän permittiivisyydestä. Olkoon lisäksi ulomman johdekuorensäde kolminkertainen sisemmän säteeseen verrattuna, ts. 3R i . Kuorten potentiaalitovat kuten esimerkissä V 1 ja V 2 .Ohje: Nyt Laplacen yhtälö on siis ratkaistava kummallekin eristekerrokselle erikseen, jotenmääritettäviä vakioita on kahden sijasta neljä. Määrittäminen onnistuu, koska kahden entisenreunaehdon lisäksi nyt on kaksi uutta vaatimusta: eristekerrosten rajapinnalla potentiaalin onoltava jatkuva ja sähkökentän voimakkuuden toteutettava rajapintaehto (3-78).Vastaus: 6R i (V 1 V 2 ) / (5R) V 1 / 5 + 6V 2 / 5, kun R i R 2R i ja 12R i (V 1 V 2 ) / (5R) 4V 1 / 5 + 9V 2 / 5, kun 2R i R 3R i .

Sähkömagneettiset kentät ja aallot I 2010 syksy5. laskuharjoitukset keskiviikkona 17.11. klo 12.1513.45 luokassa 2161. Oppikirjan Problem 3-32 (sivulla 148).Ohje: Huomaa, että "peilikuvan peilikuvalla" on taas sama etumerkki kuin alkuperäisellä,todellisella varauksella.Vastaukset: a) Kuvan 3-34 koordinaatistossa potentiaali on [Q /(4 0)](1/R 1 – 1/R 2 + 1/R 3 –1/R 4 ) ja sähkökentän voimakkuus on [Q /(4 0)]{[(x–d)/R 1 3 – (x–d)/R 2 3 + (x+d)/R 3 3 – (x+d)/R 4 3 )] â x + [(y–d)/R 1 3 – (y+d)/R 2 3 + (y+d)/R 3 3 – (y–d)/R 4 3 )] â y }, kun merkitään R 1 = [(x–d) 2+ (y–d) 2 ] 1/2 , R 2 = [(x–d) 2 + (y+d) 2 ] 1/2 , R 3 = [(x+d) 2 + (y+d) 2 ] 1/2 ja R 4 = [(x+d) 2 + (y–d) 2 ] 1/2 .b) Pintavaraustiheys vaakalevyllä on –(Qd /2){[(x–d) 2 + d 2 ] –3/2 – [(x+d) 2 + d 2 ] –3/2 } ja pystylevyllä–(Qd /2){[(y–d) 2 + d 2 ] –3/2 – [(y+d) 2 + d 2 ] –3/2 }.2. Oppikirjan Exercise 3.22 (sivulla 142).Ohje: Voit käyttää esimerkin 3-25 tuloksia hyväksi. Huomaa, että johtimen ja maan välinenpotentiaaliero on puolet johtimen ja sen kuvitteellisen peilikuvan välisestä potentiaalierosta.3. Pistemäinen, positiivinen varaus Q sijaitsee maadoitetun, onton johdepallon sisällä, etäisyydelläd pallon keskipisteestä. Pallon sisäpinnan säde on a. Laske sähköpotentiaali mielivaltaisessapisteessä P pallon sisällä.Ohje: Vrt. esimerkki 3-Y4, jossa varaus ja piste olivat pallon ulkopuolella. Aivan samoinkorvaa johdepallo kuvitteellisella negatiivisella pistevarauksella, jonka paikan ja varauksensitten lasket.Vastaus: Sama kuin esimerkissä 3-Y4.4. Laske edellisen tehtävän järjestelyssä onton johdepallon sisäpintaan indusoituneen varauksenpintavaraustiheys.Ohje: Laske sähkökentän voimakkuus kaavalla (3-26) potentiaalista, jonka sait edellisessätehtävässä, ja sitten pintavaraustiheys kaavalla (3-46) tuosta sähkökentästä.Vastaus: –Q(a 2 – d 2 ) / [4a(a 2 + d 2 2adcos) 3/2 ], missä on pinnan pisteen kulma Q:n japallon keskipisteen yhdyssuoraan nähden.5. Oppikirjan Exercise 4.3 (sivulla 159).6. Laite, jonka oma resistanssi on vakio, on kytketty portaattomasti säädettävällä etuvastuksellavarustettuna akkuun, jonka sisäinen resistanssi on mitätön. Millä tehoasetuksella (prosentteina0 % ... 100 % laitteen täystehosta) etuvastuksen ottama, lämmöksi kuluttama hukkatehoon a) suurin ja b) pienin?Vastaukset: a) 25 % ja b) 100 %.

Sähkömagneettiset kentät ja aallot I 2010 syksy6. laskuharjoitukset keskiviikkona 1.12. klo 12.1513.45 luokassa 2161. Oppikirjan Exercise 4.4 (sivulla 161).2. Pallokondensaattorissa sisemmän johdepallokuoren, jonka ulkosäde on 60 mm, ja ulommanjohdepallokuoren, jonka sisäsäde on 80 mm, välitilan täyttää liuos, jonka suhteellinenpermittiivisyys on 7,8 ja johtavuus on 0,12 S/m. Totea tässä tapauksessa oppikirjan kaavan(4-38) pätevyys laskemalla kondensaattorin kapasitanssi ja vuotovirran resistanssi erikseen.3. Kuparisen koaksiaalikaapelin umpinaisen sisäjohtimen säde on a, ulkojohtimen sisäsäde on2a ja ulkosäde 3a. Johdinten välissä on epämagneettista eristettä. Laske magneettivuontiheys kaapelin keskeltä mitatun etäisyyden r funktiona, kun tasavirta I kulkee sisäjohtimessasylinterikoordinaatiston z-akselin suuntaan ja palaa ulkojohtimessa vastakkaiseensuuntaan..Ohje: Vrt. oppikirjan Example 5-1.Vastaus: [ 0 r I / (2 a 2 )] â , kun 0 r a, [ 0 I / (2 r)] â , kun a < r < 2a,[ 0 I / (10 )](9 / r – r / a 2 ) â , kun 2a r 3a, ja 0, kun r > 3a.4. Oppikirjan Problem 5-5.Ohje: Koosta johdeliuska vierekkäisistä, infintesimaalisen paksuisista, äärettömän pitkistä,suorista johtimista, laske kunkin tuottama infinitesimaalinen magneettivuon tiheys kaavasta(5-12) ja integroi nuo infinitesimaaliset vektorit yhteen.Huom.: Oppikirjan vastauksessa on väärä yksikkövektori: oikea suunta on –â y eikä – â z .5. Johdin, jonka pituus on 51,2 cm, on taivutettu säännöllisen kahdeksankulmion muotoiseksisilmukaksi. Laske magneettivuon tiheys silmukan keskipisteessä, kun johtimessa kulkee2,00 A virta.Ohje: Esimerkki 5-4.Vastaus: 15,9 T.6. Pitkä virtajohdin on taivutettu suoraan kulmaan. Virta I tulee kaukaisuudestaylhäältä ja poistuu kaukaisuuteen vasemmalle. Laskemagneettivuon tiheyden suuruus ja suunta kuvion pisteessä P, jokaon johtimen tasossa, etäisyydellä a johtimen kummankin haaranjatkeesta. (Magneettivuon tiheyden suunta ilmaistaan katsojaannähden.)Ohje: Käytä kaavaa (5-135).Vastaus: 0 I (2 2 ) / (4 a) katsojaan päin.

Sähkömagneettiset kentät ja aallot I 2010 syksy7. laskuharjoitukset torstaina 9.12. klo 8.159.45 luokassa 216Huomaa poikkeuksellinen viikonpäivä ja kellonaika!1. Oppikirjan Problem 5-8 (sivulla 224).Lisäohjeita: Koosta solenoidi infinitesimaalisen paksuisista, ympyränmuotoisista virtasilmukoista,jotka sijaitsevat etäisyydellä z' päädystä ja joissa kussakin kiertää virta I(N/L)dz', jaintegroi niiden tuottamat magneettivuon tiheydet yhteen. Kun vaihdat integraalissa muuttujaksiz'' z'–z, päädyt samaan integraaliin kuin luennolla esimerkkinä esitetyssä Problem5-3:ssa. Kun tehtävän loppuosassa lasket alkuosan tuloksesta kysyttyä raja-arvoa, voitsijoittaa tarkastelupisteen kohdaksi z = L/2.Vastaus alkuosaan: [ 0 N I / (2 L)]{ (L–z) [(L–z) 2 +b 2 ] –1/2 + z (z 2 +b 2 ) –1/2 } a z .2. Maapallon pinnalla ja sen ulkopuolella vallitsevaa magneettikenttää voidaan mallintaa magneettikentällä,jonka Maan keskipisteessä sijaitseva virtasilmukka tuottaisi. a) Laske tuollaisenkuvitteellisen virtasilmukan magneettimomentti tiedoista, että Maan magneettikentänvuontiheys on 62 T magneettisen pohjoisnavan kohdalla maanpinnalla ja että maapallonsäde on 6370 km. b) Laske em. mallin avulla Maan magneettikentän vuontiheys magneettisenpäiväntasaajan kohdalla, 400 km korkeudella maanpinnasta.Vastaukset: a) 8,0 10 22 Am 2 kohti magneettista pohjoisnapaa. b) 26 T kohti magneettistaetelänapaa.3. Oppikirjan Exercise 5.6 (sivulla 194).4. Suora ympyräkartio, jonka korkeus on h ja pohjan säde on a, on magnetoitunut siten, ettämagnetoituman suunta on kaikialla kartion akselin suuntainen, mutta suuruus on pohjallanolla ja kasvaa sieltä lineaarisesti kärkeä kohti arvoon M 0 . Laske kuvitteellinen a) tilavirrantiheys(vektori)kartion sisällä ja b) pintavirrantiheys(vektori) kartion kaikilla pinnoilla koordinaatistossa,jonka origo on kartion pohjan keskipisteessä ja z-akseli yhtyy kartion akseliin.Ohje: Vrt. esim. 5-Y3.Vastaukset: a) Nollavektori. b) Pohjapinnalla nollavektori ja vaipalla M 0 z (h 2 + a 2 ) 1/2 â .5. Kuinka suurella ensimagnetointivirralla esimerkin 5-Y4 rautasydämisessä rengaskäämissämagneettivuon tiheys on 800 mT ja kuinka suuria silloin ovat raudan suhteellinen permeabiliteettija magnetoituma?Vastaukset: 144 mA, 4410 ja 636 kA/m.6. Oppikirjan Exercise 5.7 (sivulla 200).